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11.13   대학 과정

푸리에급수

Fourier Series

정의 · 공식과 증명

11.1부터 11.12까지 챕터 11이 다뤄 온 급수는 모두 항이 x의 거듭제곱인 급수였습니다―유한급수(11.1―11.3)에서 무한급수의 수렴판정(11.4―11.7)을 거쳐 멱급수(11.8―11.12)까지, 결국 도달한 곳은 «매끄러운 함수를 다항식의 극한으로 본다»는 관점이었습니다. 이 마지막 절은 항을 사인·코사인으로 바꿉니다. 그 대가로 11.9가 확보한 항별 미적분의 정당화를 그대로 쓸 수 없게 되지만, 대신 불연속함수까지 전개할 수 있다는 이득을 얻습니다―멱급수의 합은 수렴구간 안에서 반드시 연속이었으므로(11.9 f1038), 사각파 같은 함수는 애초에 멱급수의 사정거리 밖이었습니다. 1066번이 계수를 정의하고, 1067번이 그 정의를 강제하는 직교관계를 4.15의 곱―합 변형공식만으로 완전히 증명합니다. 1068번은 그렇게 정한 계수가 유일함을, 1069번·1070번은 우함수·기함수의 분리와 임의 주기 2L로의 확장을 다루며―여기서 10.3이 남겨 둔 반구간 사인전개 공식이 나옵니다―1071번은 베셀 부등식과 리만―르베그 보조정리를 인용 없이 증명합니다. 1072번은 이 절이 증명할 수 없는 것(디리클레 정리·파르스발 항등식)을 정확히 갈라 인용하고, 1073번은 세 가지 고전적 전개에서 라이프니츠 급수와 바젤 문제 ∞Σn=11n² = π²6를 얻습니다. 마지막 1074번이 10.3 f1006·f1008의 미해결 각주를 실제로 메웁니다. 이 절은 12개 챕터 137개 소단원으로 이루어진 이 시리즈의 마지막 소단원입니다.

1066정의푸리에계수와 푸리에급수(Fourier Coefficients and Fourier Series)f(x) ~ a₀2 + ∞Σn=1(a_ncos nx + b_nsin nx)

정의이므로 정의 자체는 증명 대상이 아닙니다. 다만 ⑵는 이 정의가 실제로 뜻을 갖기 위한 조건이므로 근거를 붙여 확인하고, ⑴·⑶·⑷는 정의를 이렇게 둔 이유를 밝힙니다.

실수 계수 A₀, A_k, B_k에 대해

T(x) = A₀2 + NΣk=1(A_kcos kx + B_ksin kx)

꼴의 함수를 삼각다항식(trigonometric polynomial)이라 하고, 항의 개수를 무한히 늘린

A₀2 + ∞Σk=1(A_kcos kx + B_ksin kx)

꼴의 급수를 삼각급수(trigonometric series)라 합니다(11.4 f769의 뜻으로). 삼각급수는 멱급수가 아닙니다―11.8 f1027의 멱급수는 항이 x의 거듭제곱이었지만, 여기서는 항이 사인·코사인입니다. 이 차이가 이 절 전체의 성격을 결정합니다.

이제 함수 f가 주어졌을 때 어떤 계수를 골라야 그 삼각급수가 f를 나타내는가를 묻습니다. 그 답으로 다음을 정의합니다. f가 [−π, π]에서 적분가능하다고 할 때, f의 푸리에계수(Fourier coefficients)는

a_n := 1ππ∫−πf(x)cos nx dx   (n = 0, 1, 2, …)

b_n := 1ππ∫−πf(x)sin nx dx   (n = 1, 2, 3, …)

이고, 이 계수로 만든 삼각급수

a₀2 + ∞Σn=1(a_ncos nx + b_nsin nx)

를 f의 푸리에급수(Fourier series)라 합니다. 이때

f(x) ~ a₀2 + ∞Σn=1(a_ncos nx + b_nsin nx)

라고 적습니다―물결표는 등호가 아닙니다(⑶ 참고).

⑴ 왜 상수항만 절반인가. 상수항을 a₀가 아니라 a₀2로 둔 것은 관례가 아니라 계수 공식을 하나로 통일하기 위한 필연입니다. 1067번 ⑷에서 보듯 cos nx끼리의 적분값이 n≥1일 때는 π인데 n=0일 때만 2π로 두 배입니다. 상수항을 그 절반으로 두면 이 두 배가 정확히 상쇄되어, n=0을 포함한 모든 n에서 같은 공식 a_n = 1ππ∫−πf(x)cos nx dx가 성립합니다. 실제로 n=0을 대입하면 cos 0=1(4.4 f423)이므로

a₀ = 1ππ∫−πf(x) dx,    a₀2 = 12ππ∫−πf(x) dx

이고, 오른쪽 식은 f의 한 주기에 걸친 평균값입니다―푸리에급수의 상수항이 원래 함수의 평균이라는 것은 1073번의 세 예에서 모두 눈으로 확인됩니다.

⑵ 언제 정의되는가. 정의가 뜻을 가지려면 두 적분이 존재해야 합니다.

f가 [−π, π]에서 연속  ⇒  f(x)cos nx, f(x)sin nx도 연속	8.2 f639(연속함수의 곱은 연속) · 8.3 f646로 sin·cos의 연속성(8.4 f654·f655)
⇒ 두 적분이 모두 존재	9.8 f739(연속함수의 적분가능성)

f가 구간별 연속(유한개의 점을 빼고 연속이며, 그 점에서 좌우극한이 유한한 값으로 존재)일 때에도 각 조각에서 적분이 존재하므로 9.8 f740(가법성)으로 전체 적분이 존재합니다. 이 절에서 다루는 f는 모두 이 범위 안에 있으며, 1073번 ⑶의 사각파처럼 불연속인 함수도 포함합니다―멱급수로는 결코 나타낼 수 없었던 함수입니다(11.9 f1038에 의해 멱급수의 합은 수렴구간 안에서 무한 번 미분가능하므로 반드시 연속입니다).

⑶ 물결표의 뜻. 위 정의는 f로부터 계수를 계산하는 절차일 뿐이며, 그렇게 만든 급수가 수렴하는지도, 수렴한다면 그 합이 f와 같은지도 아직 전혀 말하지 않았습니다. 11.8 f1034 ⑴·11.12 f1059 ⑷에서 «수렴반지름은 합이 무엇인지 말해 주지 않는다»고 했던 것과 정확히 같은 상황입니다. 이 물음의 답은 1072번에서 다루며, 그 답은 추가 조건 없이는 부정적입니다.

⑷ 주기 2π로의 확장. 사인·코사인은 모두 2π를 주기로 가지므로(4.7 f437), 위 급수가 수렴한다면 그 합은 자동으로 주기 2π인 함수입니다(8.1 f621). 따라서 [−π, π]에서만 주어진 f를 다룰 때에도, 그 값을 f(x+2π) = f(x)로 온 실수축에 되풀이해 주기 확장한 것을 상대로 이야기하는 것이 자연스럽습니다. 이 확장은 x = (2j+1)π 자리에서 f(π)≠f(−π)이면 불연속이 되는데, 그 자리에서 급수가 무엇으로 수렴하는지가 1072번의 핵심입니다.

사용 : 1067번 · 1072번 · 1073번 · 11.4의 769번 · 11.8의 1027번 · 1034번 · 11.9의 1038번 · 11.12의 1059번 · 9.8의 739번 · 740번 · 8.1의 621번 · 8.2의 639번 · 8.3의 646번 · 8.4의 654번 · 655번 · 4.7의 437번 · 4.4의 423번

1067정리삼각함수계의 직교관계(Orthogonality Relations)π∫−πcos mx cos nx dx = 0,   π∫−πsin mx sin nx dx = 0  (m≠n)

증명법 : 직접증명법 · 경우를 나누는 방법(m≠n, m=n≥1, m=n=0)

음이 아닌 정수 m, n에 대해 다음이 성립합니다.

π∫−πcos mx cos nx dx = 0  (m≠n),   π  (m=n≥1),   2π  (m=n=0)	아래 ⑵
π∫−πsin mx sin nx dx = 0  (m≠n 또는 m=n=0),   π  (m=n≥1)	아래 ⑶
π∫−πsin mx cos nx dx = 0  (모든 m, n)	아래 ⑷

⑴ 보조계산 ― 하나의 사인·코사인의 적분. 모든 증명이 여기로 환원되므로 먼저 이것을 확정합니다. k를 정수라 합시다.

먼저 정수 k에 대해 sin kπ = 0입니다.

sin 0 = 0,   sin π = sin(π−0) = sin 0 = 0	4.4 f423 · 4.6 f433(보각공식)
k=2j  ⇒  sin kπ = sin(0+2jπ) = sin 0 = 0	4.7 f437(주기성)
k=2j+1  ⇒  sin kπ = sin(π+2jπ) = sin π = 0	4.7 f437

이제 적분을 계산합니다.

k≠0  ⇒  π∫−πcos kx dx = [sin kxk]−ππ = sin kπ − sin(−kπ)k = 0	9.4 f713 · 9.8 f746 · 위에서 sin kπ=0
k=0  ⇒  π∫−πcos 0·x dx = π∫−π1 dx = [x]−ππ = 2π	4.4 f423(cos 0=1) · 9.1 f694 · 9.8 f746
k≠0  ⇒  π∫−πsin kx dx = [−cos kxk]−ππ = −cos kπ − cos(−kπ)k = 0	9.4 f713 · 9.8 f746 · 4.6 f432(음각공식 : 코사인은 우함수)
k=0  ⇒  π∫−πsin 0·x dx = π∫−π0 dx = 0	4.4 f423(sin 0=0)

정리하면 k≠0인 정수이면 두 적분이 모두 0이고, cos 쪽만 k=0에서 2π입니다. 이 한 줄이 아래 세 계산의 전부입니다.

⑵ 코사인끼리. 4.15 f486(2cos A cos B = cos(A−B) + cos(A+B))에 A=mx, B=nx를 넣습니다.

π∫−πcos mx cos nx dx = 12π∫−π[cos(m−n)x + cos(m+n)x] dx	4.15 f486
= 12(π∫−πcos(m−n)x dx + π∫−πcos(m+n)x dx)	9.8 f742(정적분의 선형성)
m≠n  ⇒  m−n≠0이고 m+n≠0  ⇒  = 12(0+0) = 0	⑴ · m+n=0은 m=n=0일 때뿐인데 그때는 m=n
m=n≥1  ⇒  = 12(π∫−π1 dx + π∫−πcos 2mx dx) = 12(2π+0) = π	⑴(m−n=0, m+n=2m≠0)
m=n=0  ⇒  π∫−π1·1 dx = 2π	⑴

⑶ 사인끼리. 4.15 f487(2sin A sin B = cos(A−B) − cos(A+B))을 같은 방식으로 씁니다. 부호가 하나 바뀌는 것만 다릅니다.

π∫−πsin mx sin nx dx = 12(π∫−πcos(m−n)x dx − π∫−πcos(m+n)x dx)	4.15 f487 · 9.8 f742
m≠n  ⇒  = 12(0−0) = 0	⑴
m=n≥1  ⇒  = 12(2π−0) = π	⑴
m=n=0  ⇒  sin 0·x=0이므로 적분값도 0	⑴

m=n일 때 코사인 쪽은 2π와 π로 갈리는데 사인 쪽은 0과 π로 갈리는 이 비대칭이, 1066번 ⑴에서 상수항만 절반으로 둔 이유입니다―상수함수 1은 «cos 0·x»로서 이 계에 들어 있지만 «sin 0·x»는 항등적으로 0이라 아예 항이 되지 못합니다.

⑷ 사인과 코사인의 곱. 4.15 f484(2sin A cos B = sin(A+B) + sin(A−B))을 씁니다.

π∫−πsin mx cos nx dx = 12(π∫−πsin(m+n)x dx + π∫−πsin(m−n)x dx) = 12(0+0) = 0

4.15 f484 · 9.8 f742 · ⑴(사인 쪽은 k가 무엇이든 0)

여기에는 예외가 없습니다―m=n이든 아니든, 0이든 아니든 언제나 0입니다. 이것이 1069번에서 우함수·기함수의 급수가 완전히 갈라지는 근본 이유입니다.

⑸ 이 결과의 뜻 ― «직교»라는 말. 두 함수 u, v에 대해 π∫−πu(x)v(x) dx를 벡터의 내적(6.5 f533)에 빗대어 생각하면, 위 결과는 서로 다른 두 삼각함수의 «내적»이 항상 0이라는 말입니다―그래서 이 계를 직교계(orthogonal system)라 부릅니다. 직교하는 벡터들로 좌표를 잡으면 각 성분을 내적 한 번으로 뽑아낼 수 있듯이, 이 직교관계 덕분에 삼각급수의 계수도 적분 한 번으로 뽑아낼 수 있습니다―그것이 바로 1068번입니다. 다시 말해 1066번의 계수 공식은 임의로 정한 것이 아니라 이 직교관계가 강제하는 유일한 선택입니다.

직교관계가 성립하는 모습(m=1, n=2). 왼쪽은 ⑶의 m≠n인 경우로, y=sin x·sin 2x = 2sin²x·cos x의 부호가 cos x의 부호를 따라 갈리면서 축 위쪽 넓이(파랑)와 아래쪽 넓이(분홍)가 정확히 상쇄되어 적분이 0이 됩니다. 오른쪽은 m=n인 경우로, y=sin²x가 항상 0 이상이라 상쇄가 일어나지 않고 넓이 π가 그대로 남습니다―이 «남는 π»가 1068번에서 계수를 뽑아낼 때 분모에 들어가는 바로 그 수입니다.

사용 : 1066번 · 1068번 · 1069번 · 1070번 · 1071번 · 4.15의 484번 · 486번 · 487번 · 4.7의 437번 · 4.6의 432번 · 433번 · 4.4의 423번 · 9.4의 713번 · 9.1의 694번 · 9.8의 742번 · 746번 · 6.5의 533번 · 직접증명법 · 경우를 나누는 방법

증명 끝

1068정리오일러―푸리에 공식과 계수의 유일성(Euler―Fourier Formulas and Uniqueness)삼각급수가 f로 수렴  ⇒  그 계수는 반드시 f의 푸리에계수

증명법 : 직접증명법(직교관계로 원하는 항만 남기고 나머지를 0으로 만드는 방법) · 경우를 나누는 방법(n=0, 1≤n≤N, n>N)

1066번는 계수 공식을 정의로 선언했을 뿐입니다. 이 항목은 그 선언이 옳았음을 보입니다―삼각급수가 어떤 함수를 나타낸다면, 그 계수는 그 함수의 푸리에계수 말고 다른 것일 수 없습니다.

⑴ 삼각다항식의 경우 ― 완전한 증명. 유한합

T(x) = A₀2 + NΣk=1(A_kcos kx + B_ksin kx)

에 대해, 음이 아닌 정수 n을 하나 고정하고 양변에 cos nx를 곱해 [−π, π]에서 적분합니다. 유한합이므로 항별 적분은 9.8 f742(정적분의 선형성)을 유한 번 되풀이하는 것만으로 정당화됩니다―무한급수였다면 이 한 걸음이 전혀 자명하지 않습니다(⑶ 참고).

π∫−πT(x)cos nx dx = A02π∫−πcos nx dx + NΣk=1(Akπ∫−πcos kx cos nx dx + Bkπ∫−πsin kx cos nx dx)	9.8 f742를 유한 번 적용
Bk가 곱해진 적분은 k, n이 무엇이든 0	1067번 ⑷
n=0  ⇒  = A02·2π + 0 = πA0	1067번 ⑴·⑵(k≥1, n=0이면 0)
1≤n≤N  ⇒  = 0 + An·π = πAn	1067번 ⑵(k=n인 항만 π, 나머지는 0)
n>N  ⇒  = 0	1067번 ⑵(합의 범위 안에 k=n이 없음)

양변을 π로 나누면 1066번의 정의에 의해 a₀=A₀, a_n=A_n(1≤n≤N), a_n=0(n>N)입니다. cos nx 대신 sin nx를 곱하면 1067번 ⑷·⑶에 의해 같은 방식으로 b_n=B_n(1≤n≤N), b_n=0(n>N)을 얻습니다.

즉 삼각다항식은 자기 자신의 푸리에급수이며, 이 경우 1066번의 물결표는 실제로 등호입니다. 여기서 n=0의 줄이 홀로 2π를 내는데도 결론이 A₀로 깔끔하게 떨어지는 것은 상수항을 A₀2로 두었기 때문입니다―1066번 ⑴에서 예고한 상쇄가 여기서 실제로 일어납니다.

⑵ 유일성 ― ⑴의 따름. 두 삼각다항식 T, T′가 [−π, π]의 모든 점에서 같은 값을 가지면, 두 계수열은 완전히 일치합니다. 실제로 T=T′이면 두 함수의 푸리에계수가 같은데, ⑴에 의해 그 푸리에계수가 곧 각자의 계수이기 때문입니다. 특히 모든 점에서 0인 삼각다항식의 계수는 모두 0입니다―이는 «서로 다른 진동수의 사인·코사인은 서로를 흉내 낼 수 없다»는 뜻이며, 직교관계(1067번)가 하는 일의 본질입니다.

⑶ 무한급수의 경우 ― 절대수렴하는 계수에 대해서는 여전히 완전한 증명. 무한급수에서는 «항별로 적분한다»가 더 이상 유한 번의 선형성 적용이 아니므로 새 논증이 필요합니다. 다음 조건 아래에서는 초등적으로 해결됩니다.

f가 [−π, π]에서 연속,   f(x) = A₀2 + ∞Σk=1(A_kcos kx + B_ksin kx)  (모든 x),   ∞Σk=1(|A_k|+|B_k|) 수렴

이면 a_n=A_n, b_n=B_n입니다. S_N(x)를 처음 N개 항까지의 부분합(11.4 f769)이라 하고 ε_N := ∞Σk=N+1(|A_k|+|B_k|)라 둡니다.

|Akcos kx + Bksin kx| ≤ |Ak|+|Bk|	4.2 f412(|sin|≤1, |cos|≤1) · 삼각부등식
|SM(x)−SN(x)| ≤ MΣk=N+1(|Ak|+|Bk|) ≤ εN  (M>N)	유한합의 삼각부등식 · 모든 항이 0 이상
∴ |f(x)−SN(x)| ≤ εN  (모든 x)	M→∞로 보내고 11.4 f770 · 8.2 f633(극한값의 대소 관계)
|π∫−πf cos nx dx − π∫−πSNcos nx dx| ≤ π∫−π|f−SN| dx ≤ 2πεN	9.8 f742·f743(절댓값 부등식과 대소 관계) · |cos nx|≤1
N≥n이면 π∫−πSNcos nx dx = πAn  (n=0이면 πA0)	⑴(SN은 삼각다항식)
εN → 0  (N→∞)	수렴급수의 나머지는 0으로 감―11.4 f770
∴ |π∫−πf cos nx dx − πAn| = 0,   즉 an=An	좌변이 N에 무관한데 모든 N에서 2πεN 이하

사인 쪽도 완전히 같습니다. 마지막 줄의 논법―N에 의존하지 않는 음이 아닌 수가 0으로 가는 수열보다 항상 작으면 그 수는 0이다―은 11.10 f1044의 나머지항 판정에서 이미 쓰던 방식과 같습니다.

대학 ⑶의 «계수가 절대수렴한다»는 가정을 급수가 f로 고르게 수렴한다(uniform convergence)로 약화해도 결론은 그대로 성립합니다―이때 필요한 것은 고르게 수렴하는 연속함수열은 항별로 적분할 수 있다는 실해석학의 표준 정리이며, 고른수렴의 정의부터 세워야 하므로 이 절의 범위를 넘어섭니다. 여기서는 결과만 인용하고 사용하지 않습니다―이 절에서 실제로 쓰는 것은 위에서 완전히 증명한 ⑴·⑶뿐입니다. (8.2의 640·641번이 사잇값·최대최소 정리를 대학 해석학으로 넘긴 것, 11.9 f1038·11.10 f1048이 «고른수렴이 필요한 일반 정리는 인용만 하고 쓰지 않는다»는 방침을 세운 것과 같은 처리입니다.)

⑷ 이 정리가 말하지 않는 것. 지금 증명한 것은 «급수가 f로 수렴한다면 계수는 푸리에계수다»라는 한 방향뿐이라는 점을 분명히 해 둡니다. 그 역―«f의 푸리에계수로 만든 급수가 실제로 f로 수렴한다»―는 여기서 전혀 따라 나오지 않으며, 실제로 추가 조건 없이는 거짓일 수 있습니다. 그 방향의 답이 1072번입니다. 11.10 f1049가 매클로린급수에 대해 «수렴해도 원래 함수가 아닐 수 있다»는 반례를 든 것과 같은 구분입니다.

사용 : 1066번 · 1067번 · 1071번 · 1072번 · 11.4의 769번 · 770번 · 11.9의 1038번 · 11.10의 1044번 · 1048번 · 1049번 · 9.8의 742번 · 743번 · 8.2의 633번 · 640번 · 641번 · 4.2의 412번 · 직접증명법 · 경우를 나누는 방법

증명 끝

1069정리우함수·기함수의 푸리에급수 ― 코사인급수와 사인급수(Fourier Cosine and Sine Series)f 우함수 ⇒ b_n=0,   f 기함수 ⇒ a_n=0

증명법 : 직접증명법(대칭구간의 적분에 관한 보조정리를 먼저 세운 뒤 적용)

⑴ 보조정리 ― 대칭구간에서의 적분. g가 [−a, a]에서 적분가능할 때

g가 기함수 ⇒ a∫−ag(x) dx = 0,    g가 우함수 ⇒ a∫−ag(x) dx = 2a∫0g(x) dx

입니다(우함수·기함수의 정의는 8.1 f618). 사이트에 이 사실의 전용 항목이 아직 없으므로 여기서 증명합니다.

0∫−ag(−x)·(−1) dx = 0∫ag(u) du = −a∫0g(u) du	9.8 f747(치환적분, u=−x) · 9.8 f741(구간의 반전)
∴ 0∫−ag(−x) dx = a∫0g(u) du	양변에 −1을 곱함―9.8 f742
g 기함수 ⇒ g(−x)=−g(x) ⇒ −0∫−ag(x) dx = a∫0g dx	8.1 f618 · 9.8 f742
∴ a∫−ag dx = 0∫−ag dx + a∫0g dx = −a∫0g dx + a∫0g dx = 0	9.8 f740(가법성)
g 우함수 ⇒ g(−x)=g(x) ⇒ 0∫−ag dx = a∫0g dx ⇒ a∫−ag dx = 2a∫0g dx	같은 두 줄을 부호만 바꿔 되풀이

⑵ f가 우함수인 경우 ― 푸리에 코사인급수. cos nx는 우함수, sin nx는 기함수입니다(4.6 f432). 8.1 f620(우함수·기함수의 곱셈 규칙)에 의해

f(x)cos nx는 (우)·(우) = 우함수	8.1 f620
f(x)sin nx는 (우)·(기) = 기함수	8.1 f620

이므로 ⑴에 의해 다음을 얻습니다.

a_n = 2ππ∫0f(x)cos nx dx,    b_n = 0   (모든 n)

f(x) ~ a₀2 + ∞Σn=1a_ncos nx

즉 우함수의 푸리에급수에는 코사인 항만 남습니다―이를 푸리에 코사인급수라 합니다. 이는 당연한 결과이기도 합니다 : 코사인 항만으로 이루어진 급수의 합은 우함수일 수밖에 없으므로, 기함수 성분이 섞여 있다면 애초에 f가 우함수일 수 없습니다.

⑶ f가 기함수인 경우 ― 푸리에 사인급수. 같은 규칙으로 f(x)cos nx는 (기)·(우)=기함수, f(x)sin nx는 (기)·(기)=우함수이므로

a_n = 0,    b_n = 2ππ∫0f(x)sin nx dx (모든 n)

f(x) ~ ∞Σn=1b_nsin nx

입니다―푸리에 사인급수. 여기에는 상수항 a₀2도 없는데, a₀=0이라는 것은 기함수의 한 주기 평균이 0이라는 1066번 ⑴의 관찰과 정확히 일치합니다.

⑷ 무엇이 절약되는가. 우함수·기함수를 알아보면 계산할 적분이 절반으로 줄고, 남은 적분도 구간이 [−π, π]에서 [0, π]로 반으로 줄어듭니다. 1073번의 세 예는 모두 이 성질을 써서 계산합니다. 나아가 1070번 ⑶은 이 성질을 뒤집어, [0, L]에서만 주어진 함수를 일부러 기함수로 확장해 사인급수만으로 전개하는 기법―10.3의 편미분방정식이 요구하는 바로 그 기법―으로 발전시킵니다.

사용 : 1066번 · 1067번 · 1070번 · 1073번 · 9.8의 740번 · 741번 · 742번 · 747번 · 8.1의 618번 · 620번 · 4.6의 432번 · 직접증명법

증명 끝

1070정리주기 2L로의 확장과 반구간 전개(Series of Period 2L and Half-Range Expansions)b_n = 2LL∫0f(x)sin nπxL dx

증명법 : 직접증명법(치환 x = Ltπ로 주기 2π인 경우로 되돌리는 방법)

지금까지는 주기가 2π인 경우만 다뤘습니다. 물리·공학에서 실제로 나오는 구간은 [0, L]·[−L, L]이므로(10.3의 열방정식·라플라스방정식이 그렇습니다), 이를 임의의 주기 2L로 옮겨 놓아야 합니다. 새 이론이 필요한 것은 아니고, 변수의 축척만 바꾸면 됩니다.

⑴ 직교관계의 2L판. L>0을 고정하고 x = Ltπ로 치환합니다(이때 dxdt = Lπ이고, t=−π일 때 x=−L, t=π일 때 x=L입니다).

L∫−LF(x) dx = Lππ∫−πF(Ltπ) dt	9.8 f747(치환적분, x=Ltπ)
∴ L∫−Lcos nπxL·cos mπxL dx = Lππ∫−πcos nt·cos mt dt	위 줄에 F(x)=cos nπxL·cos mπxL를 대입
= 0 (m≠n),   L (m=n≥1),   2L (m=n=0)	1067번 ⑵에 Lπ를 곱함

사인끼리·사인과 코사인의 경우도 마찬가지로 1067번 ⑶·⑷에 Lπ를 곱한 값이 됩니다―π가 있던 자리가 전부 L로 바뀌는 것이 전부입니다.

⑵ 주기 2L인 함수의 푸리에급수. f가 주기 2L이고 [−L, L]에서 적분가능하다고 합시다. F(t) := f(Ltπ)라 두면 F는 주기 2π이므로(8.1 f621) 1066번을 그대로 적용할 수 있고, ⑴의 치환으로 계수를 x의 적분으로 되돌리면

a_n = 1LL∫−Lf(x)cos nπxL dx,    b_n = 1LL∫−Lf(x)sin nπxL dx

f(x) ~ a₀2 + ∞Σn=1(a_ncos nπxL + b_nsin nπxL)

를 얻습니다. L=π로 두면 1066번의 원래 공식으로 정확히 되돌아갑니다. 1068번(유일성)·1069번(우함수·기함수)도 같은 치환으로 그대로 옮겨집니다―치환 x=Ltπ는 원점에 대한 대칭성을 보존하기 때문입니다.

⑶ 반구간 사인전개 ― 10.3이 요구한 공식. 이제 f가 [0, L]에서만 주어졌다고 합시다. 이때 f를 [−L, 0)으로 기함수가 되도록 확장합니다.

f_기(x) := f(x)  (0<x≤L),    −f(−x)  (−L≤x<0),    0  (x=0)

그러면 f_기는 [−L, L]에서 기함수이므로 1069번 ⑶(⑵의 치환으로 옮긴 판)에 의해 코사인 항이 모두 사라지고

f(x) ~ ∞Σn=1b_nsin nπxL,    b_n = 2LL∫0f(x)sin nπxL dx

가 됩니다―이것이 반구간 사인전개(half-range sine expansion)이며, 10.3 f1006·f1008의 university-note가 «일반적인 초기함수의 계수는 이 적분으로 주어진다»고 미뤄 두었던 바로 그 공식입니다. 실제 적용은 1074번에서 합니다.

이 전개가 열·라플라스방정식에 딱 들어맞는 이유는 경계조건 때문입니다 : 모든 항 sin nπxL가 x=0과 x=L에서 값이 0이므로(sin 0=0, sin nπ=0―1067번 ⑴), 급수 전체가 자동으로 u(0,t)=u(L,t)=0을 만족합니다. 코사인 전개였다면 이 조건을 맞출 수 없습니다.

⑷ 반구간 코사인전개. 같은 f를 우함수가 되도록 확장하면 사인 항이 모두 사라지고

f(x) ~ a₀2 + ∞Σn=1a_ncos nπxL,    a_n = 2LL∫0f(x)cos nπxL dx

를 얻습니다. 이쪽은 모든 항의 도함수가 x=0, L에서 0이 되므로 단열 경계조건(u_x=0)에 들어맞습니다.

⑸ 한 함수가 두 전개를 갖는 것은 모순이 아니다. ⑶과 ⑷는 같은 f에 대해 완전히 다른 두 급수를 줍니다. 이것이 1068번의 유일성과 충돌하지 않는 이유는, 두 급수가 나타내는 것이 f가 아니라 서로 다른 두 확장 f_기와 f_우이기 때문입니다―두 급수는 (0, L)에서만 같은 값을 갖고 그 밖에서는 다릅니다. 예를 들어 f(x)=1(상수함수)을 [0, L]에서 전개하면

코사인전개 : a0=2LL∫01 dx = 2, an=2LL∫0cos nπxL dx = 0  ⇒  급수 = 1	⑷ · 1067번 ⑴ · 우함수 확장이 상수함수 그대로이므로 당연
사인전개 : bn=2LL∫0sin nπxL dx = 2(1−(−1)n)nπ = 4nπ(n 홀수), 0(n 짝수)	⑶ · 9.4 f713 · 9.8 f746 · cos nπ=(−1)n

이 되어, 사인전개 쪽은 기함수 확장인 사각파의 급수가 됩니다―1073번 ⑶에서 L=π로 놓고 다시 만나게 될 바로 그 급수입니다. 두 급수 모두 (0, L)에서는 1을 나타내지만, 사인전개 쪽은 x=0과 x=L에서 값이 0이라 f(0)=f(L)=1과 어긋납니다―급수가 끝점에서 원래 함수와 다를 수 있다는 이 현상이 1072번의 주제입니다.

사용 : 1066번 · 1067번 · 1068번 · 1069번 · 1072번 · 1073번 · 1074번 · 10.3의 1006번 · 1008번 · 9.8의 746번 · 747번 · 9.4의 713번 · 8.1의 621번 · 직접증명법

증명 끝

1071정리최소제곱 최적성과 베셀 부등식(Least-Squares Optimality and Bessel’s Inequality)a₀²2 + ∞Σk=1(a_k²+b_k²) ≤ 1ππ∫−πf(x)² dx

증명법 : 직접증명법(제곱오차를 완전제곱꼴로 정리한 뒤 그것이 0 이상임을 이용)

1068번은 «급수가 f로 수렴한다면 계수는 푸리에계수»라고 했습니다. 이 항목은 수렴을 전혀 가정하지 않고도 푸리에계수가 특별하다는 것을 보입니다―유한개의 항만 쓸 때 푸리에계수가 언제나 최선의 근사를 준다는 것입니다. 이 절에서 가장 강한 결과이면서, 인용 없이 완전히 증명됩니다.

f가 [−π, π]에서 연속이라 하고(그러면 f²도 연속이므로 9.8 f739에 의해 π∫−πf² dx가 존재합니다), 그 푸리에계수를 a_k, b_k라 합시다. 임의의 삼각다항식

T_N(x) = A₀2 + NΣk=1(A_kcos kx + B_ksin kx)

에 대해 제곱오차를 E(T_N) := π∫−π(f−T_N)² dx로 둡니다.

⑴ 핵심 항등식. 다음이 성립합니다.

E(TN) = π∫−πf² dx − 2π∫−πf TN dx + π∫−πTN² dx	(f−TN)²를 전개 · 9.8 f742
π∫−πf TN dx = π[a0A02 + NΣk=1(akAk+bkBk)]	1066번의 계수 정의를 그대로 대입 · 9.8 f742
π∫−πTN² dx = π[A0²2 + NΣk=1(Ak²+Bk²)]	1067번―서로 다른 항의 곱은 모두 0, 같은 항의 제곱만 π(상수항만 2π)

둘째 줄은 1066번의 정의 a_kπ = π∫−πf cos kx dx 등을 그대로 옮긴 것뿐이고, 셋째 줄이 직교관계가 실제로 일하는 자리입니다. 이 셋을 합치고 A에 대해 완전제곱꼴로 묶으면

E(T_N) = π∫−πf² dx − π[a₀²2 + NΣk=1(a_k²+b_k²)] + π[(A₀−a₀)²2 + NΣk=1((A_k−a_k)²+(B_k−b_k)²)]

을 얻습니다―A₀²2−a₀A₀ = (A₀−a₀)²−a₀²2, A_k²−2a_kA_k = (A_k−a_k)²−a_k²로 묶은 것입니다(2.2 f73·f74).

⑵ 최소제곱 최적성. 위 항등식에서 T_N에 의존하는 부분은 마지막 대괄호뿐이고, 그것은 제곱들의 합이므로 항상 0 이상이며 A_k=a_k, B_k=b_k일 때에만 0입니다. 그러므로

E(S_N) ≤ E(T_N)  (모든 삼각다항식 T_N에 대해, 등호는 T_N=S_N일 때뿐)

입니다. 여기서 S_N은 푸리에급수의 부분합입니다. 즉 차수가 N 이하인 삼각다항식 가운데 f를 제곱오차의 뜻에서 가장 잘 근사하는 것은 푸리에급수의 부분합이며, 그것이 유일하다는 것입니다―1066번의 계수 공식이 «옳은» 선택인 두 번째 이유입니다(첫째 이유는 1068번의 유일성이었습니다).

⑶ 베셀 부등식. ⑴에서 T_N=S_N으로 두면 마지막 대괄호가 사라져

E(S_N) = π∫−πf² dx − π[a₀²2 + NΣk=1(a_k²+b_k²)]

이고, (f−S_N)²≥0이므로 9.8 f743에 의해 E(S_N)≥0입니다. 따라서 모든 N에 대해

a₀²2 + NΣk=1(a_k²+b_k²) ≤ 1ππ∫−πf(x)² dx

가 성립합니다. 좌변은 항이 모두 0 이상이므로 N에 대해 감소하지 않고, 지금 보인 대로 위로 유계입니다.

대학 «감소하지 않고 위로 유계인 실수열은 반드시 수렴한다»는 단조유계 수렴 정리는 실수의 완비성 공리에서 직접 유도되는 존재성 정리로, 11.6 f1016(비교판정법)이 9.9 f929에 대해 인용한 것과 같은 원리입니다. 여기서도 결과만 인용해 사용합니다.

그러므로 급수 a₀²2 + ∞Σk=1(a_k²+b_k²)는 수렴하며, 그 합은 1ππ∫−πf² dx 이하입니다. 이를 베셀 부등식(Bessel’s inequality)이라 합니다.

⑷ 따름 ― 리만―르베그 보조정리. 수렴하는 급수의 일반항은 0으로 가므로(11.4 f771) a_n²+b_n² → 0이고, 따라서

limn→∞a_n = 0,    limn→∞b_n = 0

입니다. 이것이 리만―르베그 보조정리(Riemann―Lebesgue lemma)의 연속함수 판이며, «진동수가 커질수록 f와의 ‘내적’이 0으로 잦아든다»는 뜻입니다―빠르게 진동하는 사인·코사인은 f의 완만한 변화와 곱해질 때 양·음이 거의 상쇄되기 때문입니다(1067번의 다이어그램이 보여 준 상쇄와 같은 현상). 이 보조정리는 1072번에서 인용할 디리클레 정리의 증명에서 핵심 도구로 쓰입니다.

⑸ 등호는 언제 성립하는가. 베셀 부등식에서 등호가 항상 성립한다는 것이 파르스발 항등식이며, 이는 곧 E(S_N)→0―부분합이 제곱오차의 뜻에서 f에 한없이 가까워진다―는 뜻입니다. 이 사실은 삼각함수계가 빠짐없이 갖춰져 있다(완비성)는 주장이므로 지금까지의 초등적인 논증만으로는 얻을 수 없고, 1072번 ⑶에서 인용합니다. 여기서 증명한 것은 부등식(≤)까지이며 등호는 인용이라는 구분을 흐리지 마십시오.

사용 : 1066번 · 1067번 · 1068번 · 1072번 · 11.4의 771번 · 11.6의 1016번 · 9.9의 929번(univ, 단조유계 수렴 정리) · 9.8의 739번 · 742번 · 743번 · 2.2의 73번 · 74번 · 직접증명법

증명 끝

1072정리디리클레 조건 아래의 수렴과 파르스발 항등식(Dirichlet’s Theorem and Parseval’s Identity)푸리에급수 → f(x+) + f(x−)2

증명법 : ⑵·⑶은 이 절에서 증명하지 않고 결과만 인용합니다(8.2의 640·641번이 사잇값·최대최소 정리를 대학 해석학으로 넘긴 것과 같은 처리). ⑷는 ⑶을 인용한 뒤 귀류법으로 완전히 증명합니다.

1066번 ⑶에서 미뤄 둔 물음―푸리에급수는 f로 수렴하는가―에 답할 차례입니다. 답의 전모는 이 절의 범위를 넘어섭니다. 무엇이 증명 가능하고 무엇이 인용인지를 정확히 갈라 두는 것이 이 항목의 목적입니다.

⑴ 구간별 매끄러움. 주기 2π인 함수 f가 구간별 매끄럽다(piecewise smooth)는 것은, 한 주기를 유한개의 소구간으로 나누어 각 소구간의 내부에서 f와 f′이 연속이고 각 끝점에서 한쪽 극한 f(x+), f(x−), f′(x+), f′(x−)가 모두 유한한 값으로 존재한다는 뜻입니다(한쪽 극한은 8.2 f630). 1073번의 세 예와 1074번의 초기함수는 모두 이 조건을 만족합니다.

대학 ⑵ 디리클레 정리(Dirichlet’s theorem, 1829). 주기 2π이고 구간별 매끄러운 f에 대해, f의 푸리에급수는 모든 실수 x에서 수렴하며 그 합은

a₀2 + ∞Σn=1(a_ncos nx + b_nsin nx) = f(x+) + f(x−)2

입니다. 특히 f가 x에서 연속이면 f(x+)=f(x−)=f(x)이므로 급수의 합은 정확히 f(x)이고, 불연속점에서는 양쪽 값의 산술평균으로 수렴합니다.
이 정리의 증명은 부분합을 디리클레 핵 D_N(t) = sin((N+12)t)2sint2 = 12 + NΣk=1cos kt과의 적분으로 다시 쓴 뒤, 1071번 ⑷의 리만―르베그 보조정리를 적분가능한 함수 일반에 대해 확장한 판으로 나머지를 0으로 보내는 방식으로 이루어집니다. 그 확장판은 리만적분의 상·하합을 직접 다루거나 측도론을 필요로 하므로 여기서는 결과만 인용합니다.
이 조건이 필요조건은 아니라는 점도 함께 밝혀 둡니다―구간별 매끄럽지 않아도 수렴하는 함수가 있고, 반대로 연속인데도 어떤 점에서 푸리에급수가 발산하는 함수가 존재합니다(뒤부아―레몽, 1873). 그러므로 1068번 ⑷에서 «추가 조건 없이는 거짓일 수 있다»고 한 것은 과장이 아닙니다.

대학 ⑶ 파르스발 항등식(Parseval’s identity). f가 [−π, π]에서 연속(더 일반적으로는 f²이 적분가능)이면 1071번 ⑶의 베셀 부등식에서 항상 등호가 성립합니다.

1ππ∫−πf(x)² dx = a₀²2 + ∞Σk=1(a_k²+b_k²)

이는 1071번 ⑸에서 말한 대로 E(S_N)→0, 즉 삼각함수계가 빠짐없이 갖춰져 있다(완비성)는 주장입니다. 증명에는 바이어슈트라스 근사정리(연속인 주기함수는 삼각다항식으로 고르게 근사된다)나 측도론적 논증이 필요하므로 결과만 인용합니다. 이 등식은 «에너지 보존»으로 읽히기도 합니다―f의 제곱평균이 각 진동수 성분의 제곱의 합과 같다는 뜻이기 때문입니다.

⑷ ⑶의 따름 ― 연속함수는 푸리에계수가 결정한다(여기서부터는 완전한 증명). ⑶을 인용하고 나면 다음은 초등적으로 마무리됩니다 : [−π, π]에서 연속인 두 함수 f, g의 푸리에계수가 모두 같으면 f=g이다.

h:=f−g로 두면 h의 푸리에계수는 모두 0	1066번의 정의 · 9.8 f742(적분의 선형성)
⇒ π∫−πh² dx = π·0 = 0	⑶(파르스발 항등식)
어떤 x0에서 h(x0)≠0이라 가정하면, ε:=h(x0)²2>0에 대해 |x−x0|<δ에서 h²>ε인 δ>0이 존재	h²이 연속―8.2 f638(연속의 정의) · f639
⇒ π∫−πh² dx ≥ x0+δ∫x0−δh² dx ≥ 2δε > 0	h²≥0과 9.8 f740(가법성) · f743(대소 관계)
∴ 모순이므로 h≡0, 즉 f=g	귀류법

(구간의 끝 근처에서는 [x₀−δ, x₀+δ]가 [−π, π] 안에 들어오도록 δ를 더 줄이면 되고, 그때 부등식의 2δε은 δε으로 약해질 뿐 결론은 같습니다.) 이 따름정리는 1074번에서 급수해가 실제로 초기함수와 일치한다는 것을 확인할 때 쓰입니다.

⑸ 깁스 현상. f가 불연속인 점 근처에서 부분합 S_N은 N을 아무리 크게 해도 뛰는 폭의 일정 비율만큼 위아래로 넘칩니다. 1073번 ⑶의 사각파(뛰는 폭 2)에서 부분합의 최댓값은 N→∞일 때 2ππ∫0sin tt dt = 1.17898…로 가까워지므로, 넘치는 양은 뛰는 폭의 약 8.95%이며 0으로 줄지 않습니다. 이를 깁스 현상(Gibbs phenomenon)이라 하며, 넘치는 자리가 불연속점 쪽으로 점점 좁아지기 때문에 ⑵의 각 점에서의 수렴과는 모순되지 않습니다. 다만 이는 수렴이 고르지 않다는 것을 뜻하며, 1068번의 univ-note가 말한 고른수렴 가정이 불연속함수에서는 성립할 수 없는 이유입니다.

⑹ 이 절에서 증명한 것과 인용한 것. 이 구분을 뭉개지 마십시오.

완전히 증명함	직교관계(1067번) · 삼각다항식과 절대수렴급수에 대한 계수의 유일성(1068번 ⑴·⑶) · 우함수·기함수의 분리와 반구간 전개(1069번·1070번) · 최소제곱 최적성과 베셀 부등식, 리만―르베그 보조정리(1071번) · 위 ⑷의 따름정리 · 1073번·1074번의 모든 계수 계산
결과만 인용함	고르게 수렴하는 급수의 항별 적분(1068번의 univ-note) · 단조유계 수렴 정리(1071번 ⑶) · 디리클레 정리(위 ⑵) · 파르스발 항등식(위 ⑶) · t>0에서의 항별 미분(1074번 ⑸)

따라서 1073번에서 얻는 급수의 합(라이프니츠 급수·바젤 문제 등)은 모두 ⑵의 인용에 의존합니다―다만 라이프니츠 급수는 11.10 f1048에서 이미 독립적으로 증명되어 있으므로, 1073번 ⑴은 인용한 정리에 대한 교차 검증이 됩니다.

사용 : 1066번 · 1067번 · 1068번 · 1069번 · 1070번 · 1071번 · 1073번 · 1074번 · 11.10의 1048번 · 9.8의 740번 · 742번 · 743번 · 8.2의 630번 · 638번 · 639번 · 640번 · 641번 · 귀류법

증명 끝

1073정리·활용세 가지 고전적 전개 ― 톱니파·포물선·사각파(Three Classical Expansions)x² = π²3 + 4∞Σn=1(−1)ⁿcos nxn²  ⇒  ∞Σn=11n² = π²6

증명법 : 직접증명법(1069번로 계수의 절반을 지우고 9.8 f748(부분적분)로 나머지를 계산) · 수학적 귀납법(cos nπ=(−1)ⁿ)

여기서 계수의 계산은 전부 이 절에서 완결되지만, 그렇게 얻은 급수가 어떤 값으로 수렴하는지는 1072번 ⑵(디리클레 정리)의 인용에 의존합니다―이 구분을 각 항목마다 명시합니다.

⑴ 준비 ― cos nπ = (−1)ⁿ. 세 계산 모두에서 쓰입니다.

cos 0 = 1 = (−1)0	4.4 f423
cos((n+1)π) = cos(nπ+π) = −cos nπ	4.6 f433(반바퀴공식)
∴ cos nπ = (−1)n  (모든 음이 아닌 정수 n)	수학적 귀납법

또 다음 적분도 되풀이해 쓰이므로 먼저 확정합니다(n≥1).

π∫0x sin nx dx = [−x cos nxn]0π + 1nπ∫0cos nx dx = −πcos nπn + 0 = (−1)n+1πn

9.8 f748(부분적분) · 9.4 f713 · 9.8 f746 · 1067번 ⑴(둘째 적분이 0) · ⑴

⑵ 톱니파 f(x)=x. [−π, π]에서 f(x)=x로 두고 주기 2π로 확장합니다. f는 기함수이므로 1069번 ⑶에 의해 a_n=0이고

bn = 2ππ∫0x sin nx dx = 2π·(−1)n+1πn = 2(−1)n+1n

1069번 ⑶ · 위 ⑴의 적분

x ~ 2∞Σn=1(−1)ⁿ⁺¹sin nxn = 2(sin x − sin 2x2 + sin 3x3 − …)

주기 확장은 x=(−π, π) 안에서는 연속이고 x=±π에서만 불연속입니다(f(π)=π인데 f(−π)=−π). 1072번 ⑵를 인용하면 두 사실을 얻습니다.

x=π2  (연속점)  ⇒  π2 = 2∞Σj=0(−1)j2j+1  ⇒  π4 = 1 − 13 + 15 − …	1072번 ⑵ · sin nπ2는 n이 짝수면 0, n=2j+1이면 (−1)j
x=π  (불연속점)  ⇒  모든 항이 sin nπ=0이므로 급수의 합은 0 = f(π−) + f(π+)2 = π + (−π)2	1067번 ⑴ · 1072번 ⑵

첫 줄에서 나온 것은 라이프니츠 급수이며, 이는 11.10 f1048에서 푸리에급수를 전혀 쓰지 않고 이미 독립적으로 증명되어 있습니다―따라서 이 계산은 인용한 디리클레 정리에 대한 교차 검증이 됩니다(1072번 ⑹). 둘째 줄은 «불연속점에서는 양쪽 값의 평균»이라는 디리클레 정리의 결론이 실제로 확인되는 자리입니다.

⑶ 포물선 f(x)=x². [−π, π]에서 f(x)=x²은 우함수이므로 1069번 ⑵에 의해 b_n=0이고

a0 = 2ππ∫0x² dx = 2π·π³3 = 2π²3	9.1 f694 · 9.8 f746
an = 2ππ∫0x²cos nx dx = 2π([x²sin nxn]0π − 2nπ∫0x sin nx dx)	9.8 f748(부분적분) · 9.4 f713
= 2π(0 − 2n·(−1)n+1πn) = 4(−1)nn²	sin nπ=0(1067번 ⑴) · 위 ⑴의 적분

x² ~ π²3 + 4∞Σn=1(−1)ⁿcos nxn²

이번에는 f(π)=f(−π)=π²이므로 주기 확장이 온 실수축에서 연속이고, 구간별 매끄럽습니다. 그러므로 1072번 ⑵에 의해 모든 x에서 물결표가 등호가 됩니다. 여기에 두 점을 대입합니다.

x=π  ⇒  π² = π²3 + 4∞Σn=1(−1)n(−1)nn² = π²3 + 4∞Σn=11n²	⑴(cos nπ=(−1)n) · (−1)n(−1)n=1
∴ ∞Σn=11n² = 14(π² − π²3) = π²6	위 줄을 정리―바젤 문제
x=0  ⇒  0 = π²3 + 4∞Σn=1(−1)nn²  ⇒  ∞Σn=1(−1)n+1n² = π²12	4.4 f423(cos 0=1)

바젤 문제―∞Σn=11n²의 정확한 값―는 11.6 f1020(적분판정법)이 이 급수의 수렴만 보이고 그 값은 남겨 두었던 물음입니다. 푸리에급수가 그 값을 한 번의 대입으로 내놓습니다. 다만 이 결론은 1072번 ⑵의 인용에 의존하며, 이 사이트에서 이 값이 얻어지는 것은 이번이 처음입니다.

⑷ 사각파. [−π, π]에서 f(x)=−1(−π<x<0), 1(0<x<π)로 두면 기함수이므로

bn = 2ππ∫0sin nx dx = 2π[−cos nxn]0π = 2(1−(−1)n)nπ	1069번 ⑶ · 9.4 f713 · 9.8 f746 · ⑴
∴ bn = 4nπ (n 홀수),   0 (n 짝수)	1−(−1)n은 n이 홀수면 2, 짝수면 0

f(x) ~ 4π∞Σj=0sin(2j+1)x2j+1 = 4π(sin x + sin 3x3 + sin 5x5 + …)

x=0은 불연속점인데 모든 항이 sin 0=0이므로 급수의 합은 0이고, 이는 f(0+) + f(0−)2 = 1 + (−1)2 = 0과 일치합니다―디리클레 정리의 평균값 결론이 다시 확인됩니다. x=π2(연속점)를 넣으면 sin (2j+1)π2=(−1)^j이므로 1 = 4π∞Σj=0(−1)^j2j+1, 즉 ⑵에서 얻은 것과 같은 라이프니츠 급수가 나옵니다―서로 다른 두 함수의 전개가 같은 급수를 내놓는 것은 우연이 아니라, 1070번 ⑸에서 본 대로 상수함수 1의 사인전개가 바로 이 사각파이기 때문입니다.

사각파와 그 부분합 S₁·S₃·S₉·S₂₁(⑷의 계수를 그대로 픽셀에 대입해 그린 것). 불연속점 x=0, ±π에서는 모든 부분합이 값 0을 지나며, 이는 양쪽 값 1과 −1의 평균입니다(붉은 점). 그 바로 옆에서 부분합이 1을 넘어 솟는 것이 1072번 ⑸의 깁스 현상으로, 넘치는 높이는 항을 아무리 더해도 1.1790(주황 점선) 아래로 줄지 않고 솟는 자리만 불연속점 쪽으로 좁아집니다.

⑸ 파르스발 항등식의 확인과 ∞Σn=11n⁴. 1072번 ⑶을 인용하면 위 계수들이 실제로 등식을 만족하는지 검산할 수 있습니다.

f=x : 1ππ∫−πx² dx = 2π²3,   ∞Σn=1bn² = ∞Σn=14n² = 4·π²6 = 2π²3  ✔	⑵의 계수 · ⑶의 바젤 값 · 11.5 f1010(급수의 선형성)
f=x² : 1ππ∫−πx4 dx = 2π45 = a0²2 + ∞Σn=1an² = 2π49 + 16∞Σn=11n4	1072번 ⑶ · ⑶의 계수
∴ ∞Σn=11n4 = 116(2π45 − 2π49) = π490	위 줄을 정리

첫 줄은 양변이 실제로 일치하므로 인용한 파르스발 항등식에 대한 검산이고, 둘째·셋째 줄은 그 항등식을 사용해 새 값을 얻은 것입니다―따라서 ∞Σn=11n⁴ = π⁴90은 인용에 의존하는 결과입니다(바젤 값이 1072번 ⑵에 의존하는 것과 같은 뜻으로).

⑹ 세 전개의 비교. 계수가 0으로 가는 빠르기가 원래 함수의 매끄러움과 정확히 짝을 이룹니다.

사각파(불연속)	bn ~ 4nπ  ―  1n 차수로 느리게 감소, 급수는 절대수렴하지 않음(11.4 f772의 조화급수와 같은 차수)
톱니파(끝점에서만 불연속)	bn ~ 2n  ―  같은 차수
포물선(주기 확장이 연속)	an ~ 4n²  ―  1n² 차수로 빠르게 감소, 절대수렴(11.6 f1020)

이는 1071번 ⑷의 리만―르베그 보조정리(계수는 반드시 0으로 간다)를 정량적으로 다듬은 것으로, 함수가 매끄러울수록 계수가 빨리 죽는다는 푸리에해석의 기본 원리입니다―1074번에서 열방정식의 해가 시간이 지날수록 매끄러워지는 것도 같은 원리의 귀결입니다.

사용 : 1066번 · 1067번 · 1069번 · 1070번 · 1071번 · 1072번 · 1074번 · 11.10의 1048번 · 11.6의 1020번 · 11.5의 1010번 · 11.4의 772번 · 9.8의 746번 · 748번 · 9.4의 713번 · 9.1의 694번 · 4.6의 433번 · 4.4의 423번 · 직접증명법 · 수학적 귀납법

증명 끝

1074정리·활용10.3의 열방정식·라플라스방정식의 완결(Completing the Heat and Laplace Problems)u(x,t) = ∞Σn=1b_nsin nπxL e^{−(nπL)²κt}

증명법 : 직접증명법(1070번 ⑶으로 계수를 결정한 뒤 1072번 ⑵·⑷로 초기조건을 확인)

10.3 f1006·f1008은 초기함수 f가 유한 사인급수일 때에만 완전해를 구성하고, 일반적인 f에 대해서는 «계수를 무한 푸리에 사인급수로 정해야 하며 그 수렴성은 11.13의 결과»라고 미뤄 두었습니다. 이 항목이 그 자리를 메웁니다.

⑴ 문제. 10.3 f1006의 열방정식 초기·경계값 문제는 다음이었습니다(κ>0, L>0).

u_t = κu_xx,    u(0,t)=u(L,t)=0  (t>0),    u(x,0)=f(x)  (0≤x≤L)

10.3은 분리변수법으로 낱개의 해 u_n(x,t) = sin nπxL e^{−(nπL)²κt}를 얻고, 중첩원리로 이들의 유한 선형결합도 해임을 보였습니다. 남은 것은 계수를 어떻게 고르면 u(x,0)=f(x)가 되는가입니다.

⑵ 계수의 결정. t=0에서 u(x,0) = ∞Σn=1b_nsin nπxL이므로, 이것이 f(x)와 같아지려면 b_n은 f의 (0, L) 위 반구간 사인전개의 계수여야 합니다. 1070번 ⑶에 의해

b_n = 2LL∫0f(x)sin nπxL dx

입니다. 이 공식이 10.3의 두 university-note가 가리키던 바로 그 공식이며, 1070번 ⑶에서 완전히 증명되었습니다. 그리고 1070번 ⑶에서 지적한 대로 모든 항 sin nπxL가 x=0, L에서 0이므로 경계조건은 계수와 무관하게 자동으로 만족됩니다.

⑶ 예 ― f(x)=x(L−x). 10.3의 university-note가 예로 든 초기함수입니다. ω:=nπL로 줄여 쓰면

L∫0x(L−x)sin ωx dx = [−x(L−x)cos ωxω]0L + 1ωL∫0(L−2x)cos ωx dx	9.8 f748(부분적분) · 9.4 f713
= 0 + 1ω([(L−2x)sin ωxω]0L + 2ωL∫0sin ωx dx)	x=0, L에서 x(L−x)=0 · 9.8 f748 다시
= 2ω²·1−cos ωLω = 2(1−(−1)n)ω³	sin ωL=sin nπ=0(1067번 ⑴) · 9.4 f713 · 1073번 ⑴(cos nπ=(−1)n)
∴ bn = 2L·2(1−(−1)n)L³n³π³ = 8L²n³π³ (n 홀수),   0 (n 짝수)	ω³=n³π³L³를 대입 · 1070번 ⑶

따라서 완전해는 다음과 같습니다.

u(x,t) = 8L²π³∞Σj=01(2j+1)³sin (2j+1)πxL e^{−((2j+1)πL)²κt}

⑷ 초기조건이 실제로 만족되는가. t=0에서 위 급수가 정말 f(x)=x(L−x)와 같은지는 확인이 필요합니다. f는 (0, L)에서 매끄럽고 f(0)=f(L)=0이므로 그 기함수 확장은 온 실수축에서 연속이며 구간별 매끄럽습니다(1072번 ⑴). 그러므로 1072번 ⑵(디리클레 정리)에 의해 급수는 모든 x에서 f(x)로 수렴합니다.

같은 결론을 1072번 ⑷로도 얻을 수 있습니다 : b_n이 1n³ 차수로 감소하므로 ∞Σn=1|b_n|이 수렴하고(11.6 f1016), 1068번 ⑶에 의해 급수의 합 g는 연속이면서 그 푸리에계수가 b_n―즉 f의 푸리에계수―와 같으므로, 1072번 ⑷(연속함수는 푸리에계수가 결정한다)에 의해 g=f입니다. 두 경로 모두 1072번의 인용을 한 번 지나가며, 그 인용 이후는 완전히 초등적입니다.

대학 위 급수가 t>0에서 실제로 열방정식을 만족한다는 것―즉 u_t=κu_xx를 확인하기 위해 무한급수를 항별로 두 번 미분해도 되는가―는 별도의 정당화를 요구합니다. 직관적으로는 지수인자 e^{−(nπL)²κt}가 n에 대해 n²의 지수로 감소하므로 항별 미분으로 n²배가 곱해져도 여전히 압도적으로 빨리 수렴하지만, 이를 결론으로 삼으려면 고르게 수렴하는 급수의 항별 미분 정리가 필요하며 이는 11.9 f1038이 멱급수에 대해서만 확보한 것을 넘어섭니다. 여기서는 결과만 인용합니다.
또한 이 해의 유일성은 10.3 f1006이 인용한 열방정식의 최대원리로 보장되며, 그 증명은 11.13과 무관한 별도의 표준 결과이므로 여전히 인용으로 남습니다―pending-forward-refs.json의 pf-1006-1008-fourier-series 항목이 처음부터 밝혀 둔 대로, 이 절의 작성으로 해소되는 것은 급수의 수렴·계수 결정 부분입니다.

L=1, κ=1, f(x)=x(1−x)일 때 ⑶의 급수해를 여러 시각에서 그린 것(⑶에서 계산한 계수 8(2j+1)³π³을 그대로 픽셀에 대입, 항은 j=0부터 59까지). t=0의 곡선은 초기함수 x(1−x)로 최댓값이 x=0.5에서 0.25이고, 시간이 지날수록 고주파 성분이 e^{−(2j+1)²π²t}로 훨씬 빠르게 죽어 곡선이 평평해지면서 매끄러워집니다―1073번 ⑹에서 본 «매끄러운 함수는 계수가 빨리 죽는다»의 역방향 읽기입니다. 양 끝점의 값은 언제나 0으로 경계조건 u(0,t)=u(1,t)=0을 유지합니다.

⑸ 라플라스방정식(10.3 f1008). 직사각형 0<x<a, 0<y<b에서 u_xx+u_yy=0, 세 변에서 0, u(x,b)=f(x)인 문제도 같은 방식으로 완결됩니다. 10.3이 얻은 낱개의 해가 sin nπxa·S_n(y)(S_n(y)=e^nπya−e^−nπya)이므로, f의 (0, a) 위 반구간 사인계수를 d_n = 2aa∫0f(x)sin nπxa dx로 두고 c_n:=d_nS_n(b)(S_n(b)≠0은 10.3에서 확인)로 택하면 마지막 경계조건이 만족됩니다―수렴은 ⑷와 같은 논거입니다. 조화함수의 최대원리에 의한 유일성은 위 univ-note대로 인용으로 남습니다.

⑹ 정리. 이로써 10.3이 «챕터 11을 먼저 써야 메울 수 있다»고 남겨 둔 자리가 채워졌습니다. 이 절이 그 자리에 넣은 것은 정확히 세 가지입니다 : ① 계수 공식(1070번 ⑶, 완전 증명), ② 그 급수가 초기함수로 수렴한다는 사실(1072번 ⑵ 또는 ⑷의 인용 한 번 + 나머지는 초등적), ③ 계수의 유일성(1068번, 완전 증명). 항별 미분과 최대원리는 처음부터 이 절의 범위 밖이며 인용으로 남습니다.

사용 : 1067번 · 1068번 · 1070번 · 1072번 · 1073번 · 10.3의 1006번 · 1008번 · 11.9의 1038번 · 11.6의 1016번 · 9.8의 748번 · 9.4의 713번 · 직접증명법

증명 끝

자체 오류 검토(1회) : 참조 번호(1066―1074)와 인용한 외부 앵커가 모두 실제로 존재하며 진술과 일치함을 확인했습니다(4.2·4.4·4.6·4.7·4.15·6.5·8.1·8.2·9.1·9.4·9.8·9.9·10.3·11.4·11.5·11.6·11.9·11.10·11.12·logic). 1067번의 직교적분, 1073번의 세 전개의 모든 계수, 1074번 ⑶의 b_n, 그리고 1073번 ⑸의 파르스발 양변은 sympy로 기호·수치 재검산했고, 깁스 상한 1.17898…은 부분합의 최댓값을 직접 계산해 확인했습니다. 다이어그램 세 개는 각 절의 실제 공식값을 픽셀에 대입해 생성한 뒤 Chromium으로 렌더링해 육안 확인했습니다. 결론과 전제의 일치 여부도 다시 점검했습니다―완전히 증명한 것(직교관계·계수의 유일성·반구간 전개·베셀 부등식·모든 계수 계산)과 결과만 인용한 것(고른수렴 급수의 항별 적분·미분·단조유계 수렴 정리·디리클레 정리·파르스발 항등식)의 경계가 1072번 ⑹의 표와 각 항목의 서술에서 어긋나지 않으며, 바젤 문제와 ∞Σn=11n⁴=π⁴90이 인용에 의존하는 결과임을 해당 자리에 모두 명시했습니다. pending-forward-refs.json의 pf-1006-1008-fourier-series는 급수의 수렴·계수 결정 부분만 해소되고 최대원리에 의한 유일성은 인용으로 남는다는 원래 등록 취지대로 처리했습니다.