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8.4   수능 핵심

도함수 공식표

Table of Derivatives

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 8.3에서 확립한 미분계수의 정의(642번)와 대수적 성질 ― 선형성(648번)·곱의 미분법(649번)·몫의 미분법(650번)·연쇄법칙(651번) ― 을 이용해, 실제 계산에 쓰이는 구체적인 함수들의 도함수를 하나씩 유도합니다. 상수함수·거듭제곱함수(652–653번)에서 시작해 삼각함수(654–656번), 자연지수함수와 일반 지수함수(657–658번)를 거친 뒤, 역함수의 미분법(659번)이라는 새 도구로 로그함수(660–661번)의 도함수를 얻고, 마지막으로 이 도구를 다시 지수함수와 결합하는 로그미분법으로 실수 지수 전체의 거듭제곱함수(662번)로 결과를 확장합니다.

652정리상수함수의 도함수(c)′ = 0

증명법 : 직접증명법(642번의 정의 직접 적용)

f(x) := c(상수)라 합시다. 임의의 실수 a에서, x≠a인 모든 x에 대해 차분몫은

f(x)−f(a)x−a = c−cx−a = 0x−a = 0

으로 x에 관계없이 항등적으로 0입니다. 상수함수(값이 0)의 극한은 그 상수이므로(8.2의 629번), x→a에서 이 극한도 0입니다. 642번(미분계수의 정의)에 의해

f′(a) = limx→a 0 = 0

이고, a가 임의였으므로 정의역 전체에서 (c)′ = 0입니다.

사용 : 642번(미분계수의 정의) · 8.2의 629번(극한의 정의)

증명 끝

653정리거듭제곱함수의 도함수(정수 지수)(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ (n∈Z, n≠0)

증명법 : 경우 나누기 + 직접증명법

① n이 양의 정수인 경우 : 먼저 다음 인수분해 항등식을 확인합니다. 임의의 실수 x, a와 자연수 n에 대해

xⁿ−aⁿ = (x−a)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²a + xⁿ⁻³a² + … + xaⁿ⁻² + aⁿ⁻¹)

가 성립합니다. 우변을 전개하면, x를 괄호 안 n개의 항에 각각 곱한 것에서 −a를 곱한 것을 뺀 형태이므로

(xⁿ + xⁿ⁻¹a + … + xaⁿ⁻¹) − (xⁿ⁻¹a + xⁿ⁻²a² + … + aⁿ)

이 되고, 두 괄호를 나란히 놓고 보면 앞 괄호의 둘째 항부터 끝에서 둘째 항까지(xⁿ⁻¹a, xⁿ⁻²a², …, xaⁿ⁻¹)와 뒤 괄호의 첫째 항부터 끝에서 둘째 항까지가 정확히 같은 n−1개의 항이라 모두 상쇄되고(텔레스코핑), 앞 괄호의 첫 항 xⁿ과 뒤 괄호의 마지막 항 −aⁿ만 남아 xⁿ−aⁿ이 됩니다 ― 항등식이 확인됩니다. 이제 x≠a인 x에 대해 양변을 (x−a)로 나누면

xⁿ−aⁿx−a = xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²a + … + xaⁿ⁻² + aⁿ⁻¹

이고, 우변은 n개의 항으로 된 다항식이므로 x→a일 때(8.2의 632번, 다항식의 극한은 대입) 각 항 x^n−1−ka^k → aⁿ⁻¹로 수렴하고(k=0,…,n−1), n개 항의 합의 극한은 극한의 합이므로

(xⁿ)′|_x=a = limx→a xⁿ−aⁿx−a = n·aⁿ⁻¹

a가 임의였으므로 (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹입니다(n=1인 경우도 이 논증에 그대로 포함되며, 우변이 한 항 x⁰=1뿐인 경우로 (x)′=1을 줍니다).

② n이 음의 정수인 경우 : n=−m(m은 양의 정수)이라 하면 x≠0에서 xⁿ = 1x^m이고, ①에서 (x^m)′=mx^m−1을 이미 얻었으므로 650번(몫의 미분법)을 f(x):=1(652번, f′=0), g(x):=x^m에 적용하면

(xⁿ)′ =  1x^m′ = 0·x^m − 1·mx^m−1(x^m)² = −mx^m−1x^2m = −mx^m−1−2m = −mx^−m−1 = nxⁿ⁻¹

이 성립합니다(마지막 등호는 n=−m 대입, n−1=−m−1). 두 경우를 종합하면 모든 정수 n≠0에 대해 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹입니다(n>0이면 정의역은 모든 실수, n<0이면 x≠0).

대학 n이 정수가 아닌 실수인 경우(예 : n=12, √x의 미분)에도 같은 공식 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹이 성립합니다 ― 로그미분법을 이용한 완전한 증명은 이 절 뒤쪽 662번에서 다룹니다(자연로그함수의 도함수가 먼저 필요하기 때문에 순서상 뒤로 미룹니다).

사용 : 642번(미분계수의 정의) · 8.2의 632번(극한의 성질) · 650번(몫의 미분법) · 652번(상수함수의 도함수)

증명 끝

654정리사인함수의 도함수(sin x)′ = cos x

증명법 : 직접증명법(사인의 덧셈정리와 8.2의 635·636번 극한 적용)

임의의 실수 a에서 h≠0인 h에 대해 차분몫을 계산합니다. sin(a+h)의 덧셈정리(4.9의 452번, sin(θ+φ)=sinθcosφ+cosθsinφ)를 적용하면

sin(a+h)−sin ah = (sin a cos h + cos a sin h)−sin ah = sin a·(cos h−1) + cos a·sin hh = sin a·cos h−1h + cos a·sin hh

입니다. h→0일 때, 8.2의 636번⑵에 의해 cos h−1h = −1−cos hh → −0 = 0이고, 635번에 의해 sin hh → 1이므로, 632번(극한의 성질, 곱·합의 극한)에 의해

(sin x)′|_x=a = limh→0 sin(a+h)−sin ah = sin a·0 + cos a·1 = cos a

a가 임의였으므로 (sin x)′ = cos x입니다(모든 실수 x에서).

y=sin x의 그래프와 x=a에서의 접선 ― 가로로 1만큼 갈 때 세로로 cos a만큼 올라가는 기울기(작은 삼각형)가 곧 미분계수

사용 : 642번(미분계수의 정의) · 4.9의 452번(사인의 덧셈정리) · 8.2의 635번(사인의 극한) · 636번(관련 삼각함수 극한의 따름정리) · 632번(극한의 성질)

증명 끝

655정리코사인함수의 도함수(cos x)′ = −sin x

증명법 : 직접증명법(여각공식으로 654번에 연쇄법칙 적용)

여각공식(4.6의 434번, cos(π2−θ)=sinθ)에서 θ:=π2−x로 바꾸면 cos x = sin(π2−x)입니다. g(x):=π2−x라 두면, g는 상수 π2에서 x를 뺀 일차식이므로 652번(상수함수의 도함수, 0)과 653번(x의 도함수, 1)을 648번(선형성, 차)에 적용하면 g′(x) = 0−1 = −1입니다. 654번(사인함수의 도함수)과 651번(연쇄법칙)을 cos x = sin(g(x))에 적용하면

(cos x)′ = (sin(g(x)))′ = cos(g(x))·g′(x) = cos(π2−x)·(−1)

이고, 여각공식의 나머지 절반(4.6의 434번, cos(π2−θ)=sinθ에서 θ:=x)에 의해 cos(π2−x) = sin x이므로

(cos x)′ = sin x·(−1) = −sin x

가 모든 실수 x에서 성립합니다.

사용 : 4.6의 434번(여각공식) · 652번(상수함수의 도함수) · 653번(거듭제곱함수의 도함수, n=1) · 648번(선형성) · 654번(사인함수의 도함수) · 651번(연쇄법칙)

증명 끝

656정리탄젠트·코탄젠트·시컨트·코시컨트함수의 도함수(tan x)′=sec²x, (cot x)′=−csc²x, (sec x)′=sec x tan x, (csc x)′=−csc x cot x

증명법 : 경우 나누기 + 직접증명법(650번 몫의 미분법을 654·655번에 적용)

네 함수 모두 sin x, cos x의 몫으로 정의되므로(4.2의 410번), 650번(몫의 미분법)과 654·655번(사인·코사인의 도함수), 그리고 425번(피타고라스 항등식, sin²x+cos²x=1)만으로 네 도함수를 모두 얻습니다.

① tan x = sin xcos x :

(tan x)′ = (sin x)′·cos x − sin x·(cos x)′cos²x	650번(몫의 미분법)
= cos x·cos x − sin x·(−sin x)cos²x	654번((sin x)′=cos x) · 655번((cos x)′=−sin x)
= cos²x + sin²xcos²x = 1cos²x = sec²x	4.5의 425번(피타고라스 항등식) · 4.2 f410번(sec의 정의)

② cot x = cos xsin x :

(cot x)′ = (cos x)′·sin x − cos x·(sin x)′sin²x	650번(몫의 미분법)
= −sin x·sin x − cos x·cos xsin²x = −(sin²x + cos²x)sin²x	655번 · 654번 대입
= −1sin²x = −csc²x	425번 · 4.2 f410번(csc의 정의)

③ sec x = 1cos x :

(sec x)′ = 0·cos x − 1·(−sin x)cos²x	650번(몫의 미분법), 분자는 상수 1의 도함수(652번, 0)
= sin xcos²x = 1cos x·sin xcos x = sec x tan x	4.2 f410번(sec, tan의 정의)

④ csc x = 1sin x :

(csc x)′ = 0·sin x − 1·cos xsin²x	650번(몫의 미분법)
= −cos xsin²x = −1sin x·cos xsin x = −csc x cot x	4.2 f410번(csc, cot의 정의)

네 공식 모두 각 함수의 정의역(4.2의 411번, cos x≠0 또는 sin x≠0인 x)에서 성립합니다.

사용 : 650번(몫의 미분법) · 652번(상수함수의 도함수) · 654번 · 655번(사인·코사인의 도함수) · 4.5의 425번(피타고라스 항등식) · 4.2의 410·411번(정의·정의역)

증명 끝

657정리자연지수함수의 도함수(e^x)′ = e^x

증명법 : 직접증명법(자연상수 e의 정의를 치환으로 재구성)

핵심 극한 : 먼저 limh→0 e^h−1h = 1임을 보입니다. u := e^h−1로 치환합시다. e^x은 실수 전체에서 증가함수이므로(아래 univ-note) h≠0이면 e^h≠e⁰=1, 즉 u≠0이고, h→0에 따라 e^h→e⁰=1(연속성, 아래 univ-note)이므로 u→0입니다. 로그의 정의(2.5의 104번, y=log_ax ⇔ x=a^y를 a=e에 적용)에 의해 e^h=1+u ⇔ h=ln(1+u)이므로

e^h−1h = uln(1+u) = 1 ln(1+u)u  = 1ln[(1+u)^1u]

입니다(마지막 등호는 110번, ln(xⁿ)=n·ln x를 n=1u에 적용해 거꾸로 묶은 것). u→0일 때 (1+u)^1u → e입니다 ― 이는 116번(자연상수 e의 정의, k→∞인 자연수열 극한)을 연속적인 실수 매개변수로 확장한 형태이며, 아래 univ-note에서 설명합니다. ln이 연속함수라는 사실(아래 univ-note)에 의해 ln[(1+u)^1u] → ln e = 1(2.5의 106번, log_aa=1)이므로

limh→0 e^h−1h = 11 = 1

도함수 계산 : 임의의 실수 a에서, 지수법칙 e^a+h=e^a·e^h를 이용해 차분몫을 e^a와 위 핵심 극한의 곱으로 분리합니다 :

(e^x)′|_x=a = limh→0 e^a+h−e^ah = limh→0 e^a·e^h−1h = e^a·limh→0 e^h−1h = e^a·1 = e^a

(둘째 등호는 8.2의 632번, 상수배의 극한). a가 임의였으므로 (e^x)′=e^x입니다 ― e^x는 도함수가 자기 자신인 유일한(초깃값 e⁰=1인) 함수입니다.

y=e^x의 그래프 ― x=1에서의 접선의 기울기가 그 점의 높이 e와 정확히 같음(도함수=자기 자신이라는 성질의 그림)

대학 이 증명은 두 가지 사실을 자연스러운 것으로 받아들입니다 ― (1) 116번의 자연수열 극한 e=limk→∞(1+1k)^k이 연속인 실수 매개변수 극한 (1+u)^1u→e (u→0)로 그대로 확장된다는 것 ― 정수 k와 실수 1u 사이를 바닥함수로 사잇값을 눌러 잡는 조임 논증(대학 해석학)이 필요합니다. (2) e^x이 실수 전체에서 연속이고 증가함수이며, ln x 역시 연속이라는 것 ― 지수·로그함수를 유리수 지수에서 무리수 지수까지 연속적으로 확장하는 구성 자체가 실수의 완비성(대학 해석학)에 근거합니다. 두 사실 모두 2.5·2.7에서 이미 배경으로 받아들이고 있는 지수·로그함수의 매끄러운 그래프라는 성질의 연장선이며, 수능 준비생은 결론 (e^x)′=e^x만 알면 충분합니다.

사용 : 642번(미분계수의 정의) · 2.5의 104번(로그의 정의) · 106번(log_aa=1) · 110번(로그의 거듭제곱법칙) · 116번(자연상수 e의 정의) · 8.2의 632번(극한의 성질)

증명 끝

658정리지수함수의 도함수(밑 a)(a^x)′ = a^x·ln a (a>0, a≠1)

증명법 : 직접증명법(657번에 651번 연쇄법칙 적용)

로그의 정의(2.5의 104번, e^{ln x}=x, x>0)와 110번(로그의 거듭제곱법칙, ln(xⁿ)=n·ln x를 x=a, n=x에 적용해 ln(a^x)=x·ln a)을 결합하면, a>0인 모든 a에 대해

a^x = e^ln(ax) = e^{x·ln a}

로 다시 쓸 수 있습니다. g(x):=x·ln a라 하면 ln a는 상수이므로 653번((x)′=1)과 648번(선형성, 상수배)에 의해 g′(x)=ln a입니다. 657번(자연지수함수의 도함수)과 651번(연쇄법칙)을 a^x=e^g(x)에 적용하면

(a^x)′ = (e^g(x))′ = e^g(x)·g′(x) = e^{x·ln a}·ln a = a^x·ln a

가 성립합니다(마지막 등호는 위에서 얻은 e^{x·ln a}=a^x를 되돌린 것). a=e인 특수한 경우 ln e=1(106번)이므로 657번으로 정확히 환원됩니다.

사용 : 2.5의 104번(로그의 정의) · 106번 · 110번(로그의 거듭제곱법칙) · 653번 · 648번(선형성) · 657번(자연지수함수의 도함수) · 651번(연쇄법칙)

증명 끝

659정리역함수의 미분법(f⁻¹)′(b) = 1f′(f⁻¹(b)) (f′(f⁻¹(b))≠0)

증명법 : 직접증명법(역함수의 연속성을 먼저 확립한 뒤 차분몫을 뒤집기)

f가 구간 I에서 미분가능하고 강한 단조함수(따라서 8.1의 624번에 의해 일대일함수이고, 627·628번에 의해 역함수 f⁻¹이 존재)라 합시다. a∈I, b:=f(a)라 하고 f′(a)≠0이라 가정합니다. 논의의 일반성을 잃지 않고 f가 증가함수인 경우로 씁니다(감소함수인 경우도 부등식 방향만 바뀔 뿐 논증은 같습니다).

① f⁻¹이 b에서 연속임을 먼저 보입니다 : 임의의 ε>0에 대해, ε을 [a−ε,a+ε]⊆I가 되도록 충분히 작게 잡을 수 있습니다. f가 증가함수이므로 f(a−ε)<b<f(a+ε)이고, δ:=min{f(a+ε)−b, b−f(a−ε)}>0이라 둡시다. |y−b|<δ인 임의의 y에 대해 f(a−ε)<y<f(a+ε)이고, f⁻¹도 증가함수이므로(4.17의 796번 — 628번은 역함수의 항등식·그래프 대칭만 다룰 뿐 단조성 보존은 다루지 않으므로, 이 사실은 796번에서 정정 인용합니다) 양변에 f⁻¹을 적용하면 a−ε<f⁻¹(y)<a+ε, 즉 |f⁻¹(y)−a|<ε입니다. ε이 임의였으므로 f⁻¹은 b에서 연속입니다 : y→b일 때 f⁻¹(y)→f⁻¹(b)=a.

② 차분몫의 극한 : y≠b인 y에 대해 x:=f⁻¹(y)라 두면, f가 일대일이므로 x≠a이고 f(x)=y입니다. 따라서

f⁻¹(y)−f⁻¹(b)y−b = x−af(x)−f(a) = 1 f(x)−f(a)x−a 

입니다. y→b이면 ①에 의해 x=f⁻¹(y)→a이고(x≠a), 642번(미분계수의 정의)에 의해 f(x)−f(a)x−a → f′(a)(≠0, 가정)이므로, 632번(몫의 극한)에 의해

(f⁻¹)′(b) = limy→b f⁻¹(y)−f⁻¹(b)y−b = 1f′(a) = 1f′(f⁻¹(b))

가 성립합니다(마지막 등호는 a=f⁻¹(b)를 되돌린 것).

사용 : 8.1의 624번(단조함수는 일대일) · 627번(역함수의 정의) · 628번(역함수의 기본 성질—항등식·그래프 대칭) · 4.17의 796번(역함수의 단조성 보존) · 642번(미분계수의 정의) · 8.2의 632번(몫의 극한)

증명 끝

660정리자연로그함수의 도함수(ln x)′ = 1x (x>0)

증명법 : 직접증명법(659번을 f(t)=e^t의 역함수에 적용)

f(t):=e^t라 하면 f′(t)=e^t(657번)이고 e^t>0이 항상 성립하므로 f′(t)≠0입니다. 116번(log_ex=ln x)에 의해 ln은 정확히 f의 역함수 f⁻¹=ln입니다. x>0을 하나 고정하고 b:=x, a:=f⁻¹(b)=ln x라 하면 f(a)=e^{ln x}=x=b(104번)이므로, 659번(역함수의 미분법)에 의해

(ln x)′ = (f⁻¹)′(x) = 1f′(f⁻¹(x)) = 1f′(ln x) = 1e^{ln x} = 1x

가 성립합니다(마지막 등호는 다시 104번, e^{ln x}=x). x>0이 임의였으므로 (ln x)′=1x가 모든 양수 x에서 성립합니다.

사용 : 2.5의 104번(로그의 정의, e^{ln x}=x) · 116번(자연로그 표기) · 657번(자연지수함수의 도함수) · 659번(역함수의 미분법)

증명 끝

661정리로그함수의 도함수(밑 a)(log_ax)′ = 1x·ln a (a>0, a≠1, x>0)

증명법 : 직접증명법(밑의 변환공식으로 660번에 환원)

밑의 변환공식(2.5의 112번, c=e로 두면 log_ax = ln xln a)에 의해 log_ax는 상수 1ln a와 ln x의 곱입니다. 660번(자연로그함수의 도함수)과 648번(선형성, 상수배의 미분)에 의해

(log_ax)′ =  1ln a·ln x ′ = 1ln a·(ln x)′ = 1ln a·1x = 1x·ln a

가 x>0에서 성립합니다. a=e인 경우 ln e=1(106번)이므로 660번과 정확히 일치합니다.

사용 : 2.5의 106번 · 112번(밑의 변환공식) · 8.3의 648번(선형성) · 660번(자연로그함수의 도함수)

증명 끝

662정리일반 실수 거듭제곱함수의 도함수(로그미분법)(x^r)′ = rx^r−1 (r∈R, x>0)

증명법 : 직접증명법(로그미분법 ― 657·660·651번을 결합)

x>0에서 로그의 거듭제곱법칙(2.5의 110번, ln(x^r)=r·ln x, r은 실수)과 로그의 정의(104번, e^{ln x}=x)를 결합하면

x^r = e^ln(xr) = e^{r·ln x}

로 다시 쓸 수 있습니다(653번에서 정수 지수에 한해 직접 증명했던 것을 이제 실수 지수 전체로 확장하는 핵심 관찰입니다). g(x):=r·ln x라 하면 r은 상수이므로 660번((ln x)′=1x)과 648번(선형성, 상수배)에 의해 g′(x)=r·1x = rx입니다. 657번(자연지수함수의 도함수)과 651번(연쇄법칙)을 x^r=e^g(x)에 적용하면

(x^r)′ = (e^g(x))′ = e^g(x)·g′(x) = e^{r·ln x}·rx = x^r·rx = rx^r−1

가 x>0에서 성립합니다(마지막 등호는 x^r·x⁻¹=x^r−1, 지수법칙). r이 정수인 경우 653번과 일치하는 결과이며, 이제 r이 임의의 실수(예 : r=12, √x=x¹²의 도함수 12x⁻¹²=12√x)까지 같은 공식이 성립함을 보였습니다.

사용 : 2.5의 104번(로그의 정의) · 110번(로그의 거듭제곱법칙, 실수 지수) · 653번(정수 지수의 경우) · 8.3의 648번(선형성) · 657번(자연지수함수의 도함수) · 660번(자연로그함수의 도함수) · 651번(연쇄법칙)

증명 끝