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11.6   대학 과정

수렴판정법

Convergence Tests

정의 · 공식과 증명

1016–1021번은 11.5의 f1011(유한 개 항 변경)·f1013(코시 판정법)·f1014(절대수렴⇒수렴)을 발판 삼아, 급수의 합을 직접 구하지 않고도 수렴·발산 여부만을 판정하는 다섯 가지 표준 도구를 확립합니다. 1016번 비교판정법은 두 급수의 항을 부등식으로 비교해 판정하며, 그 증명은 9.9 f929(단조유계 수렴 정리)를 수열 버전으로 재사용하는 대학 수준 논증을 포함합니다. 1017번 극한비교판정법은 1016번을 극한 비율로 자동화한 형태입니다. 1018번 비판정법(달랑베르)과 1019번 근판정법(코시)은 각각 항의 비·거듭제곱근이 등비급수(11.4 f774)로 수렴하는 비율보다 작은지를 확인하는 방식으로 1016번을 적용하며, 두 판정법 모두 경계값(비·거듭제곱근의 극한=1)에서는 무력화됨을 구체적인 반례로 확인합니다(이 과정에서 1018번은 Σ1/k²의 수렴을 비교판정법으로 직접 확립해 두고, 1019번은 이를 그대로 재사용합니다). 1020번 적분판정법은 9.9(이상적분)와 정확히 연결되는 결과로, 감소하는 양의 함수의 급수를 그 함수의 이상적분과 동치로 묶습니다―9.9 f927(p-적분 판정법)과 정확히 대응하는 p-급수 판정을 따름정리로 얻습니다. 마지막으로 1021번에서 다섯 가지 판정법을 각각 다른 구체적인 급수에 적용해 종합 확인합니다.

1016정리비교판정법(Comparison Test for Series)0≤a_k≤b_k (∀k)  ⇒  [∞Σk=1b_k 수렴 ⇒ ∞Σk=1a_k 수렴],  [∞Σk=1a_k 발산 ⇒ ∞Σk=1b_k 발산]

증명법 : 직접증명법(수렴 방향) 뒤 대우증명법(발산 방향)

모든 k에서 0≤a_k≤b_k라 합시다. 두 급수의 부분합을 S_n:=nΣk=1a_k, T_n:=nΣk=1b_k라 하면(11.4 f769), a_k≥0이므로 S_n+1−S_n=a_n+1≥0이 모든 n에서 성립해 {S_n}은 감소하지 않는 수열이고, 같은 이유로 {T_n}도 감소하지 않습니다. 또한 각 항에서 a_k≤b_k이므로 유한합의 각 항을 그대로 더하면 모든 n에서

S_n = nΣk=1a_k ≤ nΣk=1b_k = T_n

입니다.

(⇒) Σb_k 수렴이면 Σa_k 수렴. ∞Σk=1b_k=B로 수렴한다고 합시다(11.4 f770). {T_n}이 감소하지 않고 T_n→B이므로, 모든 n에서 T_n≤B입니다(만약 어떤 n₀에서 T_n0>B라면, 감소하지 않으므로 모든 n≥n₀에서 T_n≥T_n0>B가 되어 T_n→B에 모순―9.9 f929의 증명에서 F(t)≤L을 보인 것과 동일한 논증). 따라서 모든 n에서 S_n≤T_n≤B이고, {S_n}은 감소하지 않으면서 위로 유계입니다.

대학 «감소하지 않고 위로 유계인 실수열은 반드시 (그 상한으로) 수렴한다»는 단조유계 수렴 정리(Monotone Convergence Theorem)의 수열 버전입니다. 9.9 f929에서 함수 F(t)에 대해 인용한 것과 완전히 같은 원리(실수의 완비성 공리로부터 직접 유도되는 존재성 정리―상한 sup S_n이 실제로 극한값이 됨)이며, 증명 자체는 대학 해석학의 내용이라 여기서도 결과만 인용해 사용합니다.

이에 의해 limn→∞ S_n이 존재하고, 11.4 f770의 정의에 의해 이는 정확히 ∞Σk=1a_k가 수렴한다는 뜻입니다.

(발산 방향) Σa_k 발산이면 Σb_k 발산. 이는 방금 증명한 명제의 대우입니다: 만약 ∞Σk=1b_k가 수렴한다면 방금 증명한 바에 의해 ∞Σk=1a_k도 수렴해야 하므로, Σa_k가 발산한다는 가정에 모순됩니다. 그러므로 Σb_k는 발산합니다.

주의. 부등식 0≤a_k≤b_k가 모든 k가 아니라 어떤 N 이후의 k>N에서만 성립해도 결론은 그대로 성립합니다―11.5 f1011(유한 개 항 변경)에 의해 처음 N개 항은 수렴·발산 여부에 영향을 주지 않기 때문입니다. 이 절의 나머지 정리들에서 비교판정법을 인용할 때는 대부분 이 형태(어떤 지점부터 성립)로 사용합니다.

사용 : 11.4의 769번 · 770번 · 11.5의 1011번 · 9.9의 929번(univ, 단조유계 수렴 정리) · 직접증명법 · 대우증명법

증명 끝

1017정리극한비교판정법(Limit Comparison Test)a_k,b_k>0, limk→∞(a_k/b_k)=L∈(0,∞)  ⇒  ∞Σk=1a_k와 ∞Σk=1b_k는 함께 수렴하거나 함께 발산

증명법 : 직접증명법(ε=L/2로 양쪽에서 부등식을 확보한 뒤 1016번을 두 번 적용)

ε:=L/2>0이라 하면 극한의 정의(8.2 f637의 의미, 수열버전)에 의해 어떤 N이 존재해 k≥N인 모든 k에서 |a_k/b_k−L|<L/2, 즉

(L/2)b_k < a_k < (3L/2)b_k (k≥N)

가 성립합니다.

(Σb_k 수렴⇒Σa_k 수렴). Σb_k가 수렴한다고 하면, 11.5 f1010(선형성, 상수배 3L/2)에 의해 Σ(3L/2)b_k도 수렴합니다. 위 오른쪽 부등식 a_k<(3L/2)b_k (k≥N)와 1016번(비교판정법, N 이후 성립―위 주의 참고)에 의해 Σa_k도 수렴합니다.

(Σa_k 수렴⇒Σb_k 수렴). 왼쪽 부등식을 b_k에 대해 정리하면 b_k<(2/L)a_k (k≥N)이고, 같은 방식으로 11.5 f1010·1016번에 의해 Σb_k도 수렴합니다.

발산의 경우는 대우로 즉시 따라옵니다: 만약 한쪽이 발산하는데 다른 쪽이 수렴한다면 방금 증명한 두 방향에 의해 발산하는 쪽도 수렴해야 하므로 모순―즉 한쪽이 발산하면 다른 쪽도 반드시 발산합니다.

사용 : 1016번 · 11.5의 1010번 · 8.2의 637번

증명 끝

1018정리비판정법(Ratio Test, 달랑베르 판정법)a_k≠0, limk→∞|a_k+1/a_k|=r  ―  r<1: 절대수렴,  r>1: 발산,  r=1: 판정 불가

증명법 : 경우를 나누는 증명(r<1, r>1 각각 직접증명법) 뒤 r=1에서는 반례로 한계를 확인

모든 k에서 a_k≠0이고, lim_k→∞|a_k+1/a_k|=r이 존재한다고 합시다.

⑴ r<1이면 절대수렴. ρ:=(r+1)/2라 하면 r<ρ<1입니다. ε:=ρ−r>0에 극한의 정의를 적용하면 어떤 N이 존재해 k≥N인 모든 k에서

|a_k+1/a_k| < ρ,  즉  |a_k+1| < ρ|a_k|

가 성립합니다. n≥0에 대해 |a_N+n|≤|a_N|ρⁿ임을 수학적 귀납법으로 보입니다―n=0일 때 등호로 자명하고, n에서 성립한다고 가정하면 |a_N+n+1|<ρ|a_N+n|≤ρ·|a_N|ρⁿ=|a_N|ρⁿ⁺¹로 n+1에서도 성립합니다. 따라서 k=N+n≥N인 모든 k에서

|a_k| ≤ |a_N|ρ^−N·ρ^k =: Mρ^k (M:=|a_N|ρ^−N>0은 상수)

이고, 0<ρ<1이므로 11.4 f774(등비급수)와 11.5 f1010(상수배)에 의해 ∞Σk=NMρ^k는 수렴합니다. 1016번(비교판정법, N 이후 성립)에 의해 Σ|a_k|도 수렴하고, 11.5 f1014(절대수렴⇒수렴)에 의해 Σa_k도 수렴합니다.

⑵ r>1이면 발산. ε:=r−1>0에 극한의 정의를 적용하면 어떤 N이 존재해 k≥N인 모든 k에서 |a_k+1/a_k|>1, 즉 |a_k+1|>|a_k|>0입니다. 그러므로 {|a_k|}_k≥N은 엄격히 증가하고, 특히 모든 k≥N에서 |a_k|≥|a_N|>0입니다(a_N≠0 가정). 즉 a_k는 0으로 수렴할 수 없으므로, 11.4 f771(급수 수렴의 필요조건)의 대우에 의해 Σa_k는 발산합니다. (r이 유한하지 않고 +∞로 발산하는 경우도 |a_k+1/a_k|가 결국 1보다 커지는 것은 마찬가지이므로 같은 논증이 그대로 적용됩니다.)

⑶ r=1이면 판정 불가―반례로 확인. 두 급수 모두 비의 극한이 1이지만 수렴·발산이 갈립니다.

먼저 ∞Σk=11/k²이 수렴함을 1016번(비교판정법)으로 직접 보입니다. k≥2에서

0 < 1/k² ≤ 1/(k(k−1)) = 1/(k−1) − 1/k

이고, 우변의 급수는 텔레스코핑되어 nΣk=2[1/(k−1)−1/k] = 1−1/n → 1 (n→∞)이므로 ∞Σk=21/(k(k−1))은 수렴합니다. 1016번에 의해 ∞Σk=21/k²도 수렴하고, 11.5 f1011에 의해 k=1항을 더한 ∞Σk=11/k²도 수렴합니다.

이제 a_k:=1/k²에 대해 |a_k+1/a_k| = k²/(k+1)² → 1 (분모·분자를 k²으로 나누면 자명), 즉 r=1인데 수렴합니다. 반면 b_k:=1/k에 대해 |b_k+1/b_k|=k/(k+1)→1로 역시 r=1이지만, 11.4 f772(조화급수의 발산)에 의해 발산합니다. 그러므로 r=1일 때는 이 판정법만으로 수렴·발산을 결정할 수 없습니다―1020번(적분판정법)에서 이 Σ1/k²의 수렴을 완전히 다른 방법으로 다시 확인합니다.

사용 : 1016번 · 11.4의 771번 · 772번 · 774번 · 11.5의 1010번 · 1011번 · 1014번 · 선행학습 수학적 귀납법 · 경우를 나누는 증명

증명 끝

1019정리근판정법(Root Test, 코시의 판정법)limk→∞|a_k|^1/k=r  ―  r<1: 절대수렴,  r>1: 발산,  r=1: 판정 불가

증명법 : 1018번과 평행한 경우를 나누는 증명(등비급수와의 직접 비교)

대학 여기서는 극한 lim|a_k|^1/k이 실제로 존재하는 경우만 다룹니다. 일반적으로는 이 극한이 존재하지 않아도 상극한(limsup)을 사용해 똑같은 결론을 내릴 수 있는데(상극한은 항상 존재하거나 +∞이므로), 상극한의 존재성 자체가 실수의 완비성에 근거한 대학 해석학의 내용이라 여기서는 극한이 존재하는 경우로 논의를 한정합니다.

⑴ r<1이면 절대수렴. ρ:=(r+1)/2 (r<ρ<1)에 대해, ε:=ρ−r로 극한의 정의를 적용하면 어떤 N이 존재해 k≥N인 모든 k에서 |a_k|^1/k<ρ입니다. 0≤|a_k|^1/k이고 t↦t^k (t≥0)는 증가함수이므로 양변을 k제곱하면 |a_k|<ρ^k (k≥N)를 얻습니다. 0<ρ<1이므로 11.4 f774에 의해 Σρ^k는 수렴하고, 1016번(비교판정법)에 의해 Σ|a_k|도 수렴, 11.5 f1014에 의해 Σa_k도 수렴합니다.

⑵ r>1이면 발산. ε:=r−1로 극한의 정의를 적용하면 어떤 N이 존재해 k≥N인 모든 k에서 |a_k|^1/k>1, 즉 |a_k|>1입니다. 그러므로 a_k는 0으로 수렴할 수 없고, 11.4 f771의 대우에 의해 Σa_k는 발산합니다.

⑶ r=1이면 판정 불가―준비 : k^1/k→1. 1018번의 반례(Σ1/k², Σ1/k)를 이 판정법에도 그대로 적용하려면 먼저 다음 사실이 필요합니다.

k^1/k → 1  (k→∞)

d_k:=k^1/k−1이라 둡시다. k≥1이면 k^1/k≥1(k^1/k<1이면 양변을 k제곱해 k<1이 되어 모순)이므로 d_k≥0입니다. k≥2에 대해 2.2 f79(이항정리)를 k=(1+d_k)^k에 적용하면

k = kΣj=0 kCj dkj ≥ kC2 dk2	2.2 f79(이항정리) · dk≥0이므로 j=2항만 남기고 나머지(전부 ≥0)를 버려도 부등식 유지
= [k(k−1)/2] dk2	kC2 = k(k−1)/2

이므로 d_k² ≤ 2/(k−1), 즉

0 ≤ d_k ≤ 2/(k−1)

입니다. 우변은 k→∞일 때 0으로 수렴하므로(2/(k−1)→0이고 제곱근함수의 연속성), 8.2 f634(조임정리, 수열버전)에 의해 d_k→0, 즉 k^1/k=1+d_k→1입니다.

반례 확인. (1/k)^1/k=1/k^1/k→1/1=1(8.2 f632, 몫의 극한)이고 (1/k²)^1/k=(k^1/k)⁻²→1⁻²=1(f632를 두 번 적용)입니다. 1018번에서 확인했듯 전자(Σ1/k)는 발산, 후자(Σ1/k²)는 수렴하므로, r=1일 때 근판정법도 수렴·발산을 결정하지 못합니다.

사용 : 1016번 · 1018번 · 11.4의 771번 · 774번 · 11.5의 1014번 · 2.2의 79번(이항정리) · 8.2의 632번 · 634번

증명 끝

1020정리적분판정법(Integral Test)f가 [1,∞)에서 연속·양수·감소, a_k:=f(k)  ⇒  ∞Σk=1a_k 수렴 ⇔ ∞∫1f(x)dx 수렴

증명법 : 두 개의 조건문이 성립함을 증명(부분합과 이상적분을 동시에 부등식으로 사잇값에 가두는 방식)

f가 [1,∞)에서 연속·양수·감소한다고 하고, a_k:=f(k) (k=1,2,3,…)라 합시다. 임의의 자연수 k≥1과 x∈[k,k+1]에서 f가 감소하므로 f(k+1)≤f(x)≤f(k)이고, 9.8 f743(정적분의 대소 관계)에 의해 [k,k+1]에서 적분하면(9.8 f739에 의해 f가 [k,k+1]에서 연속이므로 이 적분들은 실제로 존재합니다)

a_k+1=f(k+1) ≤ k+1∫kf(x)dx ≤ f(k)=a_k

를 얻습니다. n=2,3,…에 대해 k=1,…,n−1에서 이 부등식을 모두 더하고 9.8 f740(가법성)으로 구간을 이어붙이면

n−1Σk=1ak+1 ≤ n∫1f(x)dx ≤ n−1Σk=1ak	각 [k,k+1] 부등식을 k=1..n−1에서 합산, 9.8 f740
즉 Sn−a1 ≤ n∫1f(x)dx ≤ Sn−1	11.4 f769(부분합의 정의), Sn:=nΣk=1ak

를 얻습니다. F(t):=t∫1f(x)dx (9.8, f739에 의해 잘 정의됨)라 두면, f≥0이므로 F는 t에 대해 감소하지 않는 함수입니다(t₁<t₂이면 F(t₂)−F(t₁)=t2∫t1f dx≥0, 9.8 f740·f743).

(⇒) Σa_k 수렴이면 이상적분도 수렴. Σa_k=S로 수렴한다고 합시다. 그러면 S_n−1도 같은 값 S로 수렴하므로(부분합 수열에서 인덱스를 하나 옮긴 것뿐, 8.2 f637), 모든 정수 n≥2에서 F(n)≤S_n−1≤S입니다. 실수 t≥1이 임의로 주어지면, t 이상인 최소의 자연수를 n이라 할 때 F가 감소하지 않으므로 F(t)≤F(n)≤S입니다. 즉 F는 [1,∞)에서 S에 의해 위로 유계이고 감소하지 않으므로, 9.9 f929(단조유계 수렴 정리)에 의해 lim_t→∞F(t)가 존재합니다―즉 ∞∫1f dx가 수렴합니다(9.9 f925).

(⇐) 이상적분이 수렴하면 Σa_k도 수렴. ∞∫1f dx=L로 수렴한다고 합시다(9.9 f925, F(t)→L). F가 감소하지 않으므로(9.9 f929의 증명과 같은 논증으로) 모든 t에서 F(t)≤L이고, 특히 모든 자연수 n에서 F(n)≤L입니다. 그러므로 S_n−a₁ ≤ F(n) ≤ L, 즉 S_n ≤ L+a₁이 모든 n에서 성립합니다. a_k=f(k)>0이므로 {S_n}은 감소하지 않고 위로 유계(L+a₁)이므로, 9.9 f929(수열버전, 1016번에서 이미 인용한 것과 같은 원리)에 의해 S_n은 수렴합니다―즉 Σa_k가 수렴합니다.

따름정리―p-급수 판정. f(x):=1/x^p (p>0, [1,∞)에서 연속·양수·감소)에 적용하면 9.9 f927(p-적분 판정법)에 의해 ∞∫11/x^pdx는 p>1일 때만 수렴하므로, ∞Σk=11/k^p도 정확히 p>1일 때만 수렴합니다. p=2인 경우는 1018번에서 비교판정법으로 이미 직접 확인한 사실과 정확히 일치하고, p=1인 경우는 11.4 f772(조화급수의 발산)와도 일치합니다―서로 다른 세 가지 방법(비교판정법·적분판정법·직접 계산)이 교차 검증됩니다.

사용 : 9.8의 739번 · 740번 · 743번 · 9.9의 925번 · 927번 · 929번 · 11.4의 769번 · 770번 · 772번 · 8.2의 637번 · 1016번 · 1018번 · 증명법

증명 끝

1021정리·활용종합 예제 ― 다섯 가지 판정법 적용(Worked Examples)Σk/2^k,  Σ(k/(2k+1))^k,  Σ1/(k(ln k)²) 등

⑴ 비교판정법(1016번)·극한비교판정법(1017번) 확인. 1018번에서 확인한 0<1/k²≤1/(k(k−1)) (k≥2)의 비교를 통해 Σ1/k²이 수렴함을 보이는 과정에서, 두 부분합 수열이 실제로 어떻게 사잇값 관계 0≤S_n≤T_n≤1을 유지하며 T_n이 1로 수렴하는지 아래 그림에서 확인할 수 있습니다(1016번 증명의 핵심 부등식이 그대로 나타납니다).

극한비교판정법(1017번)의 예로, c_k:=(2k+1)/(k³+3)이라 하면 b_k:=1/k²과 비교했을 때

limk→∞ c_k/b_k = limk→∞ (2k+1)k²/(k³+3) = limk→∞ (2k³+k²)/(k³+3) = 2 (분모·분자를 k³으로 나누면 (2+1/k)/(1+3/k³)→2)

이고 L=2∈(0,∞)이므로 1017번이 적용됩니다. 방금 Σ1/k²이 수렴함을 확인했으므로, Σc_k=Σ(2k+1)/(k³+3)도 수렴합니다.

⑵ 비판정법(1018번) 확인. a_k:=k/2^k라 하면 |a_k+1/a_k| = (k+1)/(2k) → 1/2 <1이므로 1018번에 의해 Σa_k는 (절대)수렴합니다. 실제로 부분합을 계산해보면

S₁=1/2,  S₂=1,  S₃=11/8,  S₄=13/8,  S₅=57/32,  S₆=15/8=1.875

로 어떤 값(2)에 다가가는 모습이 보입니다(닫힌 형태의 정확한 합을 구하는 것은 이 절의 범위 밖이며, 판정법의 역할은 어디까지나 수렴 여부를 확인하는 데 있습니다).

⑶ 근판정법(1019번) 확인. a_k:=(k/(2k+1))^k라 하면 |a_k|^1/k = k/(2k+1) → 1/2 <1 (k제곱근을 취하는 계산이 지수 없이 그대로 약분되어, 극한 계산이 비판정법보다 오히려 간단한 경우입니다)이므로 1019번에 의해 Σa_k는 (절대)수렴합니다.

⑷ 적분판정법(1020번) 확인―비판정법·근판정법이 통하지 않는 경우. ∞Σk=21/(k(ln k)²)을 생각합시다. a_k+1/a_k = [k(ln k)²]/[(k+1)(ln(k+1))²]과 |a_k|^1/k은 모두 1로 수렴합니다(k와 ln k가 각각 분모·분자에서 매 항 같은 비로 자라기 때문―직접 계산은 생략)―즉 1018·1019번 둘 다 무력화됩니다.

하지만 f(x):=1/(x(ln x)²)는 x≥2에서 연속·양수이고, 8.3 f649· f651(곱·연쇄법칙)로 미분하면 f′(x) = −(ln x+2)/(x²(ln x)³) (x≥2에서 ln x≥ln2>0이므로 분모·분자 모두 양수, f′<0)이므로 감소함수입니다. 1020번을 적용하려면 ∞∫2f(x)dx의 수렴 여부만 확인하면 되는데, u:=ln x (du=dx/x)로 9.8 f747(치환적분)을 적용하면

T∫21/(x(ln x)²)dx = ln T∫ln21/u²du = [−1/u]_ln2^lnT = 1/ln2 − 1/ln T

이고 T→∞이면 1/ln T→0이므로 ∞∫2f(x)dx = 1/ln2로 수렴합니다(9.9 f925). 1020번에 의해 ∞Σk=21/(k(ln k)²)도 수렴합니다―급수의 합 자체는 닫힌 형태로 알려져 있지 않지만(수치적으로 부분합을 200만 항까지 계산해보면 약 2.04로 매우 서서히 커지며, 여전히 유계인 채로 증가하고 있음을 확인할 수 있습니다), 수렴한다는 사실만은 적분판정법으로 확실히 결정됩니다.

아래 그림은 (일반적인 감소함수의 예로 f(x)=1/x²에 대해) 1020번 증명의 핵심 부등식 a_k+1=f(k+1)≤k+1∫kf(x)dx≤f(k)=a_k를 안사각형(높이 f(k+1))과 밖사각형(높이 f(k))으로 시각화한 것입니다.

사용 : 1016번 · 1017번 · 1018번 · 1019번 · 1020번 · 8.3의 649번 · 651번 · 9.8의 747번 · 9.9의 925번