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2.6   수능 관련

방정식

Equations

정의 · 공식과 증명

방정식 관련 공식 7개(119~125번)를 정리합니다. 119~124번(일차방정식, 이차방정식의 근의 공식, 판별식, 근과 계수의 관계)은 국내 고등학교 교육과정의 핵심 내용입니다.
범위 안내 : 125번(삼차방정식의 카르다노 공식)은 현행 고교 교육과정·수능 범위 밖의 대학 대수학(체론·갈루아 이론으로 이어지는 방정식론) 내용입니다. 수능 준비생은 여기까지 공부할 필요가 없습니다.
이 절에서는 별도 언급이 없으면 계수 a, b, c, p, q는 실수로 둡니다.

119정리일차방정식ax + b = 0  ⇒  x = −ba (a ≠ 0)

증명법 : 직접증명법

ax + b = 0	주어진 식
ax = −b	양변에서 b를 뺌 — 1.3의 35번(덧셈의 역원)
∴ x = −ba	양변을 a(≠ 0)로 나눔 — 1.3의 40번(곱셈의 역원)

a = 0인 경우는 일차방정식이 아니며, b = 0이면 모든 실수가 해, b ≠ 0이면 해가 없습니다(∅).

사용 : 1.3의 35번(덧셈의 역원) · 40번(곱셈의 역원)

증명 끝

120정리이차방정식의 근의 공식ax² + bx + c = 0  ⇒  x = −b ± b² − 4ac2a (a ≠ 0)

증명법 : 직접증명법 (완전제곱식 만들기)

a ≠ 0이므로 양변을 a로 나눈 뒤, x의 계수의 절반의 제곱인 (b2a)²을 더하고 다시 빼서 완전제곱식을 만듭니다.

근호의 약속 : D = b² − 4ac ≥ 0이면 D는 2.4절의 제곱근(0 이상이고 (D)² = D, 2.4의 96번)입니다. D < 0이면 D = −D i 로 약속합니다. 이때도 (−D i)² = (−D)·i² = D이므로, 어느 경우든 (D)² = D입니다.

x2 + bax + ca = 0	양변을 a로 나눔
x2 + 2 · b2a · x + (b2a)2 − (b2a)2 + ca = 0	(b2a)2을 더하고 뺌
(x + b2a)2 = (b2a)2 − ca	2.2의 74번(합의 제곱)을 역방향으로 사용
(x + b2a)2 = b2 − 4ac4a2	우변을 통분
(x + b2a)2 − s2 = 0,   단 s = b2 − 4ac2a	위의 근호 약속에서 (D)2 = D이므로 s2 = b2 − 4ac4a2 (2.3의 85번)
(x + b2a − s)(x + b2a + s) = 0	2.1의 65번(제곱의 차)
x + b2a = s  또는  x + b2a = −s	두 수의 곱이 0이면 적어도 하나가 0 — 123번의 근거와 같음(복소수에서도 0이 아닌 수는 1.4의 51번으로 역수를 가짐)
∴ x = −b ± b2 − 4ac2a	양변에서 b2a을 뺌

실근·허근 : b² − 4ac ≥ 0이면 근호 안이 0 이상이므로 두 근이 모두 실수입니다. b² − 4ac < 0이면 1.4절의 허수단위 i를 써서 b² − 4ac = 4ac − b² i 이고(위의 근호 약속), 이때 두 근은 서로 켤레인 허근이 됩니다. 또 위 증명은 제곱의 차로 인수분해했으므로 근이 이 두 값뿐임도 함께 보여 줍니다.

사용 : 2.2의 74번(합의 제곱) · 2.1의 65번(제곱의 차) · 123번(곱이 0이면 한 인수가 0) · 2.4의 96번 · 2.3의 85번 · 1.3의 사칙연산 공리 · 1.4의 허수단위·51번(D < 0인 경우)

증명 끝

121정의판별식D = b² − 4ac

120번의 근의 공식에서 근호 안의 식을 판별식이라 부르고 D로 씁니다. 정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

D = b² − 4ac

계수가 실수일 때, 120번의 근의 공식에서 D의 부호에 따라 근의 모양이 다음과 같이 결정됩니다 (이 성질 자체는 정의가 아니라 120번에서 곧바로 따라오는 사실입니다).

D > 0	서로 다른 두 실근
D = 0	중근(서로 같은 두 실근, 실제 값은 하나)
D < 0	서로 켤레인 두 허근

사용 : 120번(근의 공식)

122정리비에트의 공식 (근과 계수의 관계)x² + px + q = 0의 두 근이 x₁, x₂이면   x₁ + x₂ = −p,   x₁x₂ = q

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

여기서 “두 근”은 120번이 주는 두 값을 말합니다 — 판별식이 0이면 같은 값을 두 번 센 중근, 음수이면 서로 켤레인 두 허근입니다. 120번에 a = 1, b = p, c = q를 대입하면 두 근은 다음과 같습니다.

x₁ = −p + p² − 4q2,    x₂ = −p − p² − 4q2

두 근의 합

x1 + x2 = (−p + p2 − 4q) + (−p − p2 − 4q)2	두 근을 더함
= −2p2 = −p	근호 항이 상쇄됨

두 근의 곱

x1x2 = (−p)2 − (p2 − 4q)24	2.1의 65번(제곱의 차)
= p2 − (p2 − 4q)4 = 4q4 = q	정리

일반형에서 : ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 양변을 a로 나누면 p = ba, q = ca이므로, 위 결과는 다음과 같이 바뀝니다.

x₁ + x₂ = −ba,     x₁x₂ = ca

D < 0이어서 두 근이 허근인 경우에도 위 계산은 그대로 성립합니다(근호 항이 상쇄되고 제곱의 차만 남기 때문입니다 — 곱에서 쓴 (p² − 4q)² = p² − 4q는 120번의 근호 약속으로 음수일 때도 성립합니다). 중근이면 근호 항이 0이므로 x₁ = x₂ = −p2로 두고 같은 계산이 됩니다.

사용 : 120번(근의 공식) · 2.1의 65번(제곱의 차)

증명 끝

123정리c = 0인 이차방정식ax² + bx = 0  ⇒  x = 0 또는 x = −ba (a ≠ 0)

증명법 : 직접증명법 (인수분해 후 경우 나누기)

ax2 + bx = x(ax + b) = 0	분배법칙으로 x를 묶어냄
x = 0 또는 ax + b = 0	두 수의 곱이 0이면 적어도 하나가 0 (x ≠ 0이면 양변에 1x을 곱해 ax + b = 0 — 1.3의 40번·41번·43번)
∴ x = 0 또는 x = −ba	119번(일차방정식)

표기 정정 : 이전 판에서는 이 항목의 제목이 “b = 0인 이차방정식”으로 되어 있었으나, 식 ax² + bx = 0에서 실제로 빠진 계수는 상수항이므로 c = 0인 경우가 맞습니다.

사용 : 분배법칙 · 1.3의 40번·41번(곱이 0이면 한 인수가 0) · 119번

증명 끝

124정리b = 0인 이차방정식ax² + c = 0  ⇒  x = ±−ca (a ≠ 0, −ca ≥ 0)

증명법 : 직접증명법

ax2 = −c	양변에서 c를 뺌
x2 = −ca	양변을 a(≠ 0)로 나눔
∴ x = ±−ca	s = −ca라 하면 x2 − s2 = (x − s)(x + s) = 0이므로 x = ±s (120번과 같은 논법) — −ca ≥ 0일 때 실근

−ca < 0이면 실근이 없고, 120번의 근호 약속으로 같은 논법을 쓰면 두 허근 x = ±ca i 를 얻습니다.

120번과의 일치 확인 : 근의 공식에 b = 0을 대입하면 x = ±−4ac2a = ±−aca이고, 한편 −ca = −ac|a|입니다. a < 0이면 두 식의 부호가 서로 반대이지만, 앞에 ±가 붙어 있으므로 두 근의 집합은 같습니다.

사용 : 120번(b = 0인 특수한 경우, 근호 약속과 논법) · 2.1의 65번(제곱의 차) · 2.4의 96번(짝수 제곱근과 절댓값)

증명 끝

125정리대학삼차방정식의 카르다노 공식 (Cardano’s Formula)y³ + py + q = 0  ⇒  y₁ = u + v,   y₂, y₃ = −(u + v)2 ± 32(u − v) i u = 3−q2 + (q2)² + (p3)³,   v = 3−q2 − (q2)² + (p3)³,   uv = −p3

증명법 : 직접증명법 (치환법)

범위 안내 : 이 항목은 고교 교육과정·수능 범위 밖입니다 (대학 대수학의 방정식론). 아래 증명은 삼차방정식이 왜 “근호로 풀리는가”를 보여 주는 고전적 유도이며, 수능 준비생은 읽지 않아도 됩니다.

0단계 — 일반형을 축소형으로. 일반 삼차방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)은 x = y − b3a으로 치환하고 양변을 a로 나누면 이차항이 사라져 아래의 축소형 y³ + py + q = 0이 됩니다 (p = 3ac − b²3a², q = 2b³ − 9abc + 27a²d27a³). 그래서 축소형만 풀면 충분합니다.

1단계 — 두 변수로 쪼개기. y = u + v로 두고, u, v는 아직 정하지 않은 두 수라고 봅니다.

y3 = (u + v)3 = u3 + v3 + 3uv(u + v)	2.2의 76번(합의 세제곱)
= u3 + v3 + 3uv · y	u + v = y
∴ y3 − 3uv · y − (u3 + v3) = 0	이항

2단계 — 계수 비교. 이 식이 원래의 y³ + py + q = 0과 같아지도록 u, v를 고르면 됩니다. 즉 다음 두 조건을 만족하는 u, v를 찾습니다.

uv = −p3    …①
u³ + v³ = −q    …②

3단계 — u³, v³을 두 근으로 갖는 이차방정식. ①의 양변을 세제곱하면 u³v³ = (uv)³ = (−p3)³ = −(p3)³이므로, 122번(근과 계수의 관계)을 거꾸로 쓰면 u³, v³은 다음 이차방정식의 두 근입니다.

t² + qt − (p3)³ = 0

t = −q ± q2 + 4(p3)32	120번(근의 공식)
= −q2 ± (q2)2 + (p3)3	근호 안을 14로 정리

4단계 — 세제곱근을 취한다. u³, v³에 세제곱근을 취하면 u, v를 얻습니다. 이때 세제곱근의 세 값 중 아무거나 골라서는 안 되고, 반드시 ① (uv = −p3)를 만족하는 짝만 골라야 합니다. 이 조건을 빠뜨리면 근이 아닌 값이 섞여 나옵니다.

그런 짝은 언제나 있습니다. 3단계 이차방정식의 두 근을 t₁, t₂라 하고 u³ = t₁인 u를 하나 잡습니다. u ≠ 0이면 v = −p3u로 두면 ①이 성립하고, v³ = −(p3)³u³ = t₁t₂t₁ = t₂ (122번, 두 근의 곱 t₁t₂ = −(p3)³)이므로 u³ + v³ = t₁ + t₂ = −q(122번, 두 근의 합)로 ②도 성립합니다. u = 0이면 t₁ = 0이라 t₁t₂ = −(p3)³ = 0, 곧 p = 0이고, v를 v³ = t₂ = −q인 아무 수로 잡으면 ①②가 성립합니다.

u = 3−q2 + (q2)² + (p3)³,     v = 3−q2 − (q2)² + (p3)³

5단계 — 나머지 두 근. 1의 원시세제곱근 ω = −1 + 3 i2(1.4 63번에서 z = 1, n = 3인 경우로 ω³ = 1, 그리고 1 + ω + ω² = 0)을 이용하면 u의 다른 두 세제곱근은 ωu, ω²u이고, 각각에 ①를 만족시키는 짝 ω²v, ωv((ωu)(ω²v) = ω³uv = uv)를 맞추어 더하면 나머지 두 근 y₂ = ωu + ω²v, y₃ = ω²u + ωv가 나옵니다. 정리하면 다음과 같습니다.

y₁ = u + v,     y₂, y₃ = −(u + v)2 ± 32(u − v) i

근은 이 셋뿐이다. ω³ = 1, 1 + ω + ω² = 0을 써서 전개하면 항등식 y³ − 3uv·y − (u³ + v³) = (y − u − v)(y − ωu − ω²v)(y − ω²u − ωv) 가 성립하고, ①②에 의해 좌변은 y³ + py + q입니다. 따라서 y³ + py + q = (y − y₁)(y − y₂)(y − y₃)이고, 곱이 0이 되는 것은 어느 한 인수가 0일 때뿐이므로 축소형의 근은 y₁, y₂, y₃뿐입니다. 이 가운데 같은 값이 있으면(근호 안이 0인 경우 등) 그 값이 중근입니다.

u의 세 세제곱근을 ω로 돌려 얻는 이 구조는 1.4절의 복소수 n제곱근(63번, n = 3인 경우)에서 온 것입니다. 또한 근호 안의 (q2)² + (p3)³이 음수이면 (세 근이 모두 실수인 경우) 계산 도중 반드시 허수가 등장합니다 — 이를 환원 불능의 경우 (casus irreducibilis)라 하며, 복소수가 수학에 받아들여지게 된 역사적 계기가 되었습니다.

사용 : 2.2의 76번(합의 세제곱) · 120번(근의 공식) · 122번(근과 계수의 관계, 역방향) · 1.4의 63번(복소수의 n제곱근, n = 3 : 1의 세제곱근 ω와 u의 세 세제곱근)

증명 끝