3.31 범위 밖(백과사전)
경사면을 가진 원기둥
Right Circular Cylinder with an Oblique Plane Face
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 3.30의 원기둥을 밑면에 평행하지 않은 평면(경사면)으로 잘라 얻는 입체, 곧 경사면을 가진 원기둥(right circular cylinder with an oblique plane face)을 다룹니다. 옆면의 모선은 원래 원기둥과 마찬가지로 모두 서로 평행한 채로 그대로 두고, 그 길이만 위치에 따라 선형으로 달라지게 만드는 것이 핵심입니다 — 가장 긴 모선의 길이를 H, 가장 짧은 모선의 길이를 h(둘은 밑면의 지름 위 서로 반대쪽 끝에서 나옵니다), 밑면의 반지름을 r이라 하고, 옆넓이 Sₗₐₜ, 부피 V, 경사면의 넓이 S윗면, 겉넓이 S를 차례로 구합니다. 밑면이 원이라 3.30에서처럼 옆넓이·부피를 곧바로 얻을 수 없는데, 이번에는 모선의 길이 자체가 위치마다 다르다는 점이 하나 더 겹쳐 있습니다. 그래서 증명의 축은 3.30과 같은 내접·외접 정n각기둥의 극한이지만, 그 전에 “평면으로 자른 정n각기둥의 부피·옆넓이가 꼭짓점 높이의 평균만으로 정확히 결정된다”는 보조정리(351번)를 먼저 마련합니다. 이 절의 공식 6개(350~355번)를 정리합니다.
경사면을 가진 원기둥 — 밑면(중심 O, 반지름 r) 위에 평면이 비스듬히 얹혀 있고, 가장 긴 모선 AE(=H)와 가장 짧은 모선 BF(=h)가 지름의 양 끝에서 나옴. O′는 경사면의 중심(축 위, 높이 m=H+h2)
350정의경사면을 가진 원기둥밑면 반지름 r, 최대 모선 H, 최소 모선 h(0≤h≤H), 평균 높이 m=H+h2
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 3.30의 원기둥(342번)을 충분히 길게 세우고, 밑면에 평행하지 않은 평면 π로 옆면을 한 바퀴 둘러 자릅니다. 원래 원기둥의 모선은 모두 서로 평행하고 밑면에 수직이므로(342번), 각 모선은 잘려도 방향을 바꾸지 않고 길이만 잘리는 위치에 따라 달라집니다 — 이 길이가 달라지는 방식이 정확히 선형(밑면 위의 위치에 대한 1차식)이라는 점이 이 절 전체의 핵심 성질입니다.
밑면의 중심 O를 원점으로 하여 밑면 위에 좌표 (x,y)를, 위쪽으로 높이 z를 잡습니다. π는 평면이므로 ax+by+cz+d=0 꼴로 나타낼 수 있고(7.9의 598번, 좌표공간에서 평면의 방정식 — 범위 밖 부록이므로 앞쪽 참조로 씁니다), π가 수직이 아니므로 c≠0입니다. 따라서 밑면 위의 점 (x,y)에서 π까지의 수직 높이는 m+px+qy(m, p, q는 상수) 꼴의 1차식입니다. p=q=0이면 3.30의 원기둥이고, 그렇지 않으면 좌표축을 돌려 x축이 높이가 커지는 방향을 향하게 하여 높이를 m+kx(k>0)로 쓸 수 있습니다. 그러면 밑면 둘레 위에서 높이가 가장 큰 점 A=(r,0)과 가장 작은 점 B=(−r,0)은 지름의 양 끝이고, 그 위의 모선을 AE=H(최대 모선), BF=h(최소 모선)라 하면 H=m+kr, h=m−kr이므로 m=H+h2, k=H−h2r입니다. 곧 밑면 위의 점 (x,y)에서 나오는 모선의 길이는 m+H−h2rx이고, 특히 둘레 위의 점 P(중심 O에서 각 φ만큼 회전한 위치, φ=0이 A, x=r cosφ)에서 나오는 모선의 길이는
ℓ(φ) = m + H−h2cosφ, m = H+h2
입니다(φ=0에서 H, φ=π에서 h). 여기서 m을 이 도형의 평균 높이라 부릅니다 — 이 이름이 정당한 이유는 351번· 352번·353번에서 확인됩니다. h=H(m=H=h)이면 평면이 밑면과 평행해지는 경우로 3.30의 보통 원기둥으로 돌아가고, h=0이면 평면이 밑면의 경계 위 한 점(B)에서 원기둥과 맞닿는 극단적인 경우가 됩니다 — 이 절의 공식은 이 두 극단을 포함해 연속적으로 성립합니다.
평면 π와 밑면이 이루는 각(경사각) θ는, A, B를 지나는 축 단면 (352번의 도형 참고)이 직각사다리꼴 ABFE(AB=2r, AE=H, BF=h)를 이루는 것으로부터(π와 밑면 평면의 교선은 y축에 평행하므로, xz평면인 이 축 단면은 교선에 수직이고 EF와 AB가 이루는 각이 곧 θ입니다)
tanθ = H−h2r
를 만족합니다. 원기둥(3.30의 342번)과 마찬가지로 옆면이 곡면이므로 이 입체 역시 다면체(3.22의 283번)가 아닙니다.
사용 : 3.30의 342번(원기둥의 정의·모선의 성질) · 3.22의 283번(다면체의 정의) · 7.9의 598번(평면의 방정식, 앞쪽 참조)
351정리보조정리 — 평면으로 자른 정n각기둥밑넓이 Bₙ, 둘레 Pₙ인 정n각기둥을 중심 위에서 높이 m인 평면으로 자르면(모든 꼭짓점 높이 ≥ 0) Vₙ=Bₙm, Sₗₐₜₙ=Pₙm
증명법 : 직접증명법(분해와 대칭)
밑면이 중심 O인 정n각형(꼭짓점 V₁,…,Vₙ)인 각기둥(3.24의 298번)을 충분히 길게 세우고, 평면 π로 자릅니다. π가 O 바로 위의 점을 지나는 높이를 m이라 하고, Vₖ를 지나는 모선이 잘리는 높이를 hₖ라 합시다 (k=1,…,n). 모든 hₖ≥0, 곧 π가 밑면 위쪽에서 각기둥을 자른다고 합니다. 350번과 같이 O를 원점으로 하는 좌표를 잡으면, 밑면 위의 점 (x,y)에서 π까지의 수직 높이는 h(x,y)=m+px+qy 꼴의 1차식입니다.
1단계 — 꼭짓점 높이의 평균은 m. 정n각형은 O를 중심으로 하는 회전(2π/n만큼)에 대해 불변이고, 이 회전은 꼭짓점들을 V₁→V₂→…→Vₙ→V₁로 순환시킵니다. 따라서 벡터의 합 Σ(Vₖ−O)도 이 회전에 대해 불변인 벡터인데, 0이 아닌 각(2π/n≠0, n≥3이므로)만큼의 회전에서 불변인 벡터는 영벡터뿐입니다. 그러므로
Σ(Vₖ−O) = 0, 곧 ΣVₖ = nO.
O가 원점이므로 꼭짓점을 Vₖ=(xₖ, yₖ)라 하면 이는 Σxₖ=0, Σyₖ=0이라는 뜻이고,
Σhₖ = Σ(m+pxₖ+qyₖ) = nm + pΣxₖ + qΣyₖ = nm
이므로 1nΣhₖ = m입니다 — 꼭짓점 높이의 평균이 항상 m이라는 사실은 n이나 각 hₖ의 개별 값과 무관하게 순전히 회전대칭에서만 나옵니다.
2단계 — 부피. O를 중심으로 밑면을 n개의 이등변삼각형 OVₖVₖ₊₁로 부채꼴 분할합니다(부피의 공리, 3.22의 285번 성질②). O 바로 위, 높이 m인 점을 O′라 하면(이 점은 실제로 자른 도형의 경계 위에 있는 점입니다 — O가 밑면의 내부이므로), 각 삼각형을 밑면으로 하고 O에서 h=m, Vₖ에서 h=hₖ, Vₖ₊₁에서 h=hₖ₊₁로 잘린 삼각기둥의 절단조각(밑넓이 Bₙ/n, 세 모서리 O, Vₖ, Vₖ₊₁)으로 나뉩니다.
삼각기둥 절단조각의 부피. 밑면이 삼각형 XYZ(넓이 T)이고, X, Y, Z 위의 모서리가 각각 높이 x, y, z(모두 0 이상)에서 한 평면으로 잘린 조각의 부피는 T(x+y+z)3입니다. 가장 낮은 모서리를 X라 하고(x≤y, x≤z), 높이 x에서 밑면에 평행한 평면으로 자릅니다. 아래 부분은 밑면 XYZ, 높이 x인 삼각기둥이므로 부피가 Tx입니다(3.24의 301번). 위 부분은 X 바로 위 높이 x인 점 X′을 꼭짓점으로 하고, 변 YZ 위에 서 있는 수직 평면 안의 사다리꼴(평행한 두 변의 길이 y−x, z−x, 그 사이의 거리 YZ)을 밑면으로 하는 사각뿔입니다 — 위 부분의 다섯 면 가운데 이 사다리꼴을 뺀 넷(자르는 평면 위의 삼각형, XY·XZ 위의 수직 평면 안의 두 삼각형, 높이 x의 수평면 위의 삼각형)이 모두 X′을 지나기 때문입니다. X에서 직선 YZ에 내린 수선의 길이를 d라 하면, 이 수선은 YZ와 수직 방향 모두에 수직이므로 사다리꼴이 놓인 평면에 수직이고(3.22 단원 서두의 약속 ②), 사각뿔의 높이는 d입니다. YZ·d=2T(3.4의 195번)이므로 각뿔의 부피 공리(3.25의 304번)에 의해 위 부분의 부피는 13·YZ·((y−x)+(z−x))2·d = T(y+z−2x)3입니다. 두 부분을 더하면(3.22의 285번 성질②) Tx+T(y+z−2x)3 = T(x+y+z)3입니다.
이를 각 조각(T=Bₙ/n, 세 높이 m, hₖ, hₖ₊₁)에 적용하면 각 조각의 부피는 Bₙn·m+hₖ+hₖ₊₁3입니다. n개를 더하면
Vₙ = Bₙ3nΣ(m+hₖ+hₖ₊₁) = Bₙ3n（nm+2Σhₖ） = Bₙ3n（nm+2nm） = Bₙm
(중간에 Σhₖ₊₁=Σhₖ와 1단계의 Σhₖ=nm을 썼습니다). 즉 Vₙ=Bₙm입니다 — n이나 hₖ의 개별 값에 관계없이, 오직 밑넓이와 평균 높이 m으로만 결정됩니다.
3단계 — 옆넓이. 옆면의 k번째 사다리꼴 판(꼭짓점 Vₖ, Vₖ₊₁와 그 위의 절단점)은 평행한 두 변(길이 hₖ, hₖ₊₁인 수직 모서리)과 그 사이의 밑변(정n각형의 한 변, 길이 sₙ)으로 이루어진 평면 사다리꼴이므로, 사다리꼴의 넓이 공식(3.9의 217번)에 의해 넓이는 sₙ(hₖ+hₖ₊₁)2입니다. n개를 더하면
Sₗₐₜₙ = sₙ2Σ(hₖ+hₖ₊₁) = sₙ2·2Σhₖ = sₙ·nm = Pₙm
(Pₙ=nsₙ는 3.18의 258번에 의한 정n각형의 둘레). 즉 Sₗₐₜₙ=Pₙm입니다.
평면으로 자른 정n각기둥(왼쪽, n=8)과 각 꼭짓점의 절단 높이를 막대로 나타낸 그림(오른쪽) — 막대의 평균 높이는 항상 중심 O 위 높이 m(회전대칭에서 나오는 사실)
사용 : 3.24의 298번(각기둥의 정의) · 3.18의 258번(정n각형의 둘레) · 3.9의 217번(사다리꼴의 넓이) · 3.25의 304번(각뿔의 부피 공리) · 3.22의 285번(부피의 공리 ②) · 3.24의 301번(각기둥의 부피) · 3.4의 195번(삼각형의 넓이) · 3.22 단원 서두의 약속 ②(수직 판정) · 350번(높이의 1차식)
증명 끝
352정리옆넓이Sₗₐₜ = πr(H+h) = 2πrm
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
3.30의 344번과 같은 내접·외접 정n각기둥 Kₙ, K′ₙ를 만들되, 이번에는 밑면에 평행한 평면이 아니라 원래의 경사면 π로 그대로 자릅니다. 이때 외접 정n각형은 한 변이 B(높이가 가장 낮은 점)에서 밑면 원에 접하도록 잡습니다. 그러면 다각형 전체가 그 접선의 원 쪽, 곧 x≥−r인 쪽에 있으므로(350번의 좌표) 모든 꼭짓점의 높이가 m−H−h2=h 이상, 곧 0 이상입니다. 내접 정n각형은 원 안에 있으므로 마찬가지입니다. 따라서 두 절단 기둥 모두 351번의 조건을 만족하고(h=0인 경우도 포함), 같은 π로 잘랐으므로 Kₙ⊂(경사면을 가진 원기둥)⊂K′ₙ입니다.
1단계 — 두 절단 기둥의 옆넓이. 351번에 의해 Sₗₐₜₙ=Pₙm, Sₗₐₜ′ₙ=Qₙm입니다(Pₙ, Qₙ는 내접·외접 정n각형의 둘레, 3.18의 256번· 257번·258번).
2단계 — 곡면의 넓이의 뜻. Kₙ의 n개 옆면은 밑면 원에 내접하는 정n각형의 꼭짓점을 지나는 모선을 차례로 이은 사다리꼴이므로, 3.30의 받아들이는 사실(곡면의 넓이의 뜻)에 의해 Pₙm이 n→∞일 때 다가가는 값이 Sₗₐₜ입니다.
3단계 — 극한. 3.30의 344번 4단계와 똑같이 Pₙ→2πr, Qₙ→2πr(n→∞, 극한 sin θθ→1 — 8.2의 635번·636번)이므로 Pₙm→2πrm이고, 2단계에 의해
Sₗₐₜ = 2πrm = πr(H+h).
외접 쪽 Qₙm도 같은 값으로 다가가므로, 안쪽·바깥쪽 절단 기둥의 옆넓이 사이에서 조여진다는 직관과도 맞습니다.
3D 로케이터 — A, B를 지나는 축 단면(파란 면)은 직각사다리꼴 ABFE(AB=2r, AE=H, BF=h)
축 단면 ABFE의 실제 모양(2D 정확 단면) — 두 평행한 수직변 AE=H, BF=h와 밑변 AB=2r을 가진 직각사다리꼴. 넓이는 3.9의 217번에 의해 T=r(H+h)=2rm이고, 경사각은 tanθ=H−h2r
이 축 단면 사다리꼴의 넓이 T=2rm을 이용하면 352번·353번의 결과를 한 문장으로 요약할 수 있습니다 : Sₗₐₜ=πT, V=r2Sₗₐₜ=πr2T. 이는 3.30의 보통 원기둥에서도 그대로 성립하던 관계(T=2rh일 때 Sₗₐₜ=2πrh=πT, V=πr²h=r2Sₗₐₜ)를 h=H인 특수한 경우로 포함하는 일반화입니다.
사용 : 351번(절단 정n각기둥의 옆넓이) · 3.18의 256번·257번·258번(정n각형의 외접원·내접원의 반지름과 둘레) · 3.30의 344번(같은 극한·외접 다각형 배치) · 3.9의 217번(사다리꼴의 넓이) · 8.2의 635번(극한 sin θθ→1) · 636번 · 3.30의 받아들이는 사실(곡면의 넓이의 뜻)
증명 끝
353정리부피V = πr²2(H+h) = πr²m
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
352번에서 쓴 내접·외접 정n각기둥 Kₙ, K′ₙ(같은 경사면 π로 절단, 외접 다각형은 한 변이 B에서 접하도록 배치)를 그대로 사용합니다.
1단계 — 두 절단 기둥의 부피. 351번에 의해 Vₙ=Bₙm, V′ₙ=B′ₙm입니다(Bₙ, B′ₙ는 내접·외접 정n각형의 넓이, 3.18의 259번).
2단계 — 부피의 단조성과 조임. Kₙ⊂(경사면을 가진 원기둥)⊂K′ₙ이므로 부피의 공리(3.22의 285번 성질②)에 의해
Bₙm ≤ V ≤ B′ₙm.
3단계 — 극한. 3.30의 346번과 똑같이 Bₙ→πr², B′ₙ→πr²(n→∞)이므로 양 끝이 모두 πr²m으로 수렴합니다. 조임에 의해
V = πr²m = πr²2(H+h).
3.30의 원기둥의 부피 V=Bh(346번)에서 h를 "밑넓이 위의 평균 높이" m으로 바꾼 것과 같은 꼴입니다 — 실제로 3.30의 경우도 밑면 전체에서 높이가 h로 일정하므로 평균도 그대로 h입니다. h=H(=m)이면 이 식은 3.30의 V=πr²h로 되돌아가고, h=0이면 V=πr²H2로, 높이 H인 원기둥의 절반이 되는 극단적인 경우와 맞습니다.
사용 : 351번(절단 정n각기둥의 부피) · 3.18의 259번(정n각형의 넓이) · 3.22의 285번(부피의 공리 ②) · 3.30의 346번(같은 극한과 형태의 대응)
증명 끝
354정리경사면(윗면)의 모양과 넓이반지름 r, r²+(H−h)²4인 타원, S윗면=πrr²+(H−h)²4
증명법 : 직접증명법
(타원의 정식 정의와 넓이 공식은 7.5의 567번·570번에서 다룹니다. 여기서는 “원을 한 방향으로만 일정한 비율로 늘인 곡선”이라는 뜻으로만 씁니다.)
1단계 — 수직 사영은 밑면과 합동인 원. 경사면 π 위의 점을 그 점 바로 아래(수직 방향)의 밑면 위의 점으로 대응시키는 사영은, π가 수직이 아니므로(즉 밑면과 평행하지 않으므로) 일대일 대응입니다. 경사면의 경계(윗면의 둘레)는 옆면과 π의 교선이고, 옆면은 밑면과 합동인 원을 수직으로 평행이동시켜 만든 것이므로(350번), 그 사영은 정확히 밑면의 원 전체 (반지름 r)입니다.
2단계 — 한 방향으로만 늘어남. A, B를 잇는 방향(x방향이라 합시다)을 기준으로, 밑면 위의 점 (x,y)의 바로 위, π 위의 점까지의 실제 거리를 생각합니다. y방향(A, B를 잇는 방향에 수직)으로 조금 이동하면 π의 높이는 변하지 않으므로(350번의 높이 함수가 x만의 1차식), 그 방향의 실제 거리는 수평 이동 거리와 같습니다 — 곧 y방향은 그대로 유지됩니다. 반면 x방향으로 수평 거리 Δx만큼 이동하면 높이가 H−h2rΔx만큼 오르내리므로(350번), π 위에서의 실제 이동 거리는 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
| Δx²+H−h2r²Δx² | 피타고라스 정리(3.1의 163번) |
| = Δx·1+(H−h)²4r² | Δx²로 묶고 근호 밖으로 |
| = Δx·secθ | secθ=1+tan²θ(350번의 θ) |
곧 x방향으로는 secθ배로 늘어납니다. 요약하면, 밑면의 원 (x,y) ∈ {x²+y²=r²}를 x→x·secθ, y→y로 대응시키는 늘이기가 경사면 위의 실제 모양을 만듭니다 — 이는 짧은지름 2r, 긴지름 2r·secθ인 타원의 정의와 정확히 일치합니다(7.5의 568번―표준방정식과 단위원을 늘인 도형이 같다는 사실).
3단계 — 반지름과 넓이. 짧은반지름은 r, 긴반지름은
| a = r·secθ = r1+tan²θ | secθ의 정의 |
| = r1+(H−h)²4r² | tanθ=(H−h)/(2r) 대입(350번) |
a = r²+(H−h)²4
이고, 이 값은 축 단면(352번)의 빗변 EF의 절반과 같습니다 — 긴지름의 두 끝이 곧 E, F입니다(EF는 밑변 AB=2r, 두 수직변의 차 H−h인 직각삼각형의 빗변이므로 4r²+(H−h)²이고, 4a²=4r²+(H−h)²=EF², 곧 a=EF2). 타원의 넓이 공식(7.5의 570번) S=π·(긴반지름)·(짧은반지름)에 의해
S윗면 = πra = πrr²+(H−h)²4
경사면(윗면)을 그 평면에 수직으로 바라본 실제 모양 — 짧은반지름 r(밑면의 반지름과 같음), 긴반지름 a=r²+(H−h)²4, 긴지름의 두 끝이 곧 E, F
사용 : 350번(경사면의 높이 함수와 경사각) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 7.5의 568번·570번(타원의 정의와 넓이)
증명 끝
355정리겉넓이S = πr² + πr(H+h) + πrr²+(H−h)²4 = πr（r+H+h+r²+(H−h)²4）
증명법 : 직접증명법
겉면은 밑면(원, 넓이 πr²), 옆면(넓이 πr(H+h), 352번), 경사면(타원, 넓이 πrr²+(H−h)²4, 354번)의 세 부분으로 이루어져 있고 서로 겹치지 않으므로, 겉넓이는 세 넓이의 합입니다.
S = πr² + πr(H+h) + πrr²+(H−h)²4 = πr（r+H+h+r²+(H−h)²4）.
검산 — 극단적인 경우. h=H(=m)이면 r²+0=r이 되어 S=πr(r+2H+r)=2πr(r+H)=2πr(r+h)로, 3.30의 겉넓이 공식(345번)과 정확히 일치합니다. h=0이면 S=πr（r+H+r²+H²4）로, 이때 옆넓이 πrH는 높이 H인 원기둥의 옆넓이 2πrH의 절반입니다.
사용 : 352번(옆넓이) · 354번(경사면의 넓이) · 3.30의 345번(h=H 극한과의 일치)
증명 끝