4.6 수능 핵심
화각공식(변형공식)
Reduction Formulas
정의 · 공식과 증명
3.7의 f207번과 3.16의 f248번은 증명 중간에 "sin(180°−θ)=sinθ(보각의 사인)"을 4장에서 다시 증명하겠다고 예고하고 먼저 빌려 썼습니다. 3.4의 f192번도 같은 방식으로 "cos(180°−θ)=−cosθ(보각의 코사인)"을 예고했습니다. 3.40의 f402번은 "cos(θ+π)=−cosθ, sin(θ+π)=−sinθ(반바퀴 회전은 원점 대칭)"을, 1.4의 f58번은 "cos(−φ)=cosφ, sin(−φ)=−sinφ(우함수·기함수 성질)"을 각각 예고했습니다. 이 절은 이 네 가지 약속을 포함해, 임의의 실수각의 삼각비를 예각(0<θ<π/2)의 삼각비로 바꾸어 표현하는 화각공식(변형공식, reduction formulas) 전체를 한 번에 다룹니다 — 430번에서 개념을 정의하고, 431번에서 이후 모든 공식이 공유할 하나의 기하학적 도구(직선에 대한 대칭이동 보조정리)를 증명한 뒤, 432−435번에서 이 도구를 반복 적용하고 대수적으로 조합해 나갑니다.
하나의 θ(그림은 θ=50°인 예)에서 출발해, 이 절에서 다루는 다섯 갈래의 화각공식이 서로 잇는 점들 — P(−θ)는 x축(음각공식, 432번), P(π−θ)는 y축(보각공식, 433번), P(π+θ)는 원점 대칭(반바퀴공식, 433번), P(π/2−θ)는 직선 y=x(여각공식, 434번)에 대한 대칭으로 얻어집니다. 네 갈래 모두 결국 431번 하나의 보조정리로 통일됩니다.
430정의화각공식(변형공식)의 개념임의각 → 예각의 삼각비 환산
정의. 실수 θ에 대해, ±θ, π±θ, π2±θ, 3π2±θ, 2π−θ처럼 θ에 π2의 정수배를 더하거나 빼거나 부호를 바꾸어 얻은 각의 삼각비를, 원래의 θ(특히 0<θ<π2인 예각)의 삼각비 ±sinθ, ±cosθ 등으로 다시 써 주는 공식들을 화각공식(변형공식, reduction formulas)이라 부릅니다.
왜 필요한가. 4.4의 421−423번은 π6, π4, π3, 0, π2 다섯 개의 특수각의 삼각비만을 직접(직각삼각형·단위원) 계산했습니다. 화각공식은 이 다섯 개의 값을 그대로 재사용해, 예를 들어 5π6=π−π6나 7π4=2π−π4처럼 무수히 많은 다른 각의 삼각비까지 전부 계산할 수 있게 해 줍니다 — 수능에서 흔히 "θ가 예각이 아닐 때"로 시작하는 문제 대부분이 이 화각공식으로 예각 문제로 환원됩니다.
이 절의 구성. 431번에서 모든 화각공식의 공통 뿌리가 되는 기하학적 보조정리(직선에 대한 대칭이동은 각을 θ↦2φ−θ로 바꾼다는 것)를 한 번 증명해 둔 뒤, 432−435번에서는 이 보조정리에 구체적인 거울선(x축, y축, y=x 등)을 대입하거나 이미 증명한 공식을 서로 대수적으로 조합하는 방식으로 나머지를 얻습니다 — 4.5가 425번(피타고라스 항등식) 하나로부터 426−428번을 순수 대수로 끌어냈던 것과 같은 전략입니다.
사용 : 4.4의 f421−423번(특수각의 삼각비, 이 절의 공식들이 실전에서 조합해 쓸 대상)
431정리대칭이동 보조정리(모든 화각공식의 공통 뿌리)P(θ)를 직선 ℓφ에 대칭이동하면 P(2φ−θ)
증명법 : 임의의 원소를 택하는 방법
주장. 원점 O를 지나고 x축의 양의 방향과 이루는 각이 φ인 직선을 ℓφ라 하면, 임의의 실수 θ, φ에 대해 점 P(θ)를 ℓφ에 대칭이동한 점은 정확히 P(2φ−θ)입니다.
이 증명은 대칭이동(반사)의 기본 성질 — 거울선 위의 점은 모두 그대로 고정되고, 두 대응점을 잇는 선분은 거울선과 수직으로 만나며 거울선에 의해 이등분된다는 것, 그리고 이로부터 곧바로 따라 나오는 "입사각=반사각"(거울선에서 잰 회전각의 크기는 같고 방향만 반대가 된다는 성질) — 은 중학교 도형의 이동(대칭이동) 단원에서 이미 다룬 내용으로 그대로 가져다 씁니다. 4.1의 f406번이 원의 반사대칭으로부터 π rad=180°를 얻을 때도 이미 같은 수준의 반사 성질을 사용한 바 있습니다.
준비. φ를 임의로 고정합니다. 직선 ℓφ 위에 O가 아닌 점 M을 하나 잡습니다(예 : ℓφ의 방향으로 O에서 거리 1인 점). θ를 임의로 택하고, 대칭이동으로 P(θ)가 옮겨지는 점을 Q라 하겠습니다.
1단계 — Q가 단위원 위에 있음. 대칭이동은 두 점 사이의 거리를 보존하는 등거리변환이고 O는 ℓφ 위의 점이라 이동으로 고정되므로, OQ = OP(θ)입니다. 그런데 P(θ)는 단위원(반지름 1) 위의 점이므로 OP(θ)=1이고, 따라서 OQ=1, 즉 Q도 단위원 위의 점입니다. 4.2의 f409번에 의해 단위원 위의 모든 점은 어떤 각 τ에 대해 P(τ) 꼴로 (2π의 정수배 차이를 무시하면 유일하게) 나타납니다. 이제 이 τ가 정확히 2φ−θ임을 보이면 증명이 끝납니다.
2단계 — 입사각과 반사각. 반직선 OP(θ)가 ℓφ(구체적으로 반직선 OM)와 이루는 부호 있는 각(4.1의 방향 있는 각 규약을 그대로 사용 — OM에서 OP(θ)까지 반시계 방향으로 잰 각)을 ψ := θ−φ라 하면, 위에서 가져다 쓴 반사의 성질("입사각=반사각, 방향은 반대")에 의해 반직선 OQ가 OM과 이루는 부호 있는 각은 정확히 −ψ = φ−θ입니다. 즉 반직선 OQ는 OM으로부터 (φ−θ)만큼 반시계 방향으로 잰 위치에 있으므로, x축의 양의 방향(반직선 OM 자체가 x축과 φ만큼의 각을 이루므로)으로부터는 φ+(φ−θ)=2φ−θ만큼 떨어져 있습니다.
결론. 반직선 OQ는 x축의 양의 방향으로부터 2φ−θ만큼 회전한 위치에 있고, Q는 이 반직선 위에서 O로부터 거리 1인 점(1단계)이므로, 4.2 f409번의 정의에 의해 정확히 Q = P(2φ−θ)입니다. θ, φ가 임의였으므로 모든 실수 θ, φ에 대해 성립합니다.
P(θ)를 ℓφ에 대칭이동한 점 = P(2φ−θ)
예시로 φ=35°, θ=110°인 경우(반사각은 2φ−θ=−40°) — 거울선 ℓφ(반직선 OM)로부터 OT까지의 각 ψ와 OM으로부터 OT′까지의 각 ψ가 서로 같습니다(입사각=반사각).
사용 : 4.2의 f409번(단위원 정의, 단위원 위의 점과 각의 대응) · 4.1의 f406번(반사대칭을 사용한 선례) · 반사(대칭이동)의 기본 성질(등거리성, 입사각=반사각 — 중학교 도형의 이동)
증명 끝
432정리음각공식(−θ)sin(−θ)=−sinθ, cos(−θ)=cosθ
증명법 : 직접증명법 (431번을 φ=0으로 특수화)
주장. 모든 실수 θ에 대해 cos(−θ) = cosθ이고 sin(−θ) = −sinθ입니다. (즉 코사인은 우함수, 사인은 기함수입니다.) tanθ가 정의되는 θ(θ≠π2+kπ)에서는 tan(−θ)=−tanθ도 성립합니다.
431번에서 φ=0으로 두면 ℓ₀은 x축 자신이고, 2φ−θ=−θ이므로 :
P(θ)를 x축에 대칭이동한 점 = P(−θ)
그런데 x축에 대한 대칭이동은 좌표평면에서 이미 알려진 기본 공식대로 (x,y)↦(x,−y)로 점을 옮깁니다(중학교 도형의 이동). P(θ)=(cosθ, sinθ)(4.2 f409번)이므로 :
| P(−θ) = P(θ)를 x축에 대칭이동한 점 | 431번(φ=0) |
| = (cosθ, −sinθ) | x축 대칭이동 (x,y)↦(x,−y) |
| = (cos(−θ), sin(−θ)) | 4.2 f409번(P(−θ)의 정의) |
두 좌표를 각각 비교하면 :
cos(−θ) = cosθ sin(−θ) = −sinθ
탄젠트. cosθ≠0인 θ에서는 4.2의 f410번(tanθ:=sinθcosθ)과 위 두 식으로 :
| tan(−θ) = sin(−θ)cos(−θ) = −sinθcosθ = −sinθcosθ = −tanθ | 4.2 f410번 + 위 두 식 |
같은 방식으로 cot(−θ)=−cotθ(sinθ≠0), sec(−θ)=secθ(cosθ≠0), csc(−θ)=−cscθ(sinθ≠0)도 얻습니다.
선행 인용 해소. 1.4의 f58번이 극형식의 켤레·역수 공식을 증명하며 미리 빌려 썼던 "cos(−φ)=cosφ, sin(−φ)=−sinφ(우함수·기함수 성질)"이 바로 이 정리입니다.
사용 : 431번(φ=0으로 특수화) · 4.2의 f409번·f410번
증명 끝
433정리보각공식(π−θ)과 반바퀴공식(π+θ)sin(π−θ)=sinθ, cos(π−θ)=−cosθ, sin(π+θ)=−sinθ, cos(π+θ)=−cosθ
증명법 : 직접증명법 (보각공식은 431번을 φ=π2으로 특수화, 반바퀴공식은 보각공식을 432번과 조합한 대수적 따름정리)
주장. 모든 실수 θ에 대해 다음 네 식이 성립합니다.
sin(π−θ) = sinθ cos(π−θ) = −cosθ sin(π+θ) = −sinθ cos(π+θ) = −cosθ
보각공식(π−θ). 431번에서 φ=π2으로 두면 ℓπ2은 y축이고, 2φ−θ=π−θ이므로 :
P(θ)를 y축에 대칭이동한 점 = P(π−θ)
y축에 대한 대칭이동은 (x,y)↦(−x,y)이므로(중학교 도형의 이동), 432번의 증명과 완전히 같은 방식으로 :
| P(π−θ) = P(θ)를 y축에 대칭이동한 점 | 431번(φ=π2) |
| = (−cosθ, sinθ) | y축 대칭이동 (x,y)↦(−x,y) |
cos(π−θ) = −cosθ sin(π−θ) = sinθ
반바퀴공식(π+θ). π+θ = π−(−θ)이므로, 위에서 얻은 보각공식을 각 (−θ)에 그대로 적용한 뒤 432번(음각공식)으로 정리합니다 :
| sin(π+θ) = sin(π−(−θ)) = sin(−θ) | π+θ=π−(−θ), 보각공식을 (−θ)에 적용 |
| = −sinθ | 432번(음각공식) |
| cos(π+θ) = cos(π−(−θ)) = −cos(−θ) | π+θ=π−(−θ), 보각공식을 (−θ)에 적용 |
| = −cosθ | 432번(음각공식) |
sin(π+θ) = −sinθ cos(π+θ) = −cosθ
즉 P(π+θ) = (−cosθ, −sinθ) = −P(θ)로, θ에서 반바퀴(π) 더 회전한 점은 원점에 대해 P(θ)와 대칭인(원점이 중간점인) 점입니다.
탄젠트. 두 쌍의 공식으로부터 4.2 f410번을 적용하면 tan(π−θ)=sinθ−cosθ=−tanθ, tan(π+θ)=−sinθ−cosθ=tanθ를 얻습니다(둘 다 cosθ≠0인 θ에서).
선행 인용 해소. 3.7의 f207번·3.16의 f248번이 예고한 "sin(180°−θ)=sinθ"과 3.4의 f192번이 예고한 "cos(180°−θ)=−cosθ"는 바로 위 보각공식이고, 3.40의 f402번이 예고한 "cos(θ+π)=−cosθ, sin(θ+π)=−sinθ"는 바로 위 반바퀴공식입니다.
사용 : 431번(φ=π2으로 특수화) · 432번(음각공식) · 4.2의 f409번·f410번
증명 끝
434정리여각공식(π2−θ, π2+θ)sin(π2−θ)=cosθ, cos(π2−θ)=sinθ
증명법 : 직접증명법 (431번을 φ=π4으로 특수화, +θ쪽은 −θ쪽과 432번을 조합한 대수적 따름정리)
주장. 모든 실수 θ에 대해 다음 네 식이 성립합니다.
sin(π2−θ) = cosθ cos(π2−θ) = sinθ sin(π2+θ) = cosθ cos(π2+θ) = −sinθ
431번에서 φ=π4으로 두면 ℓπ4은 직선 y=x이고, 2φ−θ=π2−θ이므로 :
P(θ)를 직선 y=x에 대칭이동한 점 = P(π2−θ)
직선 y=x에 대한 대칭이동은 (x,y)↦(y,x)로 두 좌표를 맞바꿉니다(중학교 도형의 이동). 432·433번과 같은 방식으로 :
| P(π2−θ) = P(θ)를 y=x에 대칭이동한 점 | 431번(φ=π4) |
| = (sinθ, cosθ) | y=x 대칭이동 (x,y)↦(y,x) |
cos(π2−θ) = sinθ sin(π2−θ) = cosθ
π2+θ쪽. π2+θ = π2−(−θ)이므로, 위 여각공식을 (−θ)에 적용한 뒤 432번(음각공식)으로 정리합니다 :
| sin(π2+θ) = sin(π2−(−θ)) = cos(−θ) | 여각공식을 (−θ)에 적용 |
| = cosθ | 432번(음각공식, cos(−θ)=cosθ) |
| cos(π2+θ) = cos(π2−(−θ)) = sin(−θ) | 여각공식을 (−θ)에 적용 |
| = −sinθ | 432번(음각공식, sin(−θ)=−sinθ) |
sin(π2+θ) = cosθ cos(π2+θ) = −sinθ
탄젠트. 4.2 f410번으로 tan(π2−θ)=cosθsinθ=cotθ, tan(π2+θ)=cosθ−sinθ=−cotθ를 얻습니다(sinθ≠0인 θ에서). "사인↔코사인, 탄젠트↔코탄젠트"처럼 함수의 종류 자체가 바뀌는 것이 이 여각공식만의 특징입니다 — 432·433번(−θ, π±θ)은 sin은 sin끼리 cos는 cos끼리 대응되었지만, 거울선이 y=x(432·433번의 x축·y축과 달리 두 좌표축에 대해 대각선 방향)이기 때문에 이번에는 두 좌표가 통째로 맞바뀌기 때문입니다.
사용 : 431번(φ=π4으로 특수화) · 432번(음각공식) · 4.2의 f409번·f410번
증명 끝
435정리나머지 화각공식(3π2±θ, 2π−θ)과 종합표432−434번의 대수적 조합
증명법 : 직접증명법 (이미 증명한 432−434번의 대수적 조합)
주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다.
sin(3π2−θ) = −cosθ cos(3π2−θ) = −sinθ sin(3π2+θ) = −cosθ cos(3π2+θ) = sinθ sin(2π−θ) = −sinθ cos(2π−θ) = cosθ
3π2±θ. 3π2−θ = π+(π2−θ)이므로, 433번의 반바퀴공식(sin(π+φ)=−sinφ, cos(π+φ)=−cosφ)을 φ=π2−θ에 적용한 뒤 434번(여각공식)으로 정리합니다 :
| sin(3π2−θ) = sin(π+(π2−θ)) = −sin(π2−θ) | 433번(반바퀴공식) |
| = −cosθ | 434번(여각공식) |
| cos(3π2−θ) = cos(π+(π2−θ)) = −cos(π2−θ) | 433번(반바퀴공식) |
| = −sinθ | 434번(여각공식) |
같은 방식으로 3π2+θ = π+(π2+θ)에 433번을 적용한 뒤 434번을 쓰면 sin(3π2+θ)=−sin(π2+θ)=−cosθ, cos(3π2+θ)=−cos(π2+θ)=sinθ를 얻습니다.
2π−θ. (2π−θ)−(−θ) = 2π이므로, 4.2의 f409번(P(θ₁)=P(θ₂) ⇔ θ₁−θ₂=2kπ)에 의해 P(2π−θ)=P(−θ)입니다. 따라서 432번(음각공식)을 그대로 적용해 :
sin(2π−θ) = sin(−θ) = −sinθ cos(2π−θ) = cos(−θ) = cosθ
(2π−θ는 −θ와 온각(2π) 차이뿐인 코터미널각이므로, 사실상 새로운 공식이 아니라 432번의 재서술입니다.)
탄젠트·코탄젠트·시컨트·코시컨트. 위에서 구한 사인·코사인 쌍마다 4.2 f410번의 비·역수 정의를 적용하면 나머지 네 함수의 화각공식도 모두 얻습니다(각 줄은 해당 sin·cos 화각공식으로부터 f410번을 적용한 결과) :
| tan(3π2−θ) = cotθ | −cosθ−sinθ=cosθsinθ |
| tan(3π2+θ) = −cotθ | −cosθsinθ |
| tan(2π−θ) = −tanθ | −sinθcosθ |
종합표. 이 절 전체(432−435번)의 결과를 사인·코사인·탄젠트에 대해 한데 모으면 (k는 정수, 표의 각 칸은 예각 θ의 함수로 표시) :
| 변형각 | sin / cos / tan |
| −θ | −sinθ / cosθ / −tanθ |
| π−θ | sinθ / −cosθ / −tanθ |
| π+θ | −sinθ / −cosθ / tanθ |
| π2−θ | cosθ / sinθ / cotθ |
| π2+θ | cosθ / −sinθ / −cotθ |
| 3π2−θ | −cosθ / −sinθ / cotθ |
| 3π2+θ | −cosθ / sinθ / −cotθ |
| 2π−θ | −sinθ / cosθ / −tanθ |
암기 규약(참고). π2의 홀수배(π2, 3π2)를 더하거나 뺀 경우에만 함수의 종류가 사인↔코사인(탄젠트↔코탄젠트)으로 바뀌고(434·435번의 여각류), π의 배수(π, 2π)를 더하거나 뺀 경우에는 종류가 바뀌지 않습니다(432·433번의 음각·보각·반바퀴류) — 이는 431번의 거울선 ℓφ가 φ=π4 또는 3π4(y=x 또는 y=−x, 두 좌표축에 대해 대각선)일 때만 두 좌표가 서로 맞바뀌고, φ=0 또는 π2(좌표축 자신)일 때는 좌표의 순서가 그대로 유지되기 때문입니다. 부호는 결과가 놓이는 사분면에서 4.3의 f417번·f418번으로도 다시 확인할 수 있습니다(위 표의 모든 부호가 실제로 이와 일치합니다).
사용 : 432번−434번(이 절 전체) · 4.2의 f409번·f410번 · 4.3의 f417번·f418번(검산용)
증명 끝