Home

11.3   수능 핵심

여러 가지 유한급수

Some Finite Series

정의 · 공식과 증명

11.1·11.2에서는 등차수열·등비수열이라는 특정한 규칙을 가진 수열의 합만 다루었습니다. 이 절은 임의의 두 수열에 대해 성립하는 Σ의 일반적인 연산 규칙(선형성과 텔레스코핑, 762번)을 먼저 확립한 뒤, 이를 도구로 삼아 자연수·제곱·세제곱이라는 세 가지 표준적인 수열의 합 공식(763–765번)을 유도합니다. 이어서 분수 꼴(부분분수, 766번)과 무리식 꼴(분모의 유리화, 767번) 수열의 합―둘 다 762번의 텔레스코핑을 다른 수열에 적용한 것―을 다루고, 마지막으로 768번에서 여러 공식을 결합하는 종합 예제를 살펴봅니다. 763–765번의 증명은 모두 같은 전략을 씁니다 : 2.2(곱셈 공식)의 (a+b)^m 전개식에서 a=k, b=1을 대입해 (k+1)^m−k^m 꼴의 항등식을 얻고, 이를 762번의 텔레스코핑으로 합산해 이미 구한 낮은 차수의 합 공식으로부터 다음 차수의 합 공식을 차례로 끌어냅니다.

762정리Σ의 기본 성질(선형성과 텔레스코핑)nΣk=1(a_k±b_k) = nΣk=1a_k ± nΣk=1b_k,   nΣk=1ca_k = cnΣk=1a_k

증명법 : 수학적 귀납법(n에 대하여)

두 수열 {a_k}, {b_k}(749번)와 실수 c에 대해 다음 네 가지 성질이 모든 자연수 n에서 성립합니다.

⑴ 합·차. 명제 P(n) : «nΣk=1(a_k+b_k) = nΣk=1a_k + nΣk=1b_k»를 봅니다.

Ⅰ	n=1일 때, 양변 모두 a1+b1이므로 P(1)은 자명하게 성립합니다.
Ⅱ	P(m)이 성립한다고 가정합시다(귀납법의 가정). 정의에 의해 m+1Σk=1(ak+bk) = mΣk=1(ak+bk) + (am+1+bm+1)이므로

m+1Σk=1(ak+bk) = mΣk=1(ak+bk) + (am+1+bm+1)	합의 정의(한 항 추가)
= (mΣk=1ak + mΣk=1bk) + (am+1+bm+1)	귀납법의 가정(Ⅱ)
= (mΣk=1ak+am+1) + (mΣk=1bk+bm+1)	1.3의 36번·37번(덧셈의 교환·결합법칙)
= m+1Σk=1ak + m+1Σk=1bk	합의 정의(한 항 추가, 역으로)

이므로 P(m+1)도 성립하고, Ⅰ·Ⅱ에 의해 P(n)은 모든 자연수 n에서 성립합니다. b_k 대신 −b_k를 대입하면(아래 ⑵에서 c=−1인 경우) 같은 결과가 차 nΣk=1(a_k−b_k) = nΣk=1a_k−nΣk=1b_k에 대해서도 그대로 성립합니다.

⑵ 상수배. 완전히 같은 방식의 귀납법으로, 덧셈의 결합법칙 대신 1.3의 44번(분배법칙)을 사용합니다 :

m+1Σk=1cak = mΣk=1cak + cam+1	합의 정의
= cmΣk=1ak + cam+1	귀납법의 가정
= c(mΣk=1ak+am+1) = cm+1Σk=1ak	1.3의 44번(분배법칙)

⑶ 상수항의 합. 수열 a_k:=c(모든 k에서 상수)인 경우로, 역시 같은 방식의 귀납법으로 nΣk=1c = nc를 얻습니다(n=1일 때 c=1·c, m→m+1 단계에서 mc+c=(m+1)c는 동류항 정리).

⑷ 텔레스코핑. 명제 Q(n) : «nΣk=1(a_k+1−a_k) = a_n+1−a₁»를 봅니다.

Ⅰ	n=1일 때, 좌변은 a2−a1이므로 Q(1)은 자명하게 성립합니다.
Ⅱ	Q(m)이 성립한다고 가정합시다. 정의에 의해 m+1Σk=1(ak+1−ak) = mΣk=1(ak+1−ak) + (am+2−am+1)이므로

m+1Σk=1(ak+1−ak) = (am+1−a1) + (am+2−am+1)	귀납법의 가정(Ⅱ)
= am+2−a1	1.3의 36번·37번(가운데 am+1 상쇄)

이므로 Q(m+1)도 성립하고, Ⅰ·Ⅱ에 의해 Q(n)은 모든 자연수 n에서 성립합니다. 764–765번에서 이 «텔레스코핑(연쇄 상쇄)»을 반복 사용합니다.

따름(뒤집힌 텔레스코핑). ⑵(c=−1)를 ⑷의 좌변에 적용하면 −nΣk=1(a_k+1−a_k) = nΣk=1(a_k−a_k+1)이고, 우변에 적용하면 −(a_n+1−a₁) = a₁−a_n+1이므로

nΣk=1(a_k−a_k+1) = a₁−a_n+1

도 성립합니다―766번(부분분수)에서 이 형태를 바로 사용합니다.

사용 : 749번(수열의 정의) · 1.3의 36번· 37번(덧셈의 교환·결합법칙)· 44번(분배법칙) · 선행학습 수학적 귀납법

증명 끝

763정리자연수의 합(Sum of the First n Natural Numbers)nΣk=1k = n(n+1)2

증명법 : 762번⑷(텔레스코핑) ― (k+1)²−k²=2k+1의 합산

이 공식은 이미 11.1의 755번에서 754번(등차수열의 합 공식)에 a₁=1, d=1을 대입하는 방식으로 확인했습니다. 여기서는 763–765번 전체에서 반복 사용할 텔레스코핑 기법을 이 가장 단순한 경우에서 먼저 확립하기 위해, 완전히 독립적인 두 번째 증명을 제시합니다.

2.2의 74번(합의 제곱)에 a=k, b=1을 대입하면 모든 자연수 k에 대해

(k+1)² − k² = 2k+1

입니다. 양변을 k=1부터 n까지 762번⑷의 텔레스코핑에 그대로 적용합니다(a_k:=k²로 두면 좌변의 합은 정확히 762번⑷의 꼴입니다) :

nΣk=1(2k+1) = nΣk=1[(k+1)²−k²] = (n+1)²−1²	762번⑷(ak:=k²)
2nΣk=1k + n = (n+1)²−1	762번⑴·⑶(좌변 전개)

우변을 정리하면 (n+1)²−1 = n²+2n = n(n+2)이므로

2nΣk=1k = n(n+2) − n = n²+n = n(n+1)

동류항 정리 · 인수분해

양변을 2로 나누면

nΣk=1k = n(n+1)2

를 얻습니다―11.1 755번(등차수열의 합 공식에서 a₁=1,d=1을 대입한 결과)과 정확히 일치합니다.

그노몬(gnomon) 다이어그램 ― 같은 모서리(원점)에서 자란 정사각형 1²,2²,…,5²을 실제 변의 길이 그대로 그리면, k×k 정사각형에서 (k+1)×(k+1) 정사각형으로 자랄 때 새로 덧붙는 L자형 띠(그노몬)의 넓이가 정확히 (k+1)²−k²=2k+1임을 눈으로 확인할 수 있습니다. n=4까지 네 개의 그노몬(3,5,7,9)을 모두 더하면 5²−1²=24가 되고, 이는 763번의 텔레스코핑 등식의 n=4인 경우와 정확히 일치합니다.

사용 : 762번(Σ의 성질과 텔레스코핑) · 2.2의 74번(합의 제곱) · 11.1의 755번(교차 확인)

증명 끝

764정리제곱의 합(Sum of the First n Squares)nΣk=1k² = n(n+1)(2n+1)6

증명법 : 762번⑷(텔레스코핑) ― (k+1)³−k³의 합산, 763번 사용

2.2의 76번(합의 세제곱)에 a=k, b=1을 대입하면 모든 자연수 k에 대해

(k+1)³ − k³ = 3k²+3k+1

입니다. a_k:=k³로 두고 762번⑷의 텔레스코핑을 적용합니다 :

nΣk=1(3k²+3k+1) = nΣk=1[(k+1)³−k³] = (n+1)³−1	762번⑷(ak:=k³)
3nΣk=1k² + 3nΣk=1k + n = (n+1)³−1	762번⑴·⑵·⑶(좌변 전개)

763번(자연수의 합)을 대입하고 우변을 (n+1)로 묶어 정리합니다 :

3nΣk=1k² = (n+1)³ − 1 − n − 3·n(n+1)2	763번 대입
= [(n+1)³−(n+1)] − 3n(n+1)2	−1−n = −(n+1)
= (n+1)[(n+1)²−1] − 3n(n+1)2 = n(n+1)(n+2) − 3n(n+1)2	인수분해((n+1)²−1=n(n+2))
= n(n+1)·(n+2)·2 − 32 = n(n+1)(2n+1)2	n(n+1) 묶어 통분

양변을 3으로 나누면

nΣk=1k² = n(n+1)(2n+1)6

를 얻습니다.

(k+1)³−k³ 텔레스코핑을 n=4로 구체화한 그림 ― w_j:=j³(j=1,…,5)를 두 행에 한 칸 어긋나게 배치하면(−k³ 항 : 열 1–4에 1,8,27,64 / +(k+1)³ 항 : 열 2–5에 8,27,64,125) 겹치는 세 열(8,27,64)이 정확히 상쇄되고 양 끝(−1과 +125)만 남아 125−1=124=(n+1)³−1(n=4)임을 보여줍니다.

사용 : 762번(Σ의 성질과 텔레스코핑) · 763번(자연수의 합) · 2.2의 76번(합의 세제곱)

증명 끝

765정리세제곱의 합(Sum of the First n Cubes)nΣk=1k³ = n²(n+1)²4 = (nΣk=1k)²

증명법 : 762번⑷(텔레스코핑) ― (k+1)⁴−k⁴의 합산, 763·764번 사용

2.2의 78번(합의 네제곱)에 a=k, b=1을 대입하면 모든 자연수 k에 대해

(k+1)⁴ − k⁴ = 4k³+6k²+4k+1

입니다. a_k:=k⁴로 두고 762번⑷의 텔레스코핑을 적용합니다 :

nΣk=1(4k³+6k²+4k+1) = nΣk=1[(k+1)⁴−k⁴] = (n+1)⁴−1	762번⑷(ak:=k⁴)
4nΣk=1k³ + 6nΣk=1k² + 4nΣk=1k + n = (n+1)⁴−1	762번⑴·⑵·⑶(좌변 전개)

764번(제곱의 합)·763번(자연수의 합)을 대입하고 (n+1)로 묶어 정리합니다 :

4nΣk=1k³ = (n+1)⁴ − 1 − n − 6·n(n+1)(2n+1)6 − 4·n(n+1)2	764번·763번 대입
= [(n+1)⁴−(n+1)] − n(n+1)(2n+1) − 2n(n+1)	−1−n=−(n+1), 약분
= (n+1)[(n+1)³−1] − n(n+1)(2n+1) − 2n(n+1)	인수분해((n+1)⁴−(n+1)=(n+1)[(n+1)³−1])
= (n+1)·[(n+1)³−1−n(2n+1)−2n]	(n+1) 묶기
(n+1)³−1 = n³+3n²+3n,   n(2n+1)+2n=2n²+3n이므로 [  ] = n³+n²	전개·동류항 정리
4nΣk=1k³ = (n+1)(n³+n²) = n²(n+1)²	인수분해(n³+n²=n²(n+1))

양변을 4로 나누면

nΣk=1k³ = n²(n+1)²4

를 얻습니다. 우변은 n(n+1)2의 제곱, 즉 763번(자연수의 합) 그 자체의 제곱과 같습니다 :

nΣk=1k³ = (nΣk=1k)²

이 흥미로운 사실(세제곱의 합이 자연수의 합의 제곱과 같다는 것)은 니코마코스의 정리(Nicomachus's theorem)로 알려져 있습니다.

사용 : 762번(Σ의 성질과 텔레스코핑) · 763번(자연수의 합) · 764번(제곱의 합) · 2.2의 78번(합의 네제곱)

증명 끝

766정리부분분수를 이용한 합(Sum by Partial Fractions)nΣk=11k(k+1) = nn+1

증명법 : 부분분수분해 + 762번의 따름(뒤집힌 텔레스코핑)

모든 자연수 k에 대해 다음 항등식이 성립합니다(양변에 k(k+1)을 곱하면 1=（k+1)−k로 자명하게 확인됩니다―9.2의 701번에서 이미 쓴 것과 같은 부분분수분해 기법) :

1k(k+1) = 1k − 1k+1

a_k:=1k(k≠0이므로 모든 자연수 k에서 well-defined)로 두면 우변은 정확히 a_k−a_k+1이므로, 762번의 따름(뒤집힌 텔레스코핑)을 바로 적용할 수 있습니다 :

nΣk=11k(k+1) = nΣk=1(ak−ak+1) = a1−an+1	762번의 따름(ak:=1k)
= 1 − 1n+1 = nn+1	a1=1, 통분

를 얻습니다.

일반화(간격이 2인 경우). 같은 방법을 분모의 두 인수가 두 칸 떨어진 경우에도 적용할 수 있습니다 : 1k(k+2) = 12(1k−1k+2)(양변에 k(k+2)를 곱하면 1=12[(k+2)−k]로 확인됩니다). 이번에는 b_k:=1k에 대해 b_k−b_k+2 꼴이라 762번의 따름이 그대로 맞지는 않지만(첨자가 1칸이 아니라 2칸 떨어짐), 정확히 같은 원리―겹치는 항은 상쇄되고 양 끝에 겹치지 않는 항이 각각 두 개씩 남는다―로 직접 확인됩니다 :

nΣk=11k(k+2) = 12[(b₁+b₂) − (b_n+1+b_n+2)] = 12(1+12−1n+1−1n+2)

즉 간격이 m인 부분분수 1k(k+m)은 항상 1m(1k−1k+m)로 분해되어 텔레스코핑되지만, m=1일 때만 겹치지 않는 항이 양 끝에 하나씩 남는 가장 단순한 형태가 됩니다.

사용 : 762번(Σ의 성질과 텔레스코핑, 따름) · 9.2의 701번(부분분수분해)

증명 끝

767정리분모의 유리화를 이용한 합(Sum by Rationalization)nΣk=11k+k+1 = n+1−1

증명법 : 분모의 유리화 + 762번⑷(텔레스코핑)

2.4의 101번(분모의 유리화, 합·차 꼴)에 a=k, b=k+1(a≠b, a,b≥0―자연수이므로 자동으로 성립)을 대입하면

1k+k+1 = k−k+1k−(k+1) = k−k+1−1 = k+1−k

가 모든 자연수 k에서 성립합니다(근호 n제곱근의 정의에 의해 √k, √(k+1) 모두 양의 실수로 well-defined). a_k:=k로 두면 우변은 정확히 a_k+1−a_k이므로, 762번⑷의 텔레스코핑을 바로 적용합니다 :

nΣk=11k+k+1 = nΣk=1(ak+1−ak) = an+1−a1	762번⑷(ak:=k)
= n+1 − 1 = n+1 − 1	a1=1=1

를 얻습니다. 766번(부분분수)이 «분모가 이웃한 두 자연수의 곱»을 다뤘다면, 이 정리는 «분모가 이웃한 두 제곱근의 합»을 다루는 짝을 이루는 결과입니다―두 경우 모두 762번의 텔레스코핑이라는 같은 원리에서 나옵니다.

사용 : 762번(Σ의 성질과 텔레스코핑) · 2.4의 101번(분모의 유리화) · 2.4의 n제곱근의 정의

증명 끝

768정리활용 ― 여러 공식의 결합nΣk=1k(k+1) = n(n+1)(n+2)3

증명법 : 762번(선형성)으로 전개한 뒤 763·764번을 대입

일반항이 여러 표준 수열의 곱·합으로 이루어진 수열도 762번의 선형성으로 전개하면 지금까지 확립한 공식들의 조합으로 처리됩니다. 예로 a_k:=k(k+1)=k²+k인 수열의 합을 구합니다 :

nΣk=1k(k+1) = nΣk=1(k²+k) = nΣk=1k² + nΣk=1k	762번⑴(전개)
= n(n+1)(2n+1)6 + n(n+1)2	764번·763번 대입
= n(n+1)·(2n+1)+36 = n(n+1)(2n+4)6	n(n+1) 묶어 통분
= n(n+1)(n+2)3	약분(2n+4=2(n+2))

를 얻습니다. n=4로 수치 검산하면, 좌변은 직접 계산으로 1·2+2·3+3·4+4·5=2+6+12+20=40이고, 우변은 4·5·63=1203=40으로 일치합니다. 이처럼 낯선 수열의 합을 만나면 먼저 762번의 선형성으로 이미 아는 표준 수열(자연수· 제곱·세제곱의 합, 또는 등차·등비수열의 합)의 조합으로 쪼갤 수 있는지 확인하는 것이 이 절 전체의 핵심 전략입니다.

사용 : 762번(Σ의 성질) · 763번(자연수의 합) · 764번(제곱의 합)

증명 끝