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10.1   대학 과정

1계 상미분방정식

First Order Ordinary Differential Equations

정의 · 공식과 증명

이 절부터 챕터 10(미분방정식)이 시작됩니다. 9장(적분법)에서 확립한 부정적분(9.1)의 계산 기법을 도구로 삼아, 미지함수와 그 도함수 사이의 관계식―미분방정식―을 실제로 풀어내는 방법을 다룹니다. 먼저 미분방정식·계수·해·초기값문제 등의 용어를 정리(977번)하고, 국소적 존재·유일성에 관한 표준 정리(978번, 결과만 인용)를 배경으로 언급한 뒤, 명시적으로 풀 수 있는 네 가지 표준 유형―변수분리형(979)· 1계 선형(980)·완전미분방정식(981–982)·동차 및 베르누이형(983–984, 각각 979번과 980번으로 환원)―을 차례로 다룹니다. 이 절 전체에서 8.9(편도함수)의 표기와 9.13 972번(클레로 정리, 혼합편도함수의 교환)이 완전미분방정식(981–982번)의 이론적 근거로 재사용됩니다.

977정의미분방정식·계수·해·일반해와 특수해·초기값문제F(x, y, y′, …, y⁽ⁿ⁾) = 0

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 미지함수 y=y(x)와 그 도함수 y′, y″, …, y⁽ⁿ⁾(8.5 f663의 n계도함수)을 포함하는 방정식

F(x,  y,  y′,  …,  y⁽ⁿ⁾) = 0

를 상미분방정식(ordinary differential equation, ODE)이라 합니다―미지함수가 오직 하나의 독립변수 x만의 함수이기 때문에 «상»(ordinary)이 붙으며, 미지함수가 여러 독립변수의 함수이고 편도함수(8.9 f908)가 나타나는 경우는 편미분방정식(partial differential equation, PDE)이라 불러 구별합니다(10.3에서 다룹니다). 방정식에 실제로 나타나는 도함수 중 가장 높은 계수(order)를 그 미분방정식의 계수(order)라 합니다. 이 절에서는 계수가 1인 1계 상미분방정식

y′ = f(x,y)  또는  M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0  (N≠0인 곳에서 서로 같은 뜻―8.7 f682의 미분 dx·dy 표기로 y′=−MN)

형태만을 다룹니다. 구간 I에서 정의된 함수 y=φ(x)가 I의 모든 점에서 방정식을 항등적으로 만족시키면 (즉 방정식에 대입한 등식이 I의 모든 x에서 성립하면) φ를 그 방정식의 I에서의 해(solution)라 합니다. 임의의 상수 C를 포함해 전형적으로 무수히 많은 해를 한꺼번에 나타내는 표현을 일반해(general solution)라 하고, C에 특정한 값을 대입해 얻는 개개의 해를 특수해(particular solution)라 합니다. 미분방정식과 함께 한 점에서의 값 y(x₀)=y₀가 지정된 문제를 초기값문제(initial value problem, IVP)라 부릅니다.

사용 : 8.5의 663번(n계도함수) · 8.7의 682번(미분 dx·dy의 표기) · 8.9의 908번(편도함수)

978정리초기값문제의 국소적 존재·유일성y′=f(x,y),  y(x₀)=y₀  ⇒  x₀ 근방에서 유일한 해가 존재(적당한 조건 아래)

증명법 : 존재를 실제로 구성(오일러 절선법의 극한으로 직관 설명, 완전한 증명은 university-note)

1계 상미분방정식 y′=f(x,y)와 초기조건 y(x₀)=y₀가 주어졌다고 합시다. f가 (x₀,y₀)의 어떤 사각형 근방에서 연속이면, 그 점을 지나는 기울기장(각 점 (x,y)에 f(x,y)를 기울기로 하는 짧은 선분을 얹은 그림―아래 979번 그림 참고)을 따라 x₀에서 시작해 아주 작은 간격 h로 접선을 이어 붙이는 오일러 절선법(Euler’s method)으로 근사곡선을 만들 수 있고, h→0일 때 이 근사곡선들이 (부분수열을 취하면) 어떤 극한곡선으로 수렴해 실제로 방정식과 초기조건을 만족시킨다는 것이 알려져 있습니다― 이것이 해의 존재입니다. 그러나 f가 연속이라는 것만으로는 유일성이 보장되지 않습니다―예를 들어 y′=y¹³, y(0)=0은 y≡0과 y=(2x3)³²(x≥0에서, x<0에서는 y=−(−2x3)³²) 두 개의 서로 다른 해를 동시에 갖습니다(둘 다 x=0에서 0이고, 미분 검산법(9.1 f692과 같은 방식)으로 직접 확인할 수 있습니다).

대학 유일성까지 보장하려면 f가 y에 대해 립시츠 조건(Lipschitz condition―|f(x,y₁)−f(x,y₂)|≤L|y₁−y₂|인 상수 L의 존재, 위 반례의 f(x,y)=y¹³은 y=0 근처에서 이 조건을 만족하지 못합니다)을 추가로 만족해야 합니다. 이 조건 아래 국소적 존재·유일성을 보장하는 것이 피카르–린델뢰프 정리(Picard–Lindelöf theorem, 코시–립시츠 정리라고도 함)이며, 표준적인 증명은 방정식을 y(x)=y₀+∫f(t,y(t))dt 꼴의 적분방정식으로 바꾼 뒤 바나흐 고정점 정리(축소사상 정리, 완비거리공간―여기서는 연속함수의 공간―에서의 반복법)를 적용하는 함수해석학의 논증입니다. f의 연속성만으로 존재성(유일성은 없이)만 보장하는 더 약한 결과는 페아노의 존재정리(Peano existence theorem)라 불립니다. 두 정리 모두 이 사이트의 범위를 넘어서므로 결과만 인용하며, 이어지는 979–985번은 명시적으로 풀리는(따라서 해의 존재가 그 풀이 과정 자체에서 확인되는) 표준적인 유형만을 다룹니다.

증명 끝

979정리변수분리형 방정식의 풀이y′ = f(x)g(y)  ⇒  ∫1g(y)dy = ∫f(x)dx + C

증명법 : 쌍조건문의 증명(양방향)(8.3의 연쇄법칙과 8.4의 역함수 미분법으로 직접 확인)

1계 상미분방정식이 y′=f(x)g(y) 꼴(변수 x, y가 서로 다른 인수로 완전히 «분리»되는 형태)이고, 고려하는 구간 I₂에서 g가 연속이고 g≠0이라 합시다(그러면 g는 8.6 f673의 논증―연속함수가 부호를 바꾸려면 사잇값의 정리로 0을 지나야 하는데 그것이 불가능하므로―에 의해 I₂에서 항상 같은 부호입니다). f는 x의 구간 I₁에서 연속이라 하고,

F(x) := ∫f(x)dx,    G(y) := ∫1g(y)dy

를 9.1 f691(부정적분의 정의)이 보장하는 각각의 한 원시함수라 둡니다(9.1 f692에 의해 F′=f, G′=1g). g가 I₂에서 부호가 일정하므로 G′=1g도 부호가 일정하고, 8.6 f673에 의해 G는 I₂에서 강한 단조함수이며, 8.1 f624에 의해 G는 일대일함수―즉 국소적으로(치역 위에서) 역함수 G⁻¹을 가지며, 8.4 f659(역함수의 미분법)에 의해 그 역함수는 미분가능합니다.

(⇒) y=φ(x)가 방정식의 해이면 G(φ(x))−F(x)는 상수. h(x):=G(φ(x))−F(x)라 두면, 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해

h′(x) = G′(φ(x))φ′(x) − F′(x) = 1g(φ(x))·f(x)g(φ(x)) − f(x) = f(x)−f(x) = 0

가 I₁의 모든 점에서 성립합니다(두 번째 등호는 φ′(x)=f(x)g(φ(x))―φ가 해라는 가정). 8.6 f673에 의해 h는 상수이고, 그 값을 C라 하면 G(φ(x))=F(x)+C입니다.

(⇐) G(y)=F(x)+C가 y를 x의 함수로 (음적으로) 정하면 그 y는 방정식의 해. 위에서 G가 국소적으로 역함수를 가짐을 보였으므로, φ(x):=G⁻¹(F(x)+C)로 정의된 (미분가능한) 함수가 존재합니다. 정의에 의해 G(φ(x))=F(x)+C이고, 양변을 x에 대해 미분하면(좌변은 8.3 f651 연쇄법칙)

G′(φ(x))φ′(x) = F′(x)   ⇒   1g(φ(x))φ′(x) = f(x)   ⇒   φ′(x) = f(x)g(φ(x))

이므로 φ는 방정식의 해입니다.

dydx=xy(f(x)=x, g(y)=y인 변수분리형)의 기울기장(회색 짧은 선분―각 격자점에서 실제 기울기 xy를 그대로 계산해 대입)과 세 해곡선 y=Ce^x²/2(C=0.15, 0.4, −0.15). 어느 해곡선을 골라도 그 위의 각 점에서 접선의 방향이 그 점의 기울기장 화살표와 정확히 일치합니다(978번의 «기울기장을 따라간다»는 설명을 이 구체적인 예로 시각화).

사용 : 9.1의 691번· 692번(부정적분의 정의와 성질) · 8.3의 651번(연쇄법칙) · 8.6의 673번(도함수의 부호와 단조성) · 8.1의 624번(단조함수는 일대일함수) · 8.4의 659번(역함수의 미분법)

증명 끝

980정의·정리1계 선형미분방정식과 적분인자y′+P(x)y=Q(x)   μ(x):=e^∫P(x)dx   ⇒   y = ∫μ(x)Q(x)dx+Cμ(x)

P, Q가 구간 I에서 연속인 함수일 때

y′ + P(x)y = Q(x)

형태의 방정식을 1계 선형미분방정식이라 합니다―y, y′에 대해 일차식(선형)이기 때문입니다. 9.1 f691에 의해 P의 한 원시함수 u(x):=∫P(x)dx가 존재하고(9.1 f692에 의해 u′=P), 이를 이용해

μ(x) := e^u(x) = e^∫P(x)dx

를 이 방정식의 적분인자(integrating factor)라 정의합니다. 정의이므로 이 부분은 증명 대상이 아닙니다.

증명법(풀이 공식) : 직접증명법(양변에 μ를 곱해 «곱의 미분법을 거꾸로» 알아보는 형태로 재구성)

① μ′=μP. 8.3 f651(연쇄법칙)을 μ=e^u(x)에 적용하고 8.4 f657((e^x)′=e^x)을 쓰면

μ′(x) = e^u(x)·u′(x) = μ(x)P(x)

이고, 지수함수는 항상 양수이므로 μ(x)>0(따라서 μ≠0)이 모든 x∈I에서 성립합니다.

② (μy)′=μQ. y가 원래 방정식의 해라고 가정합니다. 8.3 f649(곱의 미분법)와 ①에 의해

(μy)′ = μ′y + μy′ = μPy + μy′ = μ(y′+Py) = μQ

이며, 마지막 등호는 원래 방정식 y′+Py=Q를 대입한 것입니다. 즉 양변에 적분인자 μ를 곱하면 좌변이 정확히 (μy)의 도함수가 됩니다―이것이 «적분인자»라는 이름의 이유입니다.

③ 적분해서 y에 대해 정리. 9.1 f691에 의해 양변을 부정적분하면

μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx + C

이고, ①에서 확인했듯 μ≠0이므로

y = ∫μ(x)Q(x)dx+Cμ(x)

가 원래 방정식의 일반해입니다. 역으로 이 y를 원래 방정식에 대입하면(②의 계산을 거꾸로 읽으면) 실제로 방정식이 성립함을 확인할 수 있어, 이 y가 진짜로 해집합 전체를 나타냄이 보장됩니다.

사용 : 9.1의 691번· 692번 · 8.3의 649번· 651번 · 8.4의 657번

증명 끝

981정의·정리완전미분방정식과 그 필요조건M(x,y)dx+N(x,y)dy=0이 완전  ⇒  M_y=N_x

M, N이 어떤 영역 D에서 연속인 편도함수를 갖는다고 합시다(8.9 f908). 만약 D에서 정의된 어떤 함수 F(x,y)(F_x, F_y가 연속인)가 존재해

F_x = M,    F_y = N  (D의 모든 점에서)

를 만족시키면, 방정식 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0을 완전미분방정식(exact differential equation)이라 하고 F를 그 퍼텐셜함수라 합니다. 정의이므로 이 부분은 증명 대상이 아닙니다―벡터장 언어로는 9.12 f957의 (M,N)이 «보존장»(9.12 f960)이라는 것과 정확히 같은 말입니다.

증명법(필요조건) : 직접증명법(972번의 클레로 정리를 그대로 적용)

M dx+N dy=0이 F를 퍼텐셜함수로 갖는 완전미분방정식이고, F의 2계 혼합편도함수 F_xy, F_yx가 D에서 연속이라 합시다(F_x=M의 y에 대한 편도함수가 F_xy=M_y이고 F가 연속인 2계 편도함수를 가진다는 것은 M_y가 연속이라는 것과 같은 말이므로, 이는 M, N에 대한 자연스러운 매끄러움 가정입니다). 그러면

M_y = (F_x)_y = F_xy 그리고 N_x = (F_y)_x = F_yx

이고, 9.13 f972(클레로의 정리, 혼합편도함수의 교환 F_xy=F_yx―이 사이트에서 이미 증명해 둔 결과)에 의해

M_y = F_xy = F_yx = N_x

입니다.

이 필요조건 M_y=N_x는 9.12 f963(보존장의 필요조건)이 벡터장 F=(M,N)에 대해 이미 증명해 둔 것과 같은 조건입니다―M dx+N dy=0이 완전(exact)하다는 것과 평면벡터장 (M,N)이 보존장(conservative)이라는 것은 같은 현상을 두 가지 언어로 말한 것에 지나지 않습니다. 다음 982번에서는 이 조건이 충분조건이기도 함(직사각형 영역 위에서)을 직접 구성적으로 증명합니다―9.12 f963의 university-note가 지적했듯 그 역이 성립하려면 영역이 단순연결(간단히는 직사각형처럼 «구멍이 없는» 모양)이어야 합니다.

사용 : 8.9의 908번(편도함수) · 9.13의 972번(클레로 정리) · 9.12의 957번· 960번· 963번(벡터장·보존장 이론과의 대응)

증명 끝

982정리완전미분방정식의 충분조건과 퍼텐셜함수의 구성M_y=N_x(직사각형 위에서)  ⇒  F(x,y)=∫M dx + h(y) 꼴의 퍼텐셜함수 존재

증명법 : 존재를 실제로 구성(x에 대해 한 번, y에 대해 한 번, 두 번의 보통 적분만으로 F를 조립)

M, N이 직사각형 D=(a,b)×(c,d)에서 연속인 편도함수를 가지고, D의 모든 점에서 M_y=N_x가 성립한다고 합시다. y를 상수로 고정할 때마다 x↦M(x,y)는 x에 대한 연속함수이므로, 9.1 f691에 의해 (y를 매개변수로 포함하는) 한 원시함수

F₀(x,y) := ∫M(x,y)dx  (y를 상수로 취급하고 x에 대해서만 적분―8.9 f908의 편미분과 정확히 반대 방향의 연산)

를 잡을 수 있습니다(∂F₀/∂x = M). 이제

g(x,y) := N(x,y) − ∂F₀∂y(x,y)

라 두고, g가 사실은 x에 무관함을 보입니다:

∂g∂x = Nx − ∂∂x ∂F₀∂y	정의 그대로 미분
= Nx − ∂∂y ∂F₀∂x = Nx − My	9.13 f972(클레로 정리)로 편미분 순서 교환, ∂F₀/∂x=M
= 0	가정 My=Nx

D는 직사각형이므로 각 고정된 y에 대해 x↦g(x,y)는 구간 (a,b) 위에서 정의되고, ∂g/∂x≡0이므로 8.6 f673에 의해 이 함수는 x에 대해 상수입니다―즉 g(x,y)의 값은 x에 의존하지 않고 오직 y에만 의존하며, 이를 h′(y):=g(x,y) (어떤 x를 골라도 같은 값)라 씁니다. h′은 N, ∂F₀/∂y가 연속이므로 연속이고, 9.1 f691에 의해 한 원시함수 h(y):=∫h′(y)dy가 존재합니다. 이제

F(x,y) := F₀(x,y) + h(y)

로 정의하면, ∂h/∂x=0(h가 y만의 함수이므로)이라 F_x=∂F₀/∂x+0=M이고,

F_y = ∂F₀∂y + h′(y) = ∂F₀∂y + (N−∂F₀∂y) = N

이므로 F는 실제로 M dx+N dy=0의 퍼텐셜함수입니다. 981번에 의해 이 방정식의 (음적) 일반해는 F(x,y)=C입니다―해곡선을 따라가면 8.9 f912(다변수 연쇄법칙)에 의해 ddx[F(x, y(x))]=F_x+F_yy′=M+Ny′이고, 이것이 항등적으로 0이라는 것이 정확히 원래 방정식 Mdx+Ndy=0이기 때문입니다.

[풀이 절차 요약] ① M을 x에 대해 (y를 상수로) 적분해 F₀(x,y)+h(y) 꼴을 만든다. ② F₀를 y에 대해 편미분해 N과 비교, h′(y)를 얻는다. ③ h′(y)를 y에 대해 적분해 h(y)를 구한다. ④ F(x,y)=F₀(x,y)+h(y)=C가 일반해.

완전미분방정식 (2xy+3)dx+(x²−1)dy=0의 예―M_y=2x=N_x(완전함을 확인)이고 F₀=∫(2xy+3)dx=x²y+3x+h(y), F_y=x²+h′(y)=N=x²−1에서 h′(y)=−1, h(y)=−y. 퍼텐셜함수 F(x,y)=x²y+3x−y이고, 해곡선(색 실선)은 정확히 F=C의 등위선(982번의 결론)입니다. 회색 짧은 선분은 각 점에서의 실제 기울기 y′=−MN을 그대로 계산해 얹은 기울기장―해곡선의 접선 방향과 어디서나 일치합니다.

사용 : 981번 · 9.1의 691번 · 9.13의 972번(클레로 정리) · 8.6의 673번(도함수 0⇒상수) · 8.9의 908번· 912번

증명 끝

983정의·정리동차미분방정식y′=f(yx)   v:=yx  ⇒   xdvdx = f(v)−v (변수분리형, 979번)

우변이 yx라는 비 하나만의 함수로 쓸 수 있는 방정식

y′ = f(yx)  (x≠0)

을 동차미분방정식(homogeneous differential equation)이라 합니다―여기서 «동차»는 (예를 들어 5.3의 동차연립방정식처럼) 우변이 0이라는 뜻이 아니라, 우변을 이루는 식이 x,y에 대해 같은 차수로 비례하는 성질―구체적으로는 M(tx,ty)=t^kM(x,y) 꼴―에서 비롯된 이름임을 주의해야 합니다. 정의이므로 이 부분은 증명 대상이 아닙니다.

증명법(치환에 의한 환원) : 직접증명법

새로운 미지함수 v=v(x)를 y=v(x)x, 즉 v:=yx로 정의합니다. 8.3 f649(곱의 미분법)에 의해

y′ = v′x + v

이고, 이를 원래 방정식 y′=f(yx)=f(v)에 대입하면

v′x + v = f(v)   ⇒   xdvdx = f(v) − v   ⇒   1f(v)−vdv = 1xdx  (f(v)≠v인 곳에서)

를 얻는데, 이는 v와 x가 완전히 분리된 979번 꼴의 변수분리형입니다. 979번으로 v(x)를 구한 뒤 y=v(x)x로 되돌리면 원래 방정식의 해를 얻습니다. f(v)≡v인 경우(즉 f가 항등함수)는 원래 방정식이 y′=yx가 되어 979번(또는 980번, P(x)=−1x, Q≡0)으로 직접 y=Cx(원점을 지나는 직선들)를 얻는 퇴화된 특수한 경우입니다.

사용 : 979번(변수분리형) · 8.3의 649번(곱의 미분법)

증명 끝

984정의·정리베르누이 방정식y′+P(x)y=Q(x)yⁿ (n≠0,1)   v:=y¹⁻ⁿ  ⇒   v′+(1−n)P(x)v=(1−n)Q(x) (980번 꼴)

P, Q가 연속이고 n≠0,1인 실수일 때(n=0 또는 1이면 방정식은 이미 980번의 선형 형태이므로 제외합니다)

y′ + P(x)y = Q(x)yⁿ

꼴의 방정식을 베르누이 방정식(Bernoulli equation)이라 합니다. 정의이므로 이 부분은 증명 대상이 아닙니다. (n이 정수가 아니면 yⁿ 자체가 y>0에서만 정의되므로―8.4 f662(일반 실수 거듭제곱함수)의 정의역 제한―아래 치환도 y>0인 구간에서 다룹니다. n이 정수이면 이 제한 없이 8.4 f653(정수 지수)이 적용됩니다.)

증명법(치환에 의한 환원) : 직접증명법

새로운 미지함수 v:=y¹⁻ⁿ을 도입합니다. 8.3 f651(연쇄법칙)과 8.4 f662(또는 정수 지수이면 f653)에 의해

dvdx = (1−n)y⁻ⁿy′

이고, 원래 방정식에서 y′=Q(x)yⁿ−P(x)y를 대입하면

dvdx = (1−n)y−n(Qyn−Py)	위 대입
= (1−n)Q − (1−n)Py1−n	y−nyn=1, y−ny=y1−n(지수법칙)
= (1−n)Q − (1−n)Pv	v=y1−n의 정의

즉

dvdx + (1−n)P(x)v = (1−n)Q(x)

는 v에 대한 980번 꼴의 1계 선형미분방정식입니다―980번으로 v(x)를 구한 뒤 y=v(x)¹¹⁻ⁿ으로 되돌리면 원래 방정식의 해를 얻습니다.

사용 : 980번(1계 선형과 적분인자) · 8.3의 651번 · 8.4의 662번· 653번

증명 끝

985정리—활용네 가지 유형의 종합 계산 예

979–984번의 네 가지 방법을 각각 하나의 초기값문제로 적용하고, 9.1 f692의 미분 검산법(해를 원래 방정식에 직접 대입해 확인)으로 재검산합니다.

① 변수분리형(979번) : y′=xy, y(0)=2.

1ydy = x dx   ⇒   ln|y| = x²2+C₁   ⇒   y = Ce^x²/2

y(0)=2에서 C=2, 즉 y=2e^x²/2. 검산 : y′=2e^x²/2·x=xy. ✓

② 1계 선형(980번) : y′+1xy=3x (x>0), y(1)=1.

P(x)=1x이므로 9.1 f695에 의해 ∫P(x)dx=ln x(x>0이므로 절댓값 불필요), 적분인자 μ=e^{ln x}=x.

(xy)′ = x·3x = 3x²   ⇒   xy = x³+C   ⇒   y = x²+Cx

y(1)=1에서 1+C=1, C=0, 즉 y=x². 검산 : y′=2x, 2x+x²/x=2x+x=3x. ✓

③ 동차형(983번) : y′=x+yx=1+yx (x>0).

v=yx, y′=v′x+v를 대입하면 v′x+v=1+v, 즉 v′=1x―변수분리형(979번)으로

v = ∫1xdx = ln x + C   ⇒   y = x(ln x + C)

검산 : y′=ln x+C+x·1x=ln x+C+1,   x+yx=1+yx=1+ln x+C. ✓

④ 베르누이형(984번) : y′−y=xy² (n=2).

v:=y¹⁻²=y⁻¹이라 두면 984번에 의해 v′+(1−2)(−1)v=(1−2)x, 즉

v′ + v = −x

가 980번 꼴의 선형방정식(P≡1, Q=−x)이고, 적분인자 μ=e^x이므로

(e^xv)′ = −xe^x   ⇒   e^xv = −(x−1)e^x+C   ⇒   v = 1−x+Ce^−x

(중간의 ∫xe^xdx=(x−1)e^x+C₁는 9.6 f723과 같은 종류의 계산―8.3 f649 곱의 미분법을 거꾸로 검산). v=1y이므로

y = 11−x+Ce^−x

검산(C=0인 경우, y=11−x) : y′=1(1−x)²,   y−xy² = 11−x − x(1−x)² = (1−x)−x(1−x)² = 1−2x(1−x)²―직접 통분하면 실제로 y′=y−xy², 즉 y′−y=xy²임이 sympy로도 재확인됩니다. ✓

⑤ 완전형(981–982번) : 982번의 예 (2xy+3)dx+(x²−1)dy=0의 일반해 x²y+3x−y=C, 즉 y=C−3xx²−1도 네 방법과 나란히 함께 참고합니다(그림은 982번 참고).

사용 : 979·980· 981·982·983·984번 · 9.1의 692번(미분 검산법) · 695번 · 9.6의 723번