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3.40   범위 밖(백과사전)

원환체(토러스)

Circular Torus

3.30(원기둥)·3.32(원뿔)이 각각 축 위에 놓인 직사각형·직각삼각형을 그 축 주위로 회전시켜 얻는 회전체였다면, 이 절의 원환체(circular torus, 토러스)는 축과 만나지 않는 원(생성원, generating circle)을 그 축 주위로 360° 회전시켜 얻는 회전체입니다(401번)—생성원의 중심 C에서 축 ℓ까지의 거리를 R(중심선 반지름), 생성원 자체의 반지름을 r(관 반지름)이라 하면, 이 절에서는 R>r인 경우(생성원이 축과 만나지 않고, 회전시켜도 표면이 스스로 겹치지 않는 “고리형” 원환체)만 다룹니다. 겉넓이 S=4π²Rr(402번)과 부피 V=2π²Rr²(403번)을 각각 유도하는데, 두 증명 모두 이미 확립된 도구—3.19(원의 넓이의 리만 합·극한, 원둘레의 극한 sinθ/θ→1)와 3.33(원뿔대의 옆넓이 공식)—를 새로운 방식으로 조합해 재사용합니다 : 부피는 생성원을 얇은 띠(strip)로, 겉넓이는 생성원에 내접하는 다각형의 변(회전시키면 원뿔대의 옆면이 됨)으로 나누어 계산합니다.

원환체(토러스) — 생성원(반지름 r)의 중심 C가 축 ℓ로부터 거리 R만큼 떨어져 있고, 이 원을 축 주위로 360° 회전시켜 얻는 입체입니다. 축을 비스듬히 내려다본 모습을 관용적으로 나타내기 위해, 중심선 원(반지름 R)·바깥 경계원(반지름 R+r)·안쪽 경계원(반지름 R−r)을 모두 같은 기울기(장반경 대비 단반경 비율 sin18°≈0.309)의 타원으로 눌러 그렸습니다—세 타원은 모두 같은 중심을 공유하며, 가운데를 지나는 가로선 위의 점들(O, C, 안쪽·바깥쪽 경계)은 원근 왜곡이 없는 실제 길이입니다(예시 : R=5, r=3).

401정의원환체(토러스)평면 위의 원 C(중심 C, 반지름 r>0)를 그 평면 안에서 C를 지나지 않는 직선 ℓ(축) 주위로 360° 회전시킬 때 쓸고 지나가는 입체 (R = C에서 ℓ까지의 거리, R>r)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 한 평면 위에 원 C(중심 C, 반지름 r>0)가 있고, 같은 평면 안에서 C를 지나지 않는 직선 ℓ(축)이 있다고 합시다. O를 C에서 ℓ에 내린 수선의 발이라 하고, R = OC(>0)라 합니다. 원 C를 축 ℓ 주위로 360° 회전시킬 때 이 원이 쓸고 지나가는 공간 도형(곡면 및 그 곡면으로 둘러싸인 입체)을 원환체(circular torus, 토러스)라 하고, C를 생성원(generating circle), R을 중심선 반지름(C가 그리는 원의 반지름), r을 관 반지름(tube radius)이라 합니다.

좌표에 의한 표현. ℓ을 축으로 하는 원기둥좌표 (ρ,φ,z)—ρ≥0은 축으로부터의 거리, z는 축 방향의 높이, φ∈[0,2π)는 C를 포함하는 반평면을 기준(φ=0)으로 잰 회전각—를 쓰면, 생성원은 φ=0인 반평면 위에서 (ρ−R)²+z²=r²(ρ≥0)을 만족하는 점들의 자취이므로, 원환체(속을 채운 입체)는

(ρ−R)²+z² ≤ r²,  φ∈[0,2π)

를 만족하는 점 (ρ,φ,z) 전체입니다. 생성원 위의 한 점을 각 θ(0≤θ<2π, 축에서 먼 방향을 0으로 잡아 C를 중심으로 잰 각)로 매개변수화하면

ρ(θ) = R + r cosθ,  z(θ) = r sinθ

입니다. 이 절에서는 R>r인 경우만 다룹니다—이때는 ρ(θ) ≥ R−r > 0이 모든 θ에서 성립해 생성원이 축과 만나지 않고, 회전시킨 곡면도 자기 자신과 겹치지 않는 “고리형” 원환체(ring torus)가 됩니다.

범위 밖(경계 경우). R=r이면 생성원이 축에 한 점에서 접하고, 회전시킨 원환체는 축 위의 그 한 점(원점)에서 안쪽이 맞닿는 뿔 모양(horn torus)이 됩니다. R<r이면 생성원이 축과 두 점에서 만나고, 회전시킨 곡면은 스스로 겹치는 방추형(self-intersecting spindle torus)이 되어 “겉넓이”· “부피”라는 말 자체가 겹치는 부분을 어떻게 셀 것인지에 대한 더 세심한 정의를 필요로 합니다. 두 경우 모두 이 절의 범위 밖으로 남겨둡니다.

축 ℓ을 지나는 평면(자오면)으로 원환체를 자른 정확한 단면—반지름 r인 두 원(하나는 φ=0인 생성원 자체, 다른 하나는 φ=π인 그 반대쪽)이 축 양쪽에 나타납니다. 생성원 위의 점 P는 각 θ로 매개변수화되며, 축으로부터의 거리 ρ(θ)=R+r cosθ와 높이 z(θ)=r sinθ는 402·403번 증명에서 그대로 사용됩니다(그림은 θ=50°인 경우).

사용 : 3.30의 342번(원기둥의 정의, 회전체 개념 비교) · 3.32의 356번(원뿔의 정의, 회전체 개념 비교)

402정리겉넓이S = 4π²Rr

증명법 : 직접증명법(내접 다각형·극한)

생성원(401번)에 내접하는 정n각형(n은 짝수)을 생각합니다. 꼭짓점을 P₀, P₁, …, P_n−1이라 하고, 축에서 먼 방향을 0으로 잡아 C를 중심으로 잰 각을 θ_k = 2πkn(k=0,1,…,n−1)라 하면, 401번의 매개변수화에 의해 P_k는 축으로부터 거리

ρ_k = R + r cosθ_k

에 있는 점입니다.

1단계 — 변(현)의 길이는 모두 같음. 이웃한 두 꼭짓점 P_k, P_k+1(첨자는 mod n) 사이의 각 ∠P_kCP_k+1 = θ_k+1−θ_k = 2πn은 k에 상관없이 일정합니다. P_kP_k+1은 중심 C, 반지름 r인 생성원 자체의 현이므로, 3.19의 264번(중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다)에 의해 이등변삼각형 CP_kP_k+1(두 변 CP_k=CP_k+1=r)에서 C로부터 내린 수선의 발 M은 P_kP_k+1의 중점이고, 직각삼각형 CMP_k에서 ∠MCP_k=πn이므로

L := |P_kP_k+1| = 2r sinπn (모든 k에 대해 동일)

2단계 — 변 하나를 회전시키면 원뿔대의 옆면. 변 P_kP_k+1을 축 ℓ 주위로 360° 회전시키면, 두 반지름이 ρ_k, ρ_k+1이고 모선의 길이가 L인 원뿔대의 옆면(ρ_k=ρ_k+1이면 원기둥의 옆면이 되는 경우도 아래 식에 그대로 포함됨)을 쓸고 지나갑니다. 3.33의 367번(원뿔대의 옆넓이 S_lat=π(R+r)l)에 의해 이 옆면의 넓이는

S_k = π(ρ_k+ρ_k+1)L

이고, 서로 다른 k에 대해 이 조각들은 겹치지 않으므로(변 P_kP_k+1들이 생성원 위에서 서로 겹치지 않는 것과 같은 이유), 내접 다각형 전체를 회전시켜 얻는 곡면의 넓이는 이들의 합입니다.

3단계 — 합을 정리. 첨자 k가 0부터 n−1까지 한 바퀴를 돌므로 Σρ_k과 Σρ_k+1은 같은 값들의 합(순서만 한 칸 밀린 것)이라 Σ(ρ_k+ρ_k+1) = 2Σρ_k입니다. 따라서

Sn = Σk=0n−1π(ρk+ρk+1)L	2단계의 합
= 2πL·Σk=0n−1ρk	Σ(ρk+ρk+1)=2Σρk
= 2πL·Σk=0n−1(R + r cosθk)	1단계의 ρk 정의(401번)
= 2πL·[nR + r·Σk=0n−1cosθk]	합의 분배

4단계 — Σcosθ_k = 0(정확한 등식, n이 짝수). n이 짝수이므로 m := n2(자연수)이라 하면, k와 k+m(첨자는 mod n)을 짝지을 수 있고, θ_k+m = θ_k+π입니다. 일반각의 삼각함수는 단위원 위의 점으로 정의되므로, 각을 π만큼 늘리면(반바퀴 회전) 그 점은 원점에 대해 정확히 점대칭인 점으로 옮겨갑니다—즉 cos(θ+π) = −cosθ가 모든 θ에서 성립합니다. 따라서

cosθ_k + cosθ_k+m = cosθ_k + cos(θ_k+π) = cosθ_k − cosθ_k = 0

이고, k=0,…,m−1과 k=m,…,n−1을 이렇게 짝지으면 정확히 m개의 쌍이 각각 0이 되어, 모든(짝수) n에 대해

Σ_k=0ⁿ⁻¹cosθ_k = 0 (정확한 등식—극한이 아님)

이 성립합니다. 이를 3단계의 마지막 식에 대입하면

S_n = 2πL·nR = 2πR·(nL)

5단계 — n→∞ 극한. 1단계의 L=2r sinπn을 대입하면

nL = n·2r sinπn = 2πr·sin(π/n)π/n

이고, n→∞이면 πn→0이므로, 3.19의 262번과 같은 극한 sinθθ→1 (θ→0)에 의해 nL → 2πr·1 = 2πr입니다. 내접 다각형을 회전시켜 얻는 곡면은 n→∞일 때 원환체의 표면에 한없이 가까워지므로

S = limn→∞ Sn = 2πR·limn→∞(nL)	4단계 결과, 극한의 상수배 성질
= 2πR·2πr = 4π²Rr	5단계, nL→2πr

참고(대학 과정) : 극한 sinθ/θ→1 자체는 고교 미적분(4장)에서 다루지만, “곡면(원환체의 표면)의 넓이”를 내접 다각형을 회전시켜 얻는 곡면 넓이의 극한으로 엄밀하게 정의하는 일과 그 극한이 실제로 존재한다는 사실의 완전한 증명은 3.19의 262·263번, 3.34의 376·377번과 같은 이유로 대학 미적분학(해석학)의 내용입니다.

검산 : R=5, r=3이면 S=4π²·5·3=60π²≈592.18.

생성원에 내접하는 정n각형(그림은 n=8)의 한 변 P_kP_k+1—이 변을 축 주위로 회전시키면 반지름 ρ_k, ρ_k+1, 모선 L인 원뿔대의 옆면이 됩니다(3.33 f367).

사용 : 401번(원환체의 정의·매개변수화) · 3.19의 264번(현의 수직이등분) · 262번(극한 sinθ/θ→1) · 3.33의 367번(원뿔대의 옆넓이) · 4.6의 f433번(반바퀴공식 cos(θ+π)=−cosθ)

증명 끝

403정리부피V = 2π²Rr²

증명법 : 직접증명법(얇은 띠·극한)

401번의 매개변수화에서, 생성원 내부의 점을 축으로부터의 거리 ρ=R+u(u∈[−r,r]는 축에 수직인 방향으로 C에서 잰 변위)와 높이 z로 나타내면, 생성원(속을 채운 원판)은 u²+z²≤r²을 만족하는 (u,z) 전체이므로, u를 고정했을 때 z의 범위는

−h(u) ≤ z ≤ h(u),  h(u) := r²−u²

입니다(h(u)는 원의 방정식에서 바로 나오는 우함수, h(−u)=h(u)).

1단계 — 얇은 띠를 회전시키면 정확히 원기둥의 차(원환 판). [−r,r]을 n등분해 Δu=2rn이라 하고, k번째 소구간(k=1,…,n)의 중점을 u_k라 합니다—[−r,r]이 0에 대해 대칭인 구간이므로, k번째와 (n+1−k)번째 소구간은 서로 0에 대해 대칭이라 u_n+1−k = −u_k가 모든 k에서 정확히 성립합니다(n의 홀짝과 무관). u=u_k에서 폭 Δu, 높이 2h(u_k)인 직사각형 띠(생성원에 내접하는 근사, 넓이 ΔA_k:=2h(u_k)·Δu)를 축 ℓ 주위로 회전시키면, 바깥반지름 ρ_k+Δu2, 안쪽반지름 ρ_k−Δu2(ρ_k:=R+u_k), 높이 2h(u_k)인 원기둥에서 그보다 작은 원기둥을 뺀 도형(원환 모양의 판)을 정확히 쓸고 지나갑니다. 3.30의 346번(원기둥의 부피 V=πr²h)에 의해 이 판의 부피는

ΔVk = π[(ρk+Δu2)²−(ρk−Δu2)²]·2h(uk)	3.30 f346, 두 원기둥의 차
= π·2ρkΔu·2h(uk)	(a+b)²−(a−b)²=4ab (a=ρk, b=Δu/2)
= 2πρk·ΔAk	ΔAk=2h(uk)Δu의 정의

이고, 이 등식은 Δu가 아무리 크더라도(근사가 아니라) 정확히 성립합니다—근사가 개입하는 부분은 오직 ΔA_k가 생성원 자체의 그 위치의 넓이와 정확히 같지는 않다는 점뿐입니다.

2단계 — 판들은 서로 겹치지 않음. 서로 다른 k에 대해 소구간 [u_k−Δu2, u_k+Δu2]이 겹치지 않으므로, ρ=R+u도 서로 다른(겹치지 않는) 범위를 가지고, 따라서 회전시켜 얻는 원환 판들도 반지름 범위가 겹치지 않아 서로소입니다. R>r이므로 모든 ρ_k−Δu2 ≥ R−r > 0이 유지되어(n이 충분히 크면), 판들이 축을 관통하지 않고 원환체에 대한 근사 입체를 이룹니다.

3단계 — 합을 정리하고 대칭으로 소거. n개의 판을 모두 더하면

Vn = Σk=1nΔVk = 2π·Σk=1nρkΔAk	1단계
= 2π·Σ(R+uk)ΔAk = 2πR·ΣΔAk + 2π·ΣukΔAk	ρk=R+uk, 합의 분배

둘째 항 Σu_kΔA_k = Σu_k·2h(u_k)Δu에서, u_k와 u_n+1−k=−u_k를 짝지으면(h(−u_k)=h(u_k)이므로)

u_k·2h(u_k)Δu + u_n+1−k·2h(u_n+1−k)Δu = u_k·2h(u_k)Δu + (−u_k)·2h(u_k)Δu = 0

이고, 이렇게 짝지으면 n이 짝수면 정확히 n2쌍이 모두 0이 되고, n이 홀수면 n−12쌍이 0이 되는 것에 더해 자기 자신과 짝지어지는 가운데 항이 하나 남는데—그 항은 u_k=u_n+1−k=−u_k에서 u_k=0이 되므로 이 항 자체도 저절로 0을 기여합니다. 따라서 모든 n에 대해 Σu_kΔA_k = 0(정확한 등식)입니다. 따라서

V_n = 2πR·Σ_k=1ⁿΔA_k (모든 n에 대해 정확히)

4단계 — n→∞ 극한. ΣΔA_k = Σ2h(u_k)Δu는 곡선 z=h(u)(−r≤u≤r) 아래, z=−h(u) 위의 영역—즉 반지름 r인 원판(u²+z²≤r²) 그 자체—의 넓이에 대한(중점을 표본점으로 쓰는) 리만 합이므로, n→∞이면 3.19의 263번(원의 넓이 S=πr²)과 같은 방식의 극한에 의해 ΣΔA_k → πr²입니다. 따라서

V = limn→∞ Vn = 2πR·limn→∞ΣΔAk	3단계, 극한의 상수배 성질
= 2πR·πr² = 2π²Rr²	4단계, ΣΔAk→πr²

참고(대학 과정) : 이 리만 합이 실제로 πr²에 수렴한다는 사실(및 “부피”를 이런 극한으로 엄밀하게 정의하는 일 자체)의 완전한 근거는 3.19의 262·263번, 3.34의 376·377번, 3.39의 400번과 같은 이유로 대학 미적분학(해석학)의 내용입니다. 근사 도형(회전시킨 원환 판들의 합집합)이 n→∞일 때 실제 원환체에 한없이 가까워진다는 사실도 같은 이유로 그대로 받아들입니다.

일반성 확인 : 3·4단계의 계산은 R>r이라는 사실을 ρ_k−Δu2>0(판이 축을 관통하지 않음, 2단계)에서만 사용했을 뿐, R과 r 사이의 다른 어떤 관계도 쓰지 않았습니다—즉 이 유도는 R>r인 401번의 범위 안에서 항상 성립합니다.

검산 : R=5, r=3이면 V=2π²·5·3²=2π²·5·9=90π²≈888.26.

생성원(단면)을 폭 Δu인 얇은 띠 n=6개로 나눈 모습—각 띠(높이 2h(u_k))를 축 주위로 회전시키면 정확히 원기둥의 차(원환 판)가 되고, 그 부피의 합은 항상 2πR·(띠 넓이의 합)입니다.

사용 : 401번(원환체의 정의·매개변수화) · 3.30의 346번(원기둥의 부피) · 3.19의 263번(원의 넓이, 리만 합·극한) · 3.34의 377번·3.39의 400번(같은 방식의 리만 합 극한 선례)

증명 끝