3.28 범위 밖(백과사전)
직사각형 쐐기
Rectangular Right Wedge
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 직육면체(3.23)의 밑면은 그대로 두고 윗면을 밑면과 평행한 채로 폭이 0인 선분으로 오그라뜨려 만든 다면체인 직사각형 쐐기(rectangular right wedge)를 다룹니다. 밑면 ABCD는 변 AB=DC=a, BC=AD=b인 직사각형이고, 윗변(마루선, ridge) EF는 AB와 평행하며 길이가 c(0<c<a)이고, 밑면의 중심 O의 바로 위, 높이 h인 곳에서 밑면과 양방향으로 대칭이 되도록 놓입니다(AB 방향으로는 양 끝에서 각각 a-c2만큼, BC 방향으로는 정확히 절반인 b2만큼 안쪽으로 들어온 위치). 이 절의 공식 7개(326~332번)를 정리합니다.
직사각형 쐐기 ABCD-EF — 밑면 ABCD(변 a, b), 마루선 EF(길이 c, AB와 평행), 밑면의 중심 O의 바로 위 높이 h(점선은 보이지 않는 모서리 AD, DC, DE와 내부의 축)
326정의직사각형 쐐기직사각형 쐐기 = 직육면체의 밑면은 그대로 두고 윗면을 폭 0인 선분(길이 c)으로 오그라뜨린 다면체
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 직육면체(3.23의 292번)는 밑면과 합동인 윗면을 갖지만, 이 윗면을 밑면과 평행하게 유지한 채로 한 방향(BC 방향)으로 완전히 오그라뜨려 폭이 0인 선분으로 만들면 5개의 면을 가진 다면체가 되는데, 이를 직사각형 쐐기(rectangular right wedge) 또는 쐐기라 합니다. 밑면 ABCD는 변 AB=DC=a, BC=AD=b인 직사각형이고, 오그라든 윗변을 EF(마루선, ridge)라 하면 EF는 AB, DC와 평행하고 길이는 c(0<c<a)입니다. 대칭성에 의해 EF는 밑면의 중심 O의 바로 위, 높이 h인 곳에 AB 방향으로도 BC 방향으로도 중앙에 위치합니다 — 즉 AB의 두 끝점 A, B로부터 각각 a-c2만큼 안쪽으로 들어온 두 점이 EF의 두 끝점이 되도록, 그리고 BC 방향으로는 정확히 절반(b2)만큼 들어온 위치에 EF가 놓입니다. E는 A, D에 가까운 쪽, F는 B, C에 가까운 쪽입니다.
이 다면체는 꼭짓점 6개(A, B, C, D, E, F), 모서리 9개(AB, BC, CD, DA, AE, DE, BF, CF, EF), 면 5개(밑면 ABCD, 옆면 사다리꼴 ABFE·DCFE, 옆면 삼각형 ADE·BCF)로 이루어져 있으며, 6-9+5=2로 오일러 공식을 만족합니다. 옆면 사다리꼴 ABFE, DCFE는 각각 변 AB=DC=a, EF=c를 평행한 두 변으로 갖는 이등변사다리꼴이고(다리의 길이가 같음은 327번에서 확인), 옆면 삼각형 ADE, BCF는 각각 밑변 AD=BC=b인 이등변삼각형입니다. 특수한 경우로 c=0이면 EF가 한 점이 되어 밑면이 ABCD이고 정점이 하나인 각뿔(3.25의 302번)이 되고, c=a이면 옆면 삼각형이 사라지면서 옆넓이가 0인 삼각기둥(3.24의 298번)이 됩니다 — 이 두 경우는 이 절의 부피 공식(332번)에 대한 자연스러운 검산 기준이 됩니다.
사용 : 3.23의 292번(직육면체의 정의) · 3.25의 302번(각뿔의 정의) · 3.24의 298번(각기둥의 정의)
327정리옆모서리의 길이l = h²+(a-c)²4+b²4
증명법 : 직접증명법
모서리 AE의 길이를 구합니다(나머지 세 모서리 DE, BF, CF도 대칭성에 의해 같은 길이임을 뒤에서 확인합니다). E에서 밑면 ABCD에 내린 수선의 발을 E′라 하면(326번의 대칭 위치 서술에 의해 E′는 AB 위의 점 G로부터 BC 방향으로 b2만큼 들어온 점이며, G는 A로부터 AB 방향으로 a-c2만큼 나아간 점입니다), 직사각형의 두 변 AB⊥AD이므로 AG⊥GE′이고 삼각형 AGE′는 G에서 직각인 직각삼각형입니다. 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
AE′² = AG²+GE′² = (a-c)²4+b²4
또한 EE′⊥밑면(높이, 정의상 h)이므로 EE′⊥AE′이고, 삼각형 AE′E는 E′에서 직각인 직각삼각형입니다. 다시 피타고라스 정리를 적용하면
AE² = AE′²+EE′² = (a-c)²4+b²4+h²
길이는 양수이므로
l = AE = h²+(a-c)²4+b²4
이 유도는 A를 D로, a-c2 및 b2를 정하는 안쪽 이동을 대칭적으로 반영하는 것만으로 D, B, C에서도 그대로 반복되므로 DE=BF=CF=l 역시 성립합니다 — 네 옆모서리는 모두 길이가 같습니다.
모서리 AE의 길이를 구하는 이중 피타고라스 — 밑면 위의 직각삼각형 AGE′(다리 a-c2, b2)로 AE′를 먼저 구하고, 수직인 EE′=h를 더해 다시 피타고라스 정리를 적용해 AE=l을 구함 (G, E′는 실제 다면체의 꼭짓점이 아닌 보조점)
사용 : 326번(정의, 대칭 위치) · 3.1의 163번(피타고라스 정리, 두 번 적용)
증명 끝
328정리옆면 사다리꼴의 높이s = h²+b²4
증명법 : 직접증명법
옆면 사다리꼴 ABFE는 다리 AE=BF=l(327번)인 이등변사다리꼴이므로, AB의 중점 M₁과 EF의 중점 M₂를 잇는 선분(대칭축)은 두 평행한 변 AB, EF에 각각 수직입니다(이등변삼각형의 대칭축이 밑변에 수직인 성질, 3.2의 173번과 같은 논리를 이등변사다리꼴에 적용). 따라서 M₁M₂가 이 사다리꼴의 높이입니다.
M₁은 밑면 위의 점으로, O(밑면의 중심)로부터 AB에 수직 방향(BC 방향)으로 b2만큼 떨어져 있습니다(M₁은 AB의 중점, O는 밑면의 중심이므로). 한편 M₂는 EF의 중점으로, 326번의 대칭 위치에 의해 O의 바로 위, 높이 h인 곳에 있습니다. 따라서 삼각형 M₁OM₂는 O에서 직각인 직각삼각형(M₁O는 밑면 위에, OM₂는 밑면에 수직으로 놓여 있으므로)이고, 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
| M₁M₂² = M₁O²+OM₂² | 피타고라스 정리(3.1의 163번), 직각은 O에서 |
| = b²4+h² | M₁O=b/2, OM₂=h 대입 |
s = M₁M₂ = h²+b²4
옆면 사다리꼴 ABFE(붉은 면)의 대칭축 M₁M₂ — M₁은 AB의 중점, M₂는 EF의 중점(=O의 바로 위, 높이 h)
축 단면(정확한 2D 직각삼각형) — 밑변 b2, 높이 h, 빗변 s
사용 : 326번 · 327번(다리의 길이 l) · 3.2의 173번과 같은 논리(대칭축과 밑변의 수직) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
329정리옆면 삼각형의 높이m = h²+(a-c)²4
증명법 : 직접증명법
옆면 삼각형 ADE는 AE=DE=l(327번)인 이등변삼각형이므로, 꼭짓점 E에서 밑변 AD에 내린 수선의 발은 AD의 중점 M₁′와 일치합니다(이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선=수선=중선, 3.2의 173번). 따라서 EM₁′가 이 삼각형의 높이입니다.
E에서 밑면에 내린 수선의 발 E′(327번에서 정의한 점, AB 위의 점 G로부터 BC 방향으로 b2만큼 들어온 점이며 G는 A로부터 AB 방향으로 a-c2만큼 나아간 점)와 M₁′(AD의 중점)은 둘 다 밑면 위의 점입니다 — 이 두 점은 AD 방향(BC와 평행한 방향) 좌표가 똑같이 b2이고 AB 방향 좌표만 각각 a-c2와 0으로 다르므로, E′M₁′=a-c2이고 E′M₁′⊥AD입니다. EE′⊥밑면(높이, 327번)이므로 EE′⊥E′M₁′이고, 삼각형 EE′M₁′는 E′에서 직각인 직각삼각형입니다. 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
| M₁′E² = EE′²+E′M₁′² | 피타고라스 정리(3.1의 163번), 직각은 E′에서 |
| = h²+(a-c)²4 | EE′=h, E′M₁′=a-c2 대입 |
m = EM₁′ = h²+(a-c)²4
옆면 삼각형 ADE(남색 면)의 높이 EM₁′ — M₁′은 AD의 중점
축 단면(정확한 2D 직각삼각형) — 밑변 a-c2, 높이 h, 빗변 m
사용 : 326번(대칭 위치) · 327번(다리의 길이 l, E′의 위치) · 3.2의 173번(이등변삼각형의 대칭성) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
330정리옆넓이Sₗₐₜ = (a+c)s + bm
증명법 : 직접증명법
옆면은 합동인 이등변사다리꼴 2개(ABFE, DCFE, 평행한 두 변 a, c와 높이 s(328번))와 합동인 이등변삼각형 2개(ADE, BCF, 밑변 b와 높이 m(329번))로 이루어져 있습니다 (326번). 사다리꼴의 넓이 공식(3.9의 217번, S=a+b2·h)에 의해 사다리꼴 하나의 넓이는 a+c2s이고, 삼각형 넓이 공식(3.4의 195번, S=밑변·높이2)에 의해 삼각형 하나의 넓이는 bm2입니다. 옆넓이는 이 네 면의 넓이의 합이므로
Sₗₐₜ = 2·a+c2s + 2·bm2 = (a+c)s + bm
사용 : 326번(면의 구성) · 328번(s) · 329번(m) · 3.9의 217번(사다리꼴 넓이) · 3.4의 195번(삼각형 넓이)
증명 끝
331정리겉넓이S = ab + Sₗₐₜ (= ab + (a+c)s + bm)
증명법 : 직접증명법
겉넓이는 밑면과 옆넓이의 합입니다. 밑면 ABCD는 변 a, b인 직사각형이므로 넓이는 ab(3.6의 204번)이고, 옆넓이는 Sₗₐₜ=(a+c)s+bm(330번)이므로
S = ab + Sₗₐₜ = ab + (a+c)s + bm
검산 : c→a(삼각기둥이 되는 극한)에서 옆면 삼각형의 밑변 a-c2→0이 되어 m→h이고, S→ab+2ah+bh가 됩니다. 이는 삼각형 밑면(넓이 bh2)과 옆모서리 길이 a인 삼각기둥의 겉넓이(밑넓이 2×bh2=bh 더하기 옆넓이 — 두 경사면 각각 넓이 ah, 나머지 한 면 ab)와 정확히 일치합니다.
사용 : 3.6의 204번(직사각형의 넓이) · 330번(옆넓이)
증명 끝
332정리부피V = bh6(2a+c)
증명법 : 직접증명법
AB 위의 두 점 P₁, Q₁을 각각 A로부터 a-c2, a+c2만큼 나아간 점으로, DC 위의 대응하는 두 점 P₂, Q₂를 각각 D로부터 a-c2, a+c2만큼 나아간 점으로 잡습니다(326번의 대칭 위치에 의해 P₁, P₂는 각각 E의 바로 아래, Q₁, Q₂는 각각 F의 바로 아래에 있습니다). 밑면을 지나고 AB에 수직인 두 평면 P₁P₂와 Q₁Q₂로 쐐기 전체를 세 조각으로 자릅니다.
(1) 가운데 조각(삼각기둥). P₁P₂와 Q₁Q₂로 만들어지는 두 개의 자른 단면은 각각 삼각형 P₁P₂E와 Q₁Q₂F이고, 이 둘은 서로 합동이며 대응하는 변 P₁Q₁, P₂Q₂, EF가 모두 AB에 평행합니다. 따라서 가운데 조각은 이 삼각형을 밑면으로 하고 옆모서리 P₁Q₁=P₂Q₂=EF=c가 밑면에 수직인 각기둥, 즉 삼각기둥입니다. 삼각형 P₁P₂E의 넓이는 밑변 P₁P₂=b, 높이 h(E가 P₁P₂의 중점 바로 위 h인 곳에 있음, 326번)인 삼각형이므로 12bh이고(3.4의 195번), 각기둥의 부피 공식(3.24의 301번, V=Bh)에 의해 가운데 조각의 부피는 다음과 같습니다.
V₁ = 12bh·c = bhc2
(2) 양 끝 조각(각뿔) 2개. A쪽 조각은 네 점 A, D, P₂, P₁을 꼭짓점으로 하는 직사각형 밑면(변 a-c2, b)과 정점 E로 이루어진 각뿔입니다 — E는 AP₁, DP₂, 그리고 자른 단면의 변 P₁P₂와 각각 이어져 이 밑면의 네 변 모두를 정점 E로 향하는 삼각형 면으로 만들기 때문입니다. 이 각뿔의 높이는 정점 E에서 밑면(z=0 평면)까지의 수직 거리로, 이는 E의 위치와 무관하게 항상 h입니다 (밑면이 수평이고 EE′⊥밑면이므로, 327번의 논증과 동일). 각뿔의 부피 공리(3.25의 304번, V=13Bh — 이 공리는 정점이 밑면 위 어느 위치에서 수선을 내리는지에 관계없이 성립함을 명시하므로, 정점 E가 밑면의 한쪽 변 P₁P₂의 중점 바로 위에 있는 이 오각뿔에도 그대로 적용됩니다)에 의해 이 각뿔의 부피는 다음과 같습니다.
V₂ = 13·a-c2·b·h = (a-c)bh6
B쪽 조각(B, C, Q₂, Q₁을 밑면, F를 정점)도 완전히 같은 논리로 밑면의 변의 길이가 같으므로(a-a+c2=a-c2) 합동이고 부피는 다음과 같습니다.
V₃ = (a-c)bh6
(3) 합산. 세 조각의 부피를 더하면
| V = V₁+V₂+V₃ = bhc2 + 2·(a-c)bh6 | 세 조각의 부피를 합산 |
| = bh[c2+a-c3] | bh로 묶음 |
| = bh·3c+2a-2c6 | 통분 |
V = bh6(2a+c)
검산 : c→0(각뿔이 되는 극한)에서 V→bh6(2a)=abh3으로, 밑넓이 ab, 높이 h인 각뿔의 부피 (3.25의 304번)와 정확히 일치합니다. c→a(삼각기둥이 되는 극한)에서 V→bh6(3a)=abh2로, 밑넓이 bh2(밑변 b, 높이 h인 삼각형), 옆모서리 길이 a인 삼각기둥의 부피(3.24의 301번, V=Bh=bh2·a)와 정확히 일치합니다.
부피 증명을 위한 3분할 — 갈색 두 영역은 밑면이 a-c2×b인 각뿔(정점 E, F), 남색 영역은 밑면이 삼각형 P₁P₂E(넓이 bh2)이고 옆모서리 길이 c인 삼각기둥
사용 : 326번(대칭 위치) · 3.4의 195번(삼각형 넓이) · 3.24의 301번(각기둥의 부피) · 3.25의 304번(각뿔의 부피 공리)
증명 끝