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9.9   대학 과정

이상적분

Improper Integral

정의 · 공식과 증명

9.8 f738에서 정의된 정적분 b∫af(x)dx는 유한한 닫힌구간 [a,b] 위에서 유계인 연속함수에 대해서만 뜻을 가집니다. 이 절에서는 이 정의를 두 방향으로 확장합니다 ― 925번은 적분구간 자체가 무한히 뻗어나가는 경우(제1종 이상적분), 926번은 구간은 유한하지만 피적분함수가 그 구간의 한 끝(또는 내부의 한 점)에서 무한대로 발산하는 경우(제2종 이상적분)입니다. 두 경우 모두 정적분을 먼저 유한한 값 T(또는 t)로 계산한 뒤 T(또는 t)를 극한으로 보내는 방식―8.2 f637(무한대에서의 극한과 발산)의 극한 개념을 그대로 사용―으로 정의되며, 이렇게 확장된 적분을 통틀어 이상적분(improper integral)이라 부릅니다. 이어서 이상적분을 직접 계산하지 않고도 수렴·발산을 판정하는 두 가지 표준 도구―p−적분 판정법(927·928번)과 비교판정법·극한비교판정법(929·930번)―을 다루고, 마지막으로 이를 종합한 계산·판정 예(931번)로 마무리합니다.

925정의이상적분 ― 제1종(무한구간)∞∫af(x)dx := limT→∞ T∫af(x)dx

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

① 위끝이 무한대인 경우. f가 [a,∞)에서 연속이라 합시다. 임의의 T>a에 대해 9.8 f739에 의해 정적분 T∫af(x)dx가 잘 정의되며, 8.2 f637의 의미로 극한 limT→∞ T∫af(x)dx가 하나의 실수로 존재하면, 이 값을

∞∫af(x)dx := limT→∞ T∫af(x)dx

로 정의하고, 이 이상적분이 수렴(convergent)한다고 합니다. 극한이 존재하지 않거나 ±∞로 발산하면(637번의 표기로 나타나는 경우 포함) 이 이상적분은 발산(divergent)한다고 합니다.

② 아래끝이 음의 무한대인 경우. f가 (−∞,b]에서 연속이면, 대칭적으로

b∫−∞f(x)dx := limS→−∞ b∫Sf(x)dx

로 정의합니다(우변 극한이 하나의 실수로 존재할 때 수렴).

③ 양쪽 끝이 모두 무한대인 경우. f가 (−∞,∞) 전체에서 연속이면, 실수 c를 하나 임의로 고정하고

∞∫−∞f(x)dx := c∫−∞f(x)dx + ∞∫cf(x)dx

로 정의하되, 우변의 두 이상적분이 각각 독립적으로 수렴할 때만 좌변이 수렴한다고 합니다(둘 중 하나라도 발산하면 전체가 발산). 이 값이 c의 선택에 무관함은, 다른 선택 c′에 대해서도 유한구간 [c,c′](또는 [c′,c])에 9.8 f740(가법성)을 적용하면 c∫−∞f dx+∞∫cf dx = c′∫−∞f dx+∞∫c′f dx가 됨을 바로 확인할 수 있으므로 잘 정의됩니다.

비고. ③의 정의는 두 극한을 서로 독립적으로(따로따로) 무한대로 보내는 것이며, 이는 하나의 극한 변수로 대칭적으로 보내는 이른바 코시 주요값(Cauchy principal value) limT→∞ T∫−Tf(x)dx와 일반적으로 같지 않습니다. 예컨대 f(x):=x는 ③의 정의로는 발산하지만(T∫0x dx = T²/2(9.1 f694, 9.8 f746)이고 T²/2→∞이므로 ∞∫0x dx가 이미 발산), 코시 주요값은 모든 T에서 T∫−Tx dx=0이므로 0으로 «수렴»합니다. 이 사이트는 ③의 정의(독립적인 두 극한)만을 표준으로 채택하며, 코시 주요값은 별도로 언급하지 않는 한 사용하지 않습니다.

사용 : 9.8의 739번 · 9.8의 740번 · 8.2의 637번

926정의이상적분 ― 제2종(무한 불연속)b∫af(x)dx := limt→b⁻ t∫af(x)dx (x→b−일 때 |f(x)|→∞)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

① 위끝에서 무한대로 발산하는 경우. f가 [a,b)에서 연속이고, x→b−일 때(8.2 637번의 의미로) |f(x)|→∞라 합시다(즉 직선 x=b가 f의 그래프의 수직점근선). 임의의 t∈(a,b)에 대해 t∫af(x)dx는 9.8 739번에 의해 잘 정의되고,

b∫af(x)dx := limt→b⁻ t∫af(x)dx

로 정의합니다(우변 극한이 하나의 실수로 존재할 때 수렴).

② 아래끝에서 무한대로 발산하는 경우. f가 (a,b]에서 연속이고 x→a+일 때 |f(x)|→∞이면, 대칭적으로

b∫af(x)dx := limt→a⁺ b∫tf(x)dx

③ 내부의 한 점에서 무한대로 발산하는 경우. c∈(a,b)에서 f가 정의되지 않거나 x→c일 때 |f(x)|→∞이고, f가 [a,c)와 (c,b]에서 각각 연속이면,

b∫af(x)dx := c∫af(x)dx + b∫cf(x)dx

로 정의하되(우변의 두 항은 각각 ①·② 형태의 이상적분), 둘 다 수렴할 때만 좌변이 수렴한다고 합니다.

흔한 함정 주의. 피적분함수가 적분구간 내부의 한 점에서 불연속(무한대로 발산)인 것을 알아채지 못한 채 9.8 f746(뉴턴–라이프니츠 공식)을 곧바로 기계적으로 대입하면 잘못된 값을 얻습니다―예컨대 1∫−11x²dx를 아무 생각 없이 [−1/x]₋₁¹=(−1)−(1)=−2로 계산하면 틀린 값입니다―실제로는 x=0에서 피적분함수가 정의되지 않으므로 ③의 형태이고, 오른쪽 조각 1∫01x²dx가 아래 928번(p=2≥1)에 의해 발산하므로, ③의 정의(둘 다 수렴할 때만 수렴)에 의해 이 적분은 발산합니다. −2는 뜻이 없는 계산에서 나온 값일 뿐입니다. 부정적분을 그대로 대입하기 전에 반드시 피적분함수가 적분구간 전체(닫힌구간이면 양 끝점 포함)에서 연속인지 먼저 확인해야 합니다.

사용 : 9.8의 739번 · 9.8의 746번 · 8.2의 637번

927정리p−적분 판정법(무한구간형)∞∫11x^pdx 수렴 ⇔ p>1 (값 1p−1),   발산 ⇔ p≤1

증명법 : 경우를 나누어 증명(925번의 정의 + 9.1 f694·f695의 부정적분 + 8.2 f637의 극한 사용)

f(x):=1/x^p=x^−p (x≥1, p는 실수 상수)로 둡시다. T>1에 대해 T∫1x^−pdx를 먼저 계산합니다.

⑴ p≠1인 경우. 9.1 f694(r=−p≠−1)에 의해 원시함수는 F(x)=x^1−p1−p이고, 9.8 f746(뉴턴–라이프니츠 공식)에 의해

T∫1x^−pdx = T^1−p−11−p

⑴−a p>1일 때 (1−p<0) : 임의의 ε>0에 대해 T₀:=ε^−1/(p−1)로 두면, T>T₀일 때 T^p−1>1/ε이므로 T^1−p=1/T^p−1<ε입니다. 637번의 의미로 limT→∞ T^1−p=0이고, 따라서

limT→∞ T∫1x^−pdx = 0−11−p = 1p−1

이므로 925번에 의해 이상적분은 값 1/(p−1)로 수렴합니다.

⑴−b p<1일 때 (1−p>0) : 임의의 M>0에 대해 T₀:=M^1/(1−p)로 두면, T>T₀일 때 T^1−p>M이므로 limT→∞ T^1−p=∞이고(같은 방법으로 T^1−p>(1−p)M+1이 되도록 T를 크게 잡으면 (T^1−p−1)/(1−p)>M), 따라서 T∫1x^−pdx=(T^1−p−1)/(1−p)도 T→∞일 때 +∞로 발산합니다.

⑵ p=1인 경우. 9.1 f695에 의해 T∫11xdx = ln T−ln 1 = ln T(x>0이므로 절댓값 불필요, 2.5 f105로 ln1=0)이고, ln이 T→∞일 때 발산함을 다음과 같이 확인합니다 ― f695의 도함수 (ln x)′=1/x>0(x>0)이므로 8.6 f673에 의해 ln은 (0,∞)에서 증가함수이고, 2.5 f110(거듭제곱법칙)에 의해 ln(2ⁿ)=n ln2(n은 자연수)이며 2.5 f105·증가함수 성질로 ln2>ln1=0이므로, 임의의 M>0에 대해 자연수 n>M/ln2를 택하면 T>2ⁿ일 때(ln의 증가함수 성질로) ln T>ln(2ⁿ)=n·ln2>M입니다. 즉 limT→∞ ln T=∞이므로 이 경우도 발산합니다.

⑴−a·⑴−b·⑵를 종합하면 p>1일 때만 수렴(값 1/(p−1)), p≤1이면 (p=1이거나 p<1이거나) 항상 발산함을 얻습니다.

사용 : 925번 · 9.1의 694번 · 9.1의 695번 · 9.8의 746번 · 8.2의 637번 · 8.6의 673번 · 2.5의 105번 · 2.5의 110번

증명 끝

f(x)=1/x²(p=2>1)의 그래프. T=6까지의 넓이는 56≈0.8333이고, T→∞일 때 이 넓이는 극한값 1에 한없이 가까워짐(색칠 영역이 점점 채워지지만 항상 1보다 작음)

928정리p−적분 판정법(특이점형)1∫01x^pdx (p>0) 수렴 ⇔ p<1 (값 11−p),   발산 ⇔ p≥1

증명법 : 경우를 나누어 증명(926번의 정의 + 927번과 대칭적인 계산)

f(x):=1/x^p (0<x≤1, p>0인 실수 상수 ― p>0이라야 x→0+일 때 실제로 |f(x)|→∞여서 926번 ②의 형태인 진짜 이상적분이 됩니다). ε∈(0,1)에 대해 1∫εx^−pdx를 927번과 같은 원시함수로 계산하면(p≠1일 때 9.1 f694, p=1일 때 f695)

⑴ p≠1일 때 :

1∫εx^−pdx = 1−ε^1−p1−p

⑴−a 0<p<1일 때 (1−p>0) : 임의의 δ>0에 대해 ε₀:=δ^1/(1−p)로 두면, 0<ε<ε₀일 때 ε^1−p<δ입니다(1−p>0인 거듭제곱은 밑이 작아질수록 값도 작아지므로). 따라서 limε→0⁺ ε^1−p=0이고,

limε→0⁺ 1∫εx^−pdx = 1−01−p = 11−p

이므로 926번에 의해 값 1/(1−p)로 수렴합니다.

⑴−b p>1일 때 (1−p<0) : ε^1−p=1/ε^p−1이고 p−1>0이므로, ε→0+일 때 ε^p−1→0+이 되어 그 역수는 +∞로 발산합니다(엄밀히 : 임의의 M>0에 대해 ε₀:=M^−1/(p−1)로 두면 ε<ε₀일 때 ε^p−1<1/M이므로 1/ε^p−1>M). 따라서 1∫εx^−pdx=(1−ε^1−p)/(1−p)도 ε→0+일 때 +∞로 발산합니다.

⑵ p=1일 때 : 1∫ε1xdx = ln1−ln ε = −ln ε이고, −ln ε = ln(1/ε)(2.5 f110)이므로, 927번 ⑵의 논증(ln의 증가성 + 로그의 거듭제곱법칙)을 ε=1/T로 바꾸어 그대로 적용하면(T→∞⇔ε→0+) limε→0⁺(−ln ε) = limT→∞ ln T = ∞이므로 이 경우도 발산합니다.

⑴−a·⑴−b·⑵를 종합하면 0<p<1일 때만 수렴(값 1/(1−p)), p≥1이면 항상 발산함을 얻습니다.

사용 : 926번 · 927번 · 9.1의 694번 · 9.1의 695번

증명 끝

f(x)=1/x(p=12<1)의 그래프. x=0이 수직점근선이며, ε=0.02부터 1까지의 넓이는 ≈1.7172이고, ε→0+일 때 이 넓이는 극한값 2에 한없이 가까워짐

·받아들이는 사실실수의 완비성 공리공집합이 아니고 위로 유계인 실수의 집합에는 상한이 있다

받아들이는 사실입니다. 공집합이 아니고 위로 유계인 실수의 집합 S에는 최소상계(상한) sup S가 있습니다. 곧 다음 두 가지를 만족하는 실수 sup S가 있습니다.

⒜ 모든 s∈S에 대해 s ≤ sup S이다(위의 경계).
⒝ 임의의 ε>0에 대해 s > sup S − ε인 s∈S가 있다(그보다 작은 수는 위의 경계가 아님).

8.2의 640번·641번, 9.8의 739번, 11.4의 아르키메데스 성질을 받아들인 까닭이 바로 이 성질입니다. 이 절에서는 아래 단조유계 수렴 정리를 증명하는 데 이 성질을 직접 씁니다.

·보조정리단조유계 수렴 정리감소하지 않고 위로 유계이면 수렴(극한은 상한)

증명법 : 직접증명법(완비성 공리의 ⒝를 씀)

함수 F가 [a,∞)에서 감소하지 않고(a≤t₁<t₂이면 F(t₁)≤F(t₂)) 위로 유계이면, limt→∞ F(t)가 하나의 실수로 있고 그 값은 L:=sup{F(t) : t≥a}입니다. 수열 {a_n}이 감소하지 않고 위로 유계이면 limn→∞ a_n = sup{a_n}입니다.

집합 {F(t) : t≥a}는 F(a)를 원소로 가지므로 공집합이 아니고, 가정에 의해 위로 유계이므로 완비성 공리에 의해 상한 L이 있습니다. ε>0이 주어지면 ⒝에 의해 F(t₀)>L−ε인 t₀≥a가 있습니다. t>t₀이면 F가 감소하지 않으므로, ⒜와 함께

L−ε < F(t₀) ≤ F(t) ≤ L

이고, 곧 |F(t)−L|<ε입니다. 따라서 8.2 f637의 뜻으로 F(t)→L입니다. 수열은 t를 n으로 바꾸어 같은 방법으로 보이면 됩니다(11.4 f770의 수열의 극한).

사용 : 실수의 완비성 공리 · 8.2의 637번 · 11.4의 770번

증명 끝

929정리비교판정법(Comparison Test)f,g 연속, 0≤f(x)≤g(x) (x≥a)  ⇒  [∞∫ag dx 수렴 ⇒ ∞∫af dx 수렴],   [∞∫af dx 발산 ⇒ ∞∫ag dx 발산]

증명법 : 직접증명법(9.8 f743의 대소 관계 + 보조정리 «단조유계 수렴 정리»)

f,g가 [a,∞)에서 연속이고, [a,∞)의 모든 x에서 0≤f(x)≤g(x)라 합시다. t≥a에 대해 F(t):=t∫af(x)dx, G(t):=t∫ag(x)dx로 둡니다(9.8 739번에 의해 잘 정의됨).

먼저 두 가지 준비. a≤t₁<t₂이면, 9.8 f740(가법성)으로 F(t₂)−F(t₁)=t2∫t1f(x)dx이고, f≥0이므로 9.8 f743(대소 관계, 상수함수 0과 비교)에 의해 이 값은 ≥0입니다. 즉 F는 [a,∞)에서 감소하지 않는(non−decreasing) 함수이며, G도 g≥0이므로 마찬가지입니다. 또한 f≤g이므로 743번을 [a,t]에 바로 적용하면 모든 t≥a에서 F(t)≤G(t)입니다.

⑴ ∞∫ag dx가 수렴한다고 가정합니다(925번, G(t)→L인 실수 L이 존재). 모든 t≥a에서 G(t)≤L입니다―만약 G(t₁)>L인 t₁이 있다면, ε:=G(t₁)−L로 925번의 극한을 쓰면 충분히 큰 t에서 G(t)<L+ε=G(t₁)이 되어 G가 감소하지 않는다는 데에 어긋납니다. 그러면 위에서 F(t)≤G(t)≤L이므로 F는 [a,∞)에서 감소하지 않고 위로 유계(≤L)인 함수입니다.

단조유계 수렴 정리(보조정리)에 의해 limt→∞ F(t)가 하나의 실수로 존재하므로, 925번에 의해 ∞∫af dx도 수렴합니다.

⑵ ∞∫af dx가 발산한다고 가정합니다. F는 감소하지 않는 함수이므로(위 준비), ⑴의 단조유계 수렴 정리의 대우 형태(감소하지 않는 함수가 유계이면 반드시 수렴하므로, 수렴하지 않는다면 유계일 수 없음)에 의해 F는 위로 유계가 아니고, 감소하지 않는 함수가 유계가 아니면 limt→∞ F(t)=+∞입니다(임의의 M>0에 대해 F(t₀)>M인 t₀가 존재하고, F가 감소하지 않으므로 t>t₀이면 F(t)≥F(t₀)>M). F(t)≤G(t)이므로 G(t₀)≥F(t₀)>M이고, G도 감소하지 않으므로 t>t₀이면 G(t)≥G(t₀)>M입니다. 즉 limt→∞ G(t)=+∞이므로, ∞∫ag dx도 발산합니다.

비고. [a,b) 위의 제2종 이상적분(926번)에서도 t→∞를 t→b−로 바꾸면 같은 논증으로 같은 판정법이 성립합니다. 이 책에서 뒤에 쓰는 것은 제1종뿐입니다.

사용 : 925번 · 9.8의 739번 · 9.8의 740번 · 9.8의 743번 · 8.2의 637번 · 보조정리(단조유계 수렴 정리)

증명 끝

930정리극한비교판정법(Limit Comparison Test)f,g>0, limx→∞ f(x)/g(x)=L∈(0,∞)  ⇒  ∞∫af dx와 ∞∫ag dx는 함께 수렴하거나 함께 발산

증명법 : 직접증명법(929번의 비교판정법을 두 번 적용)

f,g가 [a,∞)에서 연속이고 항상 양수이며, 8.2 637번의 의미로 limx→∞ f(x)/g(x)=L인 실수 L>0이 존재한다고 합시다. 극한의 정의(ε−N 논법, 8.2 f629 형태를 ∞로 확장한 것―637번이 바로 그 확장형입니다)를 ε:=L/2>0에 적용하면, N₀≥a가 존재해 x>N₀인 모든 x에서 아래가 성립합니다. 929번은 구간 전체에서의 부등식을 요구하므로 N:=N₀+1로 두면, x≥N인 모든 x에서 |f(x)/g(x)−L|<L/2이고, 이는

L2g(x) < f(x) < 3L2g(x) (x≥N)

과 동치입니다(양변에 g(x)>0을 곱함).

① ∞∫ag dx가 수렴한다고 가정. 9.8 f742(선형성)과 8.2 f632(극한의 상수배)에 의해 ∞∫N(3L/2)g dx = (3L/2)∞∫Ng dx도 수렴하므로(9.8 740번으로 [a,N] 구간은 유한·고정이라 전체 수렴성에 영향 없음), 0<f(x)<(3L/2)g(x) (x≥N)에 929번(비교판정법)을 적용하면 ∞∫Nf dx가 수렴하고, 다시 740번으로 ∞∫af dx = N∫af dx + ∞∫Nf dx도 수렴합니다(앞의 항은 9.8 739번에 의해 항상 유한한 정적분).

② ∞∫af dx가 수렴한다고 가정. 0<(L/2)g(x)<f(x) (x≥N)에 929번을 곧바로 적용하면 ∞∫N(L/2)g dx가 수렴하고, 632번(극한의 상수배, L/2≠0이므로 양변을 L/2로 나눔)에 의해 ∞∫Ng dx도 수렴하며, ①과 같은 방식으로 740번을 적용하면 ∞∫ag dx도 수렴합니다.

①·②은 각각 «g 수렴⇒f 수렴»·«f 수렴⇒g 수렴»이므로 둘을 합치면 «f 수렴⇔g 수렴»을 얻고, 그 대우로 «f 발산⇔g 발산»도 함께 성립합니다 ― 즉 두 이상적분은 항상 함께 수렴하거나 함께 발산합니다.

비고. 극한 L이 0이거나 ∞인 경우는 이 정리가 다루지 않습니다.

사용 : 929번 · 9.8의 739번 · 9.8의 740번 · 9.8의 742번 · 8.2의 632번 · 8.2의 637번 · 8.2의 629번

증명 끝

931정리—활용이상적분의 계산·판정 종합 예1∫01xdx = 2,   ∞∫111+x²dx = π4

증명법 : 직접증명법(925–930번을 구체적인 함수에 적용)

⑴ ∞∫1dx/x³² (927번 직접 적용, p=32>1).

∞∫11x³²dx = 132−1 = 2 (927번, p=32)

⑵ 1∫0dx/x (928번 직접 적용, p=12<1).

1∫01xdx = 11−12 = 2 (928번, p=12)

(위 그림 928번 다이어그램이 바로 이 계산의 ε=0.02 단계를 보여줍니다.)

⑶ ∞∫1dx/(1+x²) (925번의 정의 + FTC 직접 계산). 9.2 f705(a=1)에 의해 원시함수는 tan⁻¹x이고, 9.8 746번(FTC)으로

T∫111+x²dx = tan⁻¹T − tan⁻¹1

이며, 4.18 f807에서 이미 엄밀하게(ε−N 논법으로) 증명해 둔 limT→∞ tan⁻¹T=π/2와 4.18 f806의 tan⁻¹1=π/4를 대입하면

∞∫111+x²dx = π2 − π4 = π4

를 얻습니다 ― 수렴하며 값은 π/4입니다.

⑷ ∞∫1dx/(x²+x+1)의 수렴 판정(929번, 비교판정법). x≥1에서 x²+x+1>x²>0이므로 0<1/(x²+x+1)<1/x²이고, ⑴·927번의 방식대로 p=2>1로 ∞∫1dx/x²=1/(2−1)=1로 수렴하므로, 929번(비교판정법)에 의해 ∞∫1dx/(x²+x+1)도 수렴합니다(정확한 값은 이차식을 완전제곱 (x+12)²+34 꼴로 바꾸어 705번을 다시 적용하면 구할 수 있지만, 비교판정법의 목적은 값을 몰라도 수렴 여부만으로 충분한 경우가 많다는 데 있으므로 여기서는 수렴 판정까지만 보입니다).

사용 : 925번 · 927번 · 928번 · 929번 · 9.8의 746번 · 9.2의 705번 · 4.18의 806번 · 4.18의 807번

증명 끝