9.9 대학 과정
이상적분
Improper Integral
정의 · 공식과 증명
9.8 f738에서 정의된 정적분 b∫af(x)dx는 유한한 닫힌구간 [a,b] 위에서 유계인 연속함수에 대해서만 뜻을 가집니다. 이 절에서는 이 정의를 두 방향으로 확장합니다 ― 925번은 적분구간 자체가 무한히 뻗어나가는 경우(제1종 이상적분), 926번은 구간은 유한하지만 피적분함수가 그 구간의 한 끝(또는 내부의 한 점)에서 무한대로 발산하는 경우(제2종 이상적분)입니다. 두 경우 모두 정적분을 먼저 유한한 값 T(또는 t)로 계산한 뒤 T(또는 t)를 극한으로 보내는 방식―8.2 f637(무한대에서의 극한과 발산)의 극한 개념을 그대로 사용―으로 정의되며, 이렇게 확장된 적분을 통틀어 이상적분(improper integral)이라 부릅니다. 이어서 이상적분을 직접 계산하지 않고도 수렴·발산을 판정하는 두 가지 표준 도구―p−적분 판정법(927·928번)과 비교판정법·극한비교판정법(929·930번)―을 다루고, 마지막으로 이를 종합한 계산·판정 예(931번)로 마무리합니다.
925정의이상적분 ― 제1종(무한구간)∞∫af(x)dx := limT→∞ T∫af(x)dx
정의이므로 증명 대상이 아닙니다.
① 위끝이 무한대인 경우. f가 [a,∞)에서 연속이라 합시다. 임의의 T>a에 대해 9.8 f739에 의해 정적분 T∫af(x)dx가 잘 정의되며, 8.2 f637의 의미로 극한 limT→∞ T∫af(x)dx가 하나의 실수로 존재하면, 이 값을
∞∫af(x)dx := limT→∞ T∫af(x)dx
로 정의하고, 이 이상적분이 수렴(convergent)한다고 합니다. 극한이 존재하지 않거나 ±∞로 발산하면(637번의 표기로 나타나는 경우 포함) 이 이상적분은 발산(divergent)한다고 합니다.
② 아래끝이 음의 무한대인 경우. f가 (−∞,b]에서 연속이면, 대칭적으로
b∫−∞f(x)dx := limS→−∞ b∫Sf(x)dx
로 정의합니다(우변 극한이 하나의 실수로 존재할 때 수렴).
③ 양쪽 끝이 모두 무한대인 경우. f가 (−∞,∞) 전체에서 연속이면, 실수 c를 하나 임의로 고정하고
∞∫−∞f(x)dx := c∫−∞f(x)dx + ∞∫cf(x)dx
로 정의하되, 우변의 두 이상적분이 각각 독립적으로 수렴할 때만 좌변이 수렴한다고 합니다(둘 중 하나라도 발산하면 전체가 발산). 이 값이 c의 선택에 무관함은, 다른 선택 c′에 대해서도 유한구간 [c,c′](또는 [c′,c])에 9.8 f740(가법성)을 적용하면 c∫−∞f dx+∞∫cf dx = c′∫−∞f dx+∞∫c′f dx가 됨을 바로 확인할 수 있으므로 잘 정의됩니다.
926정의이상적분 ― 제2종(무한 불연속)b∫af(x)dx := limt→b− t∫af(x)dx (x→b−일 때 |f(x)|→∞)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다.
① 위끝에서 무한대로 발산하는 경우. f가 [a,b)에서 연속이고, x→b−일 때(8.2 637번의 의미로) |f(x)|→∞라 합시다(즉 직선 x=b가 f의 그래프의 수직점근선). 임의의 t∈(a,b)에 대해 t∫af(x)dx는 9.8 739번에 의해 잘 정의되고,
b∫af(x)dx := limt→b− t∫af(x)dx
로 정의합니다(우변 극한이 하나의 실수로 존재할 때 수렴).
② 아래끝에서 무한대로 발산하는 경우. f가 (a,b]에서 연속이고 x→a+일 때 |f(x)|→∞이면, 대칭적으로
b∫af(x)dx := limt→a+ b∫tf(x)dx
③ 내부의 한 점에서 무한대로 발산하는 경우. c∈(a,b)에서 f가 정의되지 않거나 x→c일 때 |f(x)|→∞이고, f가 [a,c)와 (c,b]에서 각각 연속이면,
b∫af(x)dx := c∫af(x)dx + b∫cf(x)dx
로 정의하되(우변의 두 항은 각각 ①·② 형태의 이상적분), 둘 다 수렴할 때만 좌변이 수렴한다고 합니다.
흔한 함정 주의. 피적분함수가 적분구간 내부의 한 점에서 불연속(무한대로 발산)인 것을 알아채지 못한 채 9.8 f746(뉴턴–라이프니츠 공식)을 곧바로 기계적으로 대입하면 잘못된 값을 얻습니다―예컨대 1∫−11x²dx를 아무 생각 없이 [−1/x]−11=(−1)−(1)=−2로 계산하면 틀린 값입니다―실제로는 x=0에서 피적분함수가 정의되지 않으므로 ③의 형태이고, 아래 927·928번의 판정법(또는 직접 극한을 취해 보면)으로 확인하면 이 적분은 발산합니다(양쪽 조각 0∫−1, 1∫0 모두 +∞로 발산해, 우연히 서로 상쇄된 것처럼 보이는 −2라는 값이 나온 것뿐입니다). 부정적분을 그대로 대입하기 전에 반드시 피적분함수가 적분구간 전체(닫힌구간이면 양 끝점 포함)에서 연속인지 먼저 확인해야 합니다.
927정리p−적분 판정법(무한구간형)∞∫11xpdx 수렴 ⇔ p>1 (값 1p−1), 발산 ⇔ p≤1
증명법 : 경우를 나누어 증명(925번의 정의 + 9.1 f694·f695의 부정적분 + 8.2 f637의 극한 사용)
f(x):=1/xp=x−p (x≥1, p는 실수 상수)로 둡시다. T>1에 대해 T∫1x−pdx를 먼저 계산합니다.
⑴ p≠1인 경우. 9.1 f694(r=−p≠−1)에 의해 원시함수는 F(x)=x1−p1−p이고, 9.8 f746(뉴턴–라이프니츠 공식)에 의해
T∫1x−pdx = T1−p−11−p
⑴−a p>1일 때 (1−p<0) : 임의의 ε>0에 대해 T0:=ε−1/(p−1)로 두면, T>T0일 때 Tp−1>1/ε이므로 T1−p=1/Tp−1<ε입니다. 637번의 의미로 limT→∞ T1−p=0이고, 따라서
limT→∞ T∫1x−pdx = 0−11−p = 1p−1
이므로 925번에 의해 이상적분은 값 1/(p−1)로 수렴합니다.
⑴−b p<1일 때 (1−p>0) : 임의의 M>0에 대해 T0:=M1/(1−p)로 두면, T>T0일 때 T1−p>M이므로 limT→∞ T1−p=∞이고, 따라서 T∫1x−pdx=(T1−p−1)/(1−p)도 T→∞일 때 +∞로 발산합니다.
⑵ p=1인 경우. 9.1 f695에 의해 T∫11xdx = ln T−ln 1 = ln T(x>0이므로 절댓값 불필요, 2.5 f105로 ln1=0)이고, ln이 T→∞일 때 발산함을 다음과 같이 확인합니다 ― f695의 도함수 (ln x)′=1/x>0(x>0)이므로 8.6 f673에 의해 ln은 (0,∞)에서 증가함수이고, 2.5 f110(거듭제곱법칙)에 의해 ln(2n)=n ln2(n은 자연수)이며 2.5 f105·증가함수 성질로 ln2>ln1=0이므로, 임의의 M>0에 대해 자연수 n>M/ln2를 택하면 T>2n일 때(ln의 증가함수 성질로) ln T>ln(2n)=n·ln2>M입니다. 즉 limT→∞ ln T=∞이므로 이 경우도 발산합니다.
⑴−a·⑴−b·⑵를 종합하면 p>1일 때만 수렴(값 1/(p−1)), p≤1이면 (p=1이거나 p<1이거나) 항상 발산함을 얻습니다.
사용 : 925번 · 9.1의 694번 · 9.1의 695번 · 9.8의 746번 · 8.2의 637번 · 8.6의 673번 · 2.5의 105번 · 2.5의 110번
증명 끝
f(x)=1/x²(p=2>1)의 그래프. T=6까지의 넓이는 5/6≈0.8333이고, T→∞일 때 이 넓이는 극한값 1에 한없이 가까워짐(색칠 영역이 점점 채워지지만 항상 1보다 작음)
928정리p−적분 판정법(특이점형)1∫01xpdx (p>0) 수렴 ⇔ p<1 (값 11−p), 발산 ⇔ p≥1
증명법 : 경우를 나누어 증명(926번의 정의 + 927번과 대칭적인 계산)
f(x):=1/xp (0<x≤1, p>0인 실수 상수 ― p>0이라야 x→0+일 때 실제로 |f(x)|→∞여서 926번 ②의 형태인 진짜 이상적분이 됩니다). ε∈(0,1)에 대해 1∫εx−pdx를 927번과 같은 원시함수로 계산하면(p≠1일 때 9.1 f694, p=1일 때 f695)
⑴ p≠1일 때 :
1∫εx−pdx = 1−ε1−p1−p
⑴−a 0<p<1일 때 (1−p>0) : 임의의 δ>0에 대해 ε0:=δ1/(1−p)로 두면, 0<ε<ε0일 때 ε1−p<δ입니다(1−p>0인 거듭제곱은 밑이 작아질수록 값도 작아지므로). 따라서 limε→0+ ε1−p=0이고,
limε→0+ 1∫εx−pdx = 1−01−p = 11−p
이므로 926번에 의해 값 1/(1−p)로 수렴합니다.
⑴−b p>1일 때 (1−p<0) : ε1−p=1/εp−1이고 p−1>0이므로, ε→0+일 때 εp−1→0+이 되어 그 역수는 +∞로 발산합니다(엄밀히 : 임의의 M>0에 대해 ε0:=M−1/(p−1)로 두면 ε<ε0일 때 εp−1<1/M이므로 1/εp−1>M). 따라서 1∫εx−pdx=(1−ε1−p)/(1−p)도 ε→0+일 때 +∞로 발산합니다.
⑵ p=1일 때 : 1∫ε1xdx = ln1−ln ε = −ln ε이고, 927번 ⑵의 논증(ln의 증가성 + 로그의 거듭제곱법칙)을 ε=1/T로 바꾸어 그대로 적용하면(T→∞⇔ε→0+) limε→0+(−ln ε) = limT→∞ ln T = ∞이므로 이 경우도 발산합니다.
⑴−a·⑴−b·⑵를 종합하면 0<p<1일 때만 수렴(값 1/(1−p)), p≥1이면 항상 발산함을 얻습니다.
사용 : 926번 · 927번 · 9.1의 694번 · 9.1의 695번
증명 끝
f(x)=1/√x(p=1/2<1)의 그래프. x=0이 수직점근선이며, ε=0.02부터 1까지의 넓이는 ≈1.7172이고, ε→0+일 때 이 넓이는 극한값 2에 한없이 가까워짐
929정리비교판정법(Comparison Test)0≤f(x)≤g(x) (x≥a) ⇒ [∞∫ag dx 수렴 ⇒ ∞∫af dx 수렴], [∞∫af dx 발산 ⇒ ∞∫ag dx 발산]
증명법 : 직접증명법(9.8 f743의 대소 관계 + 단조유계함수의 극한 존재성 사용)
f,g가 [a,∞)에서 연속이고, [a,∞)의 모든 x에서 0≤f(x)≤g(x)라 합시다. t≥a에 대해 F(t):=t∫af(x)dx, G(t):=t∫ag(x)dx로 둡니다(9.8 739번에 의해 잘 정의됨).
먼저 두 가지 준비. a≤t1<t2이면, 9.8 f740(가법성)으로 F(t2)−F(t1)=t2∫t1f(x)dx이고, f≥0이므로 9.8 f743(대소 관계, 상수함수 0과 비교)에 의해 이 값은 ≥0입니다. 즉 F는 [a,∞)에서 감소하지 않는(non−decreasing) 함수이며, G도 g≥0이므로 마찬가지입니다. 또한 f≤g이므로 743번을 [a,t]에 바로 적용하면 모든 t≥a에서 F(t)≤G(t)입니다.
⑴ ∞∫ag dx가 수렴한다고 가정합니다(925번, G(t)→L인 실수 L이 존재). G는 감소하지 않으므로 모든 t≥a에서 G(t)≤L이고, 위에서 F(t)≤G(t)≤L이므로 F는 [a,∞)에서 감소하지 않고 위로 유계(≤L)인 함수입니다.
단조유계 수렴 정리에 의해 limt→∞ F(t)가 하나의 실수로 존재하므로, 925번에 의해 ∞∫af dx도 수렴합니다.
⑵ ∞∫af dx가 발산한다고 가정합니다. F는 감소하지 않는 함수이므로(위 준비), ⑴의 단조유계 수렴 정리의 대우 형태(감소하지 않는 함수가 유계이면 반드시 수렴하므로, 수렴하지 않는다면 유계일 수 없음)에 의해 F는 위로 유계가 아니고, 감소하지 않는 함수가 유계가 아니면 limt→∞ F(t)=+∞입니다(임의의 M>0에 대해 F(t0)>M인 t0가 존재하고, F가 감소하지 않으므로 t>t0이면 F(t)≥F(t0)>M). F(t)≤G(t)이므로 G(t0)≥F(t0)>M이고, G도 감소하지 않으므로 t>t0이면 G(t)≥G(t0)>M입니다. 즉 limt→∞ G(t)=+∞이므로, ∞∫ag dx도 발산합니다.
[a,b] 위에서의 926번 형태(제2종)에도 완전히 같은 논증이 그대로 적용됩니다(t→∞ 대신 t→b− 등으로 극한 변수만 바꾸면 됨) ― 이 절에서는 제1종의 경우만 상세히 서술합니다.
사용 : 925번 · 926번 · 9.8의 740번 · 9.8의 743번
증명 끝
930정리극한비교판정법(Limit Comparison Test)f,g>0, limx→∞ f(x)/g(x)=L∈(0,∞) ⇒ ∞∫af dx와 ∞∫ag dx는 함께 수렴하거나 함께 발산
증명법 : 직접증명법(929번의 비교판정법을 두 번 적용)
f,g가 [a,∞)에서 연속이고 항상 양수이며, 8.2 637번의 의미로 limx→∞ f(x)/g(x)=L인 실수 L>0이 존재한다고 합시다. 극한의 정의(ε−N 논법, 8.2 f629 형태를 ∞로 확장한 것―637번이 바로 그 확장형입니다)를 ε:=L/2>0에 적용하면, N≥a가 존재해 x>N인 모든 x에서 |f(x)/g(x)−L|<L/2이고, 이는
L2g(x) < f(x) < 3L2g(x) (x>N)
과 동치입니다(양변에 g(x)>0을 곱함).
① ∞∫ag dx가 수렴한다고 가정. 9.8 f742(선형성)과 8.2 f632(극한의 상수배)에 의해 ∞∫N(3L/2)g dx = (3L/2)∞∫Ng dx도 수렴하므로(9.8 740번으로 [a,N] 구간은 유한·고정이라 전체 수렴성에 영향 없음), 0<f(x)<(3L/2)g(x) (x>N)에 929번(비교판정법)을 적용하면 ∞∫Nf dx가 수렴하고, 다시 740번으로 ∞∫af dx = N∫af dx + ∞∫Nf dx도 수렴합니다(앞의 항은 9.8 739번에 의해 항상 유한한 정적분).
② ∞∫af dx가 수렴한다고 가정. 0<(L/2)g(x)<f(x) (x>N)에 929번을 곧바로 적용하면 ∞∫N(L/2)g dx가 수렴하고, 632번(극한의 상수배, L/2≠0이므로 양변을 L/2로 나눔)에 의해 ∞∫Ng dx도 수렴하며, ①과 같은 방식으로 740번을 적용하면 ∞∫ag dx도 수렴합니다.
①·②은 각각 «g 수렴⇒f 수렴»·«f 수렴⇒g 수렴»이므로 둘을 합치면 «f 수렴⇔g 수렴»을 얻고, 그 대우로 «f 발산⇔g 발산»도 함께 성립합니다 ― 즉 두 이상적분은 항상 함께 수렴하거나 함께 발산합니다.
사용 : 929번 · 9.8의 739번 · 9.8의 740번 · 9.8의 742번 · 8.2의 632번 · 8.2의 637번 · 8.2의 629번
증명 끝
931정리—활용이상적분의 계산·판정 종합 예1∫01√xdx = 2, ∞∫111+x²dx = π4
증명법 : 직접증명법(925–930번을 구체적인 함수에 적용)
⑴ 1∫0dx/x3/2 (927번 직접 적용, p=3/2>1).
∞∫11x3/2dx = 13/2−1 = 2 (927번, p=3/2)
⑵ 1∫0dx/√x (928번 직접 적용, p=1/2<1).
1∫01√xdx = 11−1/2 = 2 (928번, p=1/2)
(위 그림 928번 다이어그램이 바로 이 계산의 ε=0.02 단계를 보여줍니다.)
⑶ ∞∫1dx/(1+x²) (925번의 정의 + FTC 직접 계산). 9.2 f705(a=1)에 의해 원시함수는 tan−1x이고, 9.8 746번(FTC)으로
T∫111+x²dx = tan−1T − tan−11
이며, 4.18 f807에서 이미 엄밀하게(ε−N 논법으로) 증명해 둔 limT→∞ tan−1T=π/2와 4.18 f806의 tan−11=π/4를 대입하면
∞∫111+x²dx = π2 − π4 = π4
를 얻습니다 ― 수렴하며 값은 π/4입니다.
⑷ ∞∫1dx/(x²+x+1)의 수렴 판정(929번, 비교판정법). x≥1에서 x²+x+1>x²>0이므로 0<1/(x²+x+1)<1/x²이고, ⑴·927번의 방식대로 p=2>1로 ∞∫1dx/x²=1/(2−1)=1로 수렴하므로, 929번(비교판정법)에 의해 ∞∫1dx/(x²+x+1)도 수렴합니다(정확한 값은 이차식을 완전제곱 (x+1/2)²+3/4 꼴로 바꾸어 705번을 다시 적용하면 구할 수 있지만, 비교판정법의 목적은 값을 몰라도 수렴 여부만으로 충분한 경우가 많다는 데 있으므로 여기서는 수렴 판정까지만 보입니다).
사용 : 925번 · 927번 · 928번 · 929번 · 9.8의 746번 · 9.2의 705번 · 4.18의 806번 · 4.18의 807번
증명 끝