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11.12   대학 과정

이항급수

Binomial Series

정의 · 공식과 증명

11.11은 이미 확정된 몇 개의 전개에 치환·선형결합·항별 미적분이라는 세 연산만 적용해 새 전개를 얻는 방법을 세웠고, 그 방법으로는 (1+x)^m처럼 지수가 실수인 거듭제곱함수에 닿지 못한다는 것을 마지막에 밝혀 두었습니다(11.11 f1057 ⑸). 1058–1065번은 그 마지막 빈자리를 메웁니다―1058번이 지수가 실수여도 뜻이 통하도록 이항계수를 확장하고, 1059번이 그렇게 만든 급수의 수렴반지름이 1임을 보이며, 1060번이 그 합이 정확히 (1+x)^m임을 증명합니다. 증명의 방법은 11.10의 나머지항 판정이 아니라 급수가 만족하는 미분방정식을 세우는 것이며, 그 덕분에 이 절의 결론은 인용 없이 완결됩니다. 1061번은 자주 쓰는 네 가지 지수를 대입해 등비급수·제곱근·아크사인의 재료를 한꺼번에 얻고, 1062번은 끝점 x=±1의 운명이 m에 따라 어떻게 갈리는지를 완전히 가릅니다. 1063번·1064번은 아크사인의 도함수를 실제로 증명한 뒤 항별 적분 한 번으로 sin⁻¹x의 전개를 얻고―이로써 11.11이 예고한 두 빈자리가 모두 채워집니다―1065번은 이 전개들로 1.1과 π를 실제로 계산합니다.

1058정의일반화된 이항계수(Generalized Binomial Coefficient)mk = m(m−1)…(m−k+1)k!  (m은 실수, k는 음이 아닌 정수)

정의이므로 정의 자체는 증명 대상이 아닙니다. 다만 아래 ⑵–⑷는 이 정의에서 곧바로 따라 나오는 사실이므로 근거를 붙여 확인합니다―특히 ⑶의 점화식은 이 절 전체가 되풀이해 쓰는 도구입니다.

실수 m과 음이 아닌 정수 k에 대해 일반화된 이항계수(generalized binomial coefficient)를 다음과 같이 정의합니다.

mk := m(m−1)(m−2)…(m−k+1)k!   (k≥1)

m0 := 1

분자는 m에서 시작해 1씩 줄여 가며 k개를 곱한 것이고(k=0이면 곱할 인수가 하나도 없으므로 그 값을 1로 약속합니다), 분모의 k!은 12.1 f779의 계승입니다. 인수를 번호로 적으면

mk = (m−0)(m−1)…(m−(k−1))k!

이며―분자에 나오는 인수의 개수가 언제나 정확히 k개라는 것이 이 정의의 전부입니다.

⑴ 왜 새 기호를 쓰는가. 12.1 f781의 _nC_k는 «원소가 n개인 집합에서 k개를 고르는 방법의 수»이므로 n이 음이 아닌 정수일 때에만 뜻을 가집니다. 반면 지금 정의한 것은 위 자리에 임의의 실수가 오고, 예컨대 m=12일 때에도 값을 가집니다―«고른다»는 뜻은 더 이상 없습니다. 같은 기호를 두 가지 뜻으로 쓰지 않기 위해 이 절에서는 mk처럼 세로로 쌓아 괄호로 감싸는 표기를 쓰고, _nC_k는 12.1의 뜻(경우의 수)으로만 남겨 둡니다. 두 기호가 겹치는 자리에서 값이 실제로 일치한다는 것이 ⑵입니다.

⑵ m이 음이 아닌 정수인 경우. m=n이 음이 아닌 정수라고 합시다.

nk = n(n−1)…(n−k+1)k! = nCk  (0≤k≤n)	분자와 분모에 (n−k)!을 곱하면 분자가 n!이 됨(12.1 f779) · 12.1 f781
nk = 0  (k>n)	k>n이면 분자의 인수 n−0, …, n−(k−1) 안에 j=n인 인수 n−n=0이 들어 있음

즉 이 정의는 12.1의 조합의 수를 확장한 것입니다―겹치는 자리(0≤k≤n)에서는 값이 정확히 같고, _nC_k가 아예 정의되지 않던 자리(k>n)에서는 0이라는 값을 새로 줍니다. 이 «k>n이면 0»이 1059번에서 «지수가 음이 아닌 정수이면 이항급수가 유한합이 된다»는 사실의 근거가 됩니다.

⑶ 점화식 ― 이 절의 핵심 도구. 모든 실수 m과 음이 아닌 정수 k에 대해

(k+1)mk+1 = (m−k)mk

가 성립합니다.

mk+1 = (m−0)…(m−(k−1))(m−k)(k+1)!	정의 ― 분자의 인수가 k+1개
(k+1)! = (k+1)·k!	12.1 f779(계승의 재귀적 정의)
∴ (k+1)mk+1 = (m−k)·(m−0)…(m−(k−1))k! = (m−k)mk	위 두 줄

k=0인 경우에도 좌변은 1·m1=m, 우변은 (m−0)·1=m으로 일치합니다. 이 점화식은 계수를 하나씩 앞으로 밀어 주는 관계이며, 1060번에서 이항급수가 만족하는 미분방정식을 이끌어 내는 데 그대로 쓰입니다.

⑷ 0이 되지 않는 경우. m이 음이 아닌 정수가 아니면 모든 k에서 mk≠0입니다. 분자의 인수 m−j(j=0,…,k−1)가 0이 되는 것은 m=j, 즉 m이 음이 아닌 정수일 때뿐이므로 가정에 의해 모든 인수가 0이 아닙니다. 그리고 0이 아닌 두 실수의 곱은 0이 아닙니다―a≠0, b≠0인데 ab=0이라면 1.3 f40(곱셈의 역원)에 의해 1 = (ab)·1a·1b = 0·1a·1b = 0이 되어 1.3 f41(0의 곱셈)에 모순이기 때문입니다. 인수가 유한개이므로 이를 되풀이하면 분자 전체가 0이 아니고, k!≠0이므로 mk≠0입니다. 이 사실이 있어야 1059번에서 비판정법(11.8 f1031)을 쓸 수 있습니다―그 정리는 계수가 하나라도 0이면 적용되지 않기 때문입니다.

⑸ 자주 쓰는 값. 정의에 그대로 대입한 것입니다(각각의 급수는 1061번에서 다룹니다).

−1k = (−1)k  ―  1, −1, 1, −1, …	분자가 (−1)(−2)…(−k) = (−1)kk!
−2k = (−1)k(k+1)  ―  1, −2, 3, −4, …	분자가 (−2)(−3)…(−(k+1)) = (−1)k(k+1)!
12k  ―  1, 12, −18, 116, −5128, 7256, …	m=12을 차례로 대입해 계산
−12k  ―  1, −12, 38, −516, 35128, −63256, …	m=−12을 차례로 대입해 계산 · 닫힌 형태는 1061번 ⑷

사용 : 1059번 · 1060번 · 1061번 · 11.8의 1031번 · 1.3의 40번 · 41번 · 12.1의 779번 · 781번

1059정리이항급수와 그 수렴반지름(The Binomial Series and Its Radius)∞Σk=0mkx^k의 수렴반지름 R = 1  (m이 음이 아닌 정수가 아닐 때)

증명법 : 경우를 나누는 방법(m이 음이 아닌 정수인 경우와 그 밖의 경우) · 직접증명법

실수 m에 대해 11.8 f1027의 뜻으로 중심이 0인 멱급수

∞Σk=0mkx^k = 1 + mx + m(m−1)2!x² + m(m−1)(m−2)3!x³ + …

를 이항급수(binomial series)라 합니다. 그 수렴반지름(11.8 f1030)은 다음과 같습니다.

m이 음이 아닌 정수 n  ⇒  급수는 유한합이고 R=∞	아래 ⑴
그 밖의 m  ⇒  R=1	아래 ⑵

⑴ m이 음이 아닌 정수 n인 경우. 1058번 ⑵에 의해 k>n인 계수가 모두 0이므로, 부분합은 n번째부터 더 이상 변하지 않습니다. 따라서 급수는 모든 실수 x에서 수렴하고(11.4 f769·f770), 그 합은 유한합

nΣk=0_nC_kx^k = (1+x)ⁿ

입니다―2.2 f79(이항정리)에 a=1, b=x를 대입한 것이고, 계수가 _nC_k와 일치하는 것은 1058번 ⑵입니다. 즉 지수가 음이 아닌 정수인 경우의 이항급수 정리는 이미 2.2에서 증명되어 있었던 셈이며, 수렴반지름은 R=∞입니다(11.8 f1030).

⑵ m이 음이 아닌 정수가 아닌 경우. 1058번 ⑷에 의해 모든 계수가 0이 아니므로 11.8 f1031(비판정법에 의한 수렴반지름)를 쓸 수 있습니다. a_k:=mk라 두면

|ak+1||ak| = |m−k|k+1	1058번 ⑶((k+1)mk+1=(m−k)mk)의 양변에 절댓값
= k−mk+1  (k>|m|)	k>|m|이면 m−k<0이므로 |m−k|=k−m
= 1−m·1k1+1k → 1−01+0 = 1	분자·분모를 k로 나눔 · 1k→0(8.2 f637의 정의로 직접 확인) · 8.2 f632(극한의 사칙연산)

비의 극한이 L=1이므로 11.8 f1031에 의해 R=1L=1입니다. 처음 유한개의 항에서 비가 어떻든 극한은 달라지지 않으므로 k>|m|부터 따진 것으로 충분합니다(11.5 f1011).

⑶ 결론. 그러므로 |x|<1이면 이항급수는 절대수렴하고 |x|>1이면 발산합니다(11.8 f1029·f1030). 끝점 x=±1에서의 운명은 m의 값에 따라 갈리며 1062번에서 따로 다룹니다.

⑷ 아직 말하지 않은 것. 수렴반지름은 계수만으로 정해지므로, 지금까지의 논의는 급수가 |x|<1에서 어떤 값으로 수렴한다는 것만 말할 뿐 그 합이 무엇인지는 전혀 말해 주지 않습니다―11.8 f1034 ⑴이 지수급수의 합을 미뤄 두었던 것과 같은 상황입니다. 그 합이 정확히 (1+x)^m임을 밝히는 것이 1060번입니다.

사용 : 1058번 · 1060번 · 1062번 · 11.4의 769번 · 770번 · 11.5의 1011번 · 11.8의 1027번 · 1029번 · 1030번 · 1031번 · 1034번 · 8.2의 632번 · 637번 · 2.2의 79번 · 직접증명법 · 경우를 나누는 방법

증명 끝

1060정리이항급수 정리(The Binomial Series Theorem)(1+x)^m = ∞Σk=0mkx^k   (m은 실수, |x| < 1)

증명법 : 직접증명법(급수가 만족하는 미분방정식을 세운 뒤 8.6 f673으로 상수를 확정)

모든 실수 m과 |x|<1인 모든 x에 대해 다음이 성립합니다.

(1+x)^m = ∞Σk=0mkx^k = 1 + mx + m(m−1)2!x² + m(m−1)(m−2)3!x³ + …

⑴ 좌변의 뜻. |x|<1이면 1+x>0이므로, 지수가 실수인 거듭제곱은 8.4 f662가 확립한 관찰대로 로그와 지수함수로 읽습니다(2.5 f110의 거듭제곱법칙과 f114의 e^ln t=t).

(1+x)^m = e^m ln(1+x)   (1+x>0)

이렇게 읽어 두면 실수 지수에 대한 지수법칙을 새로 세울 필요가 없습니다―아래 증명은 지수함수와 로그함수의 도함수(8.4 f657·f660)만 씁니다.

⑵ 급수를 함수로 본다. 1059번에 의해 이항급수는 |x|<1에서 수렴하므로

S(x) := ∞Σk=0mkx^k   (|x| < 1)

은 구간 (−1, 1)에서 정의된 함수이고, 11.9 f1038(항별 미분정리)에 의해 그 구간에서 미분가능하며

S′(x) = ∞Σk=1kmkx^k−1 = ∞Σj=0(j+1)mj+1x^j

입니다(마지막 등호는 j:=k−1로 번호를 다시 매긴 것―11.9 f1035가 항별 미분급수의 계수를 b_j=(j+1)a_j+1로 적은 것과 같습니다).

⑶ S가 만족하는 미분방정식 : (1+x)S′(x) = m S(x). 이 한 줄이 증명의 심장이며, 근거는 오직 1058번 ⑶의 점화식입니다.

S′(x) = ∞Σj=0(j+1)mj+1xj = ∞Σj=0(m−j)mjxj	1058번 ⑶ ― (j+1)mj+1=(m−j)mj
x S′(x) = ∞Σk=1kmkxk = ∞Σj=0jmjxj	x를 급수에 곱하면 각 항의 차수가 1씩 올라감 · j=0인 항은 0이므로 더해도 무방
(1+x)S′(x) = ∞Σj=0[(m−j)+j]mjxj	두 수렴급수를 항별로 더함 ― 11.5 f1010(선형성)
= m∞Σj=0mjxj = m S(x)	(m−j)+j=m · 11.5 f1010(상수배)

⑷ 보조함수. g(x):=e^m ln(1+x)로 두면 g는 (−1, 1)에서 미분가능하고(8.4 f657·f660와 8.3 f651의 연쇄법칙), 지수함수의 값이므로 언제나 g(x)>0입니다(2.5 f104―로그의 정의에서 진수는 양수).

g′(x) = g(x)·m1+x	8.3 f651(연쇄법칙) · 8.4 f657((et)′=et) · f660((ln t)′=1t) · 8.3 f648(상수배)
h(x) := S(x)g(x) ,   h′(x) = S′(x)g(x) − S(x)g′(x)[g(x)]²	8.3 f650(몫의 미분법) · g(x)≠0
S′g − Sg′ = g·[S′(x) − m S(x)1+x] = g(x)1+x·[(1+x)S′(x) − m S(x)] = 0	윗줄의 g′ 대입 · g를 묶어냄 · ⑶
∴ h′(x) = 0  (|x| < 1)	위 두 줄

⑸ 결론. h′이 구간 (−1, 1) 전체에서 0이므로 8.6 f673(도함수가 0이면 상수)에 의해 h는 그 구간에서 상수입니다. 그런데

h(0) = S(0)g(0) = m0e^m·ln 1 = 1

입니다(S(0)은 x=0을 대입한 값으로 k=0 항만 남아 m0=1―11.8 f1027의 표기 규약 ; ln 1=0은 2.5 f105이고 e⁰=1은 2.3 f87). 따라서 |x|<1인 모든 x에서 h(x)=1, 즉

S(x) = g(x) = e^m ln(1+x) = (1+x)^m

가 성립합니다―마지막 등호는 ⑴입니다.

⑹ 왜 나머지항 판정을 쓰지 않았는가. 11.10 f1044(나머지항 판정법)로 정면 돌파하려면 f(x)=(1+x)^m의 n계도함수를 라그랑주 나머지항(11.10 f1043)에 넣어 R_N(x)→0을 보여야 합니다. 그런데 그 추정은 0≤x<1에서는 되지만 −1<x<0에서는 무너지고, 그 자리를 메우려면 코시 형태의 나머지항이 필요합니다―11.10 f1043의 덧붙임이 밝혔듯 이 사이트는 코시 형태를 도입하지 않았습니다. 그래서 나머지항을 재는 대신 급수 자신이 만족하는 미분방정식을 세워 우회했습니다. 그 대가로 이 절의 결론은 −1<x<1 전 구간에서, 그리고 아무것도 인용하지 않고 얻어집니다―11.11 f1055이 tan·sec·tanh의 수렴을 복소해석학의 결과에 맡겼던 것과 대조됩니다.

⑺ 이항정리의 확장. m이 음이 아닌 정수 n이면 1059번 ⑴에서 본 대로 급수가 유한합이 되고 그 값은 2.2 f79의 (1+x)ⁿ입니다―이 경우 결론은 모든 실수 x에서 성립합니다. 그러므로 이 정리는 이항정리를 실수 지수로 확장한 것이며, 지수가 정수가 아닌 순간 유한합이 무한급수로 바뀌고 그 대가로 |x|<1이라는 제한이 생기는 것입니다.

1+x(m=12)의 그래프와 부분합 S₁–S₄(1061번 ⑶의 계수를 그대로 픽셀에 대입해 그린 것). 수렴구간 |x|<1(초록 점선 안쪽)에서는 항을 더할수록 부분합이 곡선에 붙지만, 그 바깥(회색 영역)에서는 오히려 멀어집니다―1059번이 R=1이라 한 것이 눈에 보이는 형태입니다. x=−1의 왼쪽에서는 1+x 자체가 정의되지 않는다는 점도 함께 보입니다.

사용 : 1058번 · 1059번 · 1061번 · 1064번 · 11.5의 1010번 · 11.8의 1027번 · 11.9의 1035번 · 1038번 · 11.10의 1043번 · 1044번 · 11.11의 1055번 · 8.3의 648번 · 650번 · 651번 · 8.4의 657번 · 660번 · 662번 · 8.6의 673번 · 2.2의 79번 · 2.3의 87번 · 2.5의 104번 · 105번 · 110번 · 114번 · 직접증명법

증명 끝

1061정리자주 쓰는 특수한 경우(Special Cases)11+x = ∞Σk=0(−1)^kx^k,   1+x = 1 + x2 − x²8 + …,   11−x² = ∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²x^2k

증명법 : 직접증명법(1060번에 m을 대입) · 수학적 귀납법(⑷의 닫힌 형태)

1060번에 자주 쓰이는 네 개의 지수를 대입합니다―계수는 1058번 ⑸에서 이미 계산해 두었고, 모든 전개는 |x|<1에서 성립합니다.

⑴ m=−1 ― 등비급수와의 교차 확인.

11+x = ∞Σk=0(−1)^kx^k = 1 − x + x² − x³ + …  (|x| < 1)

이 급수는 첫항이 1이고 공비가 −x인 무한등비급수이므로, 11.4 f774(무한등비급수의 합)에 의해 그 합은 11−(−x)=11+x입니다―완전히 다른 두 정리가 같은 값을 준다는 교차 확인입니다. 11.9 f1041가 항별 적분의 출발점으로 삼았던 바로 그 전개이기도 합니다.

⑵ m=−2 ― 항별 미분과의 교차 확인.

1(1+x)² = ∞Σk=0(−1)^k(k+1)x^k = 1 − 2x + 3x² − 4x³ + …

11.9 f1041 ⑴은 등비급수를 항별 미분해 ∞Σk=1k t^k−1=1(1−t)²를 얻었습니다. 여기에 11.11 f1051(치환, c=−1, m=1)로 t:=−x를 넣으면

∞Σk=1k(−1)^k−1x^k−1 = ∞Σj=0(j+1)(−1)^jx^j = 1(1+x)²

가 되어 위 전개와 정확히 일치합니다(j:=k−1).

⑶ m=12 ― 제곱근. 2.4 f98(단위분수 지수)에 의해 (1+x)¹²=1+x이므로

1+x = 1 + x2 − x²8 + x³16 − 5x⁴128 + …  (|x| < 1)

입니다―1065번 ⑴에서 이 급수로 1.1의 값을 실제로 계산합니다.

⑷ m=−12의 계수 ― 닫힌 형태. 모든 음이 아닌 정수 k에 대해

−12k = (−1)^k(2k)!4^k(k!)²

가 성립합니다. 수학적 귀납법으로 증명합니다.

k=0 : 좌변 −120=1, 우변 (−1)0·0!40(0!)²=1	1058번의 정의 · 12.1 f779(0!=1)
−12k+1 = −12k·−12−kk+1	1058번 ⑶
= (−1)k(2k)!4k(k!)²·−(2k+1)2(k+1) = (−1)k+1(2k)!(2k+1)2(k+1)·4k(k!)²	귀납 가정 · −12k=−(2k+1)2
= (−1)k+1(2k+2)!4k+1((k+1)!)²	(2k+2)!=(2k+2)(2k+1)(2k)!, ((k+1)!)²=(k+1)²(k!)², 4k+1=4·4k이므로 우변의 (2k+2)=2(k+1)을 약분하면 윗줄과 같음(12.1 f779)

따라서 모든 k에서 성립합니다. 처음 몇 값은 1, −12, 38, −516, 35128이며 1058번 ⑸와 일치합니다.

⑸ 치환 ― 1064번의 재료. ⑷의 계수를 가진 전개

(1+t)⁻¹² = ∞Σk=0(−1)^k(2k)!4^k(k!)²t^k  (|t| < 1)

에 11.11 f1051(치환정리)를 c=−1, m=2로 적용합니다. 수렴반지름이 R=1이므로 새 반지름은 21|−1|=1이고, (−1)^k(−1)^k=1이므로 부호가 모두 사라집니다.

11−x² = ∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²x^2k = 1 + 12x² + 38x⁴ + 516x⁶ + …  (|x| < 1)

좌변이 (1−x²)⁻¹²임은 ⑶과 같은 이유(2.4 f98)입니다. 이 급수가 1063번의 아크사인의 도함수와 같은 함수이므로, 1064번에서 항별 적분 한 번으로 sin⁻¹x의 전개가 나옵니다.

사용 : 1058번 · 1060번 · 1064번 · 1065번 · 11.4의 774번 · 11.9의 1041번 · 11.11의 1051번 · 12.1의 779번 · 2.4의 98번 · 직접증명법 · 수학적 귀납법

증명 끝

1062정리끝점에서의 거동(Behaviour at the Endpoints)m>0 : x=±1 절대수렴  ·  −1<m<0 : x=1 조건수렴, x=−1 발산  ·  m≤−1 : 모두 발산

증명법 : 경우를 나누는 방법(m의 크기에 따라 세 경우) · 직접증명법 · 수학적 귀납법(⑵의 a_k→0)

1059번은 |x|<1에서 수렴하고 |x|>1에서 발산한다는 것까지만 말했습니다. 남은 두 점 x=1과 x=−1에서 이항급수가 어떻게 되는지는 m의 값에 따라 갈리며, 그 답은 다음과 같습니다(m은 음이 아닌 정수가 아니라고 가정합니다― 음이 아닌 정수이면 1059번 ⑴에 의해 유한합이라 모든 x에서 수렴합니다).

m > 0 :   x=1, x=−1 모두 절대수렴	아래 ⑴
−1 < m < 0 :   x=1은 조건수렴, x=−1은 발산	아래 ⑵
m ≤ −1 :   x=1, x=−1 모두 발산	아래 ⑶

이하 a_k:=|mk|로 두면, 1058번 ⑶의 점화식에서

a_k+1 = a_k·|m−k|k+1

가 성립합니다. x=±1에서 급수의 항의 절댓값은 정확히 a_k이므로, 판정은 모두 이 수열을 따집니다.

⑴ m>0인 경우 ― 망원합으로 유계임을 보인다. m<K인 가장 작은 자연수를 K라 하면 k≥K에서 m−k<0이므로 |m−k|=k−m>0이고, a_k>0입니다(1058번 ⑷). c_k:=k a_k로 두면

ck+1 = (k+1)ak+1 = (k−m)ak = ck − m ak	위 점화식 · ck=k ak
∴ m ak = ck − ck+1  (k≥K)	윗줄의 이항
mNΣk=Kak = cK − cN+1 ≤ cK	망원합(11.3 f762 ⑷) · cN+1>0

즉 음이 아닌 항의 급수 ∞Σk=Ka_k의 부분합이 c_Km으로 위로 유계이고, 항이 음이 아니므로 부분합은 감소하지 않습니다. 대학 «감소하지 않고 위로 유계인 실수열은 수렴한다»는 단조유계 수렴 정리는 9.9 f929에서 인용한 것과 같은 원리(실수의 완비성에서 나오는 존재성 정리)이며, 11.6 f1016가 비교판정법을 증명할 때 쓴 것과 같은 형태입니다―여기서도 결과만 인용합니다. 이에 의해 ∞Σk=Ka_k가 수렴하고, 처음 K개 항은 수렴 여부를 바꾸지 않으므로(11.5 f1011) ∞Σk=0a_k 자체가 수렴합니다.

x=±1에서 항의 절댓값이 a_k이므로 이항급수는 두 끝점에서 모두 절대수렴(11.7 f1025)하고, 따라서 수렴합니다(11.5 f1014).

⑵ −1<m<0인 경우. |m|=−m이 0과 1 사이입니다. 모든 k에서 m−k<0이므로 분자의 인수가 모두 음수이고, 인수가 k개이므로

mk = (−1)^ka_k,    a_k = |m|(|m|+1)…(|m|+k−1)k!  (k≥1)

입니다(a₀=1). 즉 계수의 부호가 정확히 한 칸마다 뒤바뀝니다.

(i) x=−1 ― 발산. 이때 각 항은 mk(−1)^k=a_k>0이므로 양항급수입니다. 그런데

k ak = |m|(|m|+1)…(|m|+k−1)(k−1)! = |m|·|m|+11·…·|m|+k−1k−1	k!=k·(k−1)!(12.1 f779)
≥ |m|  ⇒  ak ≥ |m|k	각 인수 |m|+jj가 1보다 큼(j=1,…,k−1)

이고, 11.4 f772(조화급수의 발산)와 11.5 f1010(상수배)에 의해 ∞Σk=1|m|k가 발산하므로, 11.6 f1016(비교판정법의 발산 방향)에 의해 ∞Σk=1a_k도 발산합니다.

(ii) x=1 ― 조건수렴. 이때 항은 (−1)^ka_k이므로 교대급수입니다. 라이프니츠 판정법(11.7 f1023)의 두 가정을 확인합니다.

ak+1ak = k+|m|k+1 < 1  ⇒  ak+1 < ak	위 점화식(|m−k|=k+|m|) · |m|<1
ak = (1−β1)(1−β2)…(1−βk),   β:=1−|m| ∈ (0, 1)	|m|+j−1j=1−βj이므로 각 인수가 이 꼴 · 모든 인수가 0과 1 사이
11−u ≥ 1+u  (0≤u<1)	(1+u)(1−u)=1−u²≤1의 양변을 양수 1−u로 나눔(2.7 f133)
1ak ≥ (1+β1)…(1+βk) ≥ 1 + βkΣj=11j	윗줄을 각 인수에 적용 · (1+u1)…(1+uk)≥1+u1+…+uk(uj>0, 수학적 귀납법으로 확인)

조화급수의 부분합 kΣj=11j은 위로 유계가 아닙니다―유계라면 감소하지 않는 수열이므로 위 ⑴에서 인용한 단조유계 수렴 정리에 의해 수렴해야 하는데, 이는 11.4 f772(조화급수의 발산)에 모순이기 때문입니다. 그러므로 1a_k은 한없이 커지고, a_k는 감소하므로 임의의 ε>0에 대해 1+βKΣj=11j>1ε인 K를 잡으면 k≥K에서 0<a_k≤a_K<ε입니다― 즉 a_k→0입니다(8.2 f637의 정의).

두 가정이 모두 확인되었으므로 11.7 f1023에 의해 ∞Σk=0(−1)^ka_k는 수렴합니다(부호와 첫 항의 처리는 11.5 f1010·f1011). 그런데 (i)에서 ∞Σk=0a_k가 발산하므로 절대수렴은 아닙니다― 11.7 f1025의 뜻으로 조건수렴입니다.

⑶ m≤−1인 경우 ― 항이 0으로 가지 않는다. ⑵와 같은 계산으로 a_k=|m|(|m|+1)…(|m|+k−1)k!이고, 이번에는 |m|≥1이므로 각 인수 |m|+j−1j가 1보다 작지 않습니다. 따라서

a_k = |m|1·|m|+12·…·|m|+k−1k ≥ 1  (모든 k)

이고, x=±1에서 항의 절댓값이 a_k≥1이므로 항은 0으로 수렴하지 않습니다. 11.4 f771(수렴의 필요조건)의 대우에 의해 두 끝점에서 모두 발산합니다.

⑷ 이 정리가 말하는 것과 말하지 않는 것. 위 세 경우는 끝점에서 급수가 수렴하는가를 완전히 가릅니다. 그러나 수렴하는 끝점에서 그 합이 (1±1)^m과 같은가는 다른 물음이며, 이 절은 그것을 증명하지 않습니다― 1060번의 증명은 8.6 f673를 열린구간 (−1, 1)에 적용한 것이라 끝점을 포함하지 않기 때문입니다.

대학 «멱급수가 수렴구간의 끝점에서 수렴하면, 그 합은 안쪽에서의 극한과 이어진다»는 아벨의 극한정리(Abel’s limit theorem)를 쓰면 위 물음에 답할 수 있습니다―m>0이면 x=1에서 합이 2^m, x=−1에서 합이 0이고, −1<m<0이면 x=1에서 합이 2^m입니다. 그러나 이 정리의 증명은 고른수렴을 요구하므로, 11.9 f1038의 대학 각주와 11.10 f1048이 세운 방침―고른수렴이 필요한 일반 정리는 인용하지 않는다―에 따라 여기서도 결과만 언급하고 사용하지 않습니다. 11.10 f1048은 ln 2와 π÷4라는 특정한 두 값에 대해서는 유한 등비합 항등식이라는 우회로가 있어 아벨의 정리 없이 끝점의 합을 확정할 수 있었지만, 임의의 실수 m에 대한 이항급수에는 그런 우회로가 없습니다.

지수 m의 값에 따라 두 끝점 x=±1에서의 운명이 갈리는 모습―⑴·⑵·⑶에서 증명한 내용을 그대로 옮긴 것입니다. 경계가 되는 값은 m=−1과 m=0 둘뿐이며, m>0에서는 두 끝점 모두 절대수렴, m≤−1에서는 두 끝점 모두 발산, 그 사이 구간에서만 x=1과 x=−1의 운명이 서로 갈립니다.

사용 : 1058번 · 1059번 · 1060번 · 1064번 · 11.3의 762번 · 11.4의 771번 · 772번 · 11.5의 1010번 · 1011번 · 1014번 · 11.6의 1016번 · 11.7의 1023번 · 1025번 · 11.9의 1038번 · 11.10의 1048번 · 9.9의 929번(univ, 단조유계 수렴 정리) · 8.2의 637번 · 8.6의 673번 · 2.7의 133번 · 12.1의 779번 · 직접증명법 · 경우를 나누는 방법 · 수학적 귀납법

증명 끝

1063정리아크사인의 도함수(Derivative of the Arcsine)(sin⁻¹)′(x) = 11−x²   (|x| < 1)

증명법 : 직접증명법(8.4 f659의 역함수의 미분법을 4.17의 주된 가지에 적용)

|x|<1인 모든 x에서 아크사인은 미분가능하고

(sin⁻¹)′(x) = 11−x² = (1−x²)⁻¹²

입니다(마지막 표현이 같은 것은 2.4 f98).

⑴ 주된 가지의 성질. 4.17 f797의 Sin(사인을 I₁=[−π2, π2]로 제한한 함수)에 대해 그 절이 이미 확인한 것은 다음 두 가지입니다 : I₁에서 연속이고 강한 증가이며, 내부에서 Sin′(θ)=cos θ>0(8.4 f654의 (sin x)′=cos x와 4.3 f418의 사분면별 부호). 또 4.17 f798에 의해 sin⁻¹:[−1, 1]→I₁이 강한 증가이고 연속입니다.

⑵ |x|<1이면 θ:=sin⁻¹x는 구간의 내부에 있다. sin⁻¹이 강한 증가이므로 −1<x<1에서 sin⁻¹(−1)<θ<sin⁻¹1, 즉 −π2<θ<π2입니다(4.18 f804의 특수값 sin⁻¹(±1)=±π2). 끝점 x=±1이 제외되는 이유가 바로 여기에 있습니다― 거기서는 cos θ=0이 되어 아래 ⑶의 가정이 깨집니다.

⑶ 역함수의 미분법. Sin은 내부 구간에서 미분가능하고 강한 단조이며 Sin′(θ)=cos θ≠0이므로, 8.4 f659를 f:=Sin, b:=x, f⁻¹=sin⁻¹로 적용할 수 있습니다.

(sin−1)′(x) = 1Sin′(sin−1x) = 1cos θ	8.4 f659 · θ=sin−1x
cos²θ = 1 − sin²θ = 1 − x²	4.5 f425(피타고라스 항등식) · sin θ=x(4.18 f803의 특징화)
cos θ = cos²θ = 1−x²	cos θ>0(⑴)이므로 2.4 f96(a²=|a|)에서 절댓값이 그대로 벗겨짐

위의 세 줄을 합치면 결론이 나옵니다. 1−x²>0이므로 분모가 0이 되는 일도 없습니다.

⑷ 이 항목이 메우는 빈자리. 9.3 f712(아크사인 꼴의 적분)의 대학 각주는 이 도함수를 «원리적으로 8.4 f659(역함수의 미분법)를 8.4 f654(sin의 도함수)와 결합해 유도할 수 있지만, 그 절의 주제인 무리함수의 적분에 집중하기 위해 결론만 인용한다»고 밝혀 두었습니다―이 항목이 그 유도를 실제로 수행한 것입니다. 순환은 없습니다 : 위 증명은 9.3의 결과를 전혀 쓰지 않고, 8.4 f659가 인용하는 4.17 f796도 11장을 쓰지 않습니다. 같은 방식으로 8.4 f656(tan의 도함수)를 결합하면 9.2 f705이 같은 이유로 인용해 둔 (tan⁻¹t)′도 얻어지지만, 이 절에서는 필요하지 않으므로 다루지 않습니다.

사용 : 1064번 · 8.4의 654번 · 656번 · 4.17의 659번 · 796번 · 797번 · 798번 · 4.18의 803번 · 804번 · 4.5의 425번 · 4.3의 418번 · 2.4의 96번 · 98번 · 9.2의 705번 · 9.3의 712번 · 직접증명법

증명 끝

1064정리아크사인의 매클로린 전개(Maclaurin Expansion of the Arcsine)sin⁻¹x = ∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²(2k+1)x^2k+1   (|x| < 1)

증명법 : 직접증명법(1061번 ⑸의 급수를 1063번으로 알아본 뒤 항별 적분)

|x|<1인 모든 x에서

sin⁻¹x = ∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²(2k+1)x^2k+1 = x + x³6 + 3x⁵40 + 5x⁷112 + …

가 성립합니다.

⑴ 도함수의 급수. 1061번 ⑸에서

11−t² = ∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²t^2k   (|t| < 1)

이고, 1063번에 의해 이 좌변은 정확히 (sin⁻¹)′(t)입니다. 이 급수는 홀수 차수의 계수가 모두 0인 멱급수(11.8 f1027)로 볼 수 있으므로―0인 항을 끼워 넣어도 부분합이 같은 값을 되풀이할 뿐이라 수렴과 합이 달라지지 않습니다(11.11 f1051 ⑷에서 확인한 논법)―11.9의 정리를 그대로 적용할 수 있습니다.

⑵ 항별 적분. 수렴반지름이 1이므로 |x|<1이면 0과 x를 잇는 구간이 수렴구간의 내부에 온전히 들어 있고, 11.9 f1039(항별 적분정리)를 쓸 수 있습니다.

x∫0(sin−1)′(t) dt = ∞Σk=0(2k)!4k(k!)²(2k+1)x2k+1	11.9 f1039 ― t2k의 계수를 2k+1로 나누고 차수를 하나 올림
x∫0(sin−1)′(t) dt = sin−1x − sin−10 = sin−1x	9.8 f746(미적분의 기본정리 제2부) ― sin−1이 그 구간에서 (sin−1)′의 원시함수(1063번) · sin−10=0(4.18 f804)

두 줄의 좌변이 같으므로 우변끼리 같습니다―이것이 결론입니다. 처음 몇 계수는 다음과 같습니다.

k=0 : 0!40(0!)²·1=1  →  x	1061번 ⑸의 계수를 2k+1로 나눔
k=1 : 2!4·(1!)²·3=16  →  x³6	같음
k=2 : 4!16·(2!)²·5=340  →  3x540	같음
k=3 : 6!64·(3!)²·7=5112  →  5x7112	같음

⑶ 끝점에서도 급수는 수렴한다. c_k:=(2k)!4^k(k!)²(2k+1)라 하면 1061번 ⑷의 계수 b_k=(2k)!4^k(k!)²를 써서 c_k=b_k2k+1로 쓸 수 있고, b_k는 다음과 같이 인수분해됩니다.

bk = 12·34·…·2k−12k	(2k)!=(2k)(2k−1)…2·1이고 4k(k!)²=(2·4…2k)²이므로 짝수 인수끼리 약분(12.1 f779)
bk² ≤ (12·23)(34·45)…(2k−12k·2k2k+1) = 12k+1	2j−12j≤2j2j+1(⇔4j²−1≤4j²)를 뒤 인수마다 적용 · 이웃한 인수가 차례로 약분되는 망원곱
∴ ck = bk2k+1 ≤ 1(2k+1)2k+1 ≤ 122·kk  (k≥1)	윗줄에서 bk≤12k+1 · 2k+1>2k

마지막 식은 상수배를 뺀 1k^3÷2이고 p=32>1이므로, 11.6 f1020의 p-급수 판정과 비교판정법(11.6 f1016)에 의해 ∞Σk=0c_k가 수렴합니다. 즉 이 급수는 x=±1에서도 절대수렴합니다.

다만 그 합이 sin⁻¹(±1)=±π2인지는 1062번 ⑷에서 밝힌 것과 같은 이유로 이 절에서 결론 내리지 않습니다―끝점에서 급수의 합과 함수의 값을 잇는 데에는 아벨의 극한정리가 필요하기 때문입니다. 1065번 ⑵는 끝점이 아닌 x=12에서만 값을 계산하므로 이 유보와 무관합니다.

⑷ 11.11이 남긴 예고. 11.11 f1057 ⑸는 «1050번의 다섯 전개와 세 연산으로는 (1+x)^m과 sin⁻¹x에 닿지 못하며 그 빈자리를 11.12가 메운다»고 적어 두었습니다. 1060번이 앞의 것을, 이 항목이 뒤의 것을 실제로 채웠습니다―그것도 새 도구 없이, 11.11이 정한 세 연산 가운데 치환(11.11 f1051)과 항별 적분(11.9 f1039)만으로.

sin⁻¹x와 그 급수의 부분합 S₀·S₁·S₂·S₄(⑵의 계수를 그대로 픽셀에 대입). 원점 근처에서는 한두 항으로도 충분하지만, x가 ±1에 가까워질수록 곡선이 가팔라져(도함수가 1063번에 의해 한없이 커집니다) 더 많은 항이 필요합니다―1065번 ⑵가 끝점이 아닌 x=12에서 값을 계산하는 이유이기도 합니다.

사용 : 1060번 · 1061번 · 1062번 · 1063번 · 1065번 · 11.6의 1016번 · 1020번 · 11.8의 1027번 · 11.9의 1039번 · 11.11의 1051번 · 1057번 · 9.8의 746번 · 4.18의 804번 · 12.1의 779번 · 직접증명법

증명 끝

1065정리·활용근삿값 계산에의 활용(Applications to Numerical Approximation)1.1 ≈ 1.048809  (네 항),  π = 6∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²(2k+1)(12)^2k+1

증명법 : 직접증명법(앞 항목들을 구체적인 수에 적용하고, 오차는 11.7 f1024으로 잰다)

⑴ 제곱근의 계산 ― 1.1. 1061번 ⑶에 x=0.1을 넣습니다(|0.1|<1이므로 적용 가능). 항 t_k=12k(0.1)^k는 k≥1부터 부호가 번갈아 바뀌고 절댓값이 줄어들므로, 11.7 f1024(교대급수의 오차 추정)에 의해 어디서 끊든 오차는 처음 버린 항보다 작습니다.

t0=1,   t1=0.05,   t2=−0.00125,   t3=0.0000625,   t4=−0.00000390625	1058번 ⑸의 계수 1, 12, −18, 116, −5128에 0.1의 거듭제곱을 곱함
부분합 : 1,  1.05,  1.04875,  1.0488125,  1.048808594	위 항을 차례로 더함
실제 값 : 1.1 = 1.048808848…	비교 대상
오차 : 0.0488,  0.001191,  0.0000588,  0.00000365,  0.000000254	부분합과 실제 값의 차
오차의 상한(처음 버린 항) : 0.05,  0.00125,  0.0000625,  0.00000391,  0.000000273	11.7 f1024 ― 실제 오차가 매번 상한보다 작음을 확인

네 항만 더해도 소수 다섯째 자리까지 정확합니다―제곱근을 사칙연산만으로 계산하는 방법이 된 셈입니다.

⑵ π의 계산 ― 아크사인 급수의 힘. 4.18 f804에 의해 sin⁻¹12=π6이므로, 1064번에 x=12(끝점이 아니라 수렴구간의 내부입니다)을 넣으면

π = 6·∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²(2k+1)(12)^2k+1

를 얻습니다. 부분합(6배 한 값)은 다음과 같습니다.

k=0 : 3  ·  k=1 : 3.125  ·  k=2 : 3.1390625  ·  k=3 : 3.14115513	각 항은 6·(2k)!4k(k!)²(2k+1)·(12)2k+1
k=4 : 3.14151117  ·  k=5 : 3.14157672  ·  k=6 : 3.14158943	같음
k=7 : 3.14159198  ·  k=8 : 3.14159251  ·  k=9 : 3.14159262	같음
π = 3.14159265…  →  k=9까지의 오차는 약 3.1×10−8	비교 대상

11.10 f1048 ⑸가 확정한 라이프니츠 급수 π÷4=1−13+15−17+…와 견주어 보면 차이가 뚜렷합니다― 그 급수는 교대급수이므로 11.7 f1024에 의해 오차가 대략 42n+1 정도인데, 위와 같은 정밀도(약 3×10⁻⁸)를 얻으려면 항이 수천만 개 필요합니다. 같은 π를 열 항으로 얻는 것과 수천만 항으로 얻는 것의 차이가, 값을 넣는 점이 끝점(x=1)이냐 내부의 점(x=12)이냐에서 갈립니다―11.11 f1054가 ln 2를 빠르게 계산했던 것과 정확히 같은 이치입니다.

⑶ 이 절에서 얻은 전개의 표. 모두 1060번 하나에서 나온 것입니다.

(1+x)m = ∞Σk=0mkxk	1060번 · |x|<1(끝점은 1062번)
11+x = ∞Σk=0(−1)kxk	1061번 ⑴ · |x|<1
1(1+x)² = ∞Σk=0(−1)k(k+1)xk	1061번 ⑵ · |x|<1
1+x = 1 + x2 − x²8 + x³16 − …	1061번 ⑶ · |x|<1(끝점에서도 급수 자체는 수렴 ― 1062번 ⑴)
11−x² = ∞Σk=0(2k)!4k(k!)²x2k	1061번 ⑸ · |x|<1
sin−1x = ∞Σk=0(2k)!4k(k!)²(2k+1)x2k+1	1064번 · |x|<1

네 번째 줄의 1+x에서 x=1을 넣으면 급수는 1062번 ⑴(m=12>0)에 의해 수렴하고, 그 합이 2=1.41421…인지는 1062번 ⑷의 유보에 걸립니다―수렴한다는 것과 그 합이 무엇인지는 다른 물음이라는 이 절의 구분을 마지막으로 한 번 더 확인해 둡니다.

⑷ 이 절이 증명한 것과 인용한 것. 1060번(|x|<1에서의 이항급수 정리)과 1062번(끝점에서의 수렴·발산 판정), 1063번(아크사인의 도함수), 1064번(아크사인의 전개)은 전부 이 사이트 안에서 완전히 증명되었습니다―외부 결과를 인용한 곳은 단 두 군데, 11.6 f1016가 이미 쓰던 단조유계 수렴 정리(1062번 ⑴)와, 끝점에서 급수의 합을 함수값과 잇는 아벨의 극한정리(1062번 ⑷의 대학 각주―인용만 하고 쓰지는 않았습니다)뿐입니다. 11.11 f1055이 tan·sec·tanh의 수렴을 복소해석학에 맡긴 것과 달리, 이항급수는 그럴 필요가 없었습니다.

사용 : 1058번 · 1060번 · 1061번 · 1062번 · 1063번 · 1064번 · 11.6의 1016번 · 11.7의 1024번 · 11.10의 1048번 · 11.11의 1054번 · 1055번 · 4.18의 804번 · 직접증명법

증명 끝