7.11 대학 과정
이차곡면
Quadric Surfaces
정의 · 공식과 증명
이 절은 좌표공간에서 x,y,z에 대한 이차방정식의 그래프인 이차곡면(quadric surface)을 다룹니다―7.4−7.7이 평면 위에서 원·타원·쌍곡선·포물선을(2차원 이차곡선), 7.12가 구를(3차원 이차곡면의 특수한 예) 이미 확립해 두었으므로, 이 절은 표준적인 이차곡면들―타원면, 쌍곡면 2종, 포물면 2종, 원뿔면, 기둥면 3종―을 채워 넣습니다. 891번에서 먼저 일반적인 이차방정식이 축과 나란한(교차항이 없는) 경우 완전제곱(7.12 f611번의 기법을 좌표축마다 반복)에 의해 다섯 가지 골격 중 하나로 축소되고 부호를 맞추면 표준형이 됨을 보이고(좌표를 바꿔도 거리가 보존된다는 보조정리가 근거), 892−898번은 그 골격의 구체적인 부호 조합마다 이름 붙은 곡면을 다룹니다―증명은 대부분 한 좌표를 상수로 고정한 단면(trace)이 7.5−7.7에서 이미 확립한 2차원 이차곡선(때로는 그 퇴화형인 점·직선쌍·공집합)과 정확히 같은 꼴임을 확인하는 방식입니다.
·보조정리거리를 보존하는 좌표 바꾸기와 단면의 좌표d(φ(P),φ(Q)) = d(P,Q)
증명법 : 직접증명법(7.8 590번 거리 공식으로 직접 계산)
주장 ①. 공간의 점 (x,y,z)를 아래와 같이 새 순서쌍에 대응시키는 네 대응 φ는 모두 공간에서 공간으로의 일대일대응이고, 모든 두 점 P, Q에 대해 d(φ(P),φ(Q))=d(P,Q)입니다(거리를 보존). 거리는 7.8 590번의 d=(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²로 잽니다(Δ는 두 점의 좌표의 차).
| (가) 평행이동 : (x,y,z) ↦ (x−h, y−k, z−l) | 역대응 (x+h, y+k, z+l). 두 점의 좌표의 차 Δx, Δy, Δz가 그대로 |
| (나) 두 좌표 바꾸기 : 예 (x,y,z) ↦ (z,y,x) | 자기 자신이 역대응. (Δx)²+(Δy)²+(Δz)²의 더하는 순서만 바뀜(덧셈의 교환법칙) |
| (다) 한 좌표의 부호 바꾸기 : 예 (x,y,z) ↦ (x,y,−z) | 자기 자신이 역대응. (−Δz)²=(Δz)² |
| (라) H, I가 동시에 0은 아닌 실수이고 r:=H²+I²>0일 때 : (x,y,z) ↦ (x, Hy+Izr, −Iy+Hzr) | (HΔy+IΔz)²+(−IΔy+HΔz)² = (H²+I²)((Δy)²+(Δz)²) (교차항 ±2HIΔyΔz가 지워짐)이므로 r²으로 나누면 (Δy)²+(Δz)² |
| (라)의 역대응 : (x,u,v) ↦ (x, Hu−Ivr, Iu+Hvr) | u, v에 (라)의 식을 넣으면 H(Hy+Iz)−I(−Iy+Hz)=(H²+I²)y, I(Hy+Iz)+H(−Iy+Hz)=(H²+I²)z이므로 r²으로 나누면 y, z로 돌아옴(반대 순서도 같은 계산) |
이 절의 약속. 일대일이고 모든 거리를 보존하는 대응 φ로 도형 S를 옮긴 도형 φ(S)는 S와 모양·크기가 같다(합동, 거울상 포함)고 봅니다. 방정식 F(x,y,z)=0에 새 좌표 (x′,y′,z′)=φ(x,y,z)를 넣어 G(x′,y′,z′)=0을 얻었다면, 점 P가 F=0을 만족하는 것과 φ(P)가 G=0을 만족하는 것은 같은 말이므로 φ는 F=0의 그래프를 G=0의 그래프 위로 옮깁니다. 그래서 이 절에서 «방정식의 그래프가 ○○면이다»는 «주장 ①의 대응을 몇 번 거듭해(거듭한 대응도 일대일이고 거리를 보존) ○○면의 표준형 그래프로 옮겨진다»는 뜻으로 씁니다.
주장 ②(단면의 좌표). 평면 z=z₀ 위의 점 (x,y,z₀)에 순서쌍 (x,y)를 대응시키면, 590번에서 Δz=0이므로 두 점 사이의 거리가 7.2 549번의 평면 거리와 같습니다. 따라서 그 평면 위 도형이 원·타원·쌍곡선·포물선인지는 (x,y)에 대한 방정식에 7.4−7.7을 그대로 써서 판정합니다(평면 x=x₀에서는 (y,z), 평면 y=y₀에서는 (x,z)로 같음). 평면에서도 (가)·(나)·(다)와 같은 좌표 바꾸기가 549번의 거리를 보존하므로, X, Y를 그 평면의 두 좌표라 하면 :
| X²α²+Y²β²=1 (α,β>0) | α>β이면 7.5 568번의 타원(a=α, b=β), α<β이면 X, Y의 이름을 바꾼 568번의 타원(장축이 Y 방향), α=β이면 7.4 560번의 원(반지름 α) |
| X²α²−Y²β²=1 (α,β>0) | 7.6 575번의 쌍곡선(a=α, b=β, 초점은 c=α²+β²으로 정함), 가로축 X |
| Y²=4pX (p≠0) | p>0이면 7.7 582번의 포물선, p<0이면 X축의 방향을 반대로 잡은((다)) 582번의 포물선(582번 자체가 «좌표축은 우리가 고른다»고 밝힘). 꼭짓점은 원점, 축은 X축 |
| X²α²+Y²β²=0, X²α²−Y²β²=0 | 앞의 것은 X=Y=0인 한 점(두 제곱의 합이 0), 뒤의 것은 차의 곱 공식으로 (Xα−Yβ)(Xα+Yβ)=0, 즉 원점에서 만나는 두 직선 Xα=±Yβ |
평면 위 평행이동((가)의 평면판)으로 중심·꼭짓점이 원점이 아닌 같은 꼴(예 : Y²=4p(X−X₀))도 같은 곡선입니다.
사용 : 7.8 f590번(공간의 거리 공식) · 7.2 f549번(평면의 거리 공식) · 7.4 f560번 · 7.5 f568번 · 7.6 f575번 · 7.7 f582번 · 차의 곱 공식
증명 끝
891정의 · 정리이차곡면의 일반형과 완전제곱에 의한 표준형Ax²+By²+Cz²+Gx+Hy+Iz+J=0 (D=E=F=0인 경우)
증명법 : 경우 나누기(완전제곱)
정의. A, B, C, D, E, F, G, H, I, J가 실수이고 A, B, C, D, E, F 중 적어도 하나가 0이 아닐 때, 다음 방정식의 그래프(해집합)를 이차곡면(quadric surface)이라 합니다 :
Ax²+By²+Cz²+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0
교차항 D, E, F가 0이 아니면 이 곡면의 대칭축이 좌표축에서 회전된 위치에 있다는 뜻입니다(7.4−7.6에서 이미 원·타원·쌍곡선의 «일반형»을 다룰 때 xy항이 회전을 나타냈던 것과 같은 구조). 회전을 소거해 표준형으로 되돌리려면 계수 행렬을 대각화해야 하는데, 이는 그 행렬의 고유값(eigenvalue)·고유벡터와 주축정리(principal axis theorem)가 필요한 계산으로, 챕터 5(행렬·행렬식)에서 다룬 결과(연산·행렬식·역행렬·크래머 공식)만으로는 아직 다룰 수 없습니다. 따라서 이 절은 7.4−7.7, 7.12와 같은 관례를 그대로 따라 D=E=F=0인 경우(좌표축과 나란한 «표준형»)만 다룹니다.
정리. D=E=F=0이라 하면, 방정식 Ax²+By²+Cz²+Gx+Hy+Iz+J=0(A, B, C 중 적어도 하나는 0이 아님)은 보조정리 ①의 대응(평행이동과 좌표 이름 바꾸기, 경우 4-2에서만 (라))으로 다음 다섯 골격 중 하나로 옮겨집니다 :
| 골격 (A) | αx²+βy²+γz²=K (α,β,γ 모두 0이 아님)―«중심형» |
| 골격 (B) | αx²+βy²=z (α,β 모두 0이 아님)―«포물면형» |
| 골격 (C) | αx²+βy²=K (α,β 모두 0이 아님, z는 방정식에 없음)―«기둥형» |
| 골격 (D) | y²=4px (p≠0, z는 방정식에 없음)―«포물기둥형» |
| 골격 (E) | x²=K (y, z는 방정식에 없음)―«평면형» |
A, B, C 중 0인 것의 개수로 경우를 나눕니다(D=E=F=0이고 A, ⋯, F 중 하나는 0이 아니므로 셋 다 0일 수는 없음). 0인 것이 하나 또는 둘일 때는 보조정리 ①의 (나)로 좌표 이름을 바꿔 0인 계수가 뒤쪽(C, 또는 B와 C)에 오게 해도 일반성을 잃지 않습니다.
| 경우 1―A,B,C 모두 0이 아닌 경우. 7.12 f611번의 완전제곱(각 변수의 계수로 묶고 (계수/2)²을 더하고 뺌)을 x,y,z 각각에 독립적으로 적용 : A(x+G2A)²−G²4A + B(y+H2B)²−H²4B + C(z+I2C)²−I²4C + J = 0 | A,B,C≠0이므로 세 항 모두 완전제곱 가능 |
| ∴ A(x−h)²+B(y−k)²+C(z−l)²=K (h,k,l,K는 A,⋯,J로 정해지는 상수) | 이항, h:=−G/2A, k:=−H/2B, l:=−I/2C, K:=−J+G²/4A+H²/4B+I²/4C |
| x′:=x−h, y′:=y−k, z′:=z−l로 치환(원점을 (h,k,l)로 옮기는 평행이동)하면 골격 (A) (α:=A, β:=B, γ:=C) | 보조정리 ①의 (가)(평행이동) |
| 경우 2―정확히 하나(C)가 0이고 z의 일차계수 I는 0이 아닌 경우. x, y에 대해서만(경우 1과 같은 방식으로) 완전제곱 : A(x−h)²+B(y−k)²+Iz+J′=0 (J′:=J−Ah²−Bk²) | C=0이므로 z²항이 없음; x, y만 완전제곱(Ah²=G²4A, Bk²=H²4B) |
| 양변을 −I로 나누면 −AI(x−h)²+−BI(y−k)² = z+J′I | I≠0이므로 나눌 수 있음 |
| x′:=x−h, y′:=y−k, z′:=z+J′I로 두면 골격 (B) (α:=−AI, β:=−BI — A, B≠0이므로 둘 다 0이 아님) | 보조정리 ①의 (가)(평행이동만 씀) |
| 경우 3―정확히 하나(C)가 0이고 I도 0인 경우. 경우 2와 같이 x, y만 완전제곱하면 A(x−h)²+B(y−k)²=K (K:=−J′) | C=I=0이므로 z가 방정식에 전혀 없음 |
| x′:=x−h, y′:=y−k (z는 그대로)로 두면 골격 (C) | 보조정리 ①의 (가) |
| 경우 4―정확히 둘(B, C)이 0인 경우. x만 완전제곱하면 A(x−h)²+Hy+Iz+J′=0 (J′:=J−Ah²) | A≠0; y², z²항이 없음 |
| 4-1 : H=I=0. (x−h)²=−J′A=:K, x′:=x−h로 골격 (E) | y, z가 방정식에 없음; 보조정리 ①의 (가) |
| 4-2 : H, I 중 적어도 하나가 0이 아님. r:=H²+I², u:=Hy+Izr, v:=−Iy+Hzr로 바꾸면 Hy+Iz=ru이므로 A(x−h)²+ru+J′=0 | 보조정리 ①의 (라)(거리를 보존하는 일대일대응); v는 방정식에 없음 |
| ∴ (x−h)² = −rA(u+J′r). x′:=x−h, u′:=u+J′r로 두면 x′²=4pu′ (p:=−r4A≠0) | 이항; 양변을 A로 나눔; 보조정리 ①의 (가) |
| 좌표 이름을 (x′, u′, v) → (y, x, z)로 바꾸면 골격 (D) | 보조정리 ①의 (나)를 두 번(H=0이나 I=0이면 (라)는 u=±z, u=±y로 이름 바꾸기와 같음) |
정규화(표준형으로). 각 골격은 0이 아닌 수로 양변을 나누고 보조정리 ①의 (나)(좌표 이름 바꾸기)·(다)(한 좌표의 부호 바꾸기)를 써서 다음 중 하나가 됩니다. 0이 아닌 계수 α에 대해 a:=1/|α|(즉 |α|=1/a²)처럼 a, b, c>0을 정합니다.
| (A), K≠0 | 양변을 K로 나눠 αx²+βy²+γz²=1 꼴로 : 양수 계수 3개 → 892 타원면 | 2개 → 음인 변수를 z로((나)) 893 일엽쌍곡면 | 1개 → 양인 변수를 z로((나)) 894 이엽쌍곡면 | 0개 → 좌변 ≤ 0 < 1이므로 공집합 |
| (A), K=0 | 세 계수가 같은 부호 → 원점 한 점(제곱의 합이 0) | 부호가 섞임 → 필요하면 양변에 −1을 곱해 양수 계수를 2개로 하고 음인 변수를 z로((나)) 897 이차원뿔면 |
| (B) | α, β가 같은 부호 → 둘 다 음이면 z를 −z로((다)) 바꿔 둘 다 양으로 : 895 타원포물면 | 다른 부호 → α>0>β가 되게 x, y 이름을 바꿈((나)) : 896 쌍곡포물면 |
| (C), K≠0 | 양변을 K로 나눠 αx²+βy²=1 꼴로 : 양수 2개 → 898 타원기둥 | 1개 → α>0이 되게((나)) 898 쌍곡기둥 | 0개 → 공집합 |
| (C), K=0 | 같은 부호 → 직선 하나(x=y=0, 즉 z축) | 다른 부호 → z축에서 만나는 두 평면 xa=±yb(차의 곱 공식) |
| (D) | p>0이면 그대로, p<0이면 x를 −x로((다)) : 898 포물기둥 y²=4px (p>0) |
| (E) | K>0 → 평행한 두 평면 x=±K | K=0 → 평면 x=0 하나 | K<0 → 공집합 |
이름이 붙은 9종(892−898) 밖의 경우―공집합·한 점·직선 하나·평면 한 장·평면 두 장(평행하거나 만남)―은 퇴화형이라 부르고 따로 정리로 세우지 않습니다. 892−898번은 위 표의 표준형 그 자체(원점이 중심 또는 꼭짓점)를 다룹니다.
사용 : 7.12 f611번(완전제곱에 의한 표준형 축소 기법) · 보조정리(거리를 보존하는 좌표 바꾸기) · 차의 곱 공식
증명 끝
892정의 · 정리타원면―세 좌표평면 방향 단면x²a²+y²b²+z²c²=1
증명법 : 직접증명법(대입, 보조정리 ①의 좌표 이름 바꾸기)
정의. a,b,c>0에 대해 다음 방정식의 그래프를 타원면(ellipsoid)이라 합니다―891번 정규화 표에서 골격 (A), K≠0, 양수 계수 3개인 경우입니다 :
x²a²+y²b²+z²c²=1
(3.39 f398번의 타원체는 이 곡면으로 둘러싸인 입체이고, 399번의 z 단면은 아래 첫 두 줄과 같은 계산입니다. 이 절의 증명은 3.39를 쓰지 않습니다.)
정리(단면). 좌표평면과 나란한 평면으로 자른 단면은 다음과 같습니다.
| z=z₀(−c<z₀<c) 대입 : x²a²+y²b² = 1−z₀²c² =: k² (k:=1−z₀²c²>0) | 직접 대입; |z₀|<c이므로 우변이 양수 |
| ∴ x²(ak)²+y²(bk)²=1―평면 z=z₀ 위에서 (0,0,z₀)이 중심이고 반지름 ak, bk인 타원(a=b이면 원) | 양변을 k²으로 나눔; 보조정리 ②(7.5 568번, 7.4 560번) |
| |z₀|=c이면 x²a²+y²b²=0 ⇔ x=y=0―한 점 (0,0,±c)(꼭짓점). |z₀|>c이면 우변이 음수―공집합 | 두 제곱의 합은 0 이상이고, 0이려면 각 항이 0 |
| x=x₀, y=y₀ 단면 : 방정식이 세 변수에 대해 같은 꼴이므로 x와 z(또는 y와 z)의 이름을 바꾸면 위 세 줄이 그대로 ― |x₀|<a에서 반지름 bk′, ck′(k′:=1−x₀²a²)인 타원, |x₀|=a에서 한 점 (±a,0,0), |x₀|>a에서 공집합. y=y₀도 같음 | 보조정리 ①의 (나)(a와 c의 역할도 함께 바뀜) |
따라서 타원면을 좌표평면과 나란한 평면으로 자르면 타원(또는 원)·한 점·공집합 중 하나이며, 곡면 전체는 |x|≤a, |y|≤b, |z|≤c인 상자 안에 있습니다. 여섯 점 (±a,0,0), (0,±b,0), (0,0,±c)를 꼭짓점이라 합니다. 넓이·부피 등 입체(타원체)의 결과는 3.39(f398−f400)에서 다룹니다.
사용 : 891번(정규화 표) · 보조정리 · 7.5 f568번(타원의 표준형) · 7.4 f560번(원)
증명 끝
893정의 · 정리일엽쌍곡면x²a²+y²b²−z²c²=1
증명법 : 경우 나누기(단면의 부호 판정)
정의. a,b,c>0에 대해 다음 방정식의 그래프를 일엽쌍곡면(hyperboloid of one sheet)이라 합니다―891번 정규화 표에서 골격 (A), K≠0, 양수 계수 2개인 경우입니다(음인 변수를 z로 둠) :
x²a²+y²b²−z²c²=1
정리(단면). 이 곡면을 좌표평면과 나란한 평면으로 자른 단면은 다음과 같습니다.
| z=z₀ 대입 : x²a²+y²b² = 1+z₀²c² (우변은 z₀값에 관계없이 항상 1 이상) | 직접 대입 |
| ∴ x²(aℓ)²+y²(bℓ)²=1 (ℓ:=1+z₀²c² ≥ 1, z₀=0에서만 ℓ=1) ―모든 z₀에서 존재하는 타원 | 양변을 ℓ²으로 나눔; 7.5 f568번(타원의 표준형) |
어느 높이 z₀를 잡아도 단면이 항상(공집합이 되는 일 없이) 존재한다는 것―그리고 ℓ≥1이므로 반지름이 항상 a,b 이상이고 z₀=0에서 가장 좁은 허리(반지름 a, b)가 된다는 것―은 이 곡면이 894번(이엽쌍곡면)처럼 두 조각으로 끊어지지 않고 하나로 이어진 «관(허리가 있는 통) 모양»임을 보여줍니다. 다음은 x=x₀ 단면입니다 :
| x=x₀ 대입 : y²b²−z²c² = 1−x₀²a² =: m | 직접 대입 |
| |x₀|<a (m>0) | y²(bm)²−z²(cm)²=1 ―쌍곡선(가로축 y; 보조정리 ②로 평면 x=x₀의 좌표 (y,z)에서 7.6 f575번) |
| |x₀|=a (m=0) | y²b²=z²c² ⇔ (yb−zc)(yb+zc)=0 ⇒ yb=zc 또는 yb=−zc ―평면 x=±a 위에서 점 (±a,0,0)을 지나는 두 직선(교차) |
| |x₀|>a (m<0) | z²(c|m|)²−y²(b|m|)²=1 ―쌍곡선(가로축이 z로 바뀜, 마찬가지로 7.6 f575번의 꼴) |
인수분해 y²b²−z²c²=(yb−zc)(yb+zc)는 차의 곱 공식 A²−B²=(A−B)(A+B)의 직접 적용입니다. y=y₀ 단면도 (x,y의 역할만 바꾸어) 완전히 대칭적인 세 경우로 나뉩니다―따라서 x=x₀, y=y₀ 방향의 단면은 네 평면 x=±a, y=±b에서만 직선쌍(각각 점 (±a,0,0), (0,±b,0)에서 만남)으로 퇴화하고, 그 외에는 항상 쌍곡선입니다.
사용 : 891번(정규화 표) · 보조정리 ② · 7.5 f568번(타원 표준형) · 7.6 f575번(쌍곡선 표준형) · 차의 곱 공식
증명 끝
894정의 · 정리이엽쌍곡면z²c²−x²a²−y²b²=1
증명법 : 경우 나누기(단면의 존재 여부 판정)
정의. a,b,c>0에 대해 다음 방정식의 그래프를 이엽쌍곡면(hyperboloid of two sheets)이라 합니다―891번 정규화 표에서 골격 (A), K≠0, 양수 계수 1개인 경우입니다(양인 변수를 z로 둠)―893번의 등식에서 우변을 −1로 바꾼 것과 같습니다 :
x²a²+y²b²−z²c²=−1 ⇔ z²c²−x²a²−y²b²=1
| z=z₀ 대입 : x²a²+y²b² = z₀²c²−1 =: n | 직접 대입 |
| |z₀|<c (n<0) | 좌변(두 제곱의 합)은 항상 0 이상인데 우변이 음수이므로 만족하는 실수 x,y가 없음―공집합(−c<z₀<c 범위에는 곡면이 전혀 없음) |
| |z₀|=c (n=0) | x²a²+y²b²=0 ⇔ x=y=0(두 제곱의 합이 0이려면 각 항이 0) ―한 점 (0,0,±c) ―두 조각(엽)의 꼭짓점 |
| |z₀|>c (n>0) | x²(an)²+y²(bn)²=1 ―타원(7.5 f568번) |
따라서 −c<z₀<c 범위(꼭짓점 사이)에는 곡면이 전혀 존재하지 않는 빈틈이 있고, z₀=±c인 두 점에서 비로소 시작해 |z₀|가 커질수록 점점 커지는 타원 단면을 갖는 두 개의 서로 떨어진 «그릇(bowl)» 모양 조각이 됩니다―893번(항상 이어짐)과 정반대의 구조입니다. x=x₀ 단면은 :
| x=x₀ 대입 : z²c²−y²b² = 1+x₀²a² =: p (x₀값에 관계없이 항상 p≥1>0) | 직접 대입(893번과 달리 우변이 항상 양수―세 가지로 나뉘지 않음) |
| ∴ z²(cp)²−y²(bp)²=1 ―쌍곡선(가로축 z; 보조정리 ②로 평면 x=x₀의 좌표 (z,y)에서 7.6 f575번) |
893번의 x=x₀ 단면은 |x₀|와 a의 대소에 따라 직선쌍으로 퇴화하는 경계가 있었지만, 이엽쌍곡면은 p=1+x₀²a²가 항상 1 이상(결코 0이 될 수 없음)이므로 x=x₀ 단면은 어떤 x₀에서도 예외 없이 쌍곡선입니다(퇴화하는 경우가 없음). y=y₀ 단면도 마찬가지로 항상 쌍곡선(가로축 z)입니다.
사용 : 891번(정규화 표) · 보조정리 ② · 7.5 f568번(타원 표준형) · 7.6 f575번(쌍곡선 표준형)
증명 끝
895정의 · 정리타원포물면z=x²a²+y²b²
증명법 : 경우 나누기
정의. a,b>0에 대해 다음 방정식의 그래프를 타원포물면(elliptic paraboloid)이라 합니다―891번 정규화 표에서 골격 (B), α, β가 같은 부호인 경우입니다(둘 다 양이 되게 z의 부호를 맞춤) :
z=x²a²+y²b²
| z=z₀ 대입 : x²a²+y²b²=z₀ | 직접 대입 |
| z₀<0 | 좌변≥0인데 우변이 음수―공집합 |
| z₀=0 | x²a²+y²b²=0 ⇔ x=y=0―한 점 (0,0,0), 이 곡면의 꼭짓점 |
| z₀>0 | x²(az₀)²+y²(bz₀)²=1―타원(7.5 f568번) |
따라서 이 곡면은 꼭짓점 O에서 시작해 z₀>0쪽으로만 열려 있고(z₀<0쪽은 전혀 존재하지 않음), 높이가 커질수록 단면 타원이 점점 커지는 «그릇(bowl)» 모양입니다. 다음은 x=x₀ 단면입니다 :
| x=x₀ 대입 : z−x₀²a²=y²b² ⇔ y²=b²(z−x₀²a²) | 직접 대입, y²에 대해 정리 |
이는 보조정리 ②(평면 x=x₀의 좌표 (y,z)에서 Y=y, X=z)의 Y²=4p(X−X₀) 꼴로, 4p:=b²>0, X₀:=x₀²a²이므로 7.7 f582번의 포물선을 z축 방향으로 x₀²a²만큼 평행이동한 것입니다. 즉 yz평면과 나란한 각 단면은 포물선이며, x₀가 0에서 멀어질수록(|x₀|가 커질수록) 포물선의 꼭짓점이 위로(z=x₀²a²) 밀려 올라갑니다. y=y₀ 단면도 대칭적으로 x²=a²(z−y₀²b²)인 포물선입니다.
사용 : 891번(정규화 표) · 보조정리 ② · 7.5 f568번(타원 표준형) · 7.7 f582번(포물선 표준형)
증명 끝
896정의 · 정리쌍곡포물면(안장면)z=x²a²−y²b²
증명법 : 경우 나누기
정의. a,b>0에 대해 다음 방정식의 그래프를 쌍곡포물면(hyperbolic paraboloid, 안장면)이라 합니다―891번 정규화 표에서 골격 (B), α, β가 다른 부호인 경우입니다 :
z=x²a²−y²b²
| z=z₀ 대입 : x²a²−y²b²=z₀ | 직접 대입 |
| z₀>0 | x²(az₀)²−y²(bz₀)²=1―쌍곡선(가로축 x, 7.6 f575번) |
| z₀=0 | x²a²−y²b²=0 ⇔ (xa−yb)(xa+yb)=0 ⇒ xa=±yb―원점을 지나는 두 직선(7.6 f577번의 점근선 방정식과 대수적으로 같은 꼴―다만 여기서는 극한이 아니라 z=0에서 실제로 나타나는 정확한 단면) |
| z₀<0 | y²(b|z₀|)²−x²(a|z₀|)²=1―쌍곡선(가로축이 y로 바뀜, 7.6 f575번) |
z₀의 부호가 바뀌면 쌍곡선의 가로축 방향(x↔y)이 정확히 뒤바뀌고, 그 경계인 z₀=0에서 직선쌍으로 퇴화합니다. 다음은 좌표평면과 나란한 나머지 두 방향의 단면입니다 :
| x=x₀ 대입 : z−x₀²a²=−y²b² ⇔ y²=−b²(z−x₀²a²) | 직접 대입 · 보조정리 ②의 Y²=4p(X−X₀)에서 4p=−b²<0―z축의 음의 방향으로 열린(위로 볼록한) 포물선, 꼭짓점 z=x₀²a² |
| y=y₀ 대입 : z+y₀²b²=x²a² ⇔ x²=a²(z+y₀²b²) | 직접 대입 · 4p=a²>0―z축의 양의 방향으로 열린(아래로 볼록한) 포물선, 꼭짓점 z=−y₀²b² |
x=x₀ 단면(yz평면 방향)은 위로 볼록한(아래로 열린) 포물선인데 y=y₀ 단면(xz평면 방향)은 아래로 볼록한(위로 열린) 포물선입니다(볼록의 용어는 3권 8.6과 같음: 아래로 볼록 = ∪ 모양)―한 방향으로는 위로, 다른 방향으로는 아래로 볼록해지는 이 성질이 원점 O를 안장점(saddle point)이라 부르는 이유이자, 이 곡면을 895번(모든 방향이 같은 쪽으로 볼록한 «그릇»)과 구별짓는 핵심입니다.
사용 : 891번(정규화 표) · 보조정리 ② · 7.6 f575번(쌍곡선 표준형)·f577번(점근선) · 7.7 f582번(포물선 표준형) · 차의 곱 공식
증명 끝
897정의 · 정리이차원뿔면x²a²+y²b²=z²c²
증명법 : 경우 나누기
정의. a,b,c>0에 대해 다음 방정식의 그래프를 이차원뿔면(elliptic cone, 원뿔면의 이차곡면판)이라 합니다―891번 정규화 표에서 골격 (A), K=0, 부호가 섞인 경우입니다(양수 계수 2개, 음인 변수를 z로)―893·894번과 같은 부호 조합의 경계 :
x²a²+y²b²=z²c²
893번(K=1)과 894번(K=−1)은 정확히 이 방정식의 우변 상수를 각각 +1, −1로 바꾼 것이므로, 이 곡면은 893·894번을 잇는 경계 곡면에 해당합니다(893번의 «허리»가 K→0에 따라 한 점으로 좁아지는 극한 위치, 또는 894번의 두 꼭짓점이 서로 만나 빈틈이 사라지는 위치로 이해할 수 있습니다).
| z=z₀≠0 대입 : x²a²+y²b²=z₀²c² ⇔ x²(a·|z₀|/c)²+y²(b·|z₀|/c)²=1 | 직접 대입, 양변을 z₀²/c²으로 나눔(z₀≠0이므로 나눗셈 가능) |
| z=0 대입 : x²a²+y²b²=0 ⇔ x=y=0 | 직접 대입, 두 제곱의 합이 0 |
따라서 z₀≠0인 모든 단면은 반지름 a|z₀|/c, b|z₀|/c인 타원(7.5 f568번)이고, z₀=0인 단면은 원점 하나(꼭짓점)입니다. 892−894번의 z 단면 반지름은 a1−z₀²/c², a1+z₀²/c², az₀²/c²−1 꼴로 z₀의 일차식이 아니지만, 여기서는 반지름이 |z₀|에 정확히 선형으로 비례합니다―이 선형 비례가 원뿔의 특징(밑면에서 꼭짓점까지 모든 단면이 서로 닮음)이며, 893·894번과 구별되는 대수적 차이입니다.
| x=0 대입 : y²b²=z²c² ⇔ yb=±zc ―원점을 지나는 두 직선 | 직접 대입, 차의 곱 공식(893번 x=±a 단면과 같은 형태) |
| x=x₀≠0 대입 : z²c²−y²b²=x₀²a²>0 ∴ z²(c|x₀|/a)²−y²(b|x₀|/a)²=1 ―쌍곡선(7.6 f575번) | 직접 대입 · x₀≠0이므로 우변이 항상 양수(893번처럼 세 경우로 나뉘지 않음); 보조정리 ②(가로축 z) |
따라서 x=0(또는 대칭적으로 y=0) 평면에서만 직선쌍으로 퇴화하고, 그 외의 x=x₀≠0 단면은 항상 쌍곡선입니다―이 «x=0에서만 퇴화»하는 성질은 894번(항상 쌍곡선, 결코 퇴화하지 않음)과 893번(|x₀|=a에서 퇴화) 사이의 중간적 성격을 보여줍니다.
참고 — 3.32 f356번(원뿔)과의 관계. a=b일 때 0≤z≤h인 부분은 꼭짓점이 원점, 높이 h, 밑면 반지름 ah/c인 3.32 f356번의 직원뿔의 옆면(꼭짓점과 밑면 둘레를 잇는 선분 전체)입니다. 이 절의 «이차원뿔면»은 그 옆면을 꼭짓점 기준으로 양쪽(z>0, z<0)으로 한없이 늘인 것(쌍대원뿔, double cone)이며, a≠b이면 단면이 원이 아니라 타원인 경우입니다. 이 문단은 비교일 뿐 위 증명에 쓰지 않습니다.
사용 : 891번(정규화 표, K=0) · 보조정리 ② · 7.5 f568번 · 7.6 f575번 · 차의 곱 공식 (참고 : 3.32 f356번)
증명 끝
898정의 · 정리이차원기둥―타원기둥·쌍곡기둥·포물기둥x²a²+y²b²=1, x²a²−y²b²=1, y²=4px
증명법 : 직접증명법
정의·정리. 891번 골격 (C)·(D)―z가 방정식에 전혀 등장하지 않는 경우―의 방정식은 x, y만의 방정식이므로, xy평면 위에서 그 방정식을 만족하는 점 (x₀,y₀)마다 z값에 무관하게 (x₀,y₀,z) 전체가 곡면 위에 있습니다(z가 자유변수). 즉 이 곡면은 xy평면 위의 그 곡선을 z축과 나란한 방향으로 평행이동시켜 쓸어나간 자취―기둥면(cylinder)―입니다. 891번 정규화 표에서 이름이 붙는 것은 다음 세 가지입니다(곡선의 판정은 보조정리 ②) :
| 타원기둥 (elliptic cylinder) | x²a²+y²b²=1 ―7.5 f568번의 타원(a=b이면 7.4 f560번의 원, 원기둥)을 z축 방향으로 평행이동 |
| 쌍곡기둥 (hyperbolic cylinder) | x²a²−y²b²=1 ―7.6 f575번의 쌍곡선을 z축 방향으로 평행이동 |
| 포물기둥 (parabolic cylinder) | y²=4px ―7.7 f582번의 포물선을 z축 방향으로 평행이동 |
| (x₀,y₀)가 위 2차원 방정식(예 : 타원기둥의 x²a²+y²b²=1)을 만족한다고 하자. 임의의 z에 대해 점 (x₀,y₀,z)를 이차곡면의 일반형 골격 (C)·(D)의 방정식(z가 없음)에 대입하면, z항이 아예 없으므로 좌변의 값은 z에 관계없이 (x₀,y₀)만으로 결정됨 | 골격 (C)·(D)에는 z가 없음 |
| ∴ (x₀,y₀)가 2차원 방정식을 만족 ⇔ 모든 z에 대해 (x₀,y₀,z)가 이차곡면의 방정식을 만족 | 위 줄의 값이 z에 무관하므로, 0이 되는지 여부도 z에 무관 |
따라서 이 곡면은 정확히 «xy평면 위 2차원 곡선 × z∈ℝ»(직선들의 합집합)이며, z=z₀ 평면으로 잘라도 언제나 z₀와 무관하게 합동인 같은 모양의 단면이 나옵니다―892−897번(단면의 크기가 자르는 위치에 따라 달라짐)과 대비되는 이 기둥면류의 고유한 특징입니다. (a=b인 타원기둥이 원기둥입니다. 골격 (C)·(E)의 퇴화형―직선 하나, 만나는 두 평면, 평행한 두 평면, 평면 한 장, 공집합―도 같은 이유로 z축 방향의 기둥 꼴이지만 891번 정규화 표에서처럼 따로 이름을 붙이지 않습니다.)
사용 : 891번(골격 (C)·(D), 정규화 표) · 보조정리 ② · 7.4 f560번(원) · 7.5 f568번(타원) · 7.6 f575번(쌍곡선) · 7.7 f582번(포물선)
증명 끝
899정리—활용활용―일반형→표준형 축소와 9종 분류표36x²+16y²−9z²−72x+32y+36z−128=0
예제 1(골격 (A), 891번 경우 1). 36x²+16y²−9z²−72x+32y+36z−128=0으로 주어진 이차곡면을 표준형으로 축소하고 분류합니다.
| 36(x²−2x)+16(y²+2y)−9(z²−4z)=128 | 계수별로 묶음(891번 경우 1의 절차) |
| 36(x−1)²−36+16(y+1)²−16−9(z−2)²+36=128 | 완전제곱(7.12 f611번과 같은 기법을 세 변수에 반복) |
| 36(x−1)²+16(y+1)²−9(z−2)²=128+36+16−36=144 | 이항 |
| ∴ (x−1)²4+(y+1)²9−(z−2)²16=1 (양변을 144로 나눔) | a²=14436=4, b²=14416=9, c²=1449=16 |
부호 조합(두 양항 + 한 음항, 우변이 양의 항과 같은 부호인 +1)이 893번(일엽쌍곡면)과 정확히 일치합니다―중심 (1,−1,2), a=2, b=3, c=4인 일엽쌍곡면입니다. 검산 : 표준형에서 x′=a=2(즉 x=3), y′=z′=0(즉 y=−1, z=2)인 점 (3,−1,2)를 원래 일반형에 대입하면 36·9+16·1−9·4−72·3+32·(−1)+36·2−128 = 324+16−36−216−32+72−128 = 0으로 정확히 일치합니다.
예제 2(골격 (B), 891번 경우 2). 9x²+4y²−36x+8y−36z+76=0을 표준형으로 축소합니다.
| 9(x²−4x)+4(y²+2y)=36z−76 | 계수별로 묶음(z는 일차항 −36z뿐이므로 완전제곱 대상에서 제외―891번 경우 2) |
| 9(x−2)²−36+4(y+1)²−4=36z−76 | 완전제곱(x,y만) |
| 9(x−2)²+4(y+1)²=36z−76+36+4=36z−36=36(z−1) | 이항 |
| ∴ (x−2)²4+(y+1)²9=z−1 | 양변을 36으로 나눔(a²=369=4, b²=364=9) |
부호 조합(α, β 모두 양)이 895번(타원포물면)과 일치합니다―꼭짓점 (2,−1,1), a=2, b=3인 타원포물면입니다. 검산 : 꼭짓점 (2,−1,1)과 (x,y)=(4,−1)(∴ (x−2)²4=1)에서 z=2가 되어야 하는 점 (4,−1,2)를 각각 원래 일반형에 대입하면 9·4+4·1−36·2+8·(−1)−36+76=36+4−72−8−36+76=0, 9·16+4·1−36·4+8·(−1)−72+76=144+4−144−8−72+76=0으로 둘 다 정확히 일치합니다.
892−898번 분류표. 891번의 다섯 골격과 정규화 표를 기준으로 정리하면 :
| 골격 | 명칭 | 표준형 |
| (A) (중심형) | 892 타원면 | x²a²+y²b²+z²c²=1 (세 부호 모두 동일) |
| 893 일엽쌍곡면 | x²a²+y²b²−z²c²=1 (혼합 부호, K는 양항과 동일 부호) | |
| 894 이엽쌍곡면 | x²a²+y²b²−z²c²=−1 (혼합 부호, K는 음항과 동일 부호) | |
| 897 이차원뿔면 | x²a²+y²b²=z²c² (혼합 부호, K=0인 경계) | |
| (B) (포물면형) | 895 타원포물면 | z=x²a²+y²b² (α, β 같은 부호) |
| 896 쌍곡포물면 | z=x²a²−y²b² (α, β 다른 부호) | |
| (C) (기둥형) | 898 타원기둥 | x²a²+y²b²=1 |
| 898 쌍곡기둥 | x²a²−y²b²=1 | |
| (D) (포물기둥형) | 898 포물기둥 | y²=4px (p>0) |
| (A)(C)(E)의 나머지 | 퇴화형 | 공집합 · 한 점 · 직선 하나 · 평면 한 장 · 평면 두 장(평행하거나 만남) (891번 정규화 표) |
사용 : 891−898번 전체 · 보조정리
증명 끝
참조 그림
(1) 893번―일엽쌍곡면의 3D 참고 도형(오블리크 투영, a=b=2, c=3인 회전대칭의 경우로 예시). 파란 원은 허리 단면(z=0), 빨간 곡선들은 자오선(x=x₀ 또는 y=y₀ 단면에 나타나는 쌍곡선)입니다―모든 수평 단면이 항상 존재해(892번처럼 이어짐) 관 모양을 이룹니다. 증명 자체는 이 참고 그림이 아니라 본문의 대수적 단면 분석에 근거합니다.
(2) 894번―이엽쌍곡면의 3D 참고 도형(오블리크 투영, a=b=2, c=2.4인 회전대칭의 경우로 예시). 두 꼭짓점(초록 점) 사이(|z|<c)에는 곡면이 전혀 없는 빈틈이 있어, 893번과 달리 서로 떨어진 두 조각(그릇 모양)입니다.
(3) 895번―타원포물면의 3D 참고 도형(오블리크 투영, a=b=1.6인 회전대칭의 경우로 예시). 꼭짓점 O에서 시작해 z>0쪽으로만 열리는 그릇 모양입니다.
(4) 896번―쌍곡포물면(안장면)의 3D 참고 도형(오블리크 투영, a=b=2). 빨간 곡선은 y=y₀ 단면(위로 볼록한 포물선), 파란 곡선은 x=x₀ 단면(아래로 볼록한 포물선), 검은 두 직선은 z=0 단면(원점을 지나는 점근선 x/a=±y/b)입니다―한 방향은 볼록, 다른 방향은 오목이 되는 안장 구조가 그대로 드러납니다.