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11.5   대학 과정

수렴급수의 성질

Properties of Convergent Series

정의 · 공식과 증명

1010–1015번은 11.4의 f770(무한급수의 수렴·발산과 합)에서 부분합 수열의 극한으로 정의한 개념을 바탕으로, 수렴하는 급수들이 만족하는 대수적 성질을 확립합니다. 1010번은 급수의 선형성(상수배·합·차)을, 1011번은 유한 개 항을 바꾸어도 수렴성 자체는 바뀌지 않는다는 사실(단, 수렴할 경우 그 합의 값 자체는 바뀔 수 있음)을 증명합니다. 1012번은 1010번의 직접적인 따름정리로 수렴급수와 발산급수의 합이 항상 발산함을 보이고, 발산급수끼리의 합은 이와 달리 예측할 수 없음을 반례로 확인합니다. 1013번은 부분합 수열이 어떤 값에 수렴하는지 미리 알지 못해도 수렴 여부만을 판정할 수 있는 코시의 판정법을 도입하는데, 이는 11.6(수렴판정법)의 비교판정법· 비판정법·근판정법이 공통으로 기대는 토대입니다. 1014번은 이 코시 판정법을 이용해 이 절에서 가장 중요한 결과인 절대수렴은 수렴을 함의한다는 정리를 증명하며, 11.7(교대급수)·11.8(멱급수)에서 핵심적으로 재사용됩니다. 마지막으로 1015번에서 두 결과를 구체적인 예로 수치 검산합니다.

1010정리급수의 선형성(Linearity of Convergent Series)∞Σk=1ca_k = c∞Σk=1a_k,   ∞Σk=1(a_k±b_k) = ∞Σk=1a_k ± ∞Σk=1b_k

증명법 : 직접증명법(부분합에 8.2의 극한의 사칙연산을 적용)

∞Σk=1a_k = A,  ∞Σk=1b_k = B가 둘 다 수렴한다고 합시다(11.4 f770). 이 급수들의 부분합을 각각 S_n:=nΣk=1a_k, T_n:=nΣk=1b_k라 하면(11.4 f769), 가정에 의해 limn→∞S_n=A, limn→∞T_n=B입니다.

⑴ 상수배. 유한합의 분배법칙에 의해 nΣk=1ca_k = c·S_n이 모든 n에서 성립하므로,

limn→∞(cSn) = c·limn→∞Sn = cA

8.2의 f632(극한의 사칙연산, lim(cf)=cL)

이고, 11.4 f769·f770의 정의에 의해 좌변은 정확히 ∞Σk=1ca_k의 값이므로 ∞Σk=1ca_k = cA = c∞Σk=1a_k입니다.

⑵ 합·차. 마찬가지로 유한합의 결합·교환법칙에 의해 nΣk=1(a_k±b_k) = S_n±T_n이 모든 n에서 성립하므로,

limn→∞(Sn±Tn) = limn→∞Sn ± limn→∞Tn = A±B

8.2의 f632(lim(f±g)=L±M)

이고, 같은 이유로 ∞Σk=1(a_k±b_k) = A±B = ∞Σk=1a_k ± ∞Σk=1b_k입니다.

사용 : 11.4의 769번 · 770번 · 8.2의 632번(극한의 사칙연산)

증명 끝

1011정리유한 개 항의 변경은 수렴성에 영향을 주지 않는다(Convergence Is Unaffected by Finitely Many Terms)a_k=b_k (k>N인 모든 k)  ⇒  ∞Σk=1a_k 수렴 ⇔ ∞Σk=1b_k 수렴

증명법 : 두 개의 조건문이 성립함을 증명(사실 두 방향이 완전히 대칭이므로 한 번의 계산으로 동시에 처리)

어떤 자연수 N에 대해, k>N인 모든 k에서 a_k=b_k라 합시다(즉 두 수열은 처음 N개 항만 다를 수 있습니다). 두 급수의 부분합을 S_n, T_n이라 하고,

C := NΣk=1(b_k−a_k) (유한합이므로 항상 존재하는 하나의 실수)

로 둡니다. n≥N인 모든 n에 대해

Tn−Sn = nΣk=1(bk−ak) = NΣk=1(bk−ak) + nΣk=N+1(bk−ak)	유한합을 앞 N개·나머지로 분리
= C + 0 = C	k>N에서 bk−ak=0(가정)이므로 뒤쪽 합은 0

를 얻습니다. 즉 T_n = S_n + C가 n≥N인 모든 n에서 성립합니다(두 부분합 수열은 어느 시점부터 항상 같은 상수만큼 차이납니다). 상수수열 C도 그 자체로 C에 수렴하는 수열이므로 (8.2 f637의 의미에서 자명), 8.2 f632(lim(f+g)=L+M)에 의해

limn→∞S_n이 존재 ⇔ limn→∞T_n = limn→∞(S_n+C)가 존재

입니다(한쪽이 수렴하면 상수 C를 더하거나 뺀 다른 쪽도 반드시 수렴 ― f632를 양방향으로 적용). 11.4 f770의 정의에 의해 이는 정확히 ∞Σk=1a_k 수렴 ⇔ ∞Σk=1b_k 수렴이라는 뜻이고, 수렴하는 경우 두 합은 ∞Σk=1b_k = ∞Σk=1a_k + C로 정확히 C만큼 차이납니다.

주의. 그러므로 급수의 수렴·발산 여부는 유한 개의 항을 바꾸어도 절대 바뀌지 않지만, 수렴하는 경우 그 합의 실제 값은(C≠0이면) 달라질 수 있습니다 ― 이 절 1015번에서 구체적인 수로 확인합니다.

사용 : 11.4의 769번 · 770번 · 8.2의 632번 · 637번

증명 끝

1012정리1010번의 따름정리 ― 수렴급수와 발산급수의 합(Sum of a Convergent and a Divergent Series)∞Σk=1a_k 수렴, ∞Σk=1b_k 발산  ⇒  ∞Σk=1(a_k+b_k) 발산

증명법 : 귀류법

∞Σk=1a_k = A가 수렴하고 ∞Σk=1b_k는 발산한다고 합시다. 결론을 부정해, ∞Σk=1(a_k+b_k) = D가 수렴한다고 가정합니다. 그러면 1010번(선형성, 차)을 두 수렴급수 ∞Σk=1(a_k+b_k)와 ∞Σk=1a_k에 적용하면

∞Σk=1b_k = ∞Σk=1[(a_k+b_k)−a_k] = D−A

가 수렴한다는 결론을 얻습니다. 그러나 이는 ∞Σk=1b_k가 발산한다는 가정에 모순됩니다. 그러므로 귀류법에 의해 ∞Σk=1(a_k+b_k)는 발산합니다.

주의(반례로 확인) ― 발산급수끼리의 합은 이와 달리 예측할 수 없습니다. a_k:=1/k, b_k:=−1/k라 하면, 11.4 f772(조화급수의 발산)에 의해 ∞Σk=1a_k는 발산하고, 만약 ∞Σk=1b_k가 수렴한다면 1010번(상수배, c=−1)에 의해 ∞Σk=1a_k = ∞Σk=1(−b_k)도 수렴해야 하므로 모순 ― 즉 ∞Σk=1b_k도 발산합니다. 하지만 a_k+b_k=0이 모든 k에서 성립하므로, ∞Σk=1(a_k+b_k) = ∞Σk=10은 (부분합이 항상 0이므로) 수렴합니다. 반대로 c_k:=1/k도 마찬가지로 발산하고 a_k+c_k=2/k인데, 만약 이 급수가 수렴한다면 1010번(상수배, c=1/2)에 의해 1/k=(1/2)(2/k)도 수렴해야 하므로 모순 ― 즉 ∞Σk=1(a_k+c_k)는 발산합니다. 발산+발산의 결과는 이렇게 경우에 따라 다릅니다 ― «발산+발산=발산»이라는 일반 법칙은 없습니다.

사용 : 1010번(선형성) · 11.4의 772번(조화급수의 발산)

증명 끝

1013정의·정리코시의 판정법(Cauchy Criterion for Series)∞Σk=1a_k 수렴 ⇔ ∀ε>0 ∃N∈ℕ, ∀n>m≥N, |a_m+1+…+a_n|<ε

먼저 이 정리를 서술하는 데 필요한 개념을 정의합니다. 실수열 {S_n}이 코시 수열(Cauchy sequence)이라는 것은, ∀ε>0에 대해 어떤 자연수 N이 존재해 n,m≥N인 모든 n,m에 대해 |S_n−S_m|<ε이 성립하는 것을 뜻합니다 ― 직관적으로, 수열의 항들이 서로 얼마나 멀리 떨어져 있는지가(극한값이 무엇인지 몰라도) 결국 임의로 작아진다는 뜻입니다. 급수 ∞Σk=1a_k의 부분합 S_n에 대해, n>m인 경우 11.4 f769(부분합의 정의)에 의해

S_n−S_m = nΣk=1a_k − mΣk=1a_k = a_m+1+a_m+2+…+a_n

이므로(부분합에서 공통된 앞 m개 항이 상쇄), {S_n}이 코시 수열이라는 것은 정확히 위 fmath-inline에 적은 조건과 같습니다 ― 이제 이것이 급수의 수렴과 동치임을 증명합니다.

증명법 : 두 개의 조건문이 성립함을 증명

(⇒) 수렴하면 코시 수열. ∞Σk=1a_k = S라 합시다(11.4 f770). ε>0이 임의로 주어졌다고 합시다. S_n→S이므로(8.2 f637의 의미), ε/2에 대해 어떤 N이 존재해 n≥N ⇒ |S_n−S|<ε/2입니다. 이제 n>m≥N이면,

|Sn−Sm| = |(Sn−S)−(Sm−S)|	±S를 더했다 뺌(항등식)
≤ |Sn−S| + |Sm−S|	2.7의 f146(삼각부등식, |x−y|=|x+(−y)|≤|x|+|y|)
< ε/2 + ε/2 = ε	n,m≥N이므로 위에서 확보한 두 부등식

를 얻습니다. 즉 {S_n}은 코시 수열입니다. 이 방향은 완전히 초등적으로 증명되며, 대학 수준의 별도 결과를 전혀 필요로 하지 않습니다.

(⇔) 코시 수열이면 수렴. 이제 {S_n}이 코시 수열이라고 가정합니다.

대학 «실수열이 코시 수열이면 (그 극한값이 무엇인지 미리 몰라도) 반드시 어떤 실수로 수렴한다»는 사실은 코시 완비성(Cauchy completeness)이라 불리며, 실수의 완비성 공리로부터 직접 유도되는 존재성 정리입니다(대략적으로 : 코시 수열은 유계이고, 볼차노–바이어슈트라스 정리에 의해 수렴하는 부분수열을 가지며, 코시 조건에 의해 수열 전체가 그 부분수열의 극한에 실제로 수렴함을 보일 수 있습니다 ― 9.9 f929에서 인용한 단조유계 수렴 정리와 마찬가지로, 실수의 완비성이 없다면 성립하지 않는 결과입니다). 이 증명 자체를 엄밀하게 전개하는 것은 대학 해석학의 내용이며, 이 사이트에서는 결과만 인용해 사용합니다.

이 사실에 의해 {S_n}은 어떤 실수 S에 수렴하고, 11.4 f770의 정의에 의해 이는 정확히 ∞Σk=1a_k가 수렴한다(그리고 그 합이 S이다)는 뜻입니다.

ⓘ 이 정리의 쓸모. (⇒) 방향은 이미 수렴을 알고 있을 때 부분합들이 서로 가까워짐을 보장하고, (⇔) 방향은 극한값 S가 무엇인지 전혀 모르는 상태에서도 (즉 급수의 합을 실제로 구하지 않고도) 코시 조건만 확인하면 수렴 여부를 판정할 수 있게 해줍니다 ― 1014번에서 바로 이런 방식으로 사용됩니다.

사용 : 11.4의 769번 · 770번 · 2.7의 146번(삼각부등식) · 8.2의 637번 · 9.9의 929번(완비성 기반 존재성 정리의 선례)

증명 끝

1014정리절대수렴은 수렴을 함의한다(Absolute Convergence Implies Convergence)∞Σk=1|a_k| 수렴  ⇒  ∞Σk=1a_k 수렴

증명법 : 직접증명법(유한합의 일반화된 삼각부등식을 먼저 확립한 뒤, 1013번의 코시 판정법을 적용)

준비 : 유한합에 대한 일반화된 삼각부등식. 임의의 실수 a_m+1,…,a_n(n>m)에 대해

|a_m+1+a_m+2+…+a_n| ≤ |a_m+1|+|a_m+2|+…+|a_n|

이 성립함을 수학적 귀납법으로 보입니다 (항의 개수 n−m에 대하여). n=m+1(항이 1개)일 때는 |a_m+1|≤|a_m+1|로 등호가 성립해 자명합니다. 어떤 n>m에서 부등식이 성립한다고 가정하면(귀납가정),

|am+1+…+an+an+1| = |(am+1+…+an)+an+1|	결합법칙(괄호 묶기)
≤ |am+1+…+an| + |an+1|	2.7의 f146(삼각부등식)
≤ (|am+1|+…+|an|) + |an+1|	귀납가정

이 되어 n+1에서도 성립합니다. 따라서 모든 n>m에서 성립합니다.

본 증명. ∞Σk=1|a_k|가 수렴한다고 합시다. 이 급수(음이 아닌 항 |a_k|로 이루어진 급수)에 1013번(코시 판정법, ⇒ 방향)을 적용하면, 임의의 ε>0에 대해 어떤 N이 존재해

n>m≥N  ⇒  |a_m+1|+|a_m+2|+…+|a_n| < ε

입니다(절댓값들의 합이므로 이 값 자체가 이미 0 이상이라 바깥쪽에 다시 절댓값을 씌울 필요는 없지만, 1013번의 조건과 형태를 맞추면 ||a_m+1|+…+|a_n||도 같은 값입니다). 이제 준비한 일반화된 삼각부등식을 같은 N, 같은 n,m에 적용하면

|a_m+1+a_m+2+…+a_n| ≤ |a_m+1|+|a_m+2|+…+|a_n| < ε

를 얻습니다. 즉 ∞Σk=1a_k의 부분합 수열도 (같은 N으로) 코시 조건을 만족합니다. 1013번(코시 판정법, ⇔ 방향, 완비성에 근거한 존재성 정리를 그대로 재사용)에 의해 ∞Σk=1a_k는 수렴합니다.

주의. 이 정리의 역은 성립하지 않습니다 ― 즉 ∞Σk=1a_k가 수렴한다고 해서 ∞Σk=1|a_k|도 반드시 수렴하는 것은 아닙니다(그런 경우를 조건수렴한다고 부릅니다). 예를 들어 11.7(교대급수)에서 다룰 a_k:=(−1)^k/k는 |a_k|=1/k가 11.4 f772(조화급수의 발산)에 의해 발산하므로 이 정리로는 ∞Σk=1a_k의 수렴 여부를 전혀 판정할 수 없지만, 11.7의 교대급수판정법(라이프니츠 판정법)이라는 다른 도구로 실제로는 수렴함을 보입니다 ― 11.7 f1026에서 이 구체적인 사례로 조건수렴임을 완전히 확인합니다.

사용 : 1013번(코시 판정법) · 2.7의 146번(삼각부등식) · 선행학습 수학적 귀납법 · 11.4의 772번

증명 끝

1015정리·활용종합 예제 ― 선형성·유한개 항 변경·절대수렴(Worked Examples)a_k=(1/2)^k,  b_k=(1/3)^k

⑴ 선형성(1010번) 확인. a_k:=(1/2)^k, b_k:=(1/3)^k (k≥1)라 하면, 11.4 f774(무한등비급수의 합, 첫째항·공비 형태)에 의해

A := ∞Σk=1a_k = 1/21−1/2 = 1,     B := ∞Σk=1b_k = 1/31−1/3 = 1/2

이고, 1010번(합)에 의해 (a_k+b_k)의 급수는 A+B=3/2로 수렴합니다. 아래 그림은 세 부분합 수열이 실제로 각각 1, 1/2, 3/2로 수렴해가는 모습을 n=1,…,6까지 보여줍니다(회색 점선이 각 극한값).

⑵ 유한 개 항 변경(1011번) 확인. 위 급수 ∞Σk=1a_k에서 첫째항만 a₁=1/2에서 5로 바꾼 새 수열 b_k(b₁:=5, b_k:=a_k for k≥2)를 생각합시다. 1011번의 증명에서 C = b₁−a₁ = 5−1/2 = 9/2이므로, 새 급수도 수렴하고 그 합은

∞Σk=1b_k = ∞Σk=1a_k + C = 1 + 9/2 = 11/2

입니다. (검산 : 직접 b₁+{k≥2인 부분} = 5 + (1−1/2) = 5+1/2 = 11/2로 일치합니다. ― 여기서 1−1/2=1/2는 k=2부터 시작하는 나머지 등비급수의 합입니다.)

⑶ 절대수렴(1014번) 확인. c_k:=(−1/2)^k라 하면 |c_k|=(1/2)^k이고, 이는 방금 ⑴에서 A=1로 수렴함을 확인한 바로 그 급수이므로 ∞Σk=1|c_k|는 수렴합니다. 1014번에 의해 ∞Σk=1c_k도 수렴합니다. (검산 : 11.4 f774를 첫째항−1/2, 공비−1/2인 등비급수에 직접 적용해도 |−1/2|=1/2<1이므로 수렴하고, 그 합은 −1/21−(−1/2) = −1/3으로, 1014번이 보장하는 수렴이 실제 값과 모순 없이 일치합니다.)

⑷ 코시 판정법(1013번)의 쓸모 ― ε-밴드로 보기. 위 (1)의 a_k=(1/2)^k 급수는 S=1로 수렴하므로(부분합 S_n=1−(1/2)ⁿ), ε=0.05에 대해 N=5로 잡으면 S₅=31/32=0.96875부터 모든 부분합이 [S−ε, S] 구간(그림의 회색 밴드) 안에 들어옵니다. 예를 들어 n=7, m=5인 꼬리합은

a₆+a₇ = (1/2)⁶+(1/2)⁷ = 3/128 = S₇−S₅ < 0.05 = ε

로, 코시 판정법의 조건이 (극한값 S=1을 몰랐다고 가정해도) 그대로 확인됩니다.

사용 : 1010번 · 1011번 · 1013번 · 1014번 · 11.4의 774번