Home

10.3   대학 과정

편미분방정식

Some Partial Differential Equations

정의 · 공식과 증명

10.1·10.2에서는 미지함수가 한 개의 변수(x)만의 함수인 상미분방정식(ODE)을 다뤘습니다. 이 절에서는 미지함수 u가 두 개 이상의 독립변수의 함수이고, 방정식에 그 편도함수(8.9 f908)가 나타나는 편미분방정식(PDE)을 다룹니다. 일반적인 편미분방정식의 완전한 이론(해의 존재·유일성 등)은 함수해석학·측도론을 요구하는 대학원 과목 분량이므로, 이 절에서는 물리·공학에서 가장 널리 쓰이는 세 가지 표준형―파동방정식(999–1003번), 열방정식(1004–1006번), 라플라스방정식(1007–1008번)―만을 다루고, 각각에 대해 실제로 완전히 증명할 수 있는 만큼은 끝까지 완전히 증명합니다(특히 파동방정식은 초등적인(대학원 수준의 함수해석학 없이) 완전한 존재·유일성 증명이 가능함을 1003번에서 직접 보입니다). 반면 열방정식·라플라스방정식에서 일반적인 초기함수에 대한 완전해는 무한 삼각급수(푸리에급수)로 계수를 결정해야 하는데, 이 급수의 수렴성·완비성은 11.13(푸리에급수)의 결과를 필요로 합니다―이 시리즈에서는 챕터 10이 챕터 11(급수)보다 먼저 작성되었으므로 그 부분을 university-note로 결과만 인용해 두었고, 11.13이 작성된 지금은 그 자리가 메워졌습니다(11.13 f1070·f1074, 1006·1008번에서 상호링크). 8.5 f663의 n계도함수 표기를 편도함수로 확장해 u_x:=∂u/∂x, u_xx:=∂²u/∂x² 등(9.13 f972의 f_xy 표기와 같은 방식)의 아래첨자 표기를 이 절 전체에서 사용합니다.

999정의편미분방정식·계수·선형성Au_xx+Bu_xy+Cu_yy+Du_x+Eu_y+Fu=G(x,y)  (2계 선형)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 미지함수 u가 두 개 이상의 독립변수의 함수이고, 방정식에 u의 편도함수가 하나 이상 나타나는 방정식을 편미분방정식(partial differential equation, PDE)이라 합니다. 방정식에 나타나는 편도함수 중 가장 높은 계수(order)를 그 방정식의 계수(차수)라 합니다―10.1 f977에서 상미분방정식에 대해 정의한 «계수»와 같은 뜻을 편미분방정식으로 확장한 것입니다. 두 독립변수 x, y의 함수 u=u(x,y)에 대한 2계 편미분방정식은 일반적으로

F(x,y,u,u_x,u_y,u_xx,u_xy,u_yy) = 0

꼴로 쓸 수 있습니다. 이 절에서 다루는 세 방정식(1000·1004·1007번)은 모두 이 중에서도 u와 그 편도함수들에 대해 일차식인 선형(linear) 방정식―

Au_xx+Bu_xy+Cu_yy+Du_x+Eu_y+Fu = G(x,y)

(A,…,F가 상수 또는 x,y만의 함수)―에 속합니다. 10.2 f986과 같은 뜻으로, G≡0이면 동차, G¬≡0이면 비동차라 합니다. 어떤 함수 u=φ(x,y)가 정의역의 모든 점에서 편도함수를 가지면서 방정식을 항등적으로 만족시키면 φ를 그 방정식의 해라 합니다―10.1 f977의 «해»와 같은 뜻입니다.

사용 : 8.9의 908번 · 10.1의 977번 · 10.2의 986번

1000정의·정리파동방정식과 특성좌표에 의한 표준형u_tt=c²u_xx  ⇔  u_ξη=0  (ξ:=x+ct, η:=x−ct)

정의 부분은 증명 대상이 아닙니다. 상수 c>0(파동속도)에 대해

u_tt = c²u_xx

를 (1차원) 파동방정식(wave equation)이라 합니다―999번의 일반형에서 A=−c²(x 대신 이 절에서는 관례상 독립변수를 x, t로 씀), C=1,나머지 계수는 0인 특수한 경우입니다. u가 두 번 연속미분가능(u∈C²)이라 가정합니다.

증명법 : 직접증명법(변수변환 후 8.9 f912의 연쇄법칙을 반복 적용)

ξ:=x+ct, η:=x−ct로 새 변수를 정의합니다. u를 (ξ,η)의 함수로 보고, x를 고정한 채 t만 변하는 «곡선» t↦(ξ(x,t),η(x,t))에 8.9 f912(다변수 연쇄법칙)를 적용하면(ξ_x=1, η_x=1, ξ_t=c, η_t=−c이므로)

ux	정의
= uξ·ξx+uη·ηx = uξ+uη	8.9 f912(x 방향)
ut	정의
= uξ·ξt+uη·ηt = c(uξ−uη)	8.9 f912(t 방향)

u_ξ, u_η도 다시 (ξ,η)의 함수이므로, 이번에는 이 두 식에 f912를 한 번 더 적용합니다 (u∈C²이므로 u_ξη와 u_ηξ가 모두 존재하고 연속  ⇒  9.13 f972(클레로 정리)에 의해 u_ξη=u_ηξ) :

uxx = ∂x(uξ+uη)	위 ux 식을 다시 x로
= (uξξ+uηξ) + (uξη+uηη) = uξξ+2uξη+uηη	f912+f972(uξη=uηξ)
utt = ∂t[c(uξ−uη)]	위 ut 식을 다시 t로
= c[c(uξξ−uηξ)−c(uξη−uηη)] = c2(uξξ−2uξη+uηη)	f912+f972

이제 두 식을 빼면

u_tt−c²u_xx = c²(u_ξξ−2u_ξη+u_ηη) − c²(u_ξξ+2u_ξη+u_ηη) = −4c²u_ξη

를 얻습니다. c≠0이므로 −4c²≠0이고, 따라서

u_tt=c²u_xx  ⇔  u_tt−c²u_xx=0  ⇔  u_ξη=0

이 성립합니다. (x,t)↔(ξ,η)의 대응이 일차변환이고 그 역변환도 x=(ξ+η)/2, t=(ξ−η)/(2c)로 어디서나 존재하므로, 이 동치관계는 정의역 전체에서 양방향으로 성립합니다.

사용 : 8.9의 912번 · 9.13의 972번

1001정리u_ξη=0의 일반해w_ξη=0  ⇔  w(ξ,η)=F(ξ)+G(η) (F,G는 임의의 C² 일변수함수)

증명법 : 쌍조건문 증명법(양방향을 각각 구성적으로 증명)

w는 (ξ,η)-평면의 영역 Ω에서 정의된 C² 함수이고, Ω는 ξ를 고정할 때마다 η-단면이, η를 고정할 때마다 ξ-단면이 모두 구간이라고 합니다(평면 전체, 그리고 1003번에서 쓰는 반평면 ξ>η가 그런 예입니다).

(⇐) 대입 확인 : w(ξ,η)=F(ξ)+G(η)이면 8.3 f648(미분법의 선형성)에 의해 w_ξ=F′(ξ)(ξ에 대한 편미분에서 G(η)는 상수이므로 소거)이고, 이를 다시 η로 편미분하면 F′(ξ)는 η를 포함하지 않으므로 w_ξη=0입니다.

(⇒) 구성 : w_ξη=0이라 가정합니다. 이는 (w_ξ)_η=0, 즉 η를 변수로 보았을 때 w_ξ의 (η에 대한) 도함수가 항등적으로 0이라는 뜻이므로, 8.6 f673(672번의 따름정리―도함수≡0⇒상수, η 방향으로 적용)에 의해 ξ를 고정할 때마다 w_ξ(ξ,η)는 η에 무관한 상수입니다. 이 상수는 ξ가 바뀌면 달라질 수 있으므로 φ(ξ):=w_ξ(ξ,η)(임의의 η에서 계산해도 같은 값)라 씁니다.

w∈C²이므로 φ=w_ξ는 연속함수이고, 9.8 f745(미적분의 기본정리 제1부)에 의해 F(ξ):=ξ∫0φ(s)ds로 두면 F′=φ인 원시함수 F가 존재합니다. 이제 h(ξ,η):=w(ξ,η)−F(ξ)라 두면

h_ξ = w_ξ−F′(ξ) = φ(ξ)−φ(ξ) = 0

이 모든 (ξ,η)에서 성립하므로, 이번에는 f673을 ξ 방향으로 적용하면(위와 완전히 대칭인 논증) h(ξ,η)는 ξ에 무관합니다―즉 h(ξ,η)=G(η)인 일변수함수 G가 존재합니다. 정리하면

w(ξ,η) = F(ξ) + G(η)

이고, 양변이 C²이려면(가정) F, G도 각각 C²이어야 합니다.

사용 : 8.3의 648번 · 8.6의 673번 · 9.8의 745번

1002정리파동방정식의 일반해(진행파 표현)u_tt=c²u_xx  ⇔  u(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct)

증명법 : 직접증명법(1000·1001번을 그대로 결합)

1000번에서 u_tt=c²u_xx ⇔ u_ξη=0(ξ=x+ct, η=x−ct)임을, 1001번에서 이 방정식의 일반해가 w(ξ,η)=F(ξ)+G(η) 꼴임을 각각 증명했습니다. u(x,t):=w(ξ(x,t),η(x,t))로 두면 두 결과를 그대로 이어 붙여

u_tt=c²u_xx  ⇔  u(x,t) = F(x+ct) + G(x−ct)  (F,G∈C² 임의)

를 얻습니다. 물리적 해석 : t가 증가할 때 x+ct=(상수)를 유지하려면 x가 같은 속력 c로 감소해야 하므로 F(x+ct)는 왼쪽(음의 x방향)으로 속력 c로 진행하는 파형이고, 마찬가지로 G(x−ct)는 오른쪽으로 진행하는 파형입니다―임의의 파동방정식의 해가 항상 이 두 «진행파»의 합으로(그리고 오직 이 꼴로만) 나타난다는 것이 이 정리의 내용입니다.

사용 : 1000번 · 1001번

1003정리코시 문제와 달랑베르 공식(완전한 존재·유일성)u(x,t) = 12[φ(x+ct)+φ(x−ct)] + 12cx+ct∫x−ctψ(s)ds

― 초기값(코시) 문제 : u_tt=c²u_xx(x∈ℝ, t>0), 초기조건 u(x,0)=φ(x), u_t(x,0)=ψ(x)(φ∈C²(ℝ), ψ∈C¹(ℝ)), 해 u는 t≥0까지 C² (u_t(x,0)이 뜻을 가지도록) ―

증명법 : 존재성은 구성적으로(1002번의 F,G를 초기조건으로 직접 결정), 유일성은 그 구성이 강제됨을 보여서

구성 : 1002번에 의해 임의의 C² 해는 u(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct) 꼴입니다(F,G∈C² 미정). 초기조건을 대입하면(u_t(x,t)=cF′(x+ct)−cG′(x−ct)에 t=0 대입)

F(x)+G(x) = φ(x)	u(x,0)=φ(x)
F′(x)−G′(x) = ψ(x)/c	ut(x,0)=ψ(x)

두 번째 식의 양변을 0부터 x까지 적분하면(9.8 f746, 미적분의 기본정리 제2부―F, G∈C²이므로 F′,G′는 연속)

F(x)−G(x) = K + 1cx∫0ψ(s)ds  (K:=F(0)−G(0), 아직 미정인 상수)

를 얻고, 이를 첫 번째 식과 연립해 풀면(가감법)

F(x) = 12[φ(x)+K+1cx∫0ψds],    G(x) = 12[φ(x)−K−1cx∫0ψds]

입니다(φ∈C², ψ∈C¹이므로 F′,G′∈C¹, 즉 F,G∈C²―1002번의 가정을 만족합니다). 이제 u(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct)에 대입하고 9.8 f740·f741(정적분의 가법성·구간반전)로 두 적분을 하나로 합치면

u(x,t) = F(x+ct)+G(x−ct)	1002번
= 12[φ(x+ct)+φ(x−ct)] + 12cx+ct∫0ψds − 12cx−ct∫0ψds	위 F,G 대입(K는 상쇄)
= 12[φ(x+ct)+φ(x−ct)] + 12cx+ct∫x−ctψ(s)ds	f740·f741(가법성)

를 얻습니다―이것이 달랑베르 공식입니다. K가 최종 식에서 완전히 상쇄되어 사라졌다는 점에 주목합니다.

존재성 : 위에서 구성한 F,G∈C²이므로 u=F(x+ct)+G(x−ct)는 1002번에 의해 실제로 u_tt=c²u_xx를 만족시키고, 구성 자체가 초기조건 u(x,0)=φ(x), u_t(x,0)=ψ(x)를 만족하도록 F,G를 정했으므로 이 u가 실제로 코시 문제의 해입니다.

유일성 : ũ가 코시 문제의 임의의 C² 해라 합시다. 1002번에 의해 ũ(x,t)=F̃(x+ct)+G̃(x−ct)인 F̃,G̃∈C²가 (적어도 하나) 존재합니다. 그런데 위 구성 과정은 임의의 K에 대해 같은 두 식(F(x)+G(x)=φ(x), F′−G′=ψ/c)을 그대로 만족시키는 F,G를 모두 찾아내는 과정이었고―그렇게 찾은 모든 F,G의 합 F+G(·+ct, ·−ct 대입 후)는 K에 무관하게 유일했습니다. 즉 F̃,G̃도 (K를 K̃:=F̃(0)−G̃(0)로 잡으면) 같은 두 식을 만족시켜야 하므로 같은 유도를 반복하면 ũ(x,t)도 정확히 같은 달랑베르 공식으로 표현됩니다. 따라서 ũ=u이고, 해는 유일합니다.

대학 이 존재·유일성 증명은 함수해석학의 어떤 추상적 정리도 인용하지 않고 미적분학의 기본정리(f745·f746)와 8.9의 연쇄법칙만으로 완전히 초등적으로 완결되었습니다―10.2 f987이 상미분방정식의 전역적 존재를 증명에 쓰지 않고 참고로만 두었던 것과 대조적으로, 파동방정식은 1차원 특성좌표로의 환원이 방정식을 두 개의 상미분방정식적인 문제(각 방향으로의 적분)로 완전히 분리시켜 주기 때문입니다. 아래 1006·1008번에서 보듯, 열방정식·라플라스방정식은 이런 특권적인 구조가 없어 사정이 다릅니다.

위 삼각형 그림은 u(x₀,t₀)의 값이 오직 초기시각(t=0)의 [x₀−ct₀, x₀+ct₀] 구간(«의존구간»)에서의 φ, ψ 값에만 의존한다는 사실―공식의 우변에 이 구간 밖의 정보가 전혀 나타나지 않는다는 것―을 기하적으로 보여줍니다(«의존영역», domain of dependence). 두 빗변은 각각 x−ct, x+ct가 상수인 특성선입니다.

xt평면에서 파동방정식의 특성선(빨강 : x−ct=x₀−ct₀, 파랑 : x+ct=x₀+ct₀)과 의존영역(옅은 삼각형). 꼭짓점 (x₀,t₀)에서의 해의 값은 밑변(주황) 구간 위의 φ, ψ 값만으로 완전히 결정됩니다.

① 예 : φ(x)=x², ψ(x)=1이면 u(x,t)=x²+c²t²+t (1009번 ①에서 직접 검산).

사용 : 1002번 · 9.8의 740·741번 · 9.8의 746번 · 10.2의 987번(대조)

1004정의열방정식(확산방정식)u_t = κu_xx  (κ>0 : 열확산계수)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 999번의 일반형에서 A=−κ, E=1(t를 두 번째 변수 y 자리에 둠), 나머지 계수가 0인 경우입니다(1계 시간미분, 2계 공간미분―따라서 정확히는 «2계» 방정식이지만 파동방정식과 달리 t에 대해서는 1계입니다). 물리적으로는 길이 L인 가는 막대를 따라 열이 퍼져나갈 때, 위치 x∈[0,L], 시각 t>0에서의 온도 u(x,t)가 만족하는 방정식입니다. 이 절에서는 양 끝의 온도를 0으로 고정한 경계조건

u(0,t)=0,   u(L,t)=0  (t>0, 디리클레 경계조건)

과 초기조건 u(x,0)=f(x)(0≤x≤L, 주어진 함수)를 갖는 초기·경계값 문제(IBVP)를 다룹니다.

1005정리분리변수법에 의한 열방정식의 곱해와 고유함수u_n(x,t) = sinnπxL·e^{−(nπ/L)²κt}  (n=1,2,3,…)

증명법 : 직접증명법(변수분리 가정 후 10.1·10.2의 결과로 각 상미분방정식을 풀고, 경계조건으로 걸러냄)

u(x,t)=X(x)T(t)(X¬≡0, T¬≡0)인 곱 꼴의 해를 찾습니다. u_t=XT′, u_xx=X″T이므로 방정식 u_t=κu_xx에 대입하면 XT′=κX″T입니다. X¬≡0, T¬≡0이므로 X(x₁)≠0인 x₁과 T(t₁)≠0인 t₁을 하나씩 고정할 수 있습니다. 위 식에 t=t₁을 넣고 κT(t₁)로 나누면 모든 x에서 X″(x)=−λX(x)이고, 여기서 λ:=−T′(t₁)/(κT(t₁))는 x, t에 무관한 상수입니다(X가 영점을 가져도 이 식은 그 점에서도 성립합니다). 다음으로 x=x₁을 넣고 X″(x₁)=−λX(x₁)를 쓰면 X(x₁)T′(t)=−κλX(x₁)T(t)이므로 X(x₁)로 나누어 모든 t에서 T′(t)=−λκT(t)입니다. 즉 (부호는 관례―아래에서 보듯 λ>0인 경우만 살아남습니다)

T′+λκT = 0,    X″+λX = 0

T′+λκT=0은 10.1 f980(1계 선형/변수분리형)에 의해 T(t)=Ce^−λκt(C는 상수)이고, X″+λX=0은 10.2의 y″+ay′+by=0(a=0, b=λ)에 해당하므로 특성방정식 r²+λ=0(판별식 D=−4λ)의 부호에 따라 10.2 f992·f993·f994가 적용됩니다.

경계조건 X(0)=X(L)=0(u(0,t)=X(0)T(t)≡0이고 T¬≡0이므로 X(0)=0, 마찬가지로 X(L)=0)으로 λ의 부호별로 걸러냅니다 :

λ<0 (=−μ², μ>0) : D>0, 서로 다른 두 실근 ±μ	10.2 f992
X=c₁eμx+c₂e−μx, X(0)=0⇒c₂=−c₁	경계조건
X(L)=0⇒c₁(eμL−e−μL)=0⇒c₁=0(μ,L>0이므로 두 지수가 다름)	지수함수의 단사성
∴ X≡0(자명해, 배제)	-
λ=0 : D=0, 중근 r=0	10.2 f993
X=c₁+c₂x, X(0)=0⇒c₁=0, X(L)=0⇒c₂L=0⇒c₂=0	경계조건(L≠0)
∴ X≡0(자명해, 배제)	-
λ>0 (=μ², μ>0) : D<0, 켤레복소근 ±μi(α=0,β=μ)	10.2 f994
X=c₁cosμx+c₂sinμx, X(0)=0⇒c₁=0	경계조건
X(L)=c₂sinμL=0, 비자명해(c₂≠0)이려면 sinμL=0⇒μL=nπ(n=1,2,3,…)	사인함수의 영점(단위원에서 sinθ는 점의 y좌표이므로 sinθ=0 ⇔ θ가 π의 정수배)

(n=0이면 μ=0⇒λ=0이 되어 위에서 이미 배제된 경우이므로 제외하고, n이 음의 정수인 경우는 sin(−nπx/L)=−sin(nπx/L)로 부호만 다른 같은 해를 주므로 n=1,2,3,…만 취해도 일반성을 잃지 않습니다.) 따라서 비자명해가 존재하는 λ(고유값, eigenvalue)는

λ_n = n²π²L²,    X_n(x) = sinnπxL  (n=1,2,3,…, 고유함수)

뿐이고, 이때 T_n(t)=e^−λ_nκt=e^{−(nπ/L)²κt}이므로 (임의의 배수 상수는 T_n에 흡수시켜 X_n의 계수 1을 유지) 곱해는

u_n(x,t) = sinnπxL·e^{−(nπ/L)²κt}  (n=1,2,3,…)

입니다. 직접 대입하면 u_n,t=−(nπ/L)²κ·u_n=κu_n,xx(u_n,xx=−(nπ/L)²u_n)이고 u_n(0,t)=u_n(L,t)=0이 항등적으로 성립함을 확인할 수 있습니다.

사용 : 10.1의 980번 · 10.2의 992·993·994번

1006정리유한 사인급수 초기조건에 대한 열방정식의 해(구성)f(x)=∑_n=1^Nb_nsinnπxL  ⇒  u(x,t)=∑_n=1^Nb_nsinnπxLe^{−(nπ/L)²κt}

증명법 : 존재성은 1005번 곱해들의 유한 중첩으로 구성적으로(이 정리의 내용은 해의 존재이며, 유일성은 아래 참고로만 적고 이 책의 증명에는 쓰이지 않음)

중첩원리 : u₁,…,u_N이 각각 u_t=κu_xx와 동차 경계조건 u(0,t)=u(L,t)=0을 만족시키면, 8.3 f648(미분의 선형성)에 의해 임의의 상수 b₁,…,b_N에 대해 v:=∑b_ku_k도 v_t=∑b_ku_k,t=∑b_kκu_k,xx=κv_xx와 v(0,t)=v(L,t)=0을 만족합니다(10.2 f988이 2계 선형 상미분방정식에 대해 증명한 중첩원리와 완전히 같은 방식이 여기서도 성립합니다―선형 동차 방정식이라는 사실만 사용했을 뿐, 상미분·편미분 여부는 무관합니다).

구성 : f(x)=∑_n=1^Nb_nsin(nπx/L)이면, u(x,t):=∑_n=1^Nb_nu_n(x,t)(1005번의 u_n)라 둡니다. 위 중첩원리에 의해 u는 방정식과 경계조건을 만족시키고, u(x,0)=∑b_nsin(nπx/L)e⁰=∑b_nsin(nπx/L)=f(x)이므로 초기조건도 만족합니다―따라서 u가 이 IBVP의 해입니다.

대학 유일성(이 u가 유일한 해라는 것)은 최대원리(maximum principle)―열방정식의 해는 공간·시간 경계에서 최댓값·최솟값을 가진다는 정리―로 증명되는 표준 결과이며, 그 증명(경계에서 최댓값을 갖지 않는다고 가정하고 내부 극값점에서 u_t≥0, u_xx≤0인데 u_t=κu_xx이므로 모순을 이끌어내는 논증)은 이 절의 범위를 넘어서므로 여기서는 증명하지 않습니다. 이 책의 어느 증명도 유일성을 쓰지 않으므로 8.2의 640·641번처럼 «받아들이는 사실»로 두지 않고 참고로만 적습니다.

대학 f(x)가 유한 사인급수가 아닌 일반적인 함수(예 : f(x)=x(L−x))라면, b_n:=(2/L)∫₀^Lf(x)sin(nπx/L)dx로 정의되는 계수들의 무한 급수 ∑_n=1^∞b_nsin(nπx/L)e^{−(nπ/L)²κt}가 해가 됩니다―이것이 f를 푸리에 사인급수로 전개하는 것인데, 그 급수가 실제로 f로 수렴한다는 사실과 계수의 유일성은 11.13(푸리에급수)의 결과입니다―이 부분은 이제 해소되었습니다 : 계수 공식 b_n은 11.13 f1070 ⑶(반구간 사인전개)에서 완전히 증명되었고, 그 급수가 f로 수렴한다는 사실은 11.13 f1072 ⑵(디리클레 정리)에서 증명되며, 계수의 유일성은 11.13 f1068에서 증명됩니다. f(x)=x(L−x)에 대한 실제 계산과 완전해는 11.13 f1074 ⑶에 있습니다. 다만 위에서 참고로 적은 최대원리에 의한 유일성은 이 책의 증명에 쓰이지 않으며, t>0에서 급수가 방정식을 만족한다는 것(항별 미분)은 11.13 f1074 ⑷에서 증명됩니다.

② 예 : L=π, κ=1, f(x)=3sinx−sin2x(N=2)이면 u(x,t)=3sinx·e^−t−sin2x·e^−4t(1009번 ②에서 직접 검산)―고주파(n=2) 성분이 저주파(n=1) 성분보다 e^−4t vs e^−t로 훨씬 빠르게 감쇠하며 매끄러워지는 모습을 아래 그림에서 볼 수 있습니다.

u(x,t)=3sinx·e^−t−sin2x·e^−4t의 시간에 따른 변화(t=0, 0.1, 0.3, 0.6). 시간이 지날수록 고주파 성분(sin2x)이 먼저 소멸하고 그래프가 매끄러워집니다.

사용 : 1005번 · 8.3의 648번 · 10.2의 988번

1007정의라플라스방정식과 조화함수Δu := u_xx+u_yy = 0

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 999번의 일반형에서 A=C=1, 나머지 계수가 0인 경우로, 시간에 무관한(정상상태) 열분포·전위 등을 기술합니다. 이 방정식을 만족시키는 함수를 조화함수(harmonic function)라 하고, Δ:=∂_xx+∂_yy를 라플라스 연산자라 합니다. 직사각형 R=[0,a]×[0,b] 위에서 세 변의 값이 0이고 한 변에서만 값이 주어진 디리클레 경계값 문제

u(0,y)=u(a,y)=0(0≤y≤b),   u(x,0)=0,   u(x,b)=f(x)(0≤x≤a)

를 이어지는 1008번에서 다룹니다.

1008정리직사각형에서 분리변수법에 의한 라플라스방정식의 곱해u_n(x,y) = sinnπxa·(e^nπy/a−e^−nπy/a)

증명법 : 직접증명법(1005번과 같은 분리변수 논증을 두 공간변수 x,y에 적용)

u(x,y)=X(x)Y(y)(X,Y¬≡0)라 하면 u_xx=X″Y, u_yy=XY″이므로 Δu=0에서 X″Y+XY″=0, 즉 X,Y≠0인 점에서

X″(x)X(x) = −Y″(y)Y(y)

1005번과 똑같은 논증(Y(y₁)≠0인 y₁을 고정해 X″=−λX, λ:=Y″(y₁)/Y(y₁)을 모든 x에서 얻고, X(x₁)≠0인 x₁에서 Y″=λY를 모든 y에서 얻음)으로 이 공통값을 −λ라 두면

X″+λX = 0,    Y″−λY = 0

를 얻습니다. 경계조건 X(0)=X(a)=0(u(0,y)=u(a,y)=0이고 Y¬≡0이므로)은 X″+λX=0에 대해 1005번과 완전히 같은 방정식·경계조건이므로, 그 결과를 그대로 재사용하면(a가 1005번의 L 역할)

λ_n = n²π²a²,    X_n(x) = sinnπxa  (n=1,2,3,…, 1005번 재사용)

이제 Y″−λ_nY=0(1005번의 X방정식과 부호가 반대인 점에 주의―λ_n>0이므로 특성방정식 r²−λ_n=0(D=4λ_n>0)은 10.2 f992에 의해 서로 다른 두 실근 r=±nπ/a를 가지므로(진동하지 않는 지수함수 해―1005번의 X″+λX=0이 진동하는 삼각함수 해를 준 것과 대조적입니다) Y_n(y)=c₁e^nπy/a+c₂e^−nπy/a입니다. 경계조건 u(x,0)=0⇒Y_n(0)=0⇒c₁+c₂=0⇒c₂=−c₁이므로(c₁=1로 정규화)

Y_n(y) = e^nπy/a − e^−nπy/a

(이 절에서는 아직 정의되지 않은 쌍곡선함수 표기 sinh를 쓰지 않고 지수함수 그대로 둡니다―편의상 S_n(y):=e^nπy/a−e^−nπy/a라 씁니다.) 곱해는

u_n(x,y) = sinnπxa·S_n(y)  (n=1,2,3,…)

이고, 직접 대입하면 u_n,xx=−(nπ/a)²u_n, u_n,yy=(nπ/a)²u_n이므로 Δu_n=0이 항등적으로 성립하고, u_n(0,y)=u_n(a,y)=u_n(x,0)=0도 바로 확인됩니다.

1006번과 같은 중첩원리로, f(x)=∑_n=1^Nd_nsin(nπx/a)(유한 사인급수)이면 u(x,y):=∑_n=1^Nc_nu_n(x,y)의 마지막 경계조건 u(x,b)=∑c_nsin(nπx/a)S_n(b)=f(x)를 맞추려면 계수를 c_n:=d_n/S_n(b)로 (S_n(b)=e^nπb/a−e^−nπb/a≠0(n,a,b>0이므로) 택하면 되고, 이렇게 완전해가 구성적으로 결정됩니다.

대학 1006번과 마찬가지로, f(x)가 유한 사인급수가 아닌 일반적인 함수라면 d_n은 f의 (0,a) 위 푸리에 사인급수 계수로 정해지는 무한 급수가 필요하며, 그 수렴성은 11.13의 결과입니다―이 부분도 이제 해소되었습니다 : d_n의 공식은 11.13 f1070 ⑶에서 증명되고, 이 문제에 대한 적용은 11.13 f1074 ⑸에 있습니다(1006번의 university-note와 같은 항목이었습니다). 또한 이 해의 유일성은 열방정식의 최대원리(1006번)와 짝을 이루는 조화함수의 최대원리(경계에서 최댓값·최솟값을 갖는다는, 평균값성질로부터 증명되는 표준 결과)가 보장하지만, 그 증명은 이 절의 범위를 넘고 이 책의 증명에는 쓰이지 않으므로 참고로만 적습니다.

사용 : 1005번 · 1006번 · 10.2의 992번

1009정리—활용종합 계산 예 ― 파동·열·라플라스방정식

999–1008번의 세 방정식을 각각 구체적인 예로 적용하고, 매번 방정식·조건에 직접 대입해(9.1 f692와 같은 방식의 검산법) 재검산합니다.

① 파동방정식(1003번) : c는 임의의 양수, φ(x)=x², ψ(x)≡1인 코시 문제.

달랑베르 공식에 대입하면

u(x,t) = 12[(x+ct)²+(x−ct)²] + 12c·2ct = x²+c²t²+t

검산 : u_t=2c²t+1, u_tt=2c²이고 u_x=2x, u_xx=2이므로 u_tt−c²u_xx=2c²−c²·2=0. ✓ 또한 u(x,0)=x²=φ(x), u_t(x,0)=1=ψ(x). ✓

② 열방정식(1006번) : L=π, κ=1, f(x)=3sinx−sin2x.

N=2, b₁=3(n=1), b₂=−1(n=2)인 경우이므로

u(x,t) = 3sinx·e^−t − sin2x·e^−4t

검산 : u_t=−3sinx·e^−t+4sin2x·e^−4t, u_xx=−3sinx·e^−t+4sin2x·e^−4t이므로 u_t=u_xx. ✓ u(0,t)=u(π,t)=0(sin0=sin0=sin2π=0). ✓ u(x,0)=3sinx−sin2x=f(x). ✓

③ 라플라스방정식(1008번) : a=b=π, f(x)=5sin2x(N=1, d₂=5, 나머지 0).

n=2 항만 남으므로 S₂(π)=e^2π−e^−2π, c₂=5/S₂(π) :

u(x,y) = 5e^2π−e^−2πsin2x·(e^2y−e^−2y)

검산 : u_xx=−4u, u_yy=4u이므로 Δu=u_xx+u_yy=0. ✓ u(0,y)=u(π,y)=0(sin0=sin2π=0). ✓ u(x,0)=0(e⁰−e⁰=0). ✓ u(x,π)=5sin2x·(e^2π−e^−2π)/(e^2π−e^−2π)=5sin2x=f(x). ✓

사용 : 1003번 · 1006번 · 1008번

자체 오류 검토(1회) : 참조 번호(999–1009)가 모두 이 페이지 또는 8.9·8.6·8.3·9.8·9.13·10.1·10.2·logic/05-proving에 실제로 존재하는 앵커와 일치함을 확인했습니다. 1000번의 특성좌표 계산은 sympy로 u_tt−c²u_xx=−4c²u_ξη를, 1003·1006·1009번의 세 예시(①②③)는 각 방정식·경계·초기조건을 만족함을 각각 대수적·수치적으로 재검산했습니다. 999–1002번(파동방정식 일반론)은 어떤 university-note도 필요로 하지 않는 완전한 초등적 증명이고, 1006·1008번의 두 university-note는 동일한 pending-forward-refs.json 항목(11.13 푸리에급수 미작성)을 가리키도록 통일했습니다―결론(1003번 vs 1006·1008번)과 전제(파동방정식의 특수한 대수적 구조 vs 열·라플라스방정식의 일반적 초기조건)가 서로 어긋나지 않습니다.