9.3 심화·배경
무리함수의 적분
Integrals of Irrational Functions
정의 · 공식과 증명
이 절은 먼저 706번에서 근호로 정의된 함수 g(x)의 도함수를 구하는 공통 도구를 확립합니다―이 도구 하나로 일차식의 제곱근이 포함된 함수(707–709번)의 부정적분을 얻고, 이어서 x²±a² 꼴이 제곱근 안에 있는 경우(710·711번)를 로그로, a²−x² 꼴(712번)을 아크사인으로 처리하는 표준형을 세웁니다. 712번은 9.2의 705번(아크탄젠트)과 같은 이유―아크사인의 도함수 증명 자체는 8장(역함수의 미분법, 8.4 f659번)의 몫이라는 점―으로 그 도함수 결론만 인용하는 대학 배지로 처리합니다. 일반적인 이차식 px²+qx+r이 제곱근 안에 있는 경우는 완전제곱으로 710·711·712번 중 하나로 환원되므로 각 항목의 끝에서 간단히 언급하고, x와 (ax+b) 등이 뒤섞인 유리식의 적분에 필요한 치환 기법은 이 절의 범위를 넘어서므로 다루지 않습니다 (1300 Math Formulas의 9.3 절 범위와 일치).
706정리근호함수의 도함수(g(x))′ = g′(x)2g(x) (g(x)>0에서 g가 미분가능)
증명법 : 직접증명법(662번 실수 지수 거듭제곱의 도함수 + 651번 연쇄법칙)
g(x)>0인 열린구간에서 g가 미분가능하다고 합시다.
① 바깥 함수 y의 도함수. y>0이면 y=y12(1권 2.4의 98번)이므로 8.4의 662번(r=12, y>0)에 의해
(y)′ = 12y−12 = 12y (y>0)
입니다(y−12=y−1=1y, 1권 2.4의 97번·92번).
② 연쇄법칙. 그 구간의 각 x에서 g는 x에서 미분가능하고, g(x)>0이라 y는 y=g(x)에서 미분가능하므로 8.3의 651번(연쇄법칙)에 의해
(g(x))′ = 12g(x)·g′(x) = g′(x)2g(x)
가 성립합니다. (검산 : g(x)=x이면 (x)′=12x ― 8.7 686번에서 쓴 제곱근함수의 도함수와 같습니다.) 이 정리는 707–712번 전체에서 g(x)에 구체적인 다항식을 대입해 반복적으로 사용할 공통 도구입니다.
사용 : 8.4의 662번(실수 지수 거듭제곱함수의 도함수) · 8.3의 651번(연쇄법칙) · 2.4의 92번·97번·98번
증명 끝
707정리일차식의 제곱근의 부정적분∫ax+bdx = 23a(ax+b)ax+b + C (a≠0, ax+b>0)
증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)
F(x):=23a(ax+b)ax+b라 둡시다. g(x):=ax+b라 하면 9.2의 699번의 증명에서 확인한 대로 g′(x)=a이고, 706번에 의해 (ax+b)′ = a2ax+b입니다. F를 (ax+b)와 ax+b의 곱으로 보고 8.3 f649(곱의 미분법)를 적용하면
F′(x) = 23a·[a·ax+b + (ax+b)·a2ax+b]
이고, 공통인수 a를 앞으로 빼내 정리하면
F′(x) = 2a3a[ax+b + ax+b2ax+b] = 23·2(ax+b) + (ax+b)2ax+b
인데(마지막 등호는 ax+b를 2(ax+b)2ax+b로 통분한 것), 분자 2(ax+b)+(ax+b)=3(ax+b)이므로
F′(x) = 23·3(ax+b)2ax+b = ax+bax+b = ax+b
가 ax+b>0인 모든 x에서 성립합니다(마지막 등호는 u/u = u (u>0)를 u=ax+b에 적용한 것). 692번의 미분 검산법에 의해 ∫ax+bdx = F(x)+C입니다. (검산 : a=1, b=0을 대입하면 ∫xdx = 23xx로, 9.1의 694번(r=12인 경우와 같은 값)과 일치합니다.)
사용 : 692번(미분 검산법) · 9.2의 699번((ax+b)′=a) · 706번 · 8.3의 649번
증명 끝
708정리일차식의 제곱근을 분모로 갖는 부정적분∫1ax+bdx = 2aax+b + C (a≠0, ax+b>0)
709정리x를 분자로, 일차식의 제곱근을 분모로 갖는 부정적분∫xax+bdx = 23a²(ax−2b)ax+b + C (a≠0, ax+b>0)
증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)
F(x):=23a²(ax−2b)ax+b라 둡시다. g(x):=ax+b라 하면 g′(x)=a이므로, 706번에 의해 (ax+b)′ = a2ax+b입니다. F를 (ax−2b)와 ax+b의 곱으로 보고 8.3 f649(곱의 미분법)를 적용하면
F′(x) = 23a²·[a·ax+b + (ax−2b)·a2ax+b]
이고, 공통인수 a를 앞으로 빼내면(a²와 약분되어 3a만 남습니다)
F′(x) = 23a[ax+b + ax−2b2ax+b] = 23a·2(ax+b) + (ax−2b)2ax+b
인데, 분자를 전개·정리하면 2(ax+b)+(ax−2b) = 2ax+2b+ax−2b = 3ax이므로
F′(x) = 23a·3ax2ax+b = axaax+b = xax+b
가 ax+b>0인 모든 x에서 성립합니다. 692번의 미분 검산법에 의해 ∫xax+bdx = F(x)+C입니다.
예시. a=2, b=1인 경우 : ∫x2x+1dx = 23·4(2x−2)2x+1+C = 13(x−1)2x+1+C입니다.
사용 : 692번(미분 검산법) · 9.2의 699번 · 706번 · 8.3의 649번
증명 끝
710정리x²+a²의 제곱근을 분모로 갖는 부정적분(로그형)∫1x²+a²dx = ln(x+x²+a²) + C (a>0)
증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)
a>0이라 하고 F(x):=ln(x+x²+a²)라 둡시다. x²+a²>0(a≠0)이므로 706번을 g(x):=x²+a²(g′(x)=2x)에 적용하면
(x²+a²)′ = 2x2x²+a² = xx²+a²
를 얻습니다. 한편 x+x²+a² > x+x² ≥ x+(−x) = 0이므로(제곱근은 항상 0 이상, 등호는 x²=x²+a²가 되어 a=0일 때만인데 a>0으로 배제) x+x²+a²>0이 모든 실수 x에서 성립합니다. 따라서 8.4의 660번(ln의 도함수)과 8.3의 651번 (연쇄법칙)에 의해
F′(x) = 1 + xx²+a²x+x²+a² = x²+a² + xx²+a² · 1x+x²+a²
이고, 분자의 x²+a²+x가 분모의 인수 x+x²+a²와 정확히 같으므로 약분되어
F′(x) = 1x²+a²
가 모든 실수 x에서 성립합니다. 692번의 미분 검산법에 의해 ∫1x²+a²dx = F(x)+C입니다.
예시. a=2인 경우 : ∫1x²+4dx = ln(x+x²+4)+C입니다.
완전제곱을 통한 일반화. 판별식(2.6 f121) D=p²−4q<0인 이차식 x²+px+q에 대해, 705번과 같은 방식으로 완전제곱을 만들면 x²+px+q = (x+p2)² + (q−p²4)이고, D<0 ⇔ q−p²4>0이므로 a:=q−p²4>0로 두면 u:=x+p2에 대해 위 결과를 그대로 적용해 ∫1x²+px+qdx = ln(x+p2+x²+px+q)+C를 얻습니다(u′=1이므로 연쇄법칙에서 추가 인수가 붙지 않습니다).
사용 : 692번(미분 검산법) · 706번 · 8.3의 651번 · 8.4의 660번 · 2.6의 120번 · 121번
증명 끝
711정리x²−a²의 제곱근을 분모로 갖는 부정적분(로그형)∫1x²−a²dx = ln|x+x²−a²| + C (|x|>a>0)
증명법 : 경우 나누기 + 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)
a>0, |x|>a라 합시다. 이때 x²−a²>0이므로 706번을 g(x):=x²−a² (g′(x)=2x)에 적용하면, |x|>a인 모든 x에서
(x²−a²)′ = 2x2x²−a² = xx²−a²
를 얻습니다. 절댓값 안의 부호는 x>a인 경우와 x<−a인 경우로 나뉩니다.
① x>a인 경우. 0<x²−a²<x²=x(x>0이므로)이므로 x+x²−a²>x>a>0, 곧 x+x²−a²>0입니다. 따라서 |x+x²−a²|=x+x²−a²이고 F(x):=ln(x+x²−a²)라 두면, 710번의 증명과 완전히 같은 방식으로 (분자 x²−a²+x가 분모 x+x²−a²와 같아 약분됨)
F′(x) = 1 + xx²−a²x+x²−a² = 1x²−a²
가 성립합니다.
② x<−a인 경우. 이번에는 x<0이므로 x²−a²<x²=|x|=−x, 곧 x+x²−a²<x+(−x)=0입니다. 따라서 |x+x²−a²|=−(x+x²−a²)=−x−x²−a²이고 F(x):=ln(−x−x²−a²)라 두면
F′(x) = −1 − xx²−a²−x−x²−a² = −[1 + xx²−a²]−[x+x²−a²] = 1 + xx²−a²x+x²−a² = 1x²−a²
로 ①과 정확히 같은 식을 얻습니다(분자·분모의 부호 −1이 약분되어 사라집니다). 두 경우 모두 F′(x)=1x²−a²이므로, 692번의 미분 검산법에 의해 ∫1x²−a²dx = ln|x+x²−a²|+C가 |x|>a인 전체 정의역에서 성립합니다(695번·9.2 699번과 같은 이유로, 정의역이 두 구간으로 떨어져 있어 엄밀하게는 구간마다 독립된 적분상수를 허용해야 하지만 관행에 따라 하나의 C로 통일합니다).
예시. a=2인 경우(아래 그림) : ∫1x²−4dx = ln|x+x²−4|+C이고, x=3에서 피적분함수의 값은 15입니다.
y=1x²−4(711번 공식의 a=2인 경우)는 정의역이 |x|>2인 두 갈래로, 점근선 x=±2 바깥쪽에서 모두 +∞로 발산합니다―아래 712번의 y=1/4−x² (정의역이 정반대로 −2<x<2인 유계 구간)과 대비됩니다.
완전제곱을 통한 일반화. 705·710번과 같은 방식으로 판별식(2.6 f121) D=p²−4q>0인 (=서로 다른 두 실근을 갖는) 이차식 x²+px+q에 대해 완전제곱을 만들면 x²+px+q = (x+p2)²−(−q+p²4)이고, D>0 ⇔ p²4−q>0이므로 a:=p²4−q>0로 두면 u:=x+p2에 대해 위 결과를 그대로 적용해 ∫1x²+px+qdx = ln|x+p2+x²+px+q|+C를 얻습니다(정의역은 x²+px+q>0인 부분, 곧 두 실근의 바깥쪽).
사용 : 692번(미분 검산법) · 706번 · 710번(같은 방식의 증명) · 2.6의 120번 · 121번
증명 끝
·보조정리아크사인과 그 도함수sin−1 : (−1,1)→(−π2,π2), (sin−1t)′ = 11−t²
증명법 : 직접증명법(8.4 659번 역함수의 미분법 적용)
① 사인을 열린구간으로 제한. I:=(−π2, π2)에서 Sin(x):=sin x로 둡니다. Sin은 I에서 미분가능하고 Sin′(x)=cos x입니다(8.4의 654번). I의 점은 제1·제4사분면의 각이거나 0이므로 cos x>0입니다 (4.3의 418번, x=0이면 cos 0=1, 4.4의 423번). 따라서 8.6의 673번에 의해 Sin은 I에서 강한 증가함수입니다.
② 치역은 정확히 (−1,1). x∈I이면 cos x>0이고 sin²x+cos²x=1(4.5의 425번)이므로 sin²x=1−cos²x<1, 곧 −1<Sin(x)<1입니다. 거꾸로 −1<t<1이면, sin은 [−π2,π2]에서 연속(654번과 8.3의 646번)이고 sin(−π2)=−1, sin π2=1(4.4의 423번, 4.6의 432번)이므로 8.2의 640번(사잇값의 정리, 받아들이는 사실)에 의해 sin c=t인 c∈(−π2,π2)가 있습니다. 따라서 Sin(I)=(−1,1)입니다.
③ 정의. Sin은 강한 증가라 일대일(8.1의 624번)이므로 역함수(8.1의 627번) Sin−1 : (−1,1)→I가 있습니다. 이것을 아크사인이라 하고 sin−1t(또는 arcsin t)로 씁니다 ― 곧 sin−1t는 «−π2와 π2 사이에서 사인값이 t인 하나뿐인 각»입니다.
④ 도함수. −1<t<1이고 θ:=sin−1t라 하면 θ∈I이고 Sin′(θ)=cosθ>0이므로, 8.4의 659번(역함수의 미분법 ― I는 열린구간, Sin은 I에서 미분가능하고 강한 증가)에 의해 sin−1은 t에서 미분가능하고 (sin−1t)′=1cosθ입니다. cosθ>0이고 cos²θ=1−sin²θ=1−t²(425번)이므로 cosθ=1−t²(양수의 제곱근)입니다. 따라서
(sin−1t)′ = 11−t² (−1<t<1)
사용 : 8.4의 654번 · 8.4의 659번 · 8.6의 673번 · 8.1의 624번 · 8.1의 627번 · 8.2의 640번(받아들이는 사실) · 8.3의 646번 · 4.3의 418번 · 4.4의 423번 · 4.5의 425번 · 4.6의 432번
증명 끝
712정리a²−x²의 제곱근을 분모로 갖는 부정적분 ― 아크사인 적분∫1a²−x²dx = sin−1xa + C (|x|<a, a>0)
증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)
지금까지(707–711번)는 모두 로그로 나타나는 부정적분이었지만, 제곱근 안이 a²−x²이면 아크사인이 필요합니다. 그 정의와 도함수 (sin−1t)′=11−t² (−1<t<1)는 바로 앞의 보조정리에서 보였습니다.
a>0이라 하고, 보조정리를 이용해 F(x):=sin−1xa의 도함수를 구합니다. u(x):=xa라 하면 8.3 f648·8.4 f653에 의해 u′(x)=1a이고, |x|<a ⇔ |u(x)|<1이므로 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해
F′(x) = 11−u(x)²·u′(x) = 11−(xa)²·1a
이고, 분모의 1−(xa)²를 통분해 a²−x²a²로 고쳐 쓰면
F′(x) = 1a·1a²−x²a² = 1a·aa²−x² = 1a²−x²
가 |x|<a인 모든 x에서 성립합니다(a²−x²>0이므로 분모가 0이 되는 경우가 없습니다). 692번의 미분 검산법에 의해 ∫1a²−x²dx = sin−1xa+C입니다.
예시. a=2인 경우(아래 그림) : ∫14−x²dx = sin−1x2+C이고, x=0에서 피적분함수의 값은 12입니다.
y=14−x²(712번 공식의 a=2인 경우)는 정의역이 −2<x<2인 유계 구간으로, 양 끝 x=±2에서 안쪽으로 +∞로 발산합니다―위 711번의 정의역(|x|>2, 두 점근선 바깥쪽)과 정반대이기 때문에 로그 대신 아크사인이 필요합니다.
완전제곱을 통한 일반화. 711번과 같은 판별식(2.6 f121) 조건 D=p²−4q>0(서로 다른 두 실근을 가짐, 이번에는 그 두 실근 사이의 구간)에 대해, x²+px+q = (x+p2)² + (q−p²4)의 부호를 뒤집으면 −(x²+px+q) = (p²4−q) − (x+p2)²이고, D>0 ⇔ p²4−q>0이므로 a:=p²4−q>0로 두면 u:=x+p2에 대해 위 결과를 그대로 적용해 ∫1−x²−px−qdx = sin−1x+p2a+C를 얻습니다(정의역은 −(x²+px+q)>0인 부분, 곧 두 실근 사이).
사용 : 692번(미분 검산법) · 8.3의 648번 · 8.3의 651번 · 8.4의 653번 · 2.6의 120번 · 121번 · 보조정리(아크사인과 그 도함수)
증명 끝
이 절은 706–712번으로 일차식의 제곱근(707–709번)과 x²±a²· a²−x² 꼴이 제곱근 안에 있는 경우(710–712번)의 적분 도구를 모두 갖추었습니다. 완전제곱을 이용하면 일반적인 이차식 px²+qx+r이 제곱근 안에 있는 경우도 판별식의 부호에 따라 710·711· 712번 중 하나로 환원됩니다(각 항목의 «완전제곱을 통한 일반화» 참고). x와 ax+b 등이 뒤섞인 유리식의 적분, 세제곱근을 비롯한 더 복잡한 무리함수의 적분에 필요한 치환 기법은 이 절의 범위를 넘어서므로 다루지 않았습니다. 삼각함수의 적분에 필요한 치환 기법은 9.4에서 이어집니다.