3.31 범위 밖(백과사전)
경사면을 가진 원기둥
Right Circular Cylinder with an Oblique Plane Face
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 3.30의 원기둥을 밑면에 평행하지 않은 평면(경사면)으로 잘라 얻는 입체, 곧 경사면을 가진 원기둥(right circular cylinder with an oblique plane face)을 다룹니다. 옆면의 모선은 원래 원기둥과 마찬가지로 모두 서로 평행한 채로 그대로 두고, 그 길이만 위치에 따라 선형으로 달라지게 만드는 것이 핵심입니다 — 가장 긴 모선의 길이를 H, 가장 짧은 모선의 길이를 h(둘은 밑면의 지름 위 서로 반대쪽 끝에서 나옵니다), 밑면의 반지름을 r이라 하고, 옆넓이 Sₗₐₜ, 부피 V, 경사면의 넓이 Sₛₐ₠ₓ, 겉넓이 S를 차례로 구합니다. 밑면이 원이라 3.30에서처럼 옆넓이·부피를 곧바로 얻을 수 없는데, 이번에는 모선의 길이 자체가 위치마다 다르다는 점이 하나 더 겹쳐 있습니다. 그래서 증명의 축은 3.30과 같은 내접·외접 정n각기둥의 조임(squeeze)이지만, 그 전에 “평면으로 자른 정n각기둥의 부피·옆넓이가 꼭짓점 높이의 평균만으로 정확히 결정된다”는 보조정리(351번)를 먼저 마련합니다. 이 절의 공식 6개(350~355번)를 정리합니다.
경사면을 가진 원기둥 — 밑면(중심 O, 반지름 r) 위에 평면이 비스듬히 얹혀 있고, 가장 긴 모선 AE(=H)와 가장 짧은 모선 BF(=h)가 지름의 양 끝에서 나옴. O′는 경사면의 중심(축 위, 높이 m=H+h2)
350정의경사면을 가진 원기둥밑면 반지름 r, 최대 모선 H, 최소 모선 h(0≤h≤H), 평균 높이 m=H+h2
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 3.30의 원기둥(342번)을 충분히 길게 세우고, 밑면에 평행하지 않은 평면 π로 옆면을 한 바퀴 둘러 자릅니다. 원래 원기둥의 모선은 모두 서로 평행하고 밑면에 수직이므로(342번), 각 모선은 잘려도 방향을 바꾸지 않고 길이만 잘리는 위치에 따라 달라집니다 — 이 길이가 달라지는 방식이 정확히 선형(밑면 위의 위치에 대한 1차식)이라는 점이 이 절 전체의 핵심 성질입니다.
밑면의 지름 위에서 서로 반대쪽에 있는 두 점 A, B를 잡을 때, 그 위의 모선 AE, BF의 길이가 각각 극대·극소가 되도록 A, B를 고르면(즉 평면 π가 가장 높이 올라가는 방향과 가장 낮게 남는 방향), AE=H(최대 모선), BF=h(최소 모선)이라 합니다. 밑면 위의 임의의 점 P(중심 O에서 각 φ만큼 회전한 위치, φ=0이 A)에서 나오는 모선의 길이는
H(φ) = m + H−h2cosφ, m = H+h2
로 주어집니다(φ=0에서 H, φ=π에서 h가 되도록 맞춘 식). 여기서 m을 이 도형의 평균 높이라 부릅니다 — 이 이름이 정당한 이유는 351번· 352번·353번에서 확인됩니다. h=H(m=H=h)이면 평면이 밑면과 평행해지는 경우로 3.30의 보통 원기둥으로 돌아가고, h=0이면 평면이 밑면의 경계 위 한 점(B)에서 원기둥과 맞닿는 극단적인 경우(흔히 "원통형 쐐기"라 불리는 퇴화 도형)가 됩니다 — 이 절의 공식은 이 두 극단을 포함해 연속적으로 성립합니다.
평면 π와 밑면이 이루는 각(경사각) θ는, A, B를 지나는 축 단면 (352번의 도형 참고)이 직각사다리꼴 ABFE(AB=2r, AE=H, BF=h)를 이루는 것으로부터
tanθ = H−h2r
를 만족합니다. 원기둥(3.30의 342번)과 마찬가지로 옆면이 곡면이므로 이 입체 역시 다면체(3.22의 283번)가 아닙니다.
351정리보조정리 — 평면으로 자른 정n각기둥밑넓이 Bₙ, 둘레 Pₙ인 정n각기둥을 중심 위에서 높이 m인 평면으로 자르면 Vₙ=Bₙm, Sₗₐₜₙ=Pₙm
증명법 : 직접증명법(분해와 대칭)
밑면이 중심 O인 정n각형(꼭짓점 V₁,…,Vₙ)인 각기둥(3.24의 298번)을 충분히 길게 세우고, 평면 π로 자릅니다. π가 O 바로 위의 점을 지나는 높이를 m이라 하고, Vₖ를 지나는 모선이 잘리는 높이를 hₖ라 합시다 (i=1,…,n). π는 평면이므로 h(x,y)(밑면 위의 점 (x,y)에서 π까지의 수직 높이)는 (x,y)에 대한 1차식(아핀함수)입니다.
1단계 — 꼭짓점 높이의 평균은 m. 정n각형은 O를 중심으로 하는 회전(2π/n만큼)에 대해 불변이고, 이 회전은 꼭짓점들을 V₁→V₂→…→Vₙ→V₁로 순환시킵니다. 따라서 벡터의 합 Σ(Vₖ−O)도 이 회전에 대해 불변인 벡터인데, 0이 아닌 각(2π/n≠0, n≥3이므로)만큼의 회전에서 불변인 벡터는 영벡터뿐입니다. 그러므로
Σ(Vₖ−O) = 0, 곧 ΣVₖ = nO.
h가 아핀함수이므로 h(Vₖ)−h(O) = ℓ(Vₖ−O)인 선형함수 ℓ가 존재하고,
Σhₖ = Σh(Vₖ) = n·h(O) + ℓ （Σ(Vₖ−O)） = nm + ℓ(0) = nm
이므로 1nΣhₖ = m입니다 — 꼭짓점 높이의 평균이 항상 m이라는 사실은 n이나 각 hₖ의 개별 값과 무관하게 순전히 회전대칭에서만 나옵니다.
2단계 — 부피. O를 중심으로 밑면을 n개의 이등변삼각형 OVₖVₖ₊₁로 부채꼴 분할합니다(부피의 공리, 3.22의 285번 성질②). O 바로 위, 높이 m인 점을 O′라 하면(이 점은 실제로 자른 도형의 경계 위에 있는 점입니다 — O가 밑면의 내부이므로), 각 삼각형을 밑면으로 하고 O에서 h=m, Vₖ에서 h=hₖ, Vₖ₊₁에서 h=hₖ₊₁로 잘린 삼각기둥의 절단조각(밑넓이 Bₙ/n, 세 모서리 O, Vₖ, Vₖ₊₁)으로 나뉩니다. 삼각기둥을 평면으로 자른 절단조각의 부피는 세 모서리의 높이의 평균에 밑넓이를 곱한 것과 같다는 사실은(세 사면체 O-Vₖ-Vₖ₊₁-Vₖ₊₁′류의 분해로 확인되는 고전적인 결과이며, 어느 면을 밑면으로 잡아도 각뿔의 부피 공식(3.25의 304번)이 같은 값을 준다는 사실에 의존합니다) 각 조각의 부피가 Bₙn·m+hₖ+hₖ₊₁3임을 줍니다. n개를 더하면
Vₙ = Bₙ3nΣ(m+hₖ+hₖ₊₁) = Bₙ3n（nm+2Σhₖ） = Bₙ3n（nm+2nm） = Bₙm
(중간에 Σhₖ₊₁=Σhₖ와 1단계의 Σhₖ=nm을 썼습니다). 즉 Vₙ=Bₙm입니다 — n이나 hₖ의 개별 값에 관계없이, 오직 밑넓이와 평균 높이 m으로만 결정됩니다.
3단계 — 옆넓이. 옆면의 i번째 사다리꼴 판(꼭짓점 Vₖ, Vₖ₊₁와 그 위의 절단점)은 평행한 두 변(길이 hₖ, hₖ₊₁인 수직 모서리)과 그 사이의 밑변(정n각형의 한 변, 길이 sₙ)으로 이루어진 평면 사다리꼴이므로, 사다리꼴의 넓이 공식(3.9의 217번)에 의해 넓이는 sₙ(hₖ+hₖ₊₁)2입니다. n개를 더하면
Sₗₐₜₙ = sₙ2Σ(hₖ+hₖ₊₁) = sₙ2·2Σhₖ = sₙ·nm = Pₙm
(Pₙ=nsₙ는 3.18의 258번에 의한 정n각형의 둘레). 즉 Sₗₐₜₙ=Pₙm입니다.
평면으로 자른 정n각기둥(왼쪽, n=8)과 각 꼭짓점의 절단 높이를 막대로 나타낸 그림(오른쪽) — 막대의 평균 높이는 항상 중심 O 위 높이 m(회전대칭에서 나오는 사실)
사용 : 3.24의 298번(각기둥의 정의) · 3.18의 258번(정n각형의 둘레) · 3.9의 217번(사다리꼴의 넓이) · 3.25의 304번(각뿔의 부피 공리) · 3.22의 285번(부피의 공리 ②)
증명 끝
352정리옆넓이Sₗₐₜ = πr(H+h) = 2πrm
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
3.30의 344번과 같은 내접·외접 정n각기둥 Kₙ, K′ₙ를 만들되, 이번에는 밑면에 평행한 평면이 아니라 원래의 경사면 π로 그대로 자릅니다(π는 물리적으로 하나의 고정된 평면이므로, Kₙ가 원기둥 내부에 있다는 사실만으로 같은 π로 잘라도 Kₙ⊂(경사면을 가진 원기둥)⊂K′ₙ가 그대로 유지됩니다).
1단계 — 두 절단 기둥의 옆넓이. 351번에 의해 Sₗₐₜₙ=Pₙm, Sₗₐₜ′ₙ=Qₙm입니다(Pₙ, Qₙ는 내접·외접 정n각형의 둘레, 3.18의 256번· 257번·258번).
2단계 — 조임. Kₙ의 옆면은 원기둥의 옆면보다 안쪽에, K′ₙ의 옆면은 바깥쪽에 있으므로(둘 다 같은 π로 잘렸으므로 이 포함 관계가 그대로 넘어갑니다)
Pₙm ≤ Sₗₐₜ ≤ Qₙm.
3단계 — 극한. 3.30의 344번 4단계와 똑같이 Pₙ→2πr, Qₙ→2πr(n→∞, 극한 sin θθ→1 — 8.2의 635번)이므로, 양 끝이 모두 2πrm으로 수렴합니다. 조임에 의해
Sₗₐₜ = 2πrm = πr(H+h).
3D 로케이터 — A, B를 지나는 축 단면(파란 면)은 직각사다리꼴 ABFE(AB=2r, AE=H, BF=h)
축 단면 ABFE의 실제 모양(2D 정확 단면) — 두 평행한 수직변 AE=H, BF=h와 밑변 AB=2r을 가진 직각사다리꼴. 넓이는 3.9의 217번에 의해 T=r(H+h)=2rm이고, 경사각은 tanθ=H−h2r
이 축 단면 사다리꼴의 넓이 T=2rm을 이용하면 352번·353번의 결과를 한 문장으로 요약할 수 있습니다 : Sₗₐₜ=πT, V=r2Sₗₐₜ=πr2T. 이는 3.30의 보통 원기둥에서도 그대로 성립하던 관계(T=2rh일 때 Sₗₐₜ=2πrh=πT, V=πr²h=r2Sₗₐₜ)를 h=H인 특수한 경우로 포함하는 일반화입니다.
사용 : 351번(절단 정n각기둥의 옆넓이) · 3.18의 256번·257번·258번(정n각형의 외접원·내접원의 반지름과 둘레) · 3.30의 344번(같은 극한) · 3.9의 217번(사다리꼴의 넓이) · 8.2의 635번(극한 sin θθ→1)
증명 끝
353정리부피V = πr²2(H+h) = πr²m
증명법 : 직접증명법(극한을 이용)
352번에서 쓴 내접·외접 정n각기둥 Kₙ, K′ₙ(같은 경사면 π로 절단)를 그대로 사용합니다.
1단계 — 두 절단 기둥의 부피. 351번에 의해 Vₙ=Bₙm, V′ₙ=B′ₙm입니다(Bₙ, B′ₙ는 내접·외접 정n각형의 넓이, 3.18의 259번).
2단계 — 부피의 단조성과 조임. Kₙ⊂(경사면을 가진 원기둥)⊂K′ₙ이므로 부피의 공리(3.22의 285번 성질②)에 의해
Bₙm ≤ V ≤ B′ₙm.
3단계 — 극한. 3.30의 346번과 똑같이 Bₙ→πr², B′ₙ→πr²(n→∞)이므로 양 끝이 모두 πr²m으로 수렴합니다. 조임에 의해
V = πr²m = πr²2(H+h).
3.30의 원기둥의 부피 V=Bh(346번)에서 h를 "밑넓이 위의 평균 높이" m으로 바꾼 것과 같은 꼴입니다 — 실제로 3.30의 경우도 밑면 전체에서 높이가 h로 일정하므로 평균도 그대로 h입니다. h=H(=m)이면 이 식은 3.30의 V=πr²h로 되돌아가고, h=0이면 V=πr²H2로, 원기둥의 절반이 되는 극단적인 경우와 맞습니다.
사용 : 351번(절단 정n각기둥의 부피) · 3.18의 259번(정n각형의 넓이) · 3.22의 285번(부피의 공리 ②) · 3.30의 346번(같은 극한과 형태의 대응)
증명 끝
354정리경사면(윗면)의 모양과 넓이반지름 r, r²+(H−h)²4인 타원, Sₛₐ₠ₓ=πrr²+(H−h)²4
증명법 : 직접증명법
(타원의 정식 정의와 넓이 공식은 7.5 f567번·f570번에서 다룹니다. 여기서는 “원을 한 방향으로만 일정한 비율로 늘인 곡선”이라는 뜻으로만 씁니다.)
1단계 — 수직 사영은 밑면과 합동인 원. 경사면 π 위의 점을 그 점 바로 아래(수직 방향)의 밑면 위의 점으로 대응시키는 사영은, π가 수직이 아니므로(즉 밑면과 평행하지 않으므로) 일대일 대응입니다. 경사면의 경계(윗면의 둘레)는 옆면과 π의 교선이고, 옆면은 밑면과 합동인 원을 수직으로 평행이동시켜 만든 것이므로(350번), 그 사영은 정확히 밑면의 원 전체 (반지름 r)입니다.
2단계 — 한 방향으로만 늘어남. A, B를 잇는 방향(x방향이라 합시다)을 기준으로, 밑면 위의 점 (x,y)의 바로 위, π 위의 점까지의 실제 거리를 생각합니다. y방향(A, B를 잇는 방향에 수직)으로 조금 이동하면 π의 높이는 변하지 않으므로(350번의 높이 함수가 x만의 1차식), 그 방향의 실제 거리는 수평 이동 거리와 같습니다 — 곧 y방향은 그대로 유지됩니다. 반면 x방향으로 수평 거리 Δx만큼 이동하면 높이가 H−h2rΔx만큼 오르내리므로(350번), π 위에서의 실제 이동 거리는 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해
| Δx²+H−h2r²Δx² | 피타고라스 정리(3.1의 163번) |
| = Δx·1+(H−h)²4r² | Δx²로 묶고 근호 밖으로 |
| = Δx·secθ | secθ=1+tan²θ(350번의 θ) |
곧 x방향으로는 secθ배로 늘어납니다. 요약하면, 밑면의 원 (x,y) ∈ {x²+y²=r²}를 x→x·secθ, y→y로 대응시키는 늘이기가 경사면 위의 실제 모양을 만듭니다 — 이는 짧은지름 2r, 긴지름 2r·secθ인 타원의 정의와 정확히 일치합니다(7.5 f568번―표준방정식과 단위원을 늘인 도형이 같다는 사실).
3단계 — 반지름과 넓이. 짧은반지름은 r, 긴반지름은
| a = r·secθ = r1+tan²θ | secθ의 정의 |
| = r1+(H−h)²4r² | tanθ=(H−h)/(2r) 대입(350번) |
a = r²+(H−h)²4
이고, 이 값은 정확히 축 단면(352번)의 긴 변 EF의 절반이 아니라, EF 자체와는 다른 양입니다(EF는 x방향 폭이 2r인 축 단면 위에서의 사선 길이이므로 4r²+(H−h)²이고, a=EF2와 같습니다 — 확인 : 4a²=4r²+(H−h)²=EF² ✓). 타원의 넓이 공식(7.5 f570번) S=π·(긴반지름)·(짧은반지름)에 의해
Sₛₐ₠ₓ = πra = πrr²+(H−h)²4
경사면(윗면)을 그 평면에 수직으로 바라본 실제 모양 — 짧은반지름 r(밑면의 반지름과 같음), 긴반지름 a=r²+(H−h)²4, 긴지름의 두 끝이 곧 E, F
사용 : 350번(경사면의 높이 함수와 경사각) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 7.5의 f568번·f570번(타원의 정의와 넓이
증명 끝
355정리겉넓이S = πr² + πr(H+h) + πrr²+(H−h)²4 = πr（r+H+h+r²+(H−h)²4）
증명법 : 직접증명법
겉면은 밑면(원, 넓이 πr²), 옆면(넓이 πr(H+h), 352번), 경사면(타원, 넓이 πrr²+(H−h)²4, 354번)의 세 부분으로 이루어져 있고 서로 겹치지 않으므로, 겉넓이는 세 넓이의 합입니다.
S = πr² + πr(H+h) + πrr²+(H−h)²4 = πr（r+H+h+r²+(H−h)²4）.
검산 — 극단적인 경우. h=H(=m)이면 r²+0=r이 되어 S=πr(r+2H+r)=2πr(r+H)=2πr(r+h)로, 3.30의 겉넓이 공식(345번)과 정확히 일치합니다. h=0이면 S=πr（r+H+r²+H²4）로, 밑면+옆면(반으로 좁아진 옆넓이가 아니라 그대로 πrH)+경사면(타원)의 합으로 남습니다.
사용 : 352번(옆넓이) · 354번(경사면의 넓이) · 3.30의 345번(h=H 극한과의 일치)
증명 끝