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8.4   수능 핵심

도함수 공식표

Table of Derivatives

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 8.3에서 확립한 미분계수의 정의(642번)와 대수적 성질 ― 선형성(648번)·곱의 미분법(649번)·몫의 미분법(650번)·연쇄법칙(651번) ― 을 이용해, 실제 계산에 쓰이는 구체적인 함수들의 도함수를 하나씩 유도합니다. 상수함수·거듭제곱함수(652–653번)에서 시작해 삼각함수(654–656번), 자연지수함수와 일반 지수함수(657–658번)를 거친 뒤, 역함수의 미분법(659번)이라는 새 도구로 로그함수(660–661번)의 도함수를 얻고, 마지막으로 이 도구를 다시 지수함수와 결합하는 로그미분법으로 실수 지수 전체의 거듭제곱함수(662번)로 결과를 확장합니다.

652정리상수함수의 도함수(c)′ = 0

증명법 : 직접증명법(642번의 정의 직접 적용)

f(x) := c(상수)라 합시다. 임의의 실수 a에서, x≠a인 모든 x에 대해 차분몫은

f(x)−f(a)x−a = c−cx−a = 0x−a = 0

으로 x에 관계없이 항등적으로 0입니다. 상수함수(값이 0)의 극한은 그 상수이므로(8.2의 629번), x→a에서 이 극한도 0입니다. 642번(미분계수의 정의)에 의해

f′(a) = limx→a 0 = 0

이고, a가 임의였으므로 정의역 전체에서 (c)′ = 0입니다.

사용 : 642번(미분계수의 정의) · 8.2의 629번(극한의 정의)

증명 끝

653정리거듭제곱함수의 도함수(정수 지수)(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ (n∈Z, n≠0)

증명법 : 경우 나누기 + 직접증명법

① n이 양의 정수인 경우 : 먼저 다음 인수분해 항등식을 확인합니다. 임의의 실수 x, a와 자연수 n에 대해

xⁿ−aⁿ = (x−a)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²a + xⁿ⁻³a² + … + xaⁿ⁻² + aⁿ⁻¹)

가 성립합니다. 우변의 괄호에 x를 곱한 것과 −a를 곱한 것을 나누어 쓰면

(xⁿ + xⁿ⁻¹a + … + xaⁿ⁻¹) − (xⁿ⁻¹a + xⁿ⁻²a² + … + aⁿ)

이 되고, 앞 괄호의 xⁿ을 뺀 n−1개 항(xⁿ⁻¹a, …, xaⁿ⁻¹)이 뒤 괄호의 aⁿ을 뺀 n−1개 항과 똑같아 서로 지워지므로 xⁿ−aⁿ만 남습니다. 이제 x≠a인 x에 대해 양변을 (x−a)로 나누면

xⁿ−aⁿx−a = xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²a + … + xaⁿ⁻² + aⁿ⁻¹

이고, limx→a x = a(8.2의 629번에서 δ:=ε)와 상수의 극한, 8.2의 632번⑶(곱의 극한)을 거듭 쓰면 각 항 x^n−1−ka^k → aⁿ⁻¹로 수렴하고(k=0,…,n−1), n개 항의 합의 극한은 극한의 합이므로

(xⁿ)′|_x=a = limx→a xⁿ−aⁿx−a = n·aⁿ⁻¹

a가 임의였으므로 (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹입니다(n=1인 경우도 이 논증에 그대로 포함되며, 우변이 한 항 x⁰=1뿐인 경우로 (x)′=1을 줍니다).

② n이 음의 정수인 경우 : n=−m(m은 양의 정수)이라 하면 x≠0에서 xⁿ = 1x^m이고, ①에서 (x^m)′=mx^m−1을 이미 얻었으므로 650번(몫의 미분법)을 f(x):=1(652번, f′=0), g(x):=x^m에 적용하면

(xⁿ)′ =  1x^m′ = 0·x^m − 1·mx^m−1(x^m)² = −mx^m−1x^2m = −mx^m−1−2m = −mx^−m−1 = nxⁿ⁻¹

이 성립합니다(마지막 등호는 n=−m 대입, n−1=−m−1). 두 경우를 종합하면 모든 정수 n≠0에 대해 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹입니다(n>0이면 정의역은 모든 실수, n<0이면 x≠0).

대학 n이 정수가 아닌 실수인 경우(예 : n=12, x의 미분)에도 같은 공식 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹이 성립합니다 ― 로그미분법을 이용한 완전한 증명은 이 절 뒤쪽 662번에서 다룹니다(자연로그함수의 도함수가 먼저 필요하기 때문에 순서상 뒤로 미룹니다).

사용 : 642번(미분계수의 정의) · 8.2의 632번(극한의 성질) · 650번(몫의 미분법) · 652번(상수함수의 도함수)

증명 끝

654정리사인함수의 도함수(sin x)′ = cos x

증명법 : 직접증명법(사인의 덧셈정리와 8.2의 635·636번 극한 적용)

임의의 실수 a에서 h≠0인 h에 대해 차분몫을 계산합니다. sin(a+h)의 덧셈정리(4.9의 452번, sin(θ+φ)=sinθcosφ+cosθsinφ)를 적용하면

sin(a+h)−sin ah = (sin a cos h + cos a sin h)−sin ah = sin a·(cos h−1) + cos a·sin hh = sin a·cos h−1h + cos a·sin hh

입니다. h→0일 때, 8.2의 636번⑵에 의해 cos h−1h = −1−cos hh → −0 = 0이고, 635번에 의해 sin hh → 1이므로, 632번(극한의 성질, 곱·합의 극한)에 의해

(sin x)′|_x=a = limh→0 sin(a+h)−sin ah = sin a·0 + cos a·1 = cos a

a가 임의였으므로 (sin x)′ = cos x입니다(모든 실수 x에서).

y=sin x의 그래프와 x=a에서의 접선 ― 가로로 1만큼 갈 때 세로로 cos a만큼 올라가는 기울기(작은 삼각형)가 곧 미분계수

사용 : 642번(미분계수의 정의) · 4.9의 452번(사인의 덧셈정리) · 8.2의 635번(사인의 극한) · 636번(관련 삼각함수 극한의 따름정리) · 632번(극한의 성질)

증명 끝

655정리코사인함수의 도함수(cos x)′ = −sin x

증명법 : 직접증명법(여각공식으로 654번에 연쇄법칙 적용)

여각공식(4.6의 434번, cos(π2−θ)=sinθ)에서 θ:=π2−x로 바꾸면 cos x = sin(π2−x)입니다. g(x):=π2−x라 두면, g는 상수 π2에서 x를 뺀 일차식이므로 652번(상수함수의 도함수, 0)과 653번(x의 도함수, 1)을 648번(선형성, 차)에 적용하면 g′(x) = 0−1 = −1입니다. 654번(사인함수의 도함수)과 651번(연쇄법칙)을 cos x = sin(g(x))에 적용하면

(cos x)′ = (sin(g(x)))′ = cos(g(x))·g′(x) = cos(π2−x)·(−1)

이고, 같은 여각공식(4.6의 434번, cos(π2−θ)=sinθ에서 θ:=x)에 의해 cos(π2−x) = sin x이므로

(cos x)′ = sin x·(−1) = −sin x

가 모든 실수 x에서 성립합니다.

사용 : 4.6의 434번(여각공식) · 652번(상수함수의 도함수) · 653번(거듭제곱함수의 도함수, n=1) · 648번(선형성) · 654번(사인함수의 도함수) · 651번(연쇄법칙)

증명 끝

656정리탄젠트·코탄젠트·시컨트·코시컨트함수의 도함수(tan x)′=sec²x, (cot x)′=−csc²x, (sec x)′=sec x tan x, (csc x)′=−csc x cot x

증명법 : 경우 나누기 + 직접증명법(650번 몫의 미분법을 654·655번에 적용)

네 함수 모두 sin x, cos x의 몫으로 정의되므로(4.2의 410번), 650번(몫의 미분법)과 654·655번(사인·코사인의 도함수), 그리고 425번(피타고라스 항등식, sin²x+cos²x=1)만으로 네 도함수를 모두 얻습니다.

① tan x = sin xcos x :

(tan x)′ = (sin x)′·cos x − sin x·(cos x)′cos²x	650번(몫의 미분법)
= cos x·cos x − sin x·(−sin x)cos²x	654번((sin x)′=cos x) · 655번((cos x)′=−sin x)
= cos²x + sin²xcos²x = 1cos²x = sec²x	4.5의 425번(피타고라스 항등식) · 4.2 f410번(sec의 정의)

② cot x = cos xsin x :

(cot x)′ = (cos x)′·sin x − cos x·(sin x)′sin²x	650번(몫의 미분법)
= −sin x·sin x − cos x·cos xsin²x = −(sin²x + cos²x)sin²x	655번 · 654번 대입
= −1sin²x = −csc²x	425번 · 4.2 f410번(csc의 정의)

③ sec x = 1cos x :

(sec x)′ = 0·cos x − 1·(−sin x)cos²x	650번(몫의 미분법), 분자는 상수 1의 도함수(652번, 0)
= sin xcos²x = 1cos x·sin xcos x = sec x tan x	4.2 f410번(sec, tan의 정의)

④ csc x = 1sin x :

(csc x)′ = 0·sin x − 1·cos xsin²x	650번(몫의 미분법)
= −cos xsin²x = −1sin x·cos xsin x = −csc x cot x	4.2 f410번(csc, cot의 정의)

네 공식 모두 각 함수의 정의역(4.2의 411번, cos x≠0 또는 sin x≠0인 x)에서 성립합니다.

사용 : 650번(몫의 미분법) · 652번(상수함수의 도함수) · 654번 · 655번(사인·코사인의 도함수) · 4.5의 425번(피타고라스 항등식) · 4.2의 410·411번(정의·정의역)

증명 끝

·보조정리치역이 구간인 단조함수의 연속f가 열린구간 I에서 강한 단조이고 f(I)가 구간 ⇒ f는 I에서 연속

증명법 : 직접증명법(ε−δ로 δ를 직접 찾음)

I가 열린구간이고, f가 I에서 증가함수(8.1의 623번)이며, 치역 f(I)가 구간(2.7의 126번, 두 원소 사이의 모든 실수를 포함)이라 합시다. 감소함수이면 −f에 적용합니다. a∈I와 양수 ε를 하나 잡습니다.

I가 열린구간이므로 a₁<a<a₂인 a₁, a₂∈I가 있고, f(a₁)<f(a)<f(a₂)입니다. ε′ := min(ε, f(a)−f(a₁), f(a₂)−f(a))>0으로 두면 f(a)−ε′과 f(a)+ε′은 각각 f(a₁)과 f(a) 사이, f(a)와 f(a₂) 사이(양 끝 포함)에 있으므로, f(I)가 구간이라는 가정에 의해 f(I)에 속합니다. 곧

f(c₁) = f(a)−ε′,   f(c₂) = f(a)+ε′

인 c₁, c₂∈I가 있고, f가 증가함수이므로 c₁<a<c₂입니다 (c₁≥a이면 f(c₁)≥f(a)가 되어 모순, c₂도 같음). δ := min(a−c₁, c₂−a)>0으로 두면, |x−a|<δ인 모든 x에서 c₁<x<c₂이므로

f(a)−ε′ = f(c₁) < f(x) < f(c₂) = f(a)+ε′,   곧 |f(x)−f(a)| < ε′ ≤ ε

입니다. 8.2의 638번(ε−δ 꼴)에 의해 f는 a에서 연속이고, a가 임의였으므로 I에서 연속입니다.

따름 (e^x와 ln x의 연속). e>1이므로(2.5의 116번, 함께 받아들이는 사실 ②) 실수 지수의 약속 ⓒ에 의해 e^x는 ℝ에서 증가함수이고 그 치역은 모든 양수의 집합 (0,∞), 곧 구간입니다. 따라서 e^x는 ℝ에서 연속입니다. 또 ln x(x>0)는 증가함수입니다 ― 0<x₁<x₂인데 ln x₁≥ln x₂라면 ⓒ에 의해 x₁=e^{ln x₁}≥e^{ln x₂}=x₂(104번)가 되어 모순입니다. 그 치역은 ℝ 전체입니다(모든 실수 y에서 ln e^y=y, 104번). 따라서 ln x는 (0,∞)에서 연속입니다.

참고 : 이 보조정리는 실수의 완비성을 따로 쓰지 않습니다 ― «치역이 구간»이라는 가정(e^x의 경우 받아들인 ⓒ의 «모든 양수가 값으로 나온다»)에 이미 들어 있기 때문입니다.

사용 : 8.1의 623번(단조함수) · 2.7의 126번(구간) · 8.2의 638번(연속의 정의) · 2.5의 실수 지수의 약속 ⓒ · 104번 · 116번

증명 끝

·보조정리e의 실수 극한limu→0 (1+u)^1u = e

증명법 : 직접증명법(우극한 → 좌극한, 631번으로 합침)

u>−1, u≠0에서 φ(u) := (1+u)^1u로 둡니다(실수 지수의 약속 ⓐ). 근거는 2.5의 116번의 함께 받아들이는 사실 ① ― k가 실수로 한없이 커질 때 (1+1k)^k→e, 곧(8.2의 637번⑴의 뜻) 양수 ε마다 양수 M이 있어 k>M이면 |(1+1k)^k−e|<ε입니다.

① 우극한. ε>0에 대해 위의 M을 잡고 δ:=1M로 둡니다. 0<u<δ이면 k:=1u>M이고 φ(u)=(1+1k)^k이므로 |φ(u)−e|<ε입니다. 곧 limu→0+ φ(u) = e(630번).

② 좌극한. u=−v(0<v<12)로 두고 w := v1−v라 하면 0<w<2v이고 11−v = 1+w, 1v = 1w+1입니다(직접 계산). 지수법칙(ⓑ)으로

φ(−v) = (1−v)^−1/v = (1+w)^1/v = (1+w)^1/w·(1+w)

입니다. ε>0에 대해 ①의 δ₁(ε에 대한 것)을 잡으면 0<v<min(12, δ₁2)일 때 0<w<δ₁이므로 |(1+w)^1/w−e|<ε, 곧 v→0+일 때 (1+w)^1/w→e입니다. 또 0<w<2v이므로 1+w→1입니다. 632번⑶(곱, 634번 뒤 «한쪽 극한에서도 같은 성질»)에 의해 limv→0+ φ(−v) = e·1 = e, 곧 limu→0− φ(u) = e입니다.

③ 좌극한과 우극한이 모두 e이므로 631번에 의해 limu→0 φ(u) = e입니다.

사용 : 2.5의 116번(함께 받아들이는 사실 ①) · 실수 지수의 약속 ⓐ·ⓑ · 8.2의 630번·631번·632번·637번

증명 끝

657정리자연지수함수의 도함수(e^x)′ = e^x

증명법 : 직접증명법(차분몫을 연속함수로 채워 8.2의 639번⑵에 적용)

핵심 극한 : 먼저 limh→0 e^h−1h = 1임을 보입니다.

① 함수 Φ. u>−1에서

Φ(u) := ln(1+u)u (u≠0),   Φ(0) := 1

로 둡니다. u≠0이면 2.5의 110번(로그의 거듭제곱법칙, 지수 1u)에 의해 Φ(u) = ln[(1+u)^1u]입니다. 이제 ψ(u) := (1+u)^1u(u≠0), ψ(0) := e로 두면 보조정리(e의 실수 극한)에 의해 limu→0 ψ(u) = e = ψ(0)이므로 ψ는 u=0에서 연속이고, ln은 e에서 연속입니다(보조정리(치역이 구간인 단조함수의 연속)의 따름). 8.2의 639번⑵에 의해 ln∘ψ는 u=0에서 연속이고, ln(ψ(0)) = ln e = 1(106번) = Φ(0)이며 u≠0에서 ln(ψ(u)) = Φ(u)이므로, Φ = ln∘ψ는 u=0에서 연속입니다.

② 대입. u(h) := e^h−1로 둡니다. e^x는 연속(보조정리의 따름)이므로 u는 h=0에서 연속이고 u(0)=0입니다. 또 e^x는 증가함수(실수 지수의 약속 ⓒ)이므로 h≠0이면 e^h≠1, 곧 u(h)≠0이고, 로그의 정의(104번)에서 ln(1+u(h)) = h입니다. 따라서 h≠0이면

e^h−1h = u(h)ln(1+u(h)) = 1Φ(u(h))

입니다. 639번⑵에 의해 Φ∘u는 h=0에서 연속이므로 Φ(u(h)) → Φ(0) = 1이고, 632번⑷(몫의 극한)에 의해

limh→0 e^h−1h = 11 = 1

도함수 계산 : 임의의 실수 a에서, 지수법칙 e^a+h=e^a·e^h(실수 지수의 약속 ⓑ)를 이용해 차분몫을 e^a와 위 핵심 극한의 곱으로 분리합니다 :

(e^x)′|_x=a = limh→0 e^a+h−e^ah = limh→0 e^a·e^h−1h = e^a·1 = e^a

(셋째 등호는 8.2의 632번⑵, 상수배의 극한). a가 임의였으므로 (e^x)′=e^x입니다.

y=e^x의 그래프 ― x=1에서의 접선의 기울기가 그 점의 높이 e와 정확히 같음(도함수=자기 자신이라는 성질의 그림)

사용 : 642번(미분계수의 정의) · 보조정리(치역이 구간인 단조함수의 연속) · 보조정리(e의 실수 극한) · 2.5의 실수 지수의 약속 ⓑ·ⓒ · 104번(로그의 정의) · 106번(log_aa=1) · 110번(로그의 거듭제곱법칙) · 8.2의 639번⑵(합성함수의 연속) · 632번(극한의 성질)

증명 끝

658정리지수함수의 도함수(밑 a)(a^x)′ = a^x·ln a (a>0, a≠1)

증명법 : 직접증명법(657번에 651번 연쇄법칙 적용)

로그의 정의(2.5의 104번, e^{ln x}=x, x>0)와 110번(로그의 거듭제곱법칙, ln(xⁿ)=n·ln x를 x=a, n=x에 적용해 ln(a^x)=x·ln a)을 결합하면, a>0인 모든 a에 대해

a^x = e^ln(ax) = e^{x·ln a}

로 다시 쓸 수 있습니다. g(x):=x·ln a라 하면 ln a는 상수이므로 653번((x)′=1)과 648번(선형성, 상수배)에 의해 g′(x)=ln a입니다. 657번(자연지수함수의 도함수)과 651번(연쇄법칙)을 a^x=e^g(x)에 적용하면

(a^x)′ = (e^g(x))′ = e^g(x)·g′(x) = e^{x·ln a}·ln a = a^x·ln a

가 성립합니다(마지막 등호는 위에서 얻은 e^{x·ln a}=a^x를 되돌린 것). a=e인 특수한 경우 ln e=1(106번)이므로 657번으로 정확히 환원됩니다.

사용 : 2.5의 104번(로그의 정의) · 106번 · 110번(로그의 거듭제곱법칙) · 653번 · 648번(선형성) · 657번(자연지수함수의 도함수) · 651번(연쇄법칙)

증명 끝

659정리역함수의 미분법(f⁻¹)′(b) = 1f′(f⁻¹(b)) (f′(f⁻¹(b))≠0)

증명법 : 직접증명법(역함수의 연속성을 먼저 확립한 뒤, 차분몫을 연속함수로 채워 뒤집기)

I가 열린구간이고, f가 I에서 미분가능(642번)하며 강한 단조함수라 합시다 (따라서 8.1의 624번에 의해 일대일함수이고, 627번에 의해 치역 J:=f(I) 위에서 역함수 f⁻¹:J→I가 존재). a∈I, b:=f(a)라 하고 f′(a)≠0이라 가정합니다. 일반성을 잃지 않고 f가 증가함수인 경우로 씁니다(감소함수이면 부등식 방향만 바뀝니다).

① J는 구간이고 b는 그 안쪽 점. f는 I에서 미분가능하므로 646번에 의해 I에서 연속입니다. y₁<k<y₂이고 y₁=f(x₁), y₂=f(x₂)(x₁, x₂∈I)이면 f가 증가함수이므로 x₁<x₂이고, [x₁,x₂]⊆I에서 f가 연속이므로 8.2의 640번(사잇값의 정리, 받아들이는 사실)에 의해 f(c)=k인 c가 있습니다. 곧 J는 구간입니다. 또 a₁<a<a₂인 a₁, a₂∈I를 잡으면 f(a₁)<b<f(a₂)이고 [f(a₁), f(a₂)]⊆J이므로, b를 포함하는 열린구간 (f(a₁), f(a₂))에서 f⁻¹가 정의됩니다 (그래서 642번의 (f⁻¹)′(b)를 말할 수 있습니다).

② f⁻¹는 b에서 연속. f⁻¹는 증가함수입니다 ― y₁<y₂(J)인데 f⁻¹(y₁)≥f⁻¹(y₂)라면 f를 적용해 y₁≥y₂가 되어 모순입니다. 열린구간 J′:=(f(a₁), f(a₂)) 위에서 f⁻¹의 치역은 열린구간 (a₁, a₂)이므로, 보조정리(치역이 구간인 단조함수의 연속)에 의해 f⁻¹는 J′에서, 특히 b에서 연속입니다.

③ 차분몫을 연속함수로 채우기. I 위의 함수 Q를

Q(x) := f(x)−f(a)x−a (x≠a),   Q(a) := f′(a)

로 두면, 642번이 곧 limx→a Q(x) = f′(a) = Q(a)이므로 Q는 a에서 연속입니다(638번). f⁻¹는 b에서 연속이고 f⁻¹(b)=a이므로, 8.2의 639번⑵에 의해 Q∘f⁻¹는 b에서 연속, 곧 limy→b Q(f⁻¹(y)) = Q(a) = f′(a)≠0입니다.

④ 뒤집기. y∈J′, y≠b이면 x:=f⁻¹(y)≠a(일대일)이고 f(x)=y이므로

f⁻¹(y)−f⁻¹(b)y−b = x−af(x)−f(a) = 1Q(f⁻¹(y))

입니다. 632번⑷(몫의 극한)에 의해

(f⁻¹)′(b) = limy→b f⁻¹(y)−f⁻¹(b)y−b = 1f′(a) = 1f′(f⁻¹(b))

가 성립합니다(마지막 등호는 a=f⁻¹(b)를 되돌린 것).

사용 : 8.1의 624번(단조함수는 일대일) · 627번(역함수의 정의) · 642번(미분계수의 정의) · 646번(미분가능 ⇒ 연속) · 8.2의 640번(사잇값의 정리, 받아들이는 사실) · 보조정리(치역이 구간인 단조함수의 연속) · 8.2의 638번·639번⑵(연속, 합성함수의 연속) · 632번(몫의 극한)

증명 끝

660정리자연로그함수의 도함수(ln x)′ = 1x (x>0)

증명법 : 직접증명법(659번을 f(t)=e^t의 역함수에 적용)

f(t):=e^t라 하면 f′(t)=e^t(657번)이고 e^t>0이 항상 성립하므로 f′(t)≠0입니다. f는 열린구간 ℝ에서 미분가능하고 증가함수(실수 지수의 약속 ⓒ)이므로 659번의 가정을 만족합니다. 104번에 의해 모든 실수 t에서 ln e^t=t이고 모든 x>0에서 e^{ln x}=x이므로, 8.1의 627번에 의해 ln(116번의 표기 log_ex=ln x)은 정확히 f의 역함수 f⁻¹=ln입니다. x>0을 하나 고정하고 b:=x, a:=f⁻¹(b)=ln x라 하면 f(a)=e^{ln x}=x=b(104번)이므로, 659번(역함수의 미분법)에 의해

(ln x)′ = (f⁻¹)′(x) = 1f′(f⁻¹(x)) = 1f′(ln x) = 1e^{ln x} = 1x

가 성립합니다(마지막 등호는 다시 104번, e^{ln x}=x). x>0이 임의였으므로 (ln x)′=1x가 모든 양수 x에서 성립합니다.

사용 : 2.5의 104번(로그의 정의, e^{ln x}=x) · 116번(자연로그 표기) · 8.1의 627번(역함수) · 실수 지수의 약속 ⓒ · 657번(자연지수함수의 도함수) · 659번(역함수의 미분법)

증명 끝

661정리로그함수의 도함수(밑 a)(log_ax)′ = 1x·ln a (a>0, a≠1, x>0)

증명법 : 직접증명법(밑의 변환공식으로 660번에 환원)

밑의 변환공식(2.5의 112번, c=e로 두면 log_ax = ln xln a)에 의해 log_ax는 상수 1ln a와 ln x의 곱입니다. 660번(자연로그함수의 도함수)과 648번(선형성, 상수배의 미분)에 의해

(log_ax)′ =  1ln a·ln x ′ = 1ln a·(ln x)′ = 1ln a·1x = 1x·ln a

가 x>0에서 성립합니다. a=e인 경우 ln e=1(106번)이므로 660번과 정확히 일치합니다.

사용 : 2.5의 106번 · 112번(밑의 변환공식) · 8.3의 648번(선형성) · 660번(자연로그함수의 도함수)

증명 끝

662정리일반 실수 거듭제곱함수의 도함수(로그미분법)(x^r)′ = rx^r−1 (r∈R, x>0)

증명법 : 직접증명법(로그미분법 ― 657·660·651번을 결합)

x>0에서 로그의 거듭제곱법칙(2.5의 110번, ln(x^r)=r·ln x, r은 실수)과 로그의 정의(104번, e^{ln x}=x)를 결합하면

x^r = e^ln(xr) = e^{r·ln x}

로 다시 쓸 수 있습니다(653번에서 정수 지수에 한해 직접 증명했던 것을 이제 실수 지수 전체로 확장하는 핵심 관찰입니다). g(x):=r·ln x라 하면 r은 상수이므로 660번((ln x)′=1x)과 648번(선형성, 상수배)에 의해 g′(x)=r·1x = rx입니다. 657번(자연지수함수의 도함수)과 651번(연쇄법칙)을 x^r=e^g(x)에 적용하면

(x^r)′ = (e^g(x))′ = e^g(x)·g′(x) = e^{r·ln x}·rx = x^r·rx = rx^r−1

가 x>0에서 성립합니다(마지막 등호는 x^r·x⁻¹=x^r−1, 지수법칙). r이 정수인 경우 653번과 일치하는 결과이며, 이제 r이 임의의 실수(예 : r=12, x=x¹²의 도함수 12x⁻¹²=12x)까지 같은 공식이 성립함을 보였습니다.

사용 : 2.5의 104번(로그의 정의) · 110번(로그의 거듭제곱법칙, 실수 지수) · 653번(정수 지수의 경우) · 8.3의 648번(선형성) · 657번(자연지수함수의 도함수) · 660번(자연로그함수의 도함수) · 651번(연쇄법칙)

증명 끝