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5.4   대학 과정

행렬의 연산

Operations with Matrices

정의 · 공식과 증명

이 절은 5.3에서 형태상의 용어(상등·영행렬·대각행렬·대칭행렬 등)만 다루고 미뤄 두었던 행렬의 덧셈·스칼라배·곱셈이라는 연산 자체를 formal하게 정의하고, 그 성질(교환· 결합·분배법칙, 곱셈의 비가환성, 전치와의 호환성)을 증명합니다. 5.2의 840번(det(kA)=kⁿ·det A)과 841번(det(AB)=det A·det B)이 이미 앞당겨 썼던 스칼라배·곱셈의 성분별 공식은 각각 852번·855번에서 formal하게 정의되어, 그 앞당긴 인용이 사후적으로 정당화됩니다. 새로 도입하는 표기 컴포넌트는 없으며, 843–850번의 행렬·전치행렬 표기(대괄호·위첨자 T)와 2.1·2.2에서 이미 쓰인 Σ(합) 표기를 그대로 사용합니다.

851정의행렬의 덧셈과 뺄셈(Addition and Subtraction of Matrices)A±B := (a_ij±b_ij)  (A, B는 같은 m×n)

843번의 m×n 행렬 A=(a_ij)와 B=(b_ij)에 대해, 두 행렬의 차수가 서로 같을 때만(둘 다 m×n일 때만) 다음과 같이 합(sum)과 차(difference)를 정의합니다―대응하는 성분끼리 더하거나 뺀 m×n 행렬입니다.

A+B := (a_ij+b_ij),     A−B := (a_ij−b_ij)

즉 (A+B)의 (i,j) 성분은 a_ij+b_ij이고, (A−B)의 (i,j) 성분은 a_ij−b_ij입니다. 차수가 다른 두 행렬(예 : 2×3 행렬과 3×2 행렬)은 애초에 성분끼리 짝지을 방법이 없으므로 덧셈·뺄셈 자체가 정의되지 않습니다―844번에서 차수가 다른 행렬은 상등 비교조차 되지 않는다고 한 것과 같은 이유입니다.

예를 들어 A=12−1034, B=2−1310−2이면

A+B = 312132,     A−B = −13−4−136

입니다.

사용 : 843번 · 844번

852정의행렬의 스칼라배(Scalar Multiplication)kA := (k·a_ij)  (k는 실수)

843번의 m×n 행렬 A=(a_ij)와 실수 k에 대해, A의 모든 성분을 k배 한 m×n 행렬을 A의 스칼라배(scalar multiple)라 하고 kA로 씁니다.

kA := (k·a_ij)

즉 (kA)의 (i,j) 성분은 k·a_ij입니다. 이 정의는 5.2의 840번(det(kA)=kⁿ·det A)의 증명에서 «kA는 A의 모든 행을 k배 한 행렬»이라고 서술했던 것을―그때는 정사각행렬(n×n)에 한정된 informal한 설명이었던 것을―일반적인 m×n 행렬에 대해 formal하게 정의한 것이며, 두 서술은 정확히 일치합니다(«모든 행을 k배»=«모든 성분을 k배»).

k=−1인 경우, (−1)A는 모든 성분의 부호를 반전시킨 행렬입니다. 이것이 바로 5.3의 847번에서 대칭·반대칭행렬을 정의할 때 «−A는 A의 (i,j) 성분이 −a_ij인 행렬»이라는 국소적인 뜻으로만 미리 써 두었던 바로 그 표기입니다. 이제부터는

−A := (−1)A

로 formal하게 정의하며, 847번의 용법과 모순되지 않습니다. 예를 들어 위 851번의 A=12−1034에 대해 3A는

3A = 36−30912

입니다.

사용 : 843번 · 5.2의 840번 · 5.3의 847번

853정리덧셈의 성질(Properties of Matrix Addition)A+B=B+A,  (A+B)+C=A+(B+C),  A+O=A,  A+(−A)=O

증명법 : 직접증명법(851·852번의 정의를 성분 하나하나에 적용해, 그 성분인 실수가 갖는 1.3의 덧셈 성질로 환원)

m×n 행렬 A=(a_ij), B=(b_ij), C=(c_ij)에 대해, 다음 네 등식은 모두 양변의 (i,j) 성분이 같음을 보이면 851번(행렬의 상등은 844번)에 의해 증명됩니다.

① 교환법칙. (A+B)의 (i,j) 성분은 a_ij+b_ij이고 (B+A)의 (i,j) 성분은 b_ij+a_ij인데, 1.3의 36번(실수 덧셈의 교환법칙)에 의해 a_ij+b_ij=b_ij+a_ij이므로 A+B=B+A.

② 결합법칙. ((A+B)+C)의 (i,j) 성분은 (a_ij+b_ij)+c_ij이고 (A+(B+C))의 (i,j) 성분은 a_ij+(b_ij+c_ij)인데, 1.3의 37번(실수 덧셈의 결합법칙)에 의해 이 둘은 같으므로 (A+B)+C=A+(B+C).

③ 덧셈의 항등원. 845번의 영행렬 O(모든 성분이 0)에 대해, (A+O)의 (i,j) 성분은 a_ij+0인데 1.3의 34번(실수 덧셈의 항등원)에 의해 a_ij+0=a_ij이므로 A+O=A.

④ 덧셈의 역원. 852번의 −A=(−a_ij)에 대해, (A+(−A))의 (i,j) 성분은 a_ij+(−a_ij)인데 1.3의 35번(실수 덧셈의 역원)에 의해 이는 0이므로 A+(−A)=O.

요컨대 행렬 덧셈의 이 네 성질은 전부 그 성분인 실수의 덧셈이 이미 갖고 있는 성질(1.3의 34–37번)을 성분마다 그대로 물려받은 것일 뿐, 행렬이라서 새로 성립하는 독립적인 사실이 아닙니다.

사용 : 851번 · 844번 · 845번 · 1.3의 34번 · 35번 · 36번 · 37번

증명 끝

854정리스칼라배의 성질(Properties of Scalar Multiplication)k(A+B)=kA+kB,  (k+l)A=kA+lA,  k(lA)=(kl)A,  1·A=A,  0·A=O

증명법 : 직접증명법(851·852번의 정의를 성분에 적용해 1.3의 실수 성질로 환원―853번과 같은 전략)

m×n 행렬 A=(a_ij), B=(b_ij)와 실수 k, l에 대해 :

① 분배법칙 — 스칼라가 합에. (k(A+B))의 (i,j) 성분은 k(a_ij+b_ij)이고 (kA+kB)의 (i,j) 성분은 k·a_ij+k·b_ij인데, 1.3의 44번(분배법칙)에 의해 k(a_ij+b_ij)=k·a_ij+k·b_ij이므로 k(A+B)=kA+kB.

② 분배법칙 — 스칼라의 합이 행렬에. ((k+l)A)의 (i,j) 성분은 (k+l)a_ij이고 (kA+lA)의 (i,j) 성분은 k·a_ij+l·a_ij인데, 44번을 (곱셈·덧셈의 역할을 바꾸어) 적용하면 (k+l)a_ij=k·a_ij+l·a_ij이므로 (k+l)A=kA+lA.

③ 스칼라의 결합법칙. (k(lA))의 (i,j) 성분은 k(l·a_ij)이고 ((kl)A)의 (i,j) 성분은 (kl)·a_ij인데, 1.3의 43번(실수 곱셈의 결합법칙)에 의해 이 둘은 같으므로 k(lA)=(kl)A.

④ 곱셈의 항등원. (1·A)의 (i,j) 성분은 1·a_ij인데 1.3의 39번(실수 곱셈의 항등원)에 의해 1·a_ij=a_ij이므로 1·A=A.

⑤ 영에 의한 스칼라배. (0·A)의 (i,j) 성분은 0·a_ij인데 1.3의 41번(0의 곱셈)에 의해 0·a_ij=0이므로 0·A=O(845번의 영행렬).

사용 : 852번 · 845번 · 1.3의 39번 · 41번 · 43번 · 44번

증명 끝

855정의행렬의 곱셈(Matrix Multiplication)(AB)_ij := nΣk=1 a_ikb_kj  (A는 m×n, B는 n×p)

843번의 m×n 행렬 A=(a_ij)와 n×p 행렬 B=(b_ij)에 대해―A의 열의 개수와 B의 행의 개수가 똑같이 n이어야 한다는 조건에 주의합니다(이 조건이 성립할 때 곱 AB가 «정의된다»고 말합니다)―곱 AB를 다음과 같은 m×p 행렬로 정의합니다.

(AB)_ij := nΣk=1 a_ikb_kj    (1≤i≤m, 1≤j≤p)

즉 (AB)의 (i,j) 성분은 A의 i번째 행과 B의 j번째 열을 같은 자리끼리 곱한 뒤 전부 더한 값입니다. 아래는 A(2×3, 제1행을 색으로 표시)와 B(3×2, 제1열을 색으로 표시)에서 (AB)의 (1,1) 성분이 만들어지는 방식을 보인 것입니다.

A = a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃     B = b₁₁b₁₂b₂₁b₂₂b₃₁b₃₂

(AB)₁₁ = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁

A의 열의 개수(=3)와 B의 행의 개수(=3)가 같으므로(둘 다 n=3) 곱 AB(2×2 행렬)가 정의되며, 위 강조된 행·열의 대응 성분끼리 곱해 더한 값이 바로 그 (1,1) 성분입니다―나머지 (i,j) 성분도 A의 i행, B의 j열을 짝지어 같은 방식으로 얻습니다. 반대로 A의 열의 개수와 B의 행의 개수가 다르면 애초에 짝지을 방법이 없으므로 곱 AB 자체가 정의되지 않습니다(851번에서 차수가 다른 행렬끼리 덧셈이 정의되지 않는 것과 같은 취지의 조건입니다).

n=2인 특수한 경우, 이 정의는 이미 5.2의 841번에서 «행렬 연산의 formal한 정의는 5.4에서 다루지만, 여기서는 그 결과인 성분별 공식만 인용한다»고 미리 써 둔 (AB)_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j와 정확히 일치합니다―지금 855번의 Σ가 n=2로 특수화된 것이 바로 그 식입니다.

5.1의 824번에서 행렬식은 정사각행렬에서만 정의된다고 했으므로, AB가 m×p이고 m≠p이면(직사각행렬이면) AB에는 애초에 행렬식이 없습니다―det(AB) 같은 식은 A, B가 모두 n차 정사각행렬이어서 AB도 n차 정사각행렬인 경우(841번이 다룬 경우)에만 의미가 있습니다.

사용 : 843번 · 851번 · 5.1의 824번 · 5.2의 841번

856정리곱셈의 결합법칙(Associativity of Matrix Multiplication)(AB)C = A(BC)  (A:m×n, B:n×p, C:p×q)

증명법 : 직접증명법(855번의 정의를 반복 적용해 이중합의 순서를 바꿈)

A=(a_ik)는 m×n, B=(b_kl)는 n×p, C=(c_lj)는 p×q 행렬이라 하면, AB는 m×p, (AB)C는 m×q이고 BC는 n×q, A(BC)도 m×q로 양변의 차수는 이미 같습니다. 양변의 (i,j) 성분을 855번을 두 번씩 적용해 전개하면 :

((AB)C)ij
= pΣl=1 (AB)ilclj	855번(AB와 C의 곱)
= pΣl=1 ( nΣk=1 aikbkl ) clj	855번(A와 B의 곱을 대입)
= pΣl=1 nΣk=1 aikbklclj	1.3의 44번(분배법칙, clj를 안쪽 합에 곱해 넣음)
= nΣk=1 pΣl=1 aikbklclj	이중합의 순서 교환(아래 설명)
= nΣk=1 aik ( pΣl=1 bklclj )	44번(aik를 다시 밖으로)
= nΣk=1 aik (BC)kj	855번(B와 C의 곱)
= (A(BC))ij	855번(A와 BC의 곱)

양변의 (i,j) 성분이 같으므로 (AB)C=A(BC)입니다.

위 넷째 줄의 «이중합의 순서 교환»은 pq개의 실수를 유한 번 더하는 순서를 바꾼 것에 불과합니다―2.1·2.2에서 이미 여러 차례 쓴 «첨자 바꾸기» 기법과 같은 것으로, 1.3의 36·37번(실수 덧셈의 교환·결합법칙)을 유한 번 반복 적용하면 항상 정당화됩니다. 무한급수의 순서 교환처럼 수렴성 조건이 필요한 상황과 달리, 유한합이므로 새로운 정리가 필요 없습니다.

수치 확인. X=102310(2×3), Y=011220(3×2), Z=1102(2×2)이면 XY=4135이고,

(XY)Z = X(YZ) = 46111

로 서로 같음을 직접 계산해 확인할 수 있습니다(검산은 증명을 대신하지 않습니다).

사용 : 855번 · 1.3의 36번 · 37번 · 44번

증명 끝

857정리곱셈의 분배법칙과 스칼라와의 결합(Distributivity and Scalar Compatibility)A(B+C)=AB+AC,  (A+B)C=AC+BC,  k(AB)=(kA)B=A(kB)

증명법 : 직접증명법(855번의 정의를 성분에 적용, 856번과 같은 전략)

① 분배법칙(왼쪽). A는 m×n, B, C는 n×p라 하면, 851번에 의해 B+C의 (k,j) 성분은 b_kj+c_kj이므로

(A(B+C))ij
= nΣk=1 aik(bkj+ckj)	855번
= nΣk=1 (aikbkj+aikckj)	1.3의 44번
= nΣk=1 aikbkj + nΣk=1 aikckj	36·37번(합을 둘로 분리)
= (AB)ij + (AC)ij	855번

이므로 A(B+C)=AB+AC입니다.

② 분배법칙(오른쪽). A, B는 m×n, C는 n×p라 하면 마찬가지로 ((A+B)C)_ij = nΣk=1(a_ik+b_ik)c_kj = nΣk=1a_ikc_kj+nΣk=1b_ikc_kj = (AC)_ij+(BC)_ij이므로 (A+B)C=AC+BC입니다.

③ 스칼라와의 결합. A는 m×n, B는 n×p, k는 실수라 하면, 852번에 의해 (kA)의 (i,k) 성분은 k·a_ik이므로

(k(AB))_ij = k nΣl=1 a_ilb_lj = nΣl=1 (k·a_il)b_lj = ((kA)B)_ij

(43·44번), 마찬가지로 k·a_ilb_lj=a_il(k·b_lj)이므로 ((kA)B)_ij=(A(kB))_ij도 성립합니다. 따라서 k(AB)=(kA)B=A(kB)입니다.

수치 확인. A=12−1034, B=201−131, C=01102−2이면 B+C=212−15−1이고,

A(B+C) = AB+AC = 1026−7

로 서로 같습니다.

사용 : 855번 · 851번 · 852번 · 1.3의 36·37번 · 43번 · 44번

증명 끝

858정리행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다(Matrix Multiplication Is Not Commutative in General)∃A,B  (AB ≠ BA)  (AB, BA가 둘 다 정의되어도)

증명법 : 존재의 증명―실제 예를 구성(«모든 A, B에 대해 AB=BA»라는 전칭 명제의 부정은 ∃A,B(AB≠BA)이므로, 반례 하나면 충분)

P=1234, Q=0110라 하면, 855번에 의해

PQ = 2143,     QP = 3412

이고 PQ≠QP입니다(예 : (1,1) 성분이 각각 2, 3으로 다름). 따라서 «모든 정사각행렬 A, B에 대해 AB=BA»는 거짓이며, 행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙을 만족하지 않습니다.

정사각행렬이 아닌 경우는 사정이 더 심합니다 — A가 m×n, B가 n×m(m≠n)이면 855번에 의해 AB는 m×m, BA는 n×n으로 차수 자체가 달라 애초에 비교조차 되지 않는 경우가 흔합니다. 이 경우는 아래 863번의 활용에서 직접 다룹니다.

부분적인 예외 — 스칼라행렬. 846번의 n차 스칼라행렬 kI_n은 곱셈이 정의되는 모든 n차 정사각행렬 A와 항상 교환됩니다. 실제로 855번으로 (kI_n)의 (i,l) 성분은 831번에 의해 l=i일 때만 k이고 나머지는 0이므로, ((kI_n)A)_ij=nΣl=1(kI_n)_ila_lj는 l=i인 항만 남아 k·a_ij가 되고, 같은 방식으로 (A(kI_n))_ij도 k·a_ij가 됩니다 — 즉 (kI_n)A = A(kI_n) = kA(852번)로 둘 다 항상 성립합니다. 예를 들어 P=1234와 2I₂=2002에 대해

(2I₂)P = P(2I₂) = 2468

로 같습니다(858번이 «일반적으로» 성립하지 않는다는 것이지, 항상 성립하지 않는다는 뜻은 아님에 주의).

사용 : 855번 · 5.3의 846번 · 5.2의 831번 · 852번

증명 끝

859정리단위행렬은 곱셈의 항등원이다(The Identity Matrix Is the Multiplicative Identity)A가 m×n이면 I_mA = A = AI_n

증명법 : 직접증명법(855번을 적용해 831번의 크로네커 델타 형태 성분을 대입)

A=(a_ij)는 m×n 행렬이라 하면, 5.2의 831번에 의해 m차 단위행렬 I_m의 (i,k) 성분은 k=i일 때 1, k≠i일 때 0입니다. 855번에 의해

(I_mA)_ij = Σ_k=1^m (I_m)_ika_kj

인데, 이 m개의 항 중 (I_m)_ik≠0인 항은 k=i인 항 하나뿐이고 나머지는 전부 0이므로, 합 전체는 그 한 항 1·a_ij=a_ij만 남습니다. 즉 (I_mA)_ij=a_ij이므로 I_mA=A입니다. 마찬가지로 (AI_n)_ij=Σ_k=1ⁿa_ik(I_n)_kj도 k=j인 항만 남아 a_ij가 되므로 AI_n=A입니다.

A가 n차 정사각행렬(m=n)인 특수한 경우, 두 식은 I_nA=AI_n=A로 합쳐집니다 — 858번에서 행렬의 곱셈이 일반적으로 교환되지 않는다고 했는데, 단위행렬 I_n은 (846번의 스칼라행렬이 그렇듯) 곱셈이 정의되는 모든 정사각행렬과 항상 교환되는 예외입니다.

사용 : 855번 · 5.2의 831번 · 858번

증명 끝

860정의전치행렬의 일반화(Transpose of a General m×n Matrix)A가 m×n이면 A^T := n×m 행렬, (i,j) 성분이 원래 A의 (j,i) 성분

5.2의 832번은 정사각행렬(n×n)에 대해서만 전치행렬을 정의했습니다. 843번이 824번의 정사각행렬 표기를 일반적인 m×n 행렬로 확장했던 것과 같은 방식으로, 이제 일반적인 m×n 행렬 A=(a_ij)에 대해서도 전치행렬을 정의합니다 — A의 행과 열을 맞바꾸어 얻는 n×m 행렬(차수가 m×n에서 n×m으로 뒤바뀜에 주의)을 A^T라 하고, 그 (i,j) 성분은 원래 A의 (j,i) 성분입니다.

예를 들어 851번의 A=12−1034(2×3)이면

A^T = 1023−14    (3×2)

입니다 — A의 제1행(1,2,−1)이 A^T의 제1열이 되는 방식은 832번과 같습니다. m=n인 특수한 경우가 바로 832번의 정의이므로, 이후로는 832번을 이 860번의 특수한 경우(m=n)로 인용합니다(843번이 824번을 재해석한 것과 같은 방식). 한편 (A^T)^T는 A의 (j,i) 성분을 다시 (i,j) 자리로 되돌리는 것이므로, 정의에 의해 바로 (A^T)^T=A입니다.

5.3의 847번의 대칭행렬·반대칭행렬(A^T=A, A^T=−A)은 A와 A^T의 차수가 같아야 등식 자체가 성립하므로(직사각행렬은 m≠n이면 A^T가 A와 차수부터 달라 비교할 수 없음), 계속 정사각행렬(m=n)에서만 정의됩니다 — 847번의 정의를 바꾸는 것이 아니라, 그 정의가 원래부터 정사각행렬에 한정되는 이유를 이제 명확히 하는 것입니다.

사용 : 5.2의 832번 · 843번 · 5.3의 847번

861정리전치와 연산의 호환성(Transpose of Sums, Scalar Multiples, and Products)(A+B)^T=A^T+B^T,  (kA)^T=kA^T,  (AB)^T=B^TA^T

증명법 : 직접증명법(860번의 정의를 적용해 성분 비교, 마지막은 855번까지 함께 사용)

① 합의 전치. A, B가 m×n이면, 860번에 의해 ((A+B)^T)의 (i,j) 성분은 (A+B)의 (j,i) 성분인 a_ji+b_ji(851번)이고, (A^T+B^T)의 (i,j) 성분은 A^T의 (i,j) 성분(=a_ji)과 B^T의 (i,j) 성분(=b_ji)의 합이므로 역시 a_ji+b_ji입니다. 따라서 (A+B)^T=A^T+B^T. 같은 방식으로 851번의 뺄셈(A−B=A+(−1)B)에도 그대로 적용되어 (A−B)^T=A^T−B^T도 성립합니다.

② 스칼라배의 전치. ((kA)^T)의 (i,j) 성분은 (kA)의 (j,i) 성분인 k·a_ji(852번)이고, (kA^T)의 (i,j) 성분은 k·(A^T의 (i,j) 성분)=k·a_ji이므로 같습니다. 따라서 (kA)^T=kA^T.

③ 곱의 전치. A는 m×n, B는 n×p라 하면 AB는 m×p이므로 (AB)^T는 p×m입니다.

((AB)T)ij
= (AB)ji	860번(전치는 (j,i) 성분을 (i,j) 자리로)
= nΣk=1 ajkbki	855번
= nΣk=1 bkiajk	1.3의 42번(실수 곱셈의 교환법칙 — 성분끼리의 곱셈일 뿐, 행렬 곱셈이 교환된다는 뜻이 아님)
= nΣk=1 (BT)ik(AT)kj	860번((BT)ik=bki, (AT)kj=ajk)
= (BTAT)ij	855번(BT는 p×n, AT는 n×m이므로 곱 BTAT는 p×m — (AB)T와 차수가 정확히 일치)

따라서 (AB)^T=B^TA^T입니다 — 곱하는 순서가 뒤바뀐다는 점에 주의합니다.

셋째 줄에서 쓴 «a_jkb_ki=b_kia_jk»(42번)는 실수인 성분끼리의 교환이고, 858번에서 부정한 «행렬 AB=BA»는 행렬 전체의 교환입니다 — 성분(실수)은 항상 교환되지만, 그 성분들을 모아 만드는 행렬의 곱 자체는 (그리고 그 곱을 만드는 순서는) 교환되지 않는다는 서로 다른 층위의 이야기이므로 혼동하지 않도록 주의합니다.

수치 확인. 851번의 A=12−1034, B=201−131에 대해 AB=1−3151이므로

(AB)^T = 115−31     B^TA^T = 2130−11·1023−14 = 115−31

로 서로 같습니다.

사용 : 860번 · 851번 · 852번 · 855번 · 1.3의 42번 · 858번

증명 끝

862정리대칭행렬과 반대칭행렬로의 분해(Decomposition into Symmetric and Skew-symmetric Parts)A = S+K,  S:=A+A^T2(대칭),  K:=A−A^T2(반대칭)  (유일)

5.3의 847번에서 대칭행렬·반대칭행렬을 정의할 때, 행렬의 덧셈·스칼라배가 아직 formal하게 갖춰지지 않아 «임의의 정사각행렬을 대칭행렬과 반대칭행렬의 합으로 분해하는 것»은 다루지 않고 미뤄 두었습니다(847번의 axiom-note 참고). 851·852·861번이 모두 갖춰졌으므로 이제 이를 증명합니다.

증명법 : 존재의 증명(구성) + 직접증명법(유일성)

n차 정사각행렬 A에 대해

S := 12(A+A^T),     K := 12(A−A^T)

로 정의합니다(852번의 스칼라배 12와 851번의 덧셈·뺄셈으로 이미 formal하게 정의된 식입니다).

① S는 대칭행렬.

ST
= ( 12(A+AT) )T
= 12(A+AT)T	861번(스칼라배의 전치)
= 12(AT+(AT)T)	861번(합의 전치)
= 12(AT+A)	860번((AT)T=A)
= 12(A+AT)	1.3의 36번(실수 덧셈의 교환법칙)
= S

S^T=S이므로 847번에 의해 S는 대칭행렬입니다.

② K는 반대칭행렬. 같은 방식으로 K^T = 12(A−A^T)^T = 12(A^T−(A^T)^T)(861번, 뺄셈에도 적용됨) = 12(A^T−A) = −12(A−A^T) = −K입니다. K^T=−K이므로 847번에 의해 K는 반대칭행렬입니다.

③ S+K=A. 851·854번에 의해

S+K = 12(A+A^T) + 12(A−A^T) = 12 (A+A^T+A−A^T) = 12(2A) = A

(853번에 의해 A^T와 −A^T가 상쇄, 854번의 12·2=1과 1·A=A).

④ 유일성. A=S′+K′(S′ 대칭, K′ 반대칭)인 또 다른 분해가 있다고 가정하면, 861번에 의해 A^T=(S′)^T+(K′)^T=S′−K′(847번, S′^T=S′, K′^T=−K′). A+A^T=2S′와 A−A^T=2K′를 각각 풀면 S′=12(A+A^T)=S, K′=12(A−A^T)=K이므로, 대칭·반대칭 성분으로의 분해는 유일합니다.

수치 확인. S(부호 충돌을 피하기 위해 여기서는 원래 행렬을 A로) = 2−103451−26이면 A^T = 231−14−2056이고,

12(A+A^T) = 2112143212326     12(A−A^T) = 0−2−12207212−720

이며, 앞쪽은 대칭(예 : (1,2)=(2,1)성분=1), 뒤쪽은 반대칭(예 : (1,2)=−2, (2,1)=2)이고 둘을 더하면 정확히 원래의 A로 돌아옵니다.

사용 : 847번 · 851번 · 852번 · 853번 · 854번 · 860번 · 861번

증명 끝

863정리활용 — 행렬 연산의 종합 계산과 비가환성의 극단적 예(Worked Examples: Combined Operations and an Extreme Case of Non-commutativity)851–861번의 연산을 구체적 행렬에 종합 적용

증명법 : 직접증명법(851–861번의 정의·정리를 구체적인 수치에 직접 적용)

(1) 덧셈·스칼라배의 혼합. A=12−1034, B=2−1310−2(둘 다 2×3, 851번의 예시와 같음)에 대해 851·852·854번(스칼라배의 분배법칙)을 이용하면

2A−3B = −47−11−3614

를 얻습니다(2A와 3B를 각각 852번으로 구한 뒤 851번으로 뺀 것과 같은 결과 — 854번의 분배법칙이 보장하는 계산 순서의 자유).

(2) 곱셈과 차수의 극단적 비가환성. A=12−1034(2×3), B=201−131(3×2)이면 A의 열의 개수(3)와 B의 행의 개수(3)가 같으므로 AB가 정의되고, B의 열의 개수(2)와 A의 행의 개수(2)도 같으므로 BA도 정의됩니다 — 즉 양방향 곱이 모두 정의됨에도, 855번을 적용하면

AB = 1−3151   (2×2)      BA = 24−21−1−5391   (3×3)

로 AB와 BA는 차수 자체가 다릅니다(2×2 대 3×3) — 858번에서 예고한 대로, 정사각행렬의 경우(예 : 858번의 P, Q)보다 훨씬 극단적으로 «비교조차 되지 않는» 비가환성의 예입니다.

(3) 곱의 전치. 위 AB=1−3151에 대해 A^T=1023−14, B^T=2130−11이므로, 861번(곱의 전치는 순서가 뒤바뀜)에 의해

(AB)^T = 115−31  =  B^TA^T

이고, 실제로 B^T(2130−11, 2×3)와 A^T(1023−14, 3×2)의 곱은 2×2 행렬로 (AB)^T와 차수가 일치하며, 직접 계산해도 같은 값이 나옵니다(반면 A^TB^T는 3×2와 2×3 곱이라 순서를 바꾸면 애초에 정의조차 되지 않습니다 — 861번에서 곱의 순서가 뒤바뀌어야 하는 이유가 바로 이 차수 정합성입니다).

사용 : 851번 · 852번 · 854번 · 855번 · 858번 · 861번

증명 끝