4.21 대학 과정
쌍곡선함수와의 관계
Relations to Hyperbolic Functions
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 쌍곡선함수 여섯 개를 지수함수만으로 정의하고(815·816번), 우함수·기함수 성질, 기본 항등식, 덧셈정리, 배각공식을 실수 범위의 계산으로 증명합니다(817~820번). 이어서 이 항등식들이 삼각함수의 항등식과 부호만 다르게 짝을 이룬다는 관찰(821번)과, 그 까닭을 복소수 인수로 보여 주는 정리(822번)를 다룹니다. 쌍곡선함수의 도함수와 적분은 9.5에서 다룹니다.
815정의쌍곡선사인·쌍곡선코사인(Hyperbolic Sine and Cosine)sinh x := ex−e−x2, cosh x := ex+e−x2 (x∈ℝ)
배경. 2.5 실수 지수의 약속 ⓐ에 의해 a>0이면 ax는 모든 실수 x에서 하나로 정해지는 양수이므로, 자연상수 e(2.5 f116번)를 밑으로 하는 ex와 e−x는 실수 전체에서 정의되고 언제나 양수입니다. 이 둘의 합·차를 2로 나눈 두 함수를 다음과 같이 정의합니다 :
sinh x := ex−e−x2 · cosh x := ex+e−x2
«쌍곡선(hyperbolic)»이라는 이름의 이유는 점 (cosh t, sinh t)가 쌍곡선 x²−y²=1의 오른쪽 가지(x>0) 위에 놓인다는 데서 옵니다 — 818번(피타고라스 항등식의 쌍곡선판)에서 이를 증명합니다. 정의 자체는 단순한 대수(지수함수의 합·차)이므로 별도의 증명이 필요하지 않습니다.
사용 : 2.5의 실수 지수의 약속 ⓐ · 2.5의 f116번
816정의나머지 네 쌍곡선함수(Remaining Hyperbolic Functions)tanh x := sinh xcosh x, coth x := cosh xsinh x (x≠0), sech x := 1cosh x, csch x := 1sinh x (x≠0)
4.2 f410번이 tan·cot·sec·csc를 sin·cos의 비·역수로 정의한 것과 완전히 같은 방식으로, 나머지 네 쌍곡선함수를 815번의 sinh·cosh의 비·역수로 정의합니다 :
tanh x := sinh xcosh x · coth x := cosh xsinh x · sech x := 1cosh x · csch x := 1sinh x
815번의 배경에서 본 대로 ex>0, e−x>0이므로 cosh x = ex+e−x2 > 0이 모든 실수 x에서 성립합니다. 따라서 tanh·sech는 정의역 제한이 필요 없습니다. 반면 sinh x=0이면 ex=e−x이고, 양변에 ex를 곱하면 e2x=1=e0입니다(약속 ⓑ). e>1이므로 약속 ⓒ에 의해 서로 다른 지수에서는 값이 다르므로 2x=0, 곧 x=0입니다. 거꾸로 x=0이면 sinh 0=0입니다. 그래서 coth·csch는 x≠0에서 정의합니다. (cosh x≥1은 818번(a)에서 따로 얻습니다.)
사용 : 4.2의 f410번 · 815번 · 2.5의 실수 지수의 약속 ⓑ·ⓒ
817정리쌍곡선함수의 우함수·기함수 성질(Even and Odd Properties)cosh(−x)=cosh x, sech(−x)=sech x (우함수); sinh(−x)=−sinh x, tanh(−x)=−tanh x, coth(−x)=−coth x, csch(−x)=−csch x (기함수)
증명법 : 직접증명법(815번의 정의식에 x→−x를 그대로 대입, 8.1 f618번의 정의로 판정)
815번의 정의에 x 대신 −x를 대입하면 :
| sinh(−x) = e−x−ex2 = −ex−e−x2 = −sinh x | 815번의 정의, 부호를 앞으로 뺌 |
| cosh(−x) = e−x+ex2 = ex+e−x2 = cosh x | 815번의 정의, 덧셈의 교환법칙 |
8.1 f618번(우함수·기함수의 정의)에 의해 cosh는 우함수, sinh는 기함수입니다.
나머지 넷은 816번의 정의에 방금 증명한 두 성질을 대입하는 순수 대수입니다 :
| tanh(−x) = sinh(−x)cosh(−x) = −sinh xcosh x = −tanh x | 816번의 정의, sinh(−x)=−sinh x·cosh(−x)=cosh x 대입 |
| coth(−x) = cosh(−x)sinh(−x) = cosh x−sinh x = −coth x | 816번의 정의, 같은 대입 |
| sech(−x) = 1cosh(−x) = 1cosh x = sech x | 816번의 정의, cosh(−x)=cosh x 대입 |
| csch(−x) = 1sinh(−x) = 1−sinh x = −csch x | 816번의 정의, sinh(−x)=−sinh x 대입 |
4.2의 tan·cot·csc가 사인의 기함수성을 물려받아 기함수가 되고 sec만 코사인의 우함수성을 물려받아 우함수가 되는 것(4.3~4.8 계열에서 반복 확인된 패턴)과 정확히 같은 대응 관계가 여기서도 그대로 나타납니다 — 부모 함수(sinh 또는 cosh) 중 어느 쪽이 분모·분자에 있는지에 따라 갈립니다.
사용 : 8.1의 f618번 · 815번 · 816번
증명 끝
818정리쌍곡선함수의 기본 항등식(Fundamental Hyperbolic Identity)cosh2x − sinh2x = 1; 1−tanh2x = sech2x; coth2x−1 = csch2x
증명법 : 직접증명법(815번을 그대로 전개, 4.5 f425번(피타고라스 항등식)과 부호만 반대인 것을 대조)
(a) cosh2x−sinh2x=1. 815번의 정의를 그대로 제곱해 전개합니다 :
| cosh2x−sinh2x = (ex+e−x)24 − (ex−e−x)24 | 815번의 정의 |
| = (ex+e−x)2−(ex−e−x)24 | 분모가 같으므로 분자끼리 뺌 |
| = 4exe−x4 | (a+b)2−(a−b)2=4ab (2.2 f73·f74번을 빼서 정리), a=ex,b=e−x |
| = exe−x = 1 | 2.5 실수 지수의 약속 ⓑ, exe−x=e0=1 |
이 항등식은 4.5 f425번(sin2θ+cos2θ=1)과 형태가 거의 같지만 두 제곱 사이의 부호가 더하기가 아니라 빼기라는 점만 다릅니다 — 이 부호 차이가 4.2 f409번에서 정의한 P(θ)=(cosθ,sinθ)가 원 x2+y2=1을, Q(t):=(cosh t, sinh t)가 쌍곡선 x2−y2=1 위에 각각 놓이는 이유입니다(cosh t>0이므로 Q(t)는 오른쪽 가지 위에 있습니다, 아래 그림 참고). 이런 부호 차이는 821번에서 모아서 살펴봅니다.
(b) 1−tanh2x=sech2x. (a)의 양변을 cosh2x(≠0, 816번에서 확인)로 나누면 :
1−sinh2xcosh2x = 1cosh2x ⇔ 1−tanh2x = sech2x
(816번의 정의 tanh x=sinh xcosh x, sech x=1cosh x를 대입한 것입니다.)
(c) coth2x−1=csch2x (x≠0). (a)의 양변을 대신 sinh2x(x≠0에서 ≠0)로 나누면 :
cosh2xsinh2x−1 = 1sinh2x ⇔ coth2x−1 = csch2x
사용 : 4.5의 f425번 · 4.2의 f409번 · 2.2의 f73·f74번 · 2.5의 실수 지수의 약속 ⓑ · 815번 · 816번
증명 끝
819정리쌍곡선함수의 덧셈정리(Addition Formulas)sinh(x±y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y; cosh(x±y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y
증명법 : 직접증명법(815번의 정의를 그대로 전개, 지수법칙 ex+y=exey만 사용)
4.9의 삼각함수 덧셈정리(f450~f453번)는 회전 합동이라는 기하학적 보조정리(f449번)가 필요했지만, 이 절의 덧셈정리는 815번의 정의가 이미 지수함수로 되어 있으므로 순수 대수(지수법칙 ex+y=exey, 2.5 실수 지수의 약속 ⓑ)만으로 곧바로 얻어집니다—새로운 기하학적 도구가 필요하지 않습니다.
(a) cosh x cosh y+sinh x sinh y. 815번의 정의를 대입해 전개합니다 :
| cosh x cosh y+sinh x sinh y = ex+e−x2·ey+e−y2+ex−e−x2·ey−e−y2 | 815번의 정의 |
| = (ex+e−x)(ey+e−y)+(ex−e−x)(ey−e−y)4 | 두 분수를 통분(분모 4로 동일), 분자를 각각 전개 |
| = 2exey+2e−xe−y4 | 전개 후 ex−y·ey−x 항이 서로 상쇄됨(부호가 반대인 두 항씩 짝지어 소거), exey=ex+y·e−xe−y=e−(x+y)(약속 ⓑ) |
| = cosh(x+y) | 815번의 정의를 x+y에 적용 |
(b) sinh x cosh y+cosh x sinh y. 같은 방식으로 :
| sinh x cosh y+cosh x sinh y = ex−e−x2·ey+e−y2+ex+e−x2·ey−e−y2 | 815번의 정의 |
| = (ex−e−x)(ey+e−y)+(ex+e−x)(ey−e−y)4 | 통분 후 전개, 이번에는 ex−y·ey−x 항이 서로 상쇄 |
| = 2exey−2e−xe−y4 = sinh(x+y) | exey=ex+y·e−xe−y=e−(x+y)(약속 ⓑ), 815번의 정의 |
x−y 형태(뺄셈정리). 위 두 결과에 y를 −y로 치환하면, 817번(sinh·cosh의 우·기함수 성질)에 의해 sinh(−y)=−sinh y, cosh(−y)=cosh y이므로 :
cosh(x−y) = cosh x cosh y−sinh x sinh y · sinh(x−y) = sinh x cosh y−cosh x sinh y
네 식을 한데 모으면 진술한 ± 형태의 두 공식이 됩니다.
사용 : 2.5의 실수 지수의 약속 ⓑ · 815번 · 817번
증명 끝
820정리쌍곡선함수의 배각공식(Double-Angle Formulas)sinh 2x = 2 sinh x cosh x; cosh 2x = cosh2x+sinh2x = 2cosh2x−1 = 1+2sinh2x
증명법 : 직접증명법(819번에 y=x를 대입, 4.10 배각공식(f459·f460번)과 완전히 같은 전략)
4.10이 4.9의 덧셈정리에 φ=θ를 대입해 배각공식을 얻었던 것과 정확히 같은 방식으로, 819번(덧셈정리)에 y=x를 대입합니다 :
| sinh 2x = sinh(x+x) = sinh x cosh x+cosh x sinh x = 2 sinh x cosh x | 819번에 y=x 대입 |
| cosh 2x = cosh(x+x) = cosh2x+sinh2x | 819번에 y=x 대입 |
cosh 2x의 나머지 두 형태는 818번(a)(cosh2x−sinh2x=1)를 이용해 한쪽 항을 다른 쪽으로 치환하면 됩니다 :
| cosh 2x = cosh2x+sinh2x = cosh2x+(cosh2x−1) = 2cosh2x−1 | 818번(a)에서 sinh2x=cosh2x−1 대입 |
| cosh 2x = cosh2x+sinh2x = (sinh2x+1)+sinh2x = 1+2sinh2x | 818번(a)에서 cosh2x=sinh2x+1 대입 |
세 형태 모두 4.10 f460번(cos 2θ의 세 표현)과 정확히 같은 구조—부호만 반대(cosh2+sinh2 대 cos2−sin2)—를 보이는 것도 818번(a)의 부호 반전이 낳는 또 하나의 결과입니다.
사용 : 4.10의 f459·f460번 · 818번(a) · 819번
증명 끝
821관찰삼각 항등식과 쌍곡선 항등식의 대응 — 오스본의 규칙(Osborn’s Rule)sin→sinh, cos→cosh, tan→tanh로 바꾸고, sin(또는 tan)이 n번 곱해진 항에 (−1)⌊n/2⌋을 곱하면 쌍곡선함수 항등식이 된다
성격 : 증명한 정리가 아니라 관찰입니다. 이 규칙으로 얻은 식은 쓸 때마다 815~820번으로 직접 확인합니다.
815~820번에서 증명한 쌍곡선 항등식을 4장 앞부분의 삼각 항등식과 나란히 놓으면 다음과 같이 짝을 이룹니다 :
| 4.5 f425번 sin2θ+cos2θ=1 ↔ 818번(a) cosh2x−sinh2x=1 | sin 두 번 → 부호 바뀜 |
| 4.5 f426번 1+tan2θ=sec2θ ↔ 818번(b) 1−tanh2x=sech2x | tan 두 번 → 부호 바뀜 |
| 4.9 f451번 cos(x+y)=cos x cos y−sin x sin y ↔ 819번 cosh(x+y)=cosh x cosh y+sinh x sinh y | sin 두 번 → 부호 바뀜 |
| 4.9 f452번 sin(x+y)=sin x cos y+cos x sin y ↔ 819번 sinh(x+y)=sinh x cosh y+cosh x sinh y | 각 항 sin 한 번 → 그대로 |
| 4.10 f460번 cos 2θ=1−2sin2θ ↔ 820번 cosh 2x=1+2sinh2x | sin 두 번 → 부호 바뀜 |
규칙을 말로 하면 : 기호를 sin→sinh, cos→cosh, tan→tanh로 바꾸고, 한 항에 sin(또는 tan)이 n번 곱해져 있으면 그 항에 (−1)⌊n/2⌋을 곱합니다(⌊n/2⌋는 n/2를 넘지 않는 가장 큰 정수). 곧 sin 두 개의 곱 한 쌍마다 부호를 한 번 바꿉니다 — n=1이면 그대로, n=2·3이면 한 번 바뀌고, n=4이면 두 번 바뀌어 다시 그대로입니다. cos가 몇 번 곱해지는지는 부호와 관계없습니다. 단, 각 안에 π/2 같은 상수가 들어간 식(예 : sin(π/2−θ)=cos θ)에는 쓰지 않습니다.
예 1 (sin 세 번). 4.11 f464번 sin 3θ=3sin θ−4sin3θ의 sin3 항은 n=3이라 부호가 한 번 바뀌므로, 규칙은 sinh 3x=3sinh x+4sinh3x를 줍니다. 직접 확인하면 :
| sinh 3x = sinh 2x cosh x+cosh 2x sinh x | 819번(2x와 x) |
| = 2sinh x cosh2x+(1+2sinh2x)sinh x | 820번 |
| = 2sinh x(1+sinh2x)+sinh x+2sinh3x = 3sinh x+4sinh3x | 818번(a)의 cosh2x=1+sinh2x |
예 2 (sin 네 번). 4.16 f493번 sin4θ=3−4cos 2θ+cos 4θ8의 sin4 항은 n=4라 부호가 두 번 바뀌어 그대로이므로, 규칙은 sinh4x=3−4cosh 2x+cosh 4x8를 줍니다. 직접 확인하면 :
| cosh 4x = 2cosh22x−1 = 2(1+2sinh2x)2−1 | 820번을 2x에, 820번 |
| = 1+8sinh2x+8sinh4x | 전개 |
| 3−4cosh 2x+cosh 4x8 = 3−4(1+2sinh2x)+1+8sinh2x+8sinh4x8 | 820번, 윗줄 |
| = 8sinh4x8 = sinh4x | 정리 |
(«sin이 짝수 번이면 부호를 바꾼다»고 잘못 기억하면 여기서 틀린 식이 나옵니다.)
이 규칙은 여기서 증명하지 않습니다. 왜 이렇게 되는지는 822번에서 복소수 인수로 설명합니다.
사용 : 4.5의 f425·f426번 · 4.9의 f451·f452번 · 4.10의 f460번 · 4.11의 f464번 · 4.16의 f493번 · 818번 · 819번 · 820번
822정리대학복소수 인수를 통한 삼각함수와의 관계(Relations via Complex Argument)sin(ix) = i sinh x; cos(ix) = cosh x; tan(ix) = i tanh x
증명법 : 직접증명법(확장 정의에 z=ix를 대입)
x가 실수이고 z=ix이면 iz=i·ix=−x, −iz=x(i2=−1)가 실수이므로, 확장 정의의 오른쪽은 실수 지수함수만으로 계산됩니다 :
| cos(ix) = e−x+ex2 = cosh x | 확장 정의에 z=ix 대입, 815번의 정의 |
| sin(ix) = e−x−ex2i = i·ex−e−x2 = i sinh x | 확장 정의에 z=ix 대입, −1i=i(i2=−1), 815번의 정의 |
cos(ix)=cosh x>0(816번)이라 분모가 0이 아니므로, tan(ix)도 곧바로 나옵니다 :
tan(ix) = sin(ix)cos(ix) = i sinh xcosh x = i tanh x
이 세 식이 821번의 관찰이 왜 그렇게 되는지를 보여 줍니다. 삼각 항등식의 각 변수 x를 ix로 바꾸면 cos는 cosh가, sin은 i·sinh가(tan은 i·tanh가) 되므로, sin(또는 tan)이 n번 곱해진 항에는 in이 붙습니다. n이 짝수이면 in=(−1)n/2이고, n이 홀수이면 in=i·(−1)(n−1)/2이며 홀수 쪽 항들에 공통으로 남은 i로 나누면 되므로, 어느 경우든 그 항의 부호는 (−1)⌊n/2⌋이 됩니다(예 : 4.11 f464의 sin3θ 항에는 i3=−i가 붙어, i로 나누면 부호가 바뀝니다). 다만 이것은 까닭을 보여 주는 설명입니다. 821번 전체를 증명하려면 삼각 항등식이 복소수 인수에서도 성립함을 따로 보여야 하므로, 여기서는 하지 않습니다.
사용 : 1.4의 f64번 · 11.10의 1047번 · 4.2의 f409번 · 4.6의 f432번 · 815번 · 816번 · 821번
증명 끝
823정리종합 계산 예sinh(ln2)=34, cosh(ln2)=54, tanh(ln2)=35; sinh(ln2+ln3)=3512
증명법 : 직접증명법(815·816·818·819번을 구체적인 값 x=ln2, y=ln3에 대입)
기본값 계산. x=ln2라 하면 ex=2, e−x=12(로그의 정의 2.5 f104번, 약속 ⓑ로 e−x=1/ex). 815·816번에 대입하면 :
| sinh(ln2) = 2−122 = 322 = 34 | 815번의 정의 |
| cosh(ln2) = 2+122 = 522 = 54 | 815번의 정의 |
| tanh(ln2) = 3454 = 35 | 816번의 정의 |
818번(a)로 검산하면 cosh2(ln2)−sinh2(ln2) = 54−34 = 1616 = 1로 실제로 성립합니다.
덧셈정리 검산. 같은 방식으로 y=ln3(ey=3, e−y=13)에서 sinh(ln3)=43, cosh(ln3)=53입니다. 819번(덧셈정리)으로 sinh(ln2+ln3)을 두 가지 방법으로 계산해 서로 일치하는지 확인합니다 :
| [방법 1] sinh(ln2+ln3) = sinh(ln6) = 6−162 = 3562 = 3512 | 815번의 정의(로그의 곱셈법칙, 2.5 f108번로 ln2+ln3=ln6) |
| [방법 2] sinh(ln2)cosh(ln3)+cosh(ln2)sinh(ln3) = 34·53+54·43 = 1512+2012 = 3512 | 819번(덧셈정리), 위에서 구한 네 값 대입 |
두 방법 모두 3512로 정확히 일치합니다—이는 815–819번이 서로 정합적으로 맞물려 있음을 구체적인 수로 재확인하는 것입니다.
사용 : 2.5의 f104번·f108번 · 2.5의 실수 지수의 약속 ⓑ · 815번 · 816번 · 818번(a) · 819번
증명 끝
삼각함수(왼쪽)와 쌍곡선함수(오른쪽)를 나란히 그린 것 — 왼쪽에서 각 θ가 늘어나면 점 P(θ)는 단위원 위를 돌고, 오른쪽에서 매개변수 t가 늘어나면 점 Q(t)는 쌍곡선 x²−y²=1의 오른쪽 가지를 따라 위로 움직입니다—818번(a)의 항등식 cosh²t−sinh²t=1이 정확히 이 쌍곡선의 방정식이므로, Q(t)가 그 곡선 위에 있다는 사실 자체가 곧 818번(a)의 기하학적 뜻입니다. 좌표는 실제 θ=t=0.9(라디안·쌍곡선 매개변수)를 그대로 대입해 계산했습니다(원은 반지름 90px, 쌍곡선은 축척 46px/단위).
815–816번에서 정의한 세 쌍곡선함수의 그래프—cosh x(파랑)는 (0,1)을 최솟값으로 갖는 우함수, sinh x(빨강)·tanh x(초록)는 원점 대칭인 기함수입니다. tanh x는 y=±1을 수평점근선으로 가지며(|x|가 커지면 e−x 또는 ex 항이 0에 가까워져 815·816번의 정의식이 각각 ±1에 수렴), sinh·cosh는 x→∞일 때 둘 다 ex2에 점근합니다(둘의 차 e−x가 0으로 사라지므로 두 곡선이 오른쪽에서 점점 붙어 보입니다). 좌표는 815·816번의 정의식 sinh x=(ex−e−x)/2, cosh x=(ex+e−x)/2, tanh x=sinh x/cosh x를 x∈[−2.6,2.6](tanh는 [−3.2,3.2])에 0.02 간격으로 그대로 대입해 계산했습니다.