8.1 수능 핵심
함수와 그래프
Functions and Their Graphs
정의 · 공식과 증명
이 절부터 챕터 8(미분법, Differential Calculus)이 시작됩니다. 극한(8.2)·도함수(8.3–8.7)를 다루기 전에, 그 바탕이 되는 함수 자체의 성질들 — 정의역·치역과 그래프(615–617번), 우함수와 기함수(618–620번), 주기함수(621–622번), 단조함수(623–624번), 합성함수(625–626번), 역함수(627–628번) — 를 이 절에서 먼저 엄밀하게 정리해 둡니다. 여기서 확립하는 개념과 표기는 8장 전체는 물론 4장(삼각함수)·9장(적분법)에서도 계속 재사용됩니다.
615정의함수(Function)f : A → B
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 두 집합 A, B가 주어졌을 때, A의 각 원소 x에 B의 원소 y를 정확히 하나씩 대응시키는 규칙 f를 A에서 B로의 함수(function)라 하고, f : A → B로 나타냅니다. 이때 x에 대응하는 B의 원소를 f(x)로 쓰고, x에서의 f의 값(함숫값, value)이라 하며 y = f(x)라 표기합니다. «정확히 하나씩»이 함수의 핵심 조건입니다 — A의 어떤 원소가 대응하는 B의 원소가 없거나(정의되지 않음), 둘 이상 대응하면(값이 여럿) f는 함수가 아닙니다. 반면 B의 한 원소에 A의 여러 원소가 함께 대응하는 것은 얼마든지 허용됩니다.
화살표 도식 — 정의역 A의 각 원소에서 화살표가 정확히 하나씩 나가면 함수, 하나라도 둘 이상 나가면 함수가 아님
대학 집합론(set theory)의 언어로는 함수를 더 형식적으로 정의합니다 — A×B(A와 B의 곱집합, 순서쌍 (x,y)(x∈A,y∈B) 전체의 집합)의 부분집합 f 중에서 (ⅰ) 모든 x∈A에 대해 (x,y)∈f인 y∈B가 적어도 하나 존재하고(정의역 전체에서 정의됨), (ⅱ) (x,y₁)∈f이고 (x,y₂)∈f이면 항상 y₁=y₂(같은 x에서 값이 유일함, well-definedness)인 것을 f : A→B라 정의합니다. 본문의 «규칙»이라는 표현은 이 순서쌍 집합을 직관적으로 서술한 것이며, 수능 범위에서는 이 형식적 정의까지 다룰 필요가 없습니다.
616정의정의역·공역·치역과 그래프Gf = {(x,f(x)) : x∈A}
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f : A→B(615번)에서 A를 f의 정의역(domain), B를 f의 공역(codomain)이라 합니다. 공역의 부분집합
f(A) := {f(x) : x∈A} ⊆ B
를 f의 치역(range)이라 합니다 — 치역은 실제로 어떤 x의 함숫값으로 나타나는 B의 원소만 모은 것이므로 항상 f(A)⊆B이고, 등호가 성립하지 않을 수도 있습니다(즉 공역이 치역보다 넓을 수 있습니다). 함수 f : A→B의 그래프(graph)는 좌표평면 위의 점의 집합
Gf := {(x, f(x)) : x∈A}
로 정의합니다. 즉 그래프는 정의역의 각 원소 x와 그 함숫값 f(x)를 짝지은 순서쌍 전체를 평면 위의 점으로 나타낸 것입니다. 정의역이 실수의 부분집합이고 공역도 실수(또는 그 부분집합)인 함수를 흔히 실함수라 부르며, 이 절과 이후 미분법·적분법에서 다루는 함수는 특별한 언급이 없는 한 모두 이런 실함수입니다.
617정리그래프의 수직선 판정법곡선이 함수의 그래프 ⇔ 모든 수직선과 많아야 한 점에서 만남
증명법 : 두 개의 조건문이 성립함을 증명
좌표평면 위의 한 곡선 C가 주어졌다고 합시다. C가 어떤 함수 f : A→B(A,B⊆ℝ)의 그래프 Gf(616번)가 되기 위한 필요충분조건은, 좌표평면의 모든 수직선 x=k(k는 실수)가 C와 많아야 한 점에서 만나는 것임을 보입니다.
(⇒) C = Gf라 하고 임의의 수직선 x=k를 생각합니다. 616번의 정의에 의해 C 위의 점은 (x,f(x))(x∈A) 꼴이므로, 그 x좌표가 k인 점은 k∈A일 때 (k,f(k)) 단 하나뿐이고(615번, 함숫값의 유일성), k∉A이면 C 위에 그런 점이 아예 없습니다. 두 경우 모두 만나는 점은 많아야 하나이므로 성립합니다.
(⇐) 역으로 모든 수직선이 C와 많아야 한 점에서 만난다고 합시다. A := {k∈ℝ : x=k가 C와 정확히 한 점에서 만남}이라 정의하고, 각 x∈A에 대해 f(x)를 그 유일한 교점의 y좌표로 정의합니다. 그러면 x∈A인 각 x에 y=f(x)가 정확히 하나씩(가정에 의해 «정확히 한 점») 대응하므로 f는 A에서 ℝ로의 함수(615번)이고, 그 그래프 Gf는 정의에 의해 C와 정확히 일치합니다.
따라서 C가 함수의 그래프인 것과 모든 수직선이 C를 많아야 한 점에서 만나는 것은 동치입니다.
y=x²(포물선)은 임의의 수직선 x=k와 항상 한 점에서만 만나 함수의 그래프이지만, x²+y²=r²(원, 3.19)은 −r<k<r인 수직선과 두 점에서 만나 함수의 그래프가 아님
사용 : 615번(함수의 정의) · 616번(그래프의 정의) · 3.19의 f260번(원의 정의)
증명 끝
618정의우함수와 기함수f(−x) = f(x) (우함수), f(−x) = −f(x) (기함수)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 정의역 A가 원점에 대해 대칭인(즉 x∈A이면 −x∈A도 항상 성립하는) 함수 f : A→B에 대해 —
모든 x∈A에서 f(−x) = f(x)가 성립하면 f를 우함수(even function)라 하고,
모든 x∈A에서 f(−x) = −f(x)가 성립하면 f를 기함수(odd function)라 합니다.
정의역이 원점에 대해 대칭이어야 하는 이유는, f(−x)라는 값 자체가 뜻을 가지려면 −x도 정의역에 속해야 하기 때문입니다. 모든 함수가 우함수이거나 기함수인 것은 아니며(예 : f(x)=x+1은 두 조건 모두 만족하지 않습니다 — f(−1)=0≠f(1)=2이고 −f(1)=−2≠f(−1)=0), 우함수이면서 동시에 기함수인 것은 정의역 위에서 항등적으로 0인 함수뿐입니다(f(x)=f(−x)=−f(x)에서 2f(x)=0).
619정리우함수·기함수의 그래프 대칭성우함수 ⇔ y축 대칭, 기함수 ⇔ 원점 대칭
증명법 : 두 개의 조건문이 성립함을 증명
f : A→B(618번)의 그래프를 Gf(616번)라 합시다.
우함수 ⇔ y축 대칭 :
(⇒) f가 우함수라 하고 Gf 위의 임의의 점 P(a,f(a))(a∈A)를 생각합니다. P를 y축에 대해 반사시킨 점은 P′(−a,f(a))입니다. 정의역이 원점 대칭이므로 −a∈A이고, f가 우함수이므로 f(−a)=f(a)입니다. 즉 P′=(−a,f(−a))이므로 P′도 Gf 위의 점입니다. a가 임의였으므로 Gf를 y축에 대해 반사시켜도 Gf 그대로이고, 이는 Gf가 y축에 대해 대칭임을 뜻합니다.
(⇐) 역으로 Gf가 y축에 대해 대칭이라 하고 임의의 a∈A를 생각합니다. 점 (a,f(a))는 Gf 위에 있고, Gf가 y축 대칭이므로 그 반사점 (−a,f(a))도 Gf 위에 있습니다. 그런데 616번에 의해 Gf 위에서 x좌표가 −a인 점은 (−a,f(−a)) 단 하나뿐이므로(615번, 함숫값의 유일성) f(−a)=f(a)입니다. a가 임의였으므로 f는 우함수입니다.
기함수 ⇔ 원점 대칭 : 같은 논증에서 y축 반사 (a,f(a))↦(−a,f(a)) 대신 원점에 대한 점대칭(180° 회전) (a,f(a))↦(−a,−f(a))을 쓰면, f(−a)=−f(a)(기함수의 정의)와 그래프가 원점 대칭이라는 것이 같은 방식으로 동치임을 얻습니다.
사용 : 615번(함숫값의 유일성) · 616번(그래프의 정의) · 618번(우함수·기함수의 정의)
증명 끝
620정리우함수·기함수의 사칙연산(우)·(우)=우, (기)·(기)=우, (우)·(기)=기
증명법 : 여러 가지 경우를 나누는 방법
두 함수 f, g가 원점 대칭인 같은 정의역 A 위에서 정의되어 있다고 합시다. h(x):=f(x)+g(x), k(x):=f(x)·g(x)라 하면, 618번의 정의를 각 경우에 그대로 대입하여 다음을 얻습니다.
| f,g 모두 우함수 ⇒ h(−x)=f(−x)+g(−x)=f(x)+g(x)=h(x) | h도 우함수 |
| f,g 모두 기함수 ⇒ h(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−h(x) | h도 기함수 |
| f,g 모두 우함수 ⇒ k(−x)=f(−x)g(−x)=f(x)g(x)=k(x) | k도 우함수 |
| f,g 모두 기함수 ⇒ k(−x)=f(−x)g(−x)=(−f(x))(−g(x))=f(x)g(x)=k(x) | k는 우함수 |
| f 우함수, g 기함수 ⇒ k(−x)=f(−x)g(−x)=f(x)(−g(x))=−k(x) | k는 기함수 |
모든 경우가 618번의 정의를 그대로 대입해 확인한 것뿐이므로 별도의 기하학적 논증이 필요 없습니다. (참고 : 우함수와 기함수의 합은 일반적으로 우함수도 기함수도 아닙니다 — 예를 들어 f(x)=x²(우함수)과 g(x)=x³(기함수)의 합 x²+x³은 h(−1)=1−1=0이지만 h(1)=1+1=2≠0=h(−1)이므로 우함수가 아니고, h(−1)=0≠−h(1)=−2도 아니므로 기함수도 아닙니다.)
사용 : 618번(우함수·기함수의 정의)
증명 끝
621정의주기함수(Periodic Function)f(x+T) = f(x) (모든 x∈A)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f : A→B에 대해, 0이 아닌 실수 T가 존재하여 —
(ⅰ) 모든 x∈A에 대해 x+T∈A이고,
(ⅱ) 모든 x∈A에 대해 f(x+T)=f(x)
가 성립하면 f를 주기함수(periodic function)라 하고, 이러한 T를 f의 주기(period)라 합니다. 주기가 되는 양의 실수들 중 최솟값이 존재하면 그것을 f의 기본주기(fundamental period)라 부릅니다(항상 존재하는 것은 아닙니다 — 예를 들어 상수함수는 모든 0이 아닌 실수가 주기이므로 양의 주기 중 최솟값이 없습니다).
주기 T마다 같은 모양이 반복되는 함수 — f(0)=f(T)=f(2T)=f(3T)
622정리주기의 정수배도 주기(따름)T가 주기 ⇒ 모든 자연수 n에 대해 nT도 주기
증명법 : 수학적 귀납법
T가 f(621번)의 주기라 하고, 명제 P(n) : «nT도 f의 주기이다»(n은 자연수)를 수학적 귀납법으로 증명합니다.
기초 단계 : P(1)은 «T가 f의 주기이다»이므로 가정에 의해 참입니다.
귀납 단계 : P(n)이 참, 즉 nT가 f의 주기라고 가정합니다. 그러면 nT가 주기라는 가정에 의해 모든 x∈A에서 x+nT∈A이고, T가 주기라는 가정에 의해 (x+nT)+T∈A이므로 x+(n+1)T∈A입니다. 함숫값에 대해서도
| f(x+(n+1)T) = f((x+nT)+T) | 결합법칙(덧셈) |
| = f(x+nT) | T가 주기(621번) — x+nT∈A에 적용 |
| = f(x) | 귀납 가정 P(n) |
이므로 (n+1)T도 f의 주기입니다. 즉 P(n) ⇒ P(n+1)이 성립합니다.
기초 단계와 귀납 단계가 모두 성립하므로, 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 n에 대해 nT는 f의 주기입니다.
사용 : 621번(주기함수의 정의)
증명 끝
623정의단조함수 — 증가함수·감소함수x₁<x₂ ⇒ f(x₁)<f(x₂) (증가), f(x₁)>f(x₂) (감소)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f의 정의역에 속하는 구간 I 위에서, I에 속하는 임의의 x₁,x₂에 대해 —
x₁<x₂이면 항상 f(x₁)<f(x₂)가 성립하면 f는 I에서 증가함수(increasing function)이고,
x₁<x₂이면 항상 f(x₁)>f(x₂)가 성립하면 f는 I에서 감소함수(decreasing function)입니다.
이 둘을 통틀어 단조함수(monotonic function)라 부릅니다. (부등호에 등호를 허용한 x₁<x₂ ⇒ f(x₁)≤f(x₂) / f(x₁)≥f(x₂)의 경우는 각각 감소하지 않는(non-decreasing) 함수·증가하지 않는(non-increasing) 함수라 하여 구별합니다 — 이 절에서 «증가·감소»라 하면 등호를 허용하지 않는 강한 의미로 씁니다.)
624정리단조함수는 일대일함수f가 구간 I에서 단조함수 ⇒ f는 I에서 일대일함수
증명법 : 대우증명법
f가 구간 I에서 증가함수라 합시다(«f가 일대일함수이다»의 대우 «x₁≠x₂이면 f(x₁)≠f(x₂)»를 보이면 충분합니다). I에 속하는 x₁≠x₂를 임의로 잡으면 x₁<x₂ 또는 x₂<x₁ 중 하나입니다.
| x₁<x₂일 경우 | x₂<x₁일 경우 |
| 623번(증가함수)에 의해 f(x₁)<f(x₂), 즉 f(x₁)≠f(x₂) | 623번에 의해 f(x₂)<f(x₁), 즉 f(x₁)≠f(x₂) |
두 경우 모두 f(x₁)≠f(x₂)이므로, 대우에 의해 f는 일대일함수입니다. f가 감소함수인 경우도 부등호 방향만 바뀔 뿐 완전히 같은 논증이 적용됩니다.
사용 : 623번(단조함수의 정의)
증명 끝
625정의합성함수(Composite Function)(g∘f)(x) = g(f(x))
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 두 함수 f : A→B, g : C→D가 주어졌을 때 f(A)⊆C(즉 f의 치역이 g의 정의역에 포함됨)이면, A에서 D로의 새 함수 g∘f를 —
(g∘f)(x) := g(f(x)) (x∈A)
로 정의하고, 이를 f와 g의 합성함수(composite function)라 합니다(«f 다음에 g»의 순서로 읽습니다). f(A)⊆C라는 조건은 g(f(x))가 뜻을 가지려면 f(x)가 g의 정의역 C에 속해야 하기 때문에 필요합니다.
x∈A가 f로 f(x)∈B에, 다시 g로 g(f(x))∈C에 대응 — 이 전체를 (g∘f)(x)로 씀
626정리합성함수의 결합법칙(h∘g)∘f = h∘(g∘f)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
세 함수 f : A→B, g : B→C, h : C→D가(625번의 조건을 만족하며) 주어졌다고 합시다. 두 함수가 같다는 것은 정의역이 같고 정의역의 모든 점에서 함숫값이 같다는 뜻이므로(615번), (h∘g)∘f와 h∘(g∘f)가 둘 다 A에서 D로의 함수이고 정의역이 A로 같음을 확인한 뒤, 임의의 x∈A에서 두 값이 같음을 보이면 충분합니다. 625번의 정의를 그대로 적용하면
| ((h∘g)∘f)(x) = (h∘g)(f(x)) | 625번(바깥쪽 합성 h∘g와 f의 합성) |
| = h(g(f(x))) | 625번(h∘g의 정의를 f(x)에 적용) |
| = h((g∘f)(x)) | 625번(g∘f의 정의)의 역방향 대입 |
| = (h∘(g∘f))(x) | 625번(바깥쪽 합성 h와 g∘f의 합성) |
이므로 모든 x∈A에서 ((h∘g)∘f)(x) = (h∘(g∘f))(x)이고, 따라서 (h∘g)∘f = h∘(g∘f)입니다.
(참고 : 합성은 결합법칙은 성립하지만 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않습니다 — 예를 들어 f(x)=x+1, g(x)=2x라 하면 (g∘f)(x)=2(x+1)=2x+2이지만 (f∘g)(x)=2x+1이므로 g∘f ≠ f∘g입니다.)
사용 : 615번(함수가 같다는 것의 의미) · 625번(합성함수의 정의)
증명 끝
627정의역함수(Inverse Function)y=f(x) ⇔ x=f−1(y)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f : A→B가 일대일대응(bijection — A에서 B로 일대일함수이면서 f(A)=B, 즉 치역과 공역이 일치함)이라 합시다. 그러면 B의 각 원소 y에 대해 f(x)=y인 x∈A가 (일대일이므로 많아야 하나, 치역=공역이므로 적어도 하나) 정확히 하나 존재합니다. 이 대응 y↦x를 f의 역함수(inverse function)라 하고 f−1 : B→A로 나타내며, 정의에 의해
y = f(x) ⇔ x = f−1(y)
가 성립합니다. f가 일대일대응이 아니면(일대일이 아니거나 치역이 공역보다 좁으면) 역함수가 정의되지 않습니다.
628정리역함수의 기본 성질f−1(f(x))=x, f(f−1(y))=y, 그래프는 y=x에 대해 대칭
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
f : A→B가 627번처럼 일대일대응이고 역함수 f−1 : B→A를 가진다고 합시다.
(1) 항등함수 관계 : 임의의 x∈A에 대해 y:=f(x)라 하면 627번의 동치 관계에 의해 x=f−1(y)=f−1(f(x))이므로
f−1(f(x)) = x (모든 x∈A)
이고, 마찬가지로 임의의 y∈B에 대해 x:=f−1(y)라 하면 y=f(x)=f(f−1(y))이므로
f(f−1(y)) = y (모든 y∈B)
입니다.
(2) 그래프의 대칭 : 먼저 좌표평면에서 점 (a,b)를 직선 y=x에 대해 반사시키면 점 (b,a)가 됨을 확인합니다 — 두 점의 중점 M=(a+b2,a+b2)는 두 좌표가 같으므로 직선 y=x 위에 있고, 방향벡터 (b−a,a−b)와 직선 y=x의 방향벡터 (1,1)의 내적은
(b−a)·1 + (a−b)·1 = 0
이므로 선분 (a,b)(b,a)는 y=x에 수직입니다. 즉 y=x는 선분 (a,b)(b,a)의 수직이등분선이므로, (a,b)의 y=x에 대한 반사점은 정확히 (b,a)입니다.
이제 점 (a,b)가 f의 그래프 Gf(616번) 위에 있다고 하면
| (a,b)∈Gf | 616번(그래프의 정의) |
| ⇔ b=f(a) | 616번 |
| ⇔ a=f−1(b) | 627번(역함수의 동치 관계) |
| ⇔ (b,a)∈Gf−1 | 616번(f−1의 그래프) |
이므로, (a,b)가 Gf 위에 있는 것과 그 반사점 (b,a)가 Gf−1 위에 있는 것은 동치입니다. 이는 Gf를 직선 y=x에 대해 반사시킨 것이 정확히 Gf−1라는 뜻이므로, 두 그래프는 직선 y=x에 대해 서로 대칭입니다.
f(x)=x²(x≥0)과 그 역함수 f−1(x)=x — 점 (a,a²)과 (a²,a)가 직선 y=x에 대해 대칭
사용 : 615번 · 616번(그래프의 정의) · 627번(역함수의 정의)
증명 끝