4.17 대학 과정
역삼각함수의 그래프
Graphs of Inverse Trigonometric Functions
정의 · 공식과 증명
4.2 f412번(여섯 삼각함수의 치역)에서 보았듯, sin·cos·tan은 그 자체로는 일대일함수가 아니므로(예 : sin0=sinπ=0) 역함수를 가지지 않습니다. 이 절은 8.1 f623–f624(단조함수·단조함수는 일대일)· f627–f628(역함수의 정의와 기본 성질)이 이미 확립한 일반 이론을, 8.3·8.4·8.6에서 확립한 미분법의 결과(사인·코사인·탄젠트의 도함수, 도함수의 부호와 증가·감소)와 결합해 세 삼각함수를 정의역의 적당한 구간(주된 가지, principal branch)으로 제한하면 비로소 일대일함수가 되고, 그 역함수(아크사인· 아크코사인·아크탄젠트)가 존재함을 엄밀하게 확립하고, 그 그래프의 모양(정의역·치역·증가·감소· 연속성·대칭성)을 결정합니다. 796번에서 먼저 공통 도구—"구간에서 연속인 강한 단조함수는 항상 연속인 역함수를 갖는다"는 일반 정리—를 확립한 뒤, 797–802번에서 이를 sin·cos·tan에 차례로 적용합니다. 코탄젠트·시컨트·코시컨트의 역함수는 아크탄젠트·아크사인·아크코사인으로 환산되는 관계식으로 4.19의 f808· f809· f810번에서 정의합니다—이 절의 증명은 그 정의를 쓰지 않으므로 여기서는 다루지 않습니다. 역삼각함수의 구체적인 함숫값·정의역 세부 표기 관례는 4.18(주값)로, 역삼각함수 사이의 항등식(예 : sin−1x+cos−1x=π/2)은 4.19로 미룹니다.
- a가 I의 내부점이면(양 끝점이 아니면), (a−r,a+r)⊆I인 r>0이 있으므로 ε′:=min{ε, r/2}로 잡으면 [a−ε′,a+ε′]⊆I이고 0<ε′≤ε입니다. 그리고 δ:=min{f(a+ε′)−b, b−f(a−ε′)}>0(부등호는 f가 증가함수이므로 성립)로 둡니다.
- a가 I의 왼쪽 끝점이면 오른쪽으로만, 오른쪽 끝점이면 왼쪽으로만 같은 방식(한쪽 극한)으로 δ를 구성합니다. 예를 들어 a가 왼쪽 끝점이면 b=f(a)는 J의 가장 작은 값이므로 y∈J이면 y≥b이고, δ:=f(a+ε′)−b로 두면 a≤f−1(y)<a+ε′이 됩니다(오른쪽 끝점은 부등호만 반대). 아래에서는 내부점인 경우만 적습니다.
796정리연속인 강한 단조함수의 역함수 — 존재성·단조성·연속성(공통 도구)f:I→ℝ가 구간 I에서 연속이고 강한 단조 ⇒ f−1:J→I (J:=f(I))가 존재하고 강한 단조·연속
증명법 : 직접증명법(존재성·연속성) + 대우증명법(단조성)
주장. I⊆ℝ가 구간이고 f:I→ℝ가 I에서 연속이며 강한 단조(8.1 f623번)라 하자. J:=f(I)(f의 치역)라 하면 :
| (1) | J는 구간이다. |
| (2) | f:I→J는 전단사이고, 따라서 f627번의 역함수 f−1:J→I가 존재한다. |
| (3) | f−1은 J에서 f와 같은 방향(f 증가⇒f−1도 증가, f 감소⇒f−1도 감소)의 강한 단조함수이다. |
| (4) | f−1은 J에서 연속이다. |
논의의 일반성을 잃지 않고 f가 증가함수인 경우로 씁니다(감소함수인 경우는 모든 부등호의 방향만 반대로 바꾸면 되고 논증 구조는 완전히 같습니다).
(1) J는 구간입니다. "구간"이란 임의의 두 원소 사이의 모든 실수를 포함하는 집합을 뜻하므로, y1,y2∈J, y1<y2와 그 사이의 임의의 k(y1<k<y2)를 잡고 k∈J임을 보이면 충분합니다. y1=f(x1), y2=f(x2)인 x1,x2∈I가 존재하고(J의 정의), f가 증가함수이므로 y1<y2로부터 x1<x2입니다(x1≥x2이면 f(x1)≥f(x2), 곧 y1≥y2가 되기 때문입니다). I가 구간이므로 [x1,x2]⊆I이고, f는 이 닫힌구간에서 연속이므로 8.2 f640번(사잇값의 정리)에 의해 f(c)=k인 c∈(x1,x2)⊆I가 존재합니다. 즉 k=f(c)∈f(I)=J입니다.
(2) f:I→J는 전단사입니다. f가 강한 단조함수이므로 8.1 f624번에 의해 I에서 일대일이고, J:=f(I)로 정의했으므로 f:I→J는 (공역을 치역으로 좁혀) 위로의 함수이기도 합니다. 일대일대응이므로 f627번에 의해 역함수 f−1:J→I가 존재합니다.
(3) f−1은 증가함수입니다. y1,y2∈J, y1<y2라 하고 x1:=f−1(y1), x2:=f−1(y2)라 둡시다. x1≥x2이면 f가 증가함수이므로 f(x1)≥f(x2), 곧 y1≥y2입니다(x1>x2이면 >, x1=x2이면 =). 이 문장의 대우를 취하면 y1<y2일 때 x1<x2, 즉 f−1(y1)<f−1(y2)이므로 f−1은 증가함수입니다.
(4) f−1은 J에서 연속입니다. b∈J를 임의로 잡고 a:=f−1(b)∈I라 둡시다(I가 한 점이면 J도 한 점이고 f−1는 상수라 연속이므로, I가 두 점 이상을 갖는 경우만 다룹니다). ε>0을 임의로 잡습니다. δ>0을 다음과 같이 구성합니다 :
|y−b|<δ인 임의의 y∈J에 대해 f(a−ε′)<y<f(a+ε′)이고, (3)에서 f−1이 증가함수임을 보였으므로 양변에 f−1을 적용하면
a−ε′ < f−1(y) < a+ε′
즉 |f−1(y)−f−1(b)|=|f−1(y)−a|<ε′≤ε입니다. ε>0이 임의였으므로, y→b일 때 f−1(y)→f−1(b)=a, 즉 f−1은 b에서 연속입니다. b∈J가 임의였으므로 f−1은 J 전체에서 연속입니다. (열린구간 안쪽 점에서는 8.4의 보조정리(치역이 구간인 단조함수의 연속)와 같은 생각이며, 이 정리는 그것을 닫힌 끝점까지 넓힌 것입니다.)
비고(폐구간이 아니어도 성립). I가 열린구간·반열린구간이어도 이 증명은 그대로 성립합니다— (1)에서 [x1,x2]⊆I만 있으면 되고(구간이면 항상 성립), (4)의 ε′ 구성도 a가 내부점이면 항상 가능하기 때문입니다. 801·802번(탄젠트·아크탄젠트)이 정확히 이 열린구간 경우에 해당합니다.
수치 확인(f(x)=x³, I=[−1,1]). f는 [−1,1]에서 연속이고 증가함수(x³은 x가 커지면 항상 커짐)이므로, 정리에 의해 J=[−1,1]이고 f−1(y)=y13도 [−1,1]에서 연속인 증가함수여야 합니다—실제로 y=0.125일 때 f−1(0.125)=0.5이고, f(0.5)=0.125로 정확히 일치합니다.
사용 : 8.1의 f623번(단조함수)· f624번(단조함수는 일대일)· f627번(역함수의 정의) · 8.2의 f640번(사잇값의 정리)
증명 끝
797정의사인의 주된 가지(Principal Branch) SinSin := sin|[−π/2,π/2] (정의역을 [−π/2,π/2]로 제한한 사인함수)
정의. 사인함수를 닫힌구간 I1:=[−π2,π2]로 제한한 함수를 Sin(대문자로 구별)이라 씁니다 :
Sin(x) := sin x (x∈I1)
Sin이 796번의 가설을 만족함을 확인합니다.
| 연속 | sin은 모든 실수에서 미분가능(8.4 f654번, sin′=cos)하므로 8.3 f646번(미분가능이면 연속)에 의해 모든 실수에서 연속 ⇒ 특히 I1에서 연속 |
| 강한 증가 | I1의 내부 (−π2,π2)에서 cosx>0입니다—θ∈(0,π2)∪(−π2,0)은 제1·제4사분면이므로 4.3 f418번(ASTC)에 의해, θ=0에서는 cos0=1(4.4 f423번) ⇒ Sin′(x)=cosx>0 (I1의 내부에서 항상) ⇒ 8.6 f673번에 의해 Sin은 I1에서 강한 증가 |
치역. Sin이 I1에서 증가함수이므로 모든 값은 Sin(−π2)과 Sin(π2) 사이에 있고, 연속이므로 8.2 f640번(사잇값의 정리)에 의해 그 사이의 값은 모두 나옵니다. 곧 Sin(I1)=[Sin(−π2),Sin(π2)]입니다. 4.4 f423번에서 sinπ2=1이고, 4.6 f432번(음각공식)에서 sin(−θ)=−sinθ이므로 Sin(−π2)=−1입니다. 따라서 Sin의 치역은 [−1,1]—즉 4.2 f412번이 준 sin 전체의 치역과 정확히 일치합니다(제한해도 값의 범위가 줄어들지 않는다는 뜻).
사용 : 4.3의 f418번(ASTC) · 4.4의 f423번 · 4.6의 f432번 · 8.3의 f646번 · 8.4의 f654번 · 8.6의 f673번 · 8.2의 f640번(사잇값의 정리)
798정리아크사인의 정의와 그래프sin−1 := Sin−1 : [−1,1]→[−π/2,π/2], 강한 증가·연속·기함수
증명법 : 직접증명법(796·797번 적용)
정의. 797번에서 Sin:I1→[−1,1]이 796번의 가설(연속·강한 단조)을 만족함을 확인했으므로, 796번에 의해 역함수 Sin−1:[−1,1]→I1이 존재하고 강한 증가·연속입니다. 이를 아크사인함수라 부르고 sin−1x (또는 arcsin x)로 씁니다 :
sin−1x := Sin−1(x) (x∈[−1,1])
정의역·치역. 정의역 [−1,1], 치역 [−π2,π2]—즉 sin−1x는 "사인값이 x가 되는 [−π2,π2] 안의 유일한 각"입니다 (sin−1(sinθ)=θ, sin(sin−1x)=x는 8.1 f628번의 일반 공식을 그대로 적용한 것).
강한 증가·연속. 796번의 결론 (3)·(4)에서 곧바로 얻습니다.
기함수(奇函數). 임의의 y∈[−1,1]에 대해 x:=sin−1y라 두면(즉 Sin(x)=y, x∈I1), I1이 원점에 대칭인 구간이므로 −x∈I1이고, sin이 기함수(4.6 f432번)이므로 Sin(−x)=sin(−x)=−sinx=−y입니다. 따라서 sin−1(−y)=−x=−sin−1y — 즉 아크사인은 기함수입니다.
그래프. 8.1 f628번(역함수의 그래프는 y=x에 대해 대칭)에 의해, sin−1x의 그래프는 Sinx의 그래프(사인함수 그래프를 [−π2,π2]로 자른 한 조각)를 직선 y=x에 대해 반사한 것입니다. Sin은 원점 근처에서 기울기 cos0=1로 y=x에 접하듯 지나가고 양 끝(±π2,±1) 근처에서 기울기(cosπ2=0)가 0에 가까워지며 평평해지므로—그 반사인 sin−1x는 원점 근처에서 역시 기울기 1로 지나가고 양 끝(±1,±π2) 근처에서 오히려 기울기가 한없이 가팔라지는(수직에 가까워지는) 모양이 됩니다(정확한 도함수 (sin−1t)′=11−t²는 9.3의 보조정리(아크사인과 그 도함수)에서 구했습니다).
9.3의 아크사인과 같은 함수. 9.3의 보조정리는 sin−1t를 열린구간 −1<t<1에서 "−π2와 π2 사이에서 사인값이 t인 하나뿐인 각"으로 정의했습니다. 위의 정의역·치역 단락에서 보았듯 이 절의 sin−1도 같은 각을 돌려주므로, 두 함수는 (−1,1)에서 같고, 이 절은 그 정의역을 끝점 ±1까지 넓힌 것입니다.
사인의 주된 가지 Sin(파랑 파선, x∈[−π/2,π/2])과 그 역함수 sin−1x(빨강 실선, x∈[−1,1])—두 그래프는 직선 y=x에 대해 정확히 대칭이며(점선은 그리지 않았지만 두 곡선의 대칭성으로 확인 가능), Sin의 양 끝점 (±π/2,±1)이 sin−1의 양 끝점 (±1,±π/2)으로 정확히 뒤바뀝니다.
수치 검산. sin−1(0.5)≈0.523599(=π6)이고, 4.4 f422번에서 sinπ6=0.5—정확히 서로 역함수 관계를 만족합니다.
사용 : 796번 · 797번 · 8.1의 f628번 · 4.6의 f432번
증명 끝
799정의코사인의 주된 가지(Principal Branch) CosCos := cos|[0,π] (정의역을 [0,π]로 제한한 코사인함수)
정의. 코사인함수를 닫힌구간 I2:=[0,π]로 제한한 함수를 Cos라 씁니다 :
Cos(x) := cos x (x∈I2)
Cos가 796번의 가설을 만족함을 확인합니다.
| 연속 | cos은 모든 실수에서 미분가능(8.4 f655번, cos′=−sin)하므로 8.3 f646번에 의해 모든 실수에서 연속 ⇒ 특히 I2에서 연속 |
| 강한 감소 | I2의 내부 (0,π)는 제1·제2사분면에 속하므로 4.3 f418번(ASTC)에 의해 sinx>0 ⇒ Cos′(x)=−sinx<0 (I2의 내부에서 항상) ⇒ 8.6 f673번(f′<0⇒감소, 673번은 부호가 반대인 경우도 함께 서술)에 의해 Cos는 I2에서 강한 감소 |
치역. Cos가 I2에서 연속인 감소함수이므로 Cos(I2)=[Cos(π),Cos(0)]입니다. 4.4 f423번에서 cos0=1이고, 4.6 f433번(보각공식)에서 cos(π−θ)=−cosθ에 θ=0을 대입하면 cosπ=−1입니다. 따라서 Cos의 치역은 [−1,1]로, 4.2 f412번의 cos 전체 치역과 일치합니다.
사용 : 4.3의 f418번 · 4.4의 f423번 · 4.6의 f433번 · 8.3의 f646번 · 8.4의 f655번 · 8.6의 f673번
800정리아크코사인의 정의와 그래프cos−1 := Cos−1 : [−1,1]→[0,π], 강한 감소·연속
증명법 : 직접증명법(796·799번 적용)
정의. 799번에서 Cos:I2→[−1,1]이 796번의 가설을 만족함을 확인했으므로 (감소함수인 경우—796번의 "비고" 참고), 796번에 의해 역함수 Cos−1:[−1,1]→I2가 존재하고 강한 감소·연속입니다. 이를 아크코사인함수라 부르고 cos−1x로 씁니다 :
cos−1x := Cos−1(x) (x∈[−1,1])
정의역·치역. 정의역 [−1,1], 치역 [0,π].
기함수도 우함수도 아님. 797·798번의 아크사인과 달리, I2=[0,π]는 원점에 대칭인 구간이 아니므로(0은 포함하지만 −π는 포함하지 않음) 798번과 같은 논증이 성립하지 않습니다—실제로 cos−1(−1)=π이지만 −cos−1(1)=−0=0≠π이므로 기함수가 아니고, cos−1(−1)=π≠0=cos−1(1)이므로 우함수도 아닙니다. cos−1x가 실제로 만족하는 대안적 대칭 관계(cos−1(−x)=π−cos−1x 등)와 sin−1과의 관계식은 4.19(역삼각함수 사이의 관계)로 미룹니다.
그래프. 8.1 f628번에 의해 cos−1x의 그래프는 Cosx의 그래프를 직선 y=x에 대해 반사한 것입니다. Cos는 감소함수이므로 그 역함수 cos−1x도 감소함수—두 그래프 모두 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향합니다.
코사인의 주된 가지 Cos(파랑 파선, x∈[0,π])와 그 역함수 cos−1x(빨강 실선, x∈[−1,1])—직선 y=x에 대해 대칭이며, Cos의 끝점 (0,1)·(π,−1)이 cos−1의 끝점 (1,0)·(−1,π)로 뒤바뀝니다.
수치 검산. cos−1(0.5)≈1.047198(=π3)이고, 4.4 f422번에서 cosπ3=0.5—일치합니다.
증명 끝
801정의탄젠트의 주된 가지(Principal Branch) TanTan := tan|(−π/2,π/2) (정의역을 (−π/2,π/2)로 제한한 탄젠트함수)
정의. 탄젠트함수를 열린구간 I3:=(−π2,π2)로 제한한 함수를 Tan이라 씁니다(4.2 f411번에 의해 tan은 ±π2에서 애초에 정의되지 않으므로 I3는 열린구간이어야 합니다) :
Tan(x) := tan x (x∈I3)
Tan이 796번의 가설을 만족함을 확인합니다(I3가 열린구간인 경우—796번의 "비고" 참고).
| 연속 | tan은 I3에서 미분가능(8.4 f656번, tan′=sec², cosx≠0인 모든 곳에서 정의됨)하므로 8.3 f646번에 의해 I3에서 연속 |
| 강한 증가 | Tan′(x)=sec²x≥1>0 (I3 전체에서 예외 없이) ⇒ 8.6 f673번에 의해 Tan은 I3에서 강한 증가 |
치역 = ℝ 전체. 임의의 y∈ℝ를 잡습니다. 4.2 f412번(tan의 치역=ℝ)에 의해 tanθ=y인 실수 θ(θ∈I3 여부는 아직 모름)가 존재합니다. 4.7 f439번(tan의 주기성, 기본주기 π)에 의해 θ−kπ도 같은 값 y를 가지는 적당한 정수 k를 골라 θ를 I3=(−π2,π2) 안으로 옮길 수 있습니다. 구체적으로 k를 θπ+12을 넘지 않는 가장 큰 정수로 잡으면 −π2≤θ−kπ<π2이고, tanθ가 정의되므로 θ−kπ≠−π2입니다(4.2 f411번: tan은 π2+mπ(m∈ℤ)에서 정의되지 않음). 또 f439번의 θ 자리에 θ−π를 넣으면 tan(θ−π)=tanθ이므로, 두 식을 |k|번 거듭 쓰면 모든 정수 k에서 tan(θ−kπ)=tanθ입니다. 즉 Tan(θ−kπ)=tan(θ−kπ)=tanθ=y이므로 y는 Tan의 치역에 속합니다. y가 임의였으므로 Tan의 치역은 ℝ 전체입니다—극한(x→±π2일 때 tanx→±∞)을 따로 계산하지 않고도 순전히 대수적으로(주기성+치역) 확인됩니다.
사용 : 4.2의 f411번· f412번 · 4.7의 f439번 · 8.3의 f646번 · 8.4의 f656번 · 8.6의 f673번
802정리아크탄젠트의 정의와 그래프tan−1 := Tan−1 : ℝ→(−π/2,π/2), 강한 증가·연속·기함수
증명법 : 직접증명법(796·801번 적용)
정의. 801번에서 Tan:I3→ℝ이 796번의 가설(열린구간에서 연속·강한 단조)을 만족함을 확인했으므로, 796번에 의해 역함수 Tan−1:ℝ→I3가 존재하고 강한 증가·연속입니다. 이를 아크탄젠트함수라 부르고 tan−1x로 씁니다 :
tan−1x := Tan−1(x) (x∈ℝ)
정의역·치역. 정의역 ℝ 전체(역삼각함수 중 유일하게 실수 전체에서 정의됨), 치역 (−π2,π2)—양 끝은 포함하지 않는 열린구간입니다(I3 자체가 열린구간이므로). 이 함수는 9.2의 보조정리(아크탄젠트와 그 도함수)의 tan−1과 같은 함수입니다(둘 다 "−π2와 π2 사이에서 탄젠트값이 x인 하나뿐인 각").
기함수. 798번과 완전히 같은 논증입니다—I3가 원점에 대칭인 구간이고 tan이 기함수(4.6 f432번을 4.2 f410번의 몫의 정의에 대입하면 tan(−θ)=sin(−θ)cos(−θ)=−sinθcosθ=−tanθ로 바로 확인됨)이므로, tan−1(−y)=−tan−1y가 798번과 같은 방식으로 성립합니다.
수평 점근선. 그래프에서 Tan은 x=±π2 근처에서 위아래로 한없이 뻗고, 그 반사인 tan−1x는 직선 y=±π2에 한없이 가까워지는 것처럼 보입니다(8.2 f637번의 용어로 수평점근선). tan−1x가 그 값에 도달하지 않는 것은 치역이 열린구간이기 때문이고, 한없이 가까워진다는 것은 다음 절(4.18)의 807번에서 극한의 정의로 증명합니다(이 절의 증명은 그것을 쓰지 않습니다).
탄젠트의 주된 가지 Tan(파랑 파선, x∈(−π/2,π/2), 옅은 파랑 점선은 그 수직점근선 x=±π/2)와 그 역함수 tan−1x(빨강 실선, x∈ℝ 전체, 옅은 빨강 점선은 그 수평점근선 y=±π/2)—Tan의 수직점근선이 tan−1의 수평점근선으로 정확히 뒤바뀌는 것이 y=x 대칭의 자연스러운 결과입니다.
수치 검산. tan−1(1)≈0.785398(=π4)이고, 4.4 f421번에서 tanπ4=1—일치합니다.
사용 : 796번 · 801번 · 4.2의 f410번 · 4.6의 f432번 · 8.2의 f637번
증명 끝