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11.6   대학 과정

수렴판정법

Convergence Tests

정의 · 공식과 증명

1016–1021번은 11.5의 f1011(유한 개 항 변경)·f1014(절대수렴⇒수렴)을 발판 삼아, 급수의 합을 직접 구하지 않고도 수렴·발산 여부만을 판정하는 다섯 가지 표준 도구를 확립합니다. 1016번 비교판정법은 두 급수의 항을 부등식으로 비교해 판정하며, 그 증명은 9.9의 단조유계 수렴 정리(수열 꼴)를 씁니다. 1017번 극한비교판정법은 1016번을 극한 비율로 자동화한 형태입니다. 1018번 비판정법(달랑베르)과 1019번 근판정법(코시)은 각각 항의 비·거듭제곱근이 등비급수(11.4 f774)로 수렴하는 비율보다 작은지를 확인하는 방식으로 1016번을 적용하며, 두 판정법 모두 경계값(비·거듭제곱근의 극한=1)에서는 무력화됨을 구체적인 반례로 확인합니다(이 과정에서 1018번은 Σ1/k²의 수렴을 비교판정법으로 직접 확립해 두고, 1019번은 이를 그대로 재사용합니다). 1020번 적분판정법은 9.9(이상적분)와 정확히 연결되는 결과로, 감소하는 양의 함수의 급수를 그 함수의 이상적분과 동치로 묶습니다―9.9 f927(p-적분 판정법)과 정확히 대응하는 p-급수 판정을 따름정리로 얻습니다. 마지막으로 1021번에서 다섯 가지 판정법을 각각 다른 구체적인 급수에 적용해 종합 확인합니다.

1016정리비교판정법(Comparison Test for Series)0≤a_k≤b_k (∀k)  ⇒  [∞Σk=1b_k 수렴 ⇒ ∞Σk=1a_k 수렴],  [∞Σk=1a_k 발산 ⇒ ∞Σk=1b_k 발산]

증명법 : 직접증명법(수렴 방향) 뒤 대우증명법(발산 방향)

모든 k에서 0≤a_k≤b_k라 합시다. 두 급수의 부분합을 S_n:=nΣk=1a_k, T_n:=nΣk=1b_k라 하면(11.4 f769), a_k≥0이므로 S_n+1−S_n=a_n+1≥0이 모든 n에서 성립해 {S_n}은 감소하지 않는 수열이고, 같은 이유로 {T_n}도 감소하지 않습니다. 또한 각 항에서 a_k≤b_k이므로 유한합의 각 항을 그대로 더하면 모든 n에서

S_n = nΣk=1a_k ≤ nΣk=1b_k = T_n

입니다.

(⇒) Σb_k 수렴이면 Σa_k 수렴. ∞Σk=1b_k=B로 수렴한다고 합시다(11.4 f770). {T_n}이 감소하지 않고 T_n→B이므로, 모든 n에서 T_n≤B입니다(n을 고정하면 m≥n에서 T_n≤T_m이므로, 상수수열 T_n과 {T_m}에 11.4 보조정리 ⑴의 대소를 쓰면 T_n≤B). 따라서 모든 n에서 S_n≤T_n≤B이고, {S_n}은 감소하지 않으면서 위로 유계입니다.

그러므로 9.9의 단조유계 수렴 정리(보조정리, 수열 꼴)에 의해 limn→∞ S_n이 존재합니다.

11.4 f770의 정의에 의해 이는 정확히 ∞Σk=1a_k가 수렴한다는 뜻입니다.

(발산 방향) Σa_k 발산이면 Σb_k 발산. 이는 방금 증명한 명제의 대우입니다: 만약 ∞Σk=1b_k가 수렴한다면 방금 증명한 바에 의해 ∞Σk=1a_k도 수렴해야 하므로, Σa_k가 발산한다는 가정에 모순됩니다. 그러므로 Σb_k는 발산합니다.

주의. 부등식 0≤a_k≤b_k가 모든 k가 아니라 어떤 N 이후의 k>N에서만 성립해도 결론은 그대로 성립합니다―11.5 f1011(유한 개 항 변경)에 의해 처음 N개 항은 수렴·발산 여부에 영향을 주지 않기 때문입니다. 이 절의 나머지 정리들에서 비교판정법을 인용할 때는 대부분 이 형태(어떤 지점부터 성립)로 사용합니다. 정확히는 k≤N에서 a_k, b_k를 0으로 바꾼 두 수열(모든 k에서 0≤·≤·)에 정리를 적용한 뒤 f1011로 원래 급수로 돌아옵니다. 같은 이유로 ∞Σk=2c_k처럼 1이 아닌 곳에서 시작하는 급수에도(앞 항을 0으로 둔 급수로 보아) 그대로 씁니다.

사용 : 11.4의 769번 · 770번 · 11.5의 1011번 · 9.9의 단조유계 수렴 정리 · 11.4의 보조정리 · 직접증명법 · 대우증명법

증명 끝

1017정리극한비교판정법(Limit Comparison Test)a_k,b_k>0, limk→∞(a_k/b_k)=L∈(0,∞)  ⇒  ∞Σk=1a_k와 ∞Σk=1b_k는 함께 수렴하거나 함께 발산

증명법 : 직접증명법(ε=L/2로 양쪽에서 부등식을 확보한 뒤 1016번을 두 번 적용)

ε:=L/2>0이라 하면 수열 극한의 정의(11.4 f770)에 의해 어떤 N이 존재해 k≥N인 모든 k에서 |a_k/b_k−L|<L/2, 즉

(L/2)b_k < a_k < (3L/2)b_k (k≥N)

가 성립합니다.

(Σb_k 수렴⇒Σa_k 수렴). Σb_k가 수렴한다고 하면, 11.5 f1010(선형성, 상수배 3L/2)에 의해 Σ(3L/2)b_k도 수렴합니다. 위 오른쪽 부등식 a_k<(3L/2)b_k (k≥N)와 1016번(비교판정법, N 이후 성립―위 주의 참고)에 의해 Σa_k도 수렴합니다.

(Σa_k 수렴⇒Σb_k 수렴). 왼쪽 부등식을 b_k에 대해 정리하면 b_k<(2/L)a_k (k≥N)이고, 같은 방식으로 11.5 f1010·1016번에 의해 Σb_k도 수렴합니다.

발산의 경우는 대우로 즉시 따라옵니다: 만약 한쪽이 발산하는데 다른 쪽이 수렴한다면 방금 증명한 두 방향에 의해 발산하는 쪽도 수렴해야 하므로 모순―즉 한쪽이 발산하면 다른 쪽도 반드시 발산합니다.

사용 : 1016번 · 11.5의 1010번 · 11.4의 770번

증명 끝

1018정리비판정법(Ratio Test, 달랑베르 판정법)a_k≠0, limk→∞|a_k+1/a_k|=r  ―  r<1: 절대수렴,  r>1: 발산,  r=1: 판정 불가

증명법 : 경우를 나누는 증명(r<1, r>1 각각 직접증명법) 뒤 r=1에서는 반례로 한계를 확인

모든 k에서 a_k≠0이고, limk→∞|a_k+1||a_k|=r이 존재한다고 합시다.

⑴ r<1이면 절대수렴. ρ:=(r+1)/2라 하면 r<ρ<1입니다. ε:=ρ−r>0에 극한의 정의를 적용하면 어떤 N이 존재해 k≥N인 모든 k에서

|a_k+1/a_k| < ρ,  즉  |a_k+1| < ρ|a_k|

가 성립합니다. n≥0에 대해 |a_N+n|≤|a_N|ρⁿ임을 수학적 귀납법으로 보입니다―n=0일 때 등호로 자명하고, n에서 성립한다고 가정하면 |a_N+n+1|<ρ|a_N+n|≤ρ·|a_N|ρⁿ=|a_N|ρⁿ⁺¹로 n+1에서도 성립합니다. 따라서 k=N+n≥N인 모든 k에서

|a_k| ≤ |a_N|ρ^−N·ρ^k =: Mρ^k (M:=|a_N|ρ^−N>0은 상수)

이고, 0<ρ<1이므로 11.4 f774(등비급수)와 11.5 f1010(상수배)에 의해 ∞Σk=1Mρ^k는 수렴합니다(첫째항 Mρ, 공비 ρ). 1016번(비교판정법, N 이후 성립)에 의해 Σ|a_k|도 수렴하고, 11.5 f1014(절대수렴⇒수렴)에 의해 Σa_k도 수렴합니다.

⑵ r>1이면 발산. ε:=r−1>0에 극한의 정의를 적용하면 어떤 N이 존재해 k≥N인 모든 k에서 |a_k+1/a_k|>1, 즉 |a_k+1|>|a_k|>0입니다. 그러므로 {|a_k|}_k≥N은 엄격히 증가하고, 특히 모든 k≥N에서 |a_k|≥|a_N|>0입니다(a_N≠0 가정). 즉 a_k는 0으로 수렴할 수 없으므로, 11.4 f771(급수 수렴의 필요조건)의 대우에 의해 Σa_k는 발산합니다. (r이 유한하지 않고 +∞로 발산하는 경우도 |a_k+1/a_k|가 결국 1보다 커지는 것은 마찬가지이므로 같은 논증이 그대로 적용됩니다.)

⑶ r=1이면 판정 불가―반례로 확인. 두 급수 모두 비의 극한이 1이지만 수렴·발산이 갈립니다.

먼저 ∞Σk=11/k²이 수렴함을 1016번(비교판정법)으로 직접 보입니다. k≥2에서

0 < 1/k² ≤ 1/(k(k−1)) = 1/(k−1) − 1/k

이고, 우변의 급수는 텔레스코핑되어 nΣk=2[1/(k−1)−1/k] = 1−1/n → 1 (n→∞)이므로 ∞Σk=21/(k(k−1))은 수렴합니다. 1016번에 의해 ∞Σk=21/k²도 수렴하고, 11.5 f1011에 의해 k=1항을 더한 ∞Σk=11/k²도 수렴합니다.

이제 a_k:=1/k²에 대해 |a_k+1/a_k| = k²/(k+1)² → 1 (분모·분자를 k²으로 나누면 자명), 즉 r=1인데 수렴합니다. 반면 b_k:=1/k에 대해 |b_k+1/b_k|=k/(k+1)→1로 역시 r=1이지만, 11.4 f772(조화급수의 발산)에 의해 발산합니다. 그러므로 r=1일 때는 이 판정법만으로 수렴·발산을 결정할 수 없습니다―1020번(적분판정법)에서 이 Σ1/k²의 수렴을 완전히 다른 방법으로 다시 확인합니다.

사용 : 1016번 · 11.4의 771번 · 772번 · 774번 · 11.5의 1010번 · 1011번 · 1014번 · 선행학습 수학적 귀납법 · 경우를 나누는 증명

증명 끝

1019정리근판정법(Root Test, 코시의 판정법)limk→∞|a_k|^1/k=r  ―  r<1: 절대수렴,  r>1: 발산,  r=1: 판정 불가

증명법 : 1018번과 평행한 경우를 나누는 증명(등비급수와의 직접 비교)

대학 여기서는 극한 lim|a_k|^1/k이 실제로 존재하는 경우만 다룹니다. 일반적으로는 이 극한이 존재하지 않아도 상극한(limsup)을 사용해 똑같은 결론을 내릴 수 있는데(상극한은 항상 존재하거나 +∞이므로), 상극한의 존재성 자체가 실수의 완비성에 근거한 대학 해석학의 내용이라 여기서는 극한이 존재하는 경우로 논의를 한정합니다.

⑴ r<1이면 절대수렴. ρ:=(r+1)/2 (r<ρ<1)에 대해, ε:=ρ−r로 극한의 정의를 적용하면 어떤 N이 존재해 k≥N인 모든 k에서 |a_k|^1/k<ρ입니다. 0≤|a_k|^1/k이고 t↦t^k (t≥0)는 증가함수이므로 양변을 k제곱하면 |a_k|<ρ^k (k≥N)를 얻습니다. 0<ρ<1이므로 11.4 f774에 의해 Σρ^k는 수렴하고, 1016번(비교판정법)에 의해 Σ|a_k|도 수렴, 11.5 f1014에 의해 Σa_k도 수렴합니다.

⑵ r>1이면 발산. ε:=r−1로 극한의 정의를 적용하면 어떤 N이 존재해 k≥N인 모든 k에서 |a_k|^1/k>1, 즉 |a_k|>1입니다. 그러므로 a_k는 0으로 수렴할 수 없고, 11.4 f771의 대우에 의해 Σa_k는 발산합니다. (r이 유한하지 않고 +∞로 발산하는 경우도 |a_k|^1/k가 결국 1보다 커지므로 같은 논증이 그대로 적용됩니다.)

⑶ r=1이면 판정 불가―준비 : k^1/k→1. 1018번의 반례(Σ1/k², Σ1/k)를 이 판정법에도 그대로 적용하려면 먼저 다음 사실이 필요합니다.

k^1/k → 1  (k→∞)

d_k:=k^1/k−1이라 둡시다. k≥1이면 k^1/k≥1(k^1/k<1이면 양변을 k제곱해 k<1이 되어 모순)이므로 d_k≥0입니다. k≥2에 대해 2.2 f79(이항정리)를 k=(1+d_k)^k에 적용하면

k = kΣj=0 kCj dkj ≥ kC2 dk2	2.2 f79(이항정리) · dk≥0이므로 j=2항만 남기고 나머지(전부 ≥0)를 버려도 부등식 유지
= [k(k−1)/2] dk2	kC2 = k(k−1)/2

이므로 d_k² ≤ 2/(k−1), 즉

0 ≤ d_k ≤ 2/(k−1)

입니다. 이제 ε>0이 주어지면 11.4의 아르키메데스 성질로 N>1+2/ε²인 자연수 N이 있고, k≥N이면 k−1>2/ε²이므로 d_k² ≤ 2/(k−1) < ε², d_k≥0이므로 |d_k−0|=d_k<ε입니다. 곧 d_k→0(11.4 f770), 즉 k^1/k=1+d_k→1입니다.

반례 확인. (1/k)^1/k=1/k^1/k→11=1(11.4 보조정리 ⑴, 몫의 극한)이고 (1/k²)^1/k=(k^1/k)⁻²→1⁻²=1(같은 보조정리 ⑴의 곱·몫)입니다. 1018번에서 확인했듯 전자(Σ1/k)는 발산, 후자(Σ1/k²)는 수렴하므로, r=1일 때 근판정법도 수렴·발산을 결정하지 못합니다.

사용 : 1016번 · 1018번 · 11.4의 771번 · 774번 · 11.5의 1014번 · 2.2의 79번(이항정리) · 11.4의 보조정리 · 아르키메데스 성질

증명 끝

1020정리적분판정법(Integral Test)f가 [1,∞)에서 연속·양수·감소, a_k:=f(k)  ⇒  ∞Σk=1a_k 수렴 ⇔ ∞∫1f(x)dx 수렴

증명법 : 두 개의 조건문이 성립함을 증명(부분합과 이상적분을 동시에 부등식으로 사잇값에 가두는 방식)

f가 [1,∞)에서 연속·양수·감소한다고 하고, a_k:=f(k) (k=1,2,3,…)라 합시다. 임의의 자연수 k≥1과 x∈[k,k+1]에서 f가 감소하므로 f(k+1)≤f(x)≤f(k)이고, 9.8 f743(정적분의 대소 관계)에 의해 [k,k+1]에서 적분하면(9.8 f739에 의해 f가 [k,k+1]에서 연속이므로 이 적분들은 실제로 존재하고, 양끝의 상수함수 f(k+1)·f(k)의 적분값은 9.8 f738(상수함수의 정적분)에 의해 그 상수에 구간의 폭 1을 곱한 값입니다)

a_k+1=f(k+1) ≤ k+1∫kf(x)dx ≤ f(k)=a_k

를 얻습니다. n=2,3,…에 대해 k=1,…,n−1에서 이 부등식을 모두 더하고 9.8 f740(가법성)으로 구간을 이어붙이면

n−1Σk=1ak+1 ≤ n∫1f(x)dx ≤ n−1Σk=1ak	각 [k,k+1] 부등식을 k=1..n−1에서 합산, 9.8 f740
즉 Sn−a1 ≤ n∫1f(x)dx ≤ Sn−1	11.4 f769(부분합의 정의), Sn:=nΣk=1ak

를 얻습니다. F(t):=t∫1f(x)dx (9.8, f739에 의해 잘 정의됨)라 두면, f≥0이므로 F는 t에 대해 감소하지 않는 함수입니다(t₁<t₂이면 F(t₂)−F(t₁)=t2∫t1f dx≥0, 9.8 f740·f743).

(⇒) Σa_k 수렴이면 이상적분도 수렴. Σa_k=S로 수렴한다고 합시다. a_k>0이므로 {S_n}은 감소하지 않고, n을 고정하면 m≥n에서 S_n≤S_m이므로 11.4 보조정리 ⑴의 대소에 의해 S_n≤S입니다. 그러므로 모든 정수 n≥2에서 F(n)≤S_n−1≤S입니다. 실수 t≥1이 임의로 주어지면, t=1일 때는 F(1)=0<S이고, t>1일 때는 t 이상인 최소의 자연수를 n(≥2)이라 하면 F가 감소하지 않으므로 F(t)≤F(n)≤S입니다. 즉 F는 [1,∞)에서 S에 의해 위로 유계이고 감소하지 않으므로, 9.9의 단조유계 수렴 정리(보조정리)에 의해 limt→∞F(t)가 존재합니다―즉 ∞∫1f dx가 수렴합니다(9.9 f925).

(⇐) 이상적분이 수렴하면 Σa_k도 수렴. ∞∫1f dx=L로 수렴한다고 합시다(9.9 f925, F(t)→L). F가 감소하지 않으므로 모든 t에서 F(t)≤L이고(어떤 t₀에서 F(t₀)>L이면 t≥t₀에서 F(t)≥F(t₀)>L이 되어, ε:=F(t₀)−L에 대해 |F(t)−L|<ε이 결코 성립하지 않으므로 F(t)→L에 모순), 특히 모든 자연수 n에서 F(n)≤L입니다. 그러므로 S_n−a₁ ≤ F(n) ≤ L, 즉 S_n ≤ L+a₁이 모든 n에서 성립합니다. a_k=f(k)>0이므로 {S_n}은 감소하지 않고 위로 유계(L+a₁)이므로, 9.9의 단조유계 수렴 정리(수열 꼴, 1016번과 같음)에 의해 S_n은 수렴합니다―즉 Σa_k가 수렴합니다.

따름정리―p-급수 판정. f(x):=1/x^p (p>0, [1,∞)에서 연속·양수·감소)에 적용하면 9.9 f927(p-적분 판정법)에 의해 ∞∫11/x^pdx는 p>1일 때만 수렴하므로, ∞Σk=11/k^p도 정확히 p>1일 때만 수렴합니다(p≤0이면 1/k^p=k^−p≥1이어서 항이 0으로 수렴하지 않으므로 11.4 f771의 대우에 의해 발산하고, 따라서 이 결론은 모든 실수 p에서 성립합니다). p=2인 경우는 1018번에서 비교판정법으로 이미 직접 확인한 사실과 정확히 일치하고, p=1인 경우는 11.4 f772(조화급수의 발산)와도 일치합니다―서로 다른 세 가지 방법(비교판정법·적분판정법·직접 계산)이 교차 검증됩니다.

사용 : 9.8의 738번 · 739번 · 740번 · 743번 · 9.9의 925번 · 927번 · 단조유계 수렴 정리 · 11.4의 769번 · 770번 · 771번 · 772번 · 보조정리 · 1016번 · 1018번 · 증명법

증명 끝

1021정리·활용종합 예제 ― 다섯 가지 판정법 적용(Worked Examples)Σk/2^k,  Σ(k/(2k+1))^k,  Σ1/(k(ln k)²) 등

⑴ 비교판정법(1016번)·극한비교판정법(1017번) 확인. 1018번에서 확인한 0<1/k²≤1/(k(k−1)) (k≥2)의 비교를 통해 Σ1/k²이 수렴함을 보이는 과정에서, 두 부분합 수열이 실제로 어떻게 사잇값 관계 0≤S_n≤T_n≤1을 유지하며 T_n이 1로 수렴하는지 아래 그림에서 확인할 수 있습니다(1016번 증명의 핵심 부등식이 그대로 나타납니다).

극한비교판정법(1017번)의 예로, c_k:=(2k+1)/(k³+3)이라 하면 b_k:=1/k²과 비교했을 때

limk→∞ c_k/b_k = limk→∞ (2k+1)k²/(k³+3) = limk→∞ (2k³+k²)/(k³+3) = 2 (분모·분자를 k³으로 나누면 (2+1/k)/(1+3/k³)→2)

이고 L=2∈(0,∞)이므로 1017번이 적용됩니다. 방금 Σ1/k²이 수렴함을 확인했으므로, Σc_k=Σ(2k+1)/(k³+3)도 수렴합니다.

⑵ 비판정법(1018번) 확인. a_k:=k/2^k라 하면 |a_k+1/a_k| = (k+1)/(2k) → 12 <1이므로 1018번에 의해 Σa_k는 (절대)수렴합니다. 실제로 부분합을 계산해보면

S₁=12,  S₂=1,  S₃=118,  S₄=138,  S₅=5732,  S₆=158=1.875

로 어떤 값에 다가가는 모습이 보입니다(닫힌 형태의 정확한 합을 구하는 것은 이 절의 범위 밖이며, 판정법의 역할은 어디까지나 수렴 여부를 확인하는 데 있습니다).

⑶ 근판정법(1019번) 확인. a_k:=(k/(2k+1))^k라 하면 |a_k|^1/k = k/(2k+1) → 12 <1 (k제곱근을 취하는 계산이 지수 없이 그대로 약분되어, 극한 계산이 비판정법보다 오히려 간단한 경우입니다)이므로 1019번에 의해 Σa_k는 (절대)수렴합니다.

⑷ 적분판정법(1020번) 확인―비판정법·근판정법이 통하지 않는 경우. ∞Σk=21/(k(ln k)²)을 생각합시다. a_k+1/a_k = [k(ln k)²]/[(k+1)(ln(k+1))²]과 |a_k|^1/k은 모두 1로 수렴합니다. 근: |a_k|^1/k=1/(k^1/k(ln k)^2/k)이고, k≥3이면 1≤ln k≤k이므로(ln k≥ln 3>1은 2<e<3 ― 2.5 f116 ― 에서, ln k≤k는 8.6 f672(평균값 정리)를 ln에 [1,k]에서 써서 ln k=(k−1)/ξ<k (ξ>1)에서 나옵니다) 1≤(ln k)^2/k≤(k^1/k)²입니다. 1019번 ⑶의 k^1/k→1과 11.4 보조정리 ⑴(곱·조임)로 (ln k)^2/k→1, 곧 |a_k|^1/k→1입니다. 비: k/(k+1)→1이고, 8.6 f672(평균값 정리)를 ln에 쓰면 0<ln(k+1)−ln k<1/k이며 ln(k+1)≥ln 3>1(2<e<3, 2.5 f116)이므로 1−1/k < 1−(ln(k+1)−ln k)/ln(k+1) = ln k/ln(k+1) < 1, 조임으로 ln k/ln(k+1)→1이고 a_k+1/a_k→1입니다. 즉 1018·1019번 둘 다 무력화됩니다.

하지만 f(x):=1/(x(ln x)²)는 x≥2에서 연속·양수이고, 8.4 f660((ln x)′=1/x)과 8.3 f649· f651(곱·연쇄법칙)로 미분하면 f′(x) = −(ln x+2)/(x²(ln x)³) (x≥2에서 ln x≥ln2>0이므로 분모·분자 모두 양수, f′<0)이므로 8.6 f673에 의해 감소함수입니다. 1020번은 [1,∞)에서 진술되었으므로 g(x):=f(x+1)로 옮기면, g는 [1,∞)에서 연속·양수·감소이고 g(k)=a_k+1, ∞∫1g(x)dx = ∞∫2f(x)dx(9.8 f747, u=x+1)입니다. 따라서 1020번을 적용하려면 ∞∫2f(x)dx의 수렴 여부만 확인하면 되는데, u:=ln x (du=dx/x)로 9.8 f747(치환적분)을 적용하면

T∫21/(x(ln x)²)dx = ln T∫ln21/u²du = [−1/u]_ln2^lnT = 1/ln2 − 1/ln T

이고 T→∞이면 ln T→∞(임의의 M에 대해 T>e^M이면 ln T>M)이어서 1/ln T→0이므로 ∞∫2f(x)dx = 1/ln2로 수렴합니다(9.9 f925). 1020번에 의해 ∞Σk=21/(k(ln k)²)도 수렴합니다―급수의 합 자체는 닫힌 형태로 알려져 있지 않지만(수치적으로 부분합을 200만 항까지 계산해보면 약 2.04로 매우 서서히 커지며, 여전히 유계인 채로 증가하고 있음을 확인할 수 있습니다), 수렴한다는 사실만은 적분판정법으로 확실히 결정됩니다.

아래 그림은 (일반적인 감소함수의 예로 f(x)=1/x²에 대해) 1020번 증명의 핵심 부등식 a_k+1=f(k+1)≤k+1∫kf(x)dx≤f(k)=a_k를 안사각형(높이 f(k+1))과 밖사각형(높이 f(k))으로 시각화한 것입니다.

사용 : 1016번 · 1017번 · 1018번 · 1019번 · 1020번 · 2.5의 116번 · 8.3의 649번 · 651번 · 9.8의 747번 · 8.4의 660번 · 8.6의 672번 · 673번 · 11.4의 보조정리 · 9.9의 925번