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11.13   대학 과정

푸리에급수

Fourier Series

정의 · 공식과 증명

11.1부터 11.12까지 챕터 11이 다뤄 온 급수는 모두 항이 x의 거듭제곱인 급수였습니다―유한급수(11.1―11.3)에서 무한급수의 수렴판정(11.4―11.7)을 거쳐 멱급수(11.8―11.12)까지, 결국 도달한 곳은 «매끄러운 함수를 다항식의 극한으로 본다»는 관점이었습니다. 이 마지막 절은 항을 사인·코사인으로 바꿉니다. 그 대가로 11.9가 확보한 항별 미적분의 정당화를 그대로 쓸 수 없게 되지만, 대신 불연속함수까지 전개할 수 있다는 이득을 얻습니다―멱급수의 합은 수렴반지름 안(열린구간)에서 반드시 연속이었으므로(11.9 f1038), 사각파 같은 함수는 애초에 멱급수의 사정거리 밖이었습니다. 1066번이 계수를 정의하고, 1067번이 그 정의를 강제하는 직교관계를 4.15의 곱―합 변형공식만으로 완전히 증명합니다. 1068번은 그렇게 정한 계수가 유일함을, 1069번·1070번은 우함수·기함수의 분리와 임의 주기 2L로의 확장을 다루며―여기서 10.3이 남겨 둔 반구간 사인전개 공식이 나옵니다―1071번은 베셀 부등식과 리만―르베그 보조정리를 인용 없이 증명합니다. 1072번은 디리클레 정리와 (연속이고 구간별 매끄러운 함수의) 파르스발 항등식을 이 사이트의 도구만으로 증명하고, 1073번은 세 가지 고전적 전개에서 라이프니츠 급수와 바젤 문제 ∞Σn=11n² = π²6를 얻습니다. 마지막 1074번이 10.3 f1006·f1008의 미해결 각주를 실제로 메웁니다. 이 절은 12개 챕터 137개 소단원으로 이루어진 이 시리즈의 마지막 소단원입니다.

1066정의푸리에계수와 푸리에급수(Fourier Coefficients and Fourier Series)f(x) ~ a₀2 + ∞Σn=1(a_ncos nx + b_nsin nx)

정의이므로 정의 자체는 증명 대상이 아닙니다. 다만 ⑵는 이 정의가 실제로 뜻을 갖기 위한 조건이므로 근거를 붙여 확인하고, ⑴·⑶·⑷는 정의를 이렇게 둔 이유를 밝힙니다.

실수 계수 A₀, A_k, B_k에 대해

T(x) = A₀2 + NΣk=1(A_kcos kx + B_ksin kx)

꼴의 함수를 삼각다항식(trigonometric polynomial)이라 하고, 항의 개수를 무한히 늘린

A₀2 + ∞Σk=1(A_kcos kx + B_ksin kx)

꼴의 급수를 삼각급수(trigonometric series)라 합니다(11.4 f769의 뜻으로). 삼각급수는 멱급수가 아닙니다―11.8 f1027의 멱급수는 항이 x의 거듭제곱이었지만, 여기서는 항이 사인·코사인입니다. 이 차이가 이 절 전체의 성격을 결정합니다.

이제 함수 f가 주어졌을 때 어떤 계수를 골라야 그 삼각급수가 f를 나타내는가를 묻습니다. 그 답으로 다음을 정의합니다. f가 [−π, π]에서 적분가능하다고 할 때, f의 푸리에계수(Fourier coefficients)는

a_n := 1ππ∫−πf(x)cos nx dx   (n = 0, 1, 2, …)

b_n := 1ππ∫−πf(x)sin nx dx   (n = 1, 2, 3, …)

이고, 이 계수로 만든 삼각급수

a₀2 + ∞Σn=1(a_ncos nx + b_nsin nx)

를 f의 푸리에급수(Fourier series)라 합니다. 이때

f(x) ~ a₀2 + ∞Σn=1(a_ncos nx + b_nsin nx)

라고 적습니다―물결표는 등호가 아닙니다(⑶ 참고).

⑴ 왜 상수항만 절반인가. 상수항을 a₀가 아니라 a₀2로 둔 것은 관례가 아니라 계수 공식을 하나로 통일하기 위한 필연입니다. 1067번 ⑵에서 보듯 cos nx끼리의 적분값이 n≥1일 때는 π인데 n=0일 때만 2π로 두 배입니다. 상수항을 그 절반으로 두면 이 두 배가 정확히 상쇄되어, n=0을 포함한 모든 n에서 같은 공식 a_n = 1ππ∫−πf(x)cos nx dx가 성립합니다. 실제로 n=0을 대입하면 cos 0=1(4.4 f423)이므로

a₀ = 1ππ∫−πf(x) dx,    a₀2 = 12ππ∫−πf(x) dx

이고, 오른쪽 식은 f의 한 주기에 걸친 평균값입니다―푸리에급수의 상수항이 원래 함수의 평균이라는 것은 1073번의 세 예에서 모두 눈으로 확인됩니다.

⑵ 언제 정의되는가. 정의가 뜻을 가지려면 두 적분이 존재해야 합니다.

f가 [−π, π]에서 연속  ⇒  f(x)cos nx, f(x)sin nx도 연속	8.2 f639(연속함수의 곱은 연속) · 8.3 f646로 sin·cos의 연속성(8.4 f654·f655)
⇒ 두 적분이 모두 존재	9.8 f739(연속함수의 적분가능성)

f가 구간별 연속(유한개의 점을 빼고 연속이며, 그 점에서 좌우극한이 유한한 값으로 존재)일 때는 9.8의 정적분(연속함수에 대해 정의됨)을 다음과 같이 넓혀 씁니다. [a, b]를 나누는 점 a=c₀<c₁<…<c_r=b를 f의 불연속점이 모두 들어가도록 잡고, 각 소구간 [c_i−1, c_i]에서 f를 끝점의 한쪽 극한값 f(c_i−1+), f(c_i−)으로 이은 함수 f_i(그 닫힌구간에서 연속)를 생각해 b∫af(x) dx := rΣi=1c_i∫c_i−1f_i(x) dx로 약속합니다. 나누는 점을 더 넣어도 값은 같고(9.8 f740), 유한개의 점에서 f의 값을 바꿔도 f_i가 바뀌지 않으므로 값이 같습니다. f가 연속이면 r=1로 두어 원래의 적분과 같습니다. 선형성·대소 관계·절댓값 부등식·치환적분·부분적분(9.8 f742·f743·f747·f748)은 관련된 함수들의 나누는 점을 모두 합친 분할 위에서 조각마다 적용해 더하면 그대로 성립하므로, 이 절에서는 구간별 연속 함수에 대해서도 이들을 이 뜻으로 씁니다. 이 절에서 다루는 f는 모두 이 범위 안에 있으며, 1073번 ⑷의 사각파처럼 불연속인 함수도 포함합니다―멱급수로는 결코 나타낼 수 없었던 함수입니다(11.9 f1038에 의해 멱급수의 합은 수렴반지름 안(열린구간)에서 무한 번 미분가능하므로 반드시 연속입니다).

⑶ 물결표의 뜻. 위 정의는 f로부터 계수를 계산하는 절차일 뿐이며, 그렇게 만든 급수가 수렴하는지도, 수렴한다면 그 합이 f와 같은지도 아직 전혀 말하지 않았습니다. 11.8 f1034 ⑴·11.12 f1059 ⑷에서 «수렴반지름은 합이 무엇인지 말해 주지 않는다»고 했던 것과 정확히 같은 상황입니다. 이 물음의 답은 1072번에서 다루며, 그 답은 추가 조건 없이는 부정적입니다.

⑷ 주기 2π로의 확장. 사인·코사인은 모두 2π를 주기로 가지므로(4.7 f437), 위 급수가 수렴한다면 그 합은 자동으로 주기 2π인 함수입니다(8.1 f621). 따라서 [−π, π]에서만 주어진 f를 다룰 때에도, 그 값을 f(x+2π) = f(x)로 온 실수축에 되풀이해 주기 확장한 것을 상대로 이야기하는 것이 자연스럽습니다. 이 확장은 x = (2j+1)π 자리에서 f(π)≠f(−π)이면 불연속이 되는데, 그 자리에서 급수가 무엇으로 수렴하는지가 1072번의 핵심입니다.

사용 : 1067번 · 1072번 · 1073번 · 11.4의 769번 · 11.8의 1027번 · 1034번 · 11.9의 1038번 · 11.12의 1059번 · 9.8의 739번 · 740번 · 8.1의 621번 · 8.2의 639번 · 8.3의 646번 · 8.4의 654번 · 655번 · 4.7의 437번 · 4.4의 423번

1067정리삼각함수계의 직교관계(Orthogonality Relations)π∫−πcos mx cos nx dx = 0,   π∫−πsin mx sin nx dx = 0  (m≠n)

증명법 : 직접증명법 · 경우를 나누는 방법(m≠n, m=n≥1, m=n=0)

음이 아닌 정수 m, n에 대해 다음이 성립합니다.

π∫−πcos mx cos nx dx = 0  (m≠n),   π  (m=n≥1),   2π  (m=n=0)	아래 ⑵
π∫−πsin mx sin nx dx = 0  (m≠n 또는 m=n=0),   π  (m=n≥1)	아래 ⑶
π∫−πsin mx cos nx dx = 0  (모든 m, n)	아래 ⑷

⑴ 보조계산 ― 하나의 사인·코사인의 적분. 모든 증명이 여기로 환원되므로 먼저 이것을 확정합니다. k를 정수라 합시다.

먼저 정수 k에 대해 sin kπ = 0입니다.

sin 0 = 0,   sin π = sin(π−0) = sin 0 = 0	4.4 f423 · 4.6 f433(보각공식)
k=2j  ⇒  sin kπ = sin(0+2jπ) = sin 0 = 0	4.7 f437(주기성)
k=2j+1  ⇒  sin kπ = sin(π+2jπ) = sin π = 0	4.7 f437

이제 적분을 계산합니다.

k≠0  ⇒  π∫−πcos kx dx = [sin kxk]−ππ = sin kπ − sin(−kπ)k = 0	9.4 f713 · 9.8 f746 · 위에서 sin kπ=0
k=0  ⇒  π∫−πcos 0·x dx = π∫−π1 dx = [x]−ππ = 2π	4.4 f423(cos 0=1) · 9.1 f694 · 9.8 f746
k≠0  ⇒  π∫−πsin kx dx = [−cos kxk]−ππ = −cos kπ − cos(−kπ)k = 0	9.4 f713 · 9.8 f746 · 4.6 f432(음각공식 : 코사인은 우함수)
k=0  ⇒  π∫−πsin 0·x dx = π∫−π0 dx = 0	4.4 f423(sin 0=0)

정리하면 k≠0인 정수이면 두 적분이 모두 0이고, cos 쪽만 k=0에서 2π입니다. 이 한 줄이 아래 세 계산의 전부입니다.

⑵ 코사인끼리. 4.15 f486(2cos A cos B = cos(A−B) + cos(A+B))에 A=mx, B=nx를 넣습니다.

π∫−πcos mx cos nx dx = 12π∫−π[cos(m−n)x + cos(m+n)x] dx	4.15 f486
= 12(π∫−πcos(m−n)x dx + π∫−πcos(m+n)x dx)	9.8 f742(정적분의 선형성)
m≠n  ⇒  m−n≠0이고 m+n≠0  ⇒  = 12(0+0) = 0	⑴ · m+n=0은 m=n=0일 때뿐인데 그때는 m=n
m=n≥1  ⇒  = 12(π∫−π1 dx + π∫−πcos 2mx dx) = 12(2π+0) = π	⑴(m−n=0, m+n=2m≠0)
m=n=0  ⇒  π∫−π1·1 dx = 2π	⑴

⑶ 사인끼리. 4.15 f487(2sin A sin B = cos(A−B) − cos(A+B))을 같은 방식으로 씁니다. 부호가 하나 바뀌는 것만 다릅니다.

π∫−πsin mx sin nx dx = 12(π∫−πcos(m−n)x dx − π∫−πcos(m+n)x dx)	4.15 f487 · 9.8 f742
m≠n  ⇒  = 12(0−0) = 0	⑴
m=n≥1  ⇒  = 12(2π−0) = π	⑴
m=n=0  ⇒  sin 0·x=0이므로 적분값도 0	⑴

m=n일 때 코사인 쪽은 2π와 π로 갈리는데 사인 쪽은 0과 π로 갈리는 이 비대칭이, 1066번 ⑴에서 상수항만 절반으로 둔 이유입니다―상수함수 1은 «cos 0·x»로서 이 계에 들어 있지만 «sin 0·x»는 항등적으로 0이라 아예 항이 되지 못합니다.

⑷ 사인과 코사인의 곱. 4.15 f484(2sin A cos B = sin(A+B) + sin(A−B))을 씁니다.

π∫−πsin mx cos nx dx = 12(π∫−πsin(m+n)x dx + π∫−πsin(m−n)x dx) = 12(0+0) = 0

4.15 f484 · 9.8 f742 · ⑴(사인 쪽은 k가 무엇이든 0)

여기에는 예외가 없습니다―m=n이든 아니든, 0이든 아니든 언제나 0입니다. 이것이 1069번에서 우함수·기함수의 급수가 완전히 갈라지는 근본 이유입니다.

⑸ 이 결과의 뜻 ― «직교»라는 말. 두 함수 u, v에 대해 π∫−πu(x)v(x) dx를 벡터의 내적(6.5 f533)에 빗대어 생각하면, 위 결과는 서로 다른 두 삼각함수의 «내적»이 항상 0이라는 말입니다―그래서 이 계를 직교계(orthogonal system)라 부릅니다. 직교하는 벡터들로 좌표를 잡으면 각 성분을 내적 한 번으로 뽑아낼 수 있듯이, 이 직교관계 덕분에 삼각급수의 계수도 적분 한 번으로 뽑아낼 수 있습니다―그것이 바로 1068번입니다. 다시 말해 1066번의 계수 공식은 임의로 정한 것이 아니라 이 직교관계가 강제하는 유일한 선택입니다.

직교관계가 성립하는 모습(m=1, n=2). 왼쪽은 ⑶의 m≠n인 경우로, y=sin x·sin 2x = 2sin²x·cos x의 부호가 cos x의 부호를 따라 갈리면서 축 위쪽 넓이(파랑)와 아래쪽 넓이(분홍)가 정확히 상쇄되어 적분이 0이 됩니다. 오른쪽은 m=n인 경우로, y=sin²x가 항상 0 이상이라 상쇄가 일어나지 않고 넓이 π가 그대로 남습니다―이 «남는 π»가 1068번에서 계수를 뽑아낼 때 분모에 들어가는 바로 그 수입니다.

사용 : 1066번 · 1068번 · 1069번 · 1070번 · 1071번 · 4.15의 484번 · 486번 · 487번 · 4.7의 437번 · 4.6의 432번 · 433번 · 4.4의 423번 · 9.4의 713번 · 9.1의 694번 · 9.8의 742번 · 746번 · 6.5의 533번 · 직접증명법 · 경우를 나누는 방법

증명 끝

1068정리오일러―푸리에 공식과 계수의 유일성(Euler―Fourier Formulas and Uniqueness)삼각급수가 f로 수렴  ⇒  그 계수는 반드시 f의 푸리에계수

증명법 : 직접증명법(직교관계로 원하는 항만 남기고 나머지를 0으로 만드는 방법) · 경우를 나누는 방법(n=0, 1≤n≤N, n>N)

1066번은 계수 공식을 정의로 선언했을 뿐입니다. 이 항목은 그 선언이 옳았음을 보입니다―삼각급수가 어떤 함수를 나타낸다면, 그 계수는 그 함수의 푸리에계수 말고 다른 것일 수 없습니다.

⑴ 삼각다항식의 경우 ― 완전한 증명. 유한합

T(x) = A₀2 + NΣk=1(A_kcos kx + B_ksin kx)

에 대해, 음이 아닌 정수 n을 하나 고정하고 양변에 cos nx를 곱해 [−π, π]에서 적분합니다. 유한합이므로 항별 적분은 9.8 f742(정적분의 선형성)을 유한 번 되풀이하는 것만으로 정당화됩니다―무한급수였다면 이 한 걸음이 전혀 자명하지 않습니다(⑶ 참고).

π∫−πT(x)cos nx dx = A02π∫−πcos nx dx + NΣk=1(Akπ∫−πcos kx cos nx dx + Bkπ∫−πsin kx cos nx dx)	9.8 f742를 유한 번 적용
Bk가 곱해진 적분은 k, n이 무엇이든 0	1067번 ⑷
n=0  ⇒  = A02·2π + 0 = πA0	1067번 ⑴·⑵(k≥1, n=0이면 0)
1≤n≤N  ⇒  = 0 + An·π = πAn	1067번 ⑵(k=n인 항만 π, 나머지는 0)
n>N  ⇒  = 0	1067번 ⑵(합의 범위 안에 k=n이 없음)

양변을 π로 나누면 1066번의 정의에 의해 a₀=A₀, a_n=A_n(1≤n≤N), a_n=0(n>N)입니다. cos nx 대신 sin nx를 곱하면 1067번 ⑷·⑶에 의해 같은 방식으로 b_n=B_n(1≤n≤N), b_n=0(n>N)을 얻습니다.

즉 삼각다항식은 자기 자신의 푸리에급수이며, 이 경우 1066번의 물결표는 실제로 등호입니다. 여기서 n=0의 줄이 홀로 2π를 내는데도 결론이 A₀로 깔끔하게 떨어지는 것은 상수항을 A₀2로 두었기 때문입니다―1066번 ⑴에서 예고한 상쇄가 여기서 실제로 일어납니다.

⑵ 유일성 ― ⑴의 따름. 두 삼각다항식 T, T′가 [−π, π]의 모든 점에서 같은 값을 가지면, 두 계수열은 완전히 일치합니다. 실제로 T=T′이면 두 함수의 푸리에계수가 같은데, ⑴에 의해 그 푸리에계수가 곧 각자의 계수이기 때문입니다. 특히 모든 점에서 0인 삼각다항식의 계수는 모두 0입니다―이는 «서로 다른 진동수의 사인·코사인은 서로를 흉내 낼 수 없다»는 뜻이며, 직교관계(1067번)가 하는 일의 본질입니다.

⑶ 무한급수의 경우 ― 절대수렴하는 계수에 대해서는 여전히 완전한 증명. 무한급수에서는 «항별로 적분한다»가 더 이상 유한 번의 선형성 적용이 아니므로 새 논증이 필요합니다. 다음 조건 아래에서는 초등적으로 해결됩니다.

f가 [−π, π]에서 연속,   f(x) = A₀2 + ∞Σk=1(A_kcos kx + B_ksin kx)  (모든 x),   ∞Σk=1(|A_k|+|B_k|) 수렴

이면 a_n=A_n, b_n=B_n입니다. S_N(x)를 처음 N개 항까지의 부분합(11.4 f769)이라 하고 ε_N := ∞Σk=N+1(|A_k|+|B_k|)라 둡니다.

|Akcos kx + Bksin kx| ≤ |Ak|+|Bk|	4.2 f412(|sin|≤1, |cos|≤1) · 삼각부등식
|SM(x)−SN(x)| ≤ MΣk=N+1(|Ak|+|Bk|) ≤ εN  (M>N)	유한합의 삼각부등식 · 모든 항이 0 이상
∴ |f(x)−SN(x)| ≤ εN  (모든 x)	M→∞로 보내고 11.4 f770 · 11.4 보조정리(수열 극한의 기본 성질)(대소)
|π∫−πf cos nx dx − π∫−πSNcos nx dx| ≤ π∫−π|f−SN| dx ≤ 2πεN	9.8 f742·f743(절댓값 부등식과 대소 관계) · |cos nx|≤1
N≥n이면 π∫−πSNcos nx dx = πAn  (n=0이면 πA0)	⑴(SN은 삼각다항식)
εN → 0  (N→∞)	수렴급수의 나머지는 0으로 감―11.4 f770
∴ |π∫−πf cos nx dx − πAn| = 0,   즉 an=An	좌변이 N에 무관한데 모든 N에서 2πεN 이하

사인 쪽도 완전히 같습니다. 마지막 줄의 논법―N에 의존하지 않는 음이 아닌 수가 0으로 가는 수열보다 항상 작으면 그 수는 0이다―은 11.10 f1044의 나머지항 판정에서 이미 쓰던 방식과 같습니다.

대학 ⑶의 «계수가 절대수렴한다»는 가정을 급수가 f로 고르게 수렴한다(uniform convergence)로 약화해도 결론은 그대로 성립합니다―이때 필요한 것은 고르게 수렴하는 연속함수열은 항별로 적분할 수 있다는 실해석학의 표준 정리이며, 고른수렴의 정의부터 세워야 하므로 이 절의 범위를 넘어섭니다. 여기서는 결과만 인용하고 사용하지 않습니다―이 절에서 실제로 쓰는 것은 위에서 완전히 증명한 ⑴·⑶뿐입니다. (11.9 f1038·11.10 f1048이 «고른수렴이 필요한 일반 정리는 인용만 하고 쓰지 않는다»는 방침을 세운 것과 같은 처리입니다.)

⑷ 이 정리가 말하지 않는 것. 지금 증명한 것은 «급수가 f로 수렴한다면 계수는 푸리에계수다»라는 한 방향뿐이라는 점을 분명히 해 둡니다. 그 역―«f의 푸리에계수로 만든 급수가 실제로 f로 수렴한다»―는 여기서 전혀 따라 나오지 않으며, 실제로 추가 조건 없이는 거짓일 수 있습니다. 그 방향의 답이 1072번입니다. 11.10 f1049가 매클로린급수에 대해 «수렴해도 원래 함수가 아닐 수 있다»는 반례를 든 것과 같은 구분입니다.

사용 : 1066번 · 1067번 · 1071번 · 1072번 · 11.4의 769번 · 770번 · 11.9의 1038번 · 11.10의 1044번 · 1048번 · 1049번 · 9.8의 742번 · 743번 · 11.4의 보조정리 · 4.2의 412번 · 직접증명법 · 경우를 나누는 방법

증명 끝

1069정리우함수·기함수의 푸리에급수 ― 코사인급수와 사인급수(Fourier Cosine and Sine Series)f 우함수 ⇒ b_n=0,   f 기함수 ⇒ a_n=0

증명법 : 직접증명법(대칭구간의 적분에 관한 보조정리를 먼저 세운 뒤 적용)

⑴ 보조정리 ― 대칭구간에서의 적분. g가 [−a, a]에서 구간별 연속일 때(1066번 ⑵의 약속)

g가 기함수 ⇒ a∫−ag(x) dx = 0,    g가 우함수 ⇒ a∫−ag(x) dx = 2a∫0g(x) dx

입니다(우함수·기함수의 정의는 8.1 f618). 사이트에 이 사실의 전용 항목이 아직 없으므로 여기서 증명합니다.

0∫−ag(−x)·(−1) dx = 0∫ag(u) du = −a∫0g(u) du	9.8 f747(치환적분, u=−x) · 9.8 f741(구간의 반전)
∴ 0∫−ag(−x) dx = a∫0g(u) du	양변에 −1을 곱함―9.8 f742
g 기함수 ⇒ g(−x)=−g(x) ⇒ −0∫−ag(x) dx = a∫0g dx	8.1 f618 · 9.8 f742
∴ a∫−ag dx = 0∫−ag dx + a∫0g dx = −a∫0g dx + a∫0g dx = 0	9.8 f740(가법성)
g 우함수 ⇒ g(−x)=g(x) ⇒ 0∫−ag dx = a∫0g dx ⇒ a∫−ag dx = 2a∫0g dx	같은 두 줄을 부호만 바꿔 되풀이

⑵ f가 우함수인 경우 ― 푸리에 코사인급수. cos nx는 우함수, sin nx는 기함수입니다(4.6 f432). 8.1 f620(우함수·기함수의 곱셈 규칙)에 의해

f(x)cos nx는 (우)·(우) = 우함수	8.1 f620
f(x)sin nx는 (우)·(기) = 기함수	8.1 f620

이므로 ⑴에 의해 다음을 얻습니다.

a_n = 2ππ∫0f(x)cos nx dx,    b_n = 0   (모든 n)

f(x) ~ a₀2 + ∞Σn=1a_ncos nx

즉 우함수의 푸리에급수에는 코사인 항만 남습니다―이를 푸리에 코사인급수라 합니다. 이는 당연한 결과이기도 합니다 : 코사인 항만으로 이루어진 급수의 합은 우함수일 수밖에 없으므로, 기함수 성분이 섞여 있다면 애초에 f가 우함수일 수 없습니다.

⑶ f가 기함수인 경우 ― 푸리에 사인급수. 같은 규칙으로 f(x)cos nx는 (기)·(우)=기함수, f(x)sin nx는 (기)·(기)=우함수이므로

a_n = 0,    b_n = 2ππ∫0f(x)sin nx dx (모든 n)

f(x) ~ ∞Σn=1b_nsin nx

입니다―푸리에 사인급수. 여기에는 상수항 a₀2도 없는데, a₀=0이라는 것은 기함수의 한 주기 평균이 0이라는 1066번 ⑴의 관찰과 정확히 일치합니다.

⑷ 무엇이 절약되는가. 우함수·기함수를 알아보면 계산할 적분이 절반으로 줄고, 남은 적분도 구간이 [−π, π]에서 [0, π]로 반으로 줄어듭니다. 1073번의 세 예는 모두 이 성질을 써서 계산합니다. 나아가 1070번 ⑶은 이 성질을 뒤집어, [0, L]에서만 주어진 함수를 일부러 기함수로 확장해 사인급수만으로 전개하는 기법―10.3의 편미분방정식이 요구하는 바로 그 기법―으로 발전시킵니다.

사용 : 1066번 · 1067번 · 1070번 · 1073번 · 9.8의 740번 · 741번 · 742번 · 747번 · 8.1의 618번 · 620번 · 4.6의 432번 · 직접증명법

증명 끝

1070정리주기 2L로의 확장과 반구간 전개(Series of Period 2L and Half-Range Expansions)b_n = 2LL∫0f(x)sin nπxL dx

증명법 : 직접증명법(치환 x = Ltπ로 주기 2π인 경우로 되돌리는 방법)

지금까지는 주기가 2π인 경우만 다뤘습니다. 물리·공학에서 실제로 나오는 구간은 [0, L]·[−L, L]이므로(10.3의 열방정식·라플라스방정식이 그렇습니다), 이를 임의의 주기 2L로 옮겨 놓아야 합니다. 새 이론이 필요한 것은 아니고, 변수의 축척만 바꾸면 됩니다.

⑴ 직교관계의 2L판. L>0을 고정하고 x = Ltπ로 치환합니다(이때 dxdt = Lπ이고, t=−π일 때 x=−L, t=π일 때 x=L입니다).

L∫−LF(x) dx = Lππ∫−πF(Ltπ) dt	9.8 f747(치환적분, x=Ltπ)
∴ L∫−Lcos nπxL·cos mπxL dx = Lππ∫−πcos nt·cos mt dt	위 줄에 F(x)=cos nπxL·cos mπxL를 대입
= 0 (m≠n),   L (m=n≥1),   2L (m=n=0)	1067번 ⑵에 Lπ를 곱함

사인끼리·사인과 코사인의 경우도 마찬가지로 1067번 ⑶·⑷에 Lπ를 곱한 값이 됩니다―π가 있던 자리가 전부 L로 바뀌는 것이 전부입니다.

⑵ 주기 2L인 함수의 푸리에급수. f가 주기 2L이고 [−L, L]에서 적분가능하다고 합시다. F(t) := f(Ltπ)라 두면 F는 주기 2π이므로(8.1 f621) 1066번을 그대로 적용할 수 있고, ⑴의 치환으로 계수를 x의 적분으로 되돌리면

a_n = 1LL∫−Lf(x)cos nπxL dx,    b_n = 1LL∫−Lf(x)sin nπxL dx

f(x) ~ a₀2 + ∞Σn=1(a_ncos nπxL + b_nsin nπxL)

를 얻습니다. L=π로 두면 1066번의 원래 공식으로 정확히 되돌아갑니다. 1068번(유일성)·1069번(우함수·기함수)도 같은 치환으로 그대로 옮겨집니다―치환 x=Ltπ는 원점에 대한 대칭성을 보존하기 때문입니다.

⑶ 반구간 사인전개 ― 10.3이 요구한 공식. 이제 f가 [0, L]에서만 주어졌다고 합시다. 이때 f를 [−L, 0)으로 기함수가 되도록 확장합니다.

f_기(x) := f(x)  (0<x≤L),    −f(−x)  (−L≤x<0),    0  (x=0)

그러면 f_기는 [−L, L]에서 기함수이므로 1069번 ⑶(⑵의 치환으로 옮긴 판)에 의해 코사인 항이 모두 사라지고

f(x) ~ ∞Σn=1b_nsin nπxL,    b_n = 2LL∫0f(x)sin nπxL dx

가 됩니다―이것이 반구간 사인전개(half-range sine expansion)이며, 10.3 f1006·f1008의 참고 상자가 «일반적인 초기함수의 계수는 이 적분으로 주어진다»고 미뤄 두었던 바로 그 공식입니다. 실제 적용은 1074번에서 합니다.

이 전개가 열·라플라스방정식에 딱 들어맞는 이유는 경계조건 때문입니다 : 모든 항 sin nπxL가 x=0과 x=L에서 값이 0이므로(sin 0=0, sin nπ=0―1067번 ⑴), 급수 전체가 자동으로 u(0,t)=u(L,t)=0을 만족합니다. 코사인 전개였다면 이 조건을 맞출 수 없습니다.

⑷ 반구간 코사인전개. 같은 f를 우함수가 되도록 확장하면 사인 항이 모두 사라지고

f(x) ~ a₀2 + ∞Σn=1a_ncos nπxL,    a_n = 2LL∫0f(x)cos nπxL dx

를 얻습니다. 이쪽은 모든 항의 도함수가 x=0, L에서 0이 되므로 단열 경계조건(u_x=0)에 들어맞습니다.

⑸ 한 함수가 두 전개를 갖는 것은 모순이 아니다. ⑶과 ⑷는 같은 f에 대해 완전히 다른 두 급수를 줍니다. 이것이 1068번의 유일성과 충돌하지 않는 이유는, 두 급수가 나타내는 것이 f가 아니라 서로 다른 두 확장 f_기와 f_우이기 때문입니다―두 급수는 (0, L)에서만 같은 값을 갖고 그 밖에서는 다릅니다. 예를 들어 f(x)=1(상수함수)을 [0, L]에서 전개하면

코사인전개 : a0=2LL∫01 dx = 2, an=2LL∫0cos nπxL dx = 0  ⇒  급수 = 1	⑷ · 1067번 ⑴ · 우함수 확장이 상수함수 그대로이므로 당연
사인전개 : bn=2LL∫0sin nπxL dx = 2(1−(−1)n)nπ = 4nπ(n 홀수), 0(n 짝수)	⑶ · 9.4 f713 · 9.8 f746 · cos nπ=(−1)n

이 되어, 사인전개 쪽은 기함수 확장인 사각파의 급수가 됩니다―1073번 ⑷에서 L=π로 놓고 다시 만나게 될 바로 그 급수입니다. 두 급수 모두 (0, L)에서는 1을 나타내지만, 사인전개 쪽은 x=0과 x=L에서 값이 0이라 f(0)=f(L)=1과 어긋납니다―급수가 끝점에서 원래 함수와 다를 수 있다는 이 현상이 1072번의 주제입니다.

사용 : 1066번 · 1067번 · 1068번 · 1069번 · 1072번 · 1073번 · 1074번 · 10.3의 1006번 · 1008번 · 9.8의 746번 · 747번 · 9.4의 713번 · 8.1의 621번 · 직접증명법

증명 끝

1071정리최소제곱 최적성과 베셀 부등식(Least-Squares Optimality and Bessel’s Inequality)a₀²2 + ∞Σk=1(a_k²+b_k²) ≤ 1ππ∫−πf(x)² dx

증명법 : 직접증명법(제곱오차를 완전제곱꼴로 정리한 뒤 그것이 0 이상임을 이용)

1068번은 «급수가 f로 수렴한다면 계수는 푸리에계수»라고 했습니다. 이 항목은 수렴을 전혀 가정하지 않고도 푸리에계수가 특별하다는 것을 보입니다―유한개의 항만 쓸 때 푸리에계수가 언제나 최선의 근사를 준다는 것입니다. 이 절에서 가장 강한 결과이면서, 인용 없이 완전히 증명됩니다.

f가 [−π, π]에서 구간별 연속이라 하고(그러면 f²도 구간별 연속이므로, 1066번 ⑵의 약속으로 적분 π∫−πf² dx가 정해집니다. 아래 계산은 9.8의 적분 성질만 쓰므로 f가 연속일 때와 똑같이 성립합니다), 그 푸리에계수를 a_k, b_k라 합시다. 임의의 삼각다항식

T_N(x) = A₀2 + NΣk=1(A_kcos kx + B_ksin kx)

에 대해 제곱오차를 E(T_N) := π∫−π(f−T_N)² dx로 둡니다.

⑴ 핵심 항등식. 다음이 성립합니다.

E(TN) = π∫−πf² dx − 2π∫−πf TN dx + π∫−πTN² dx	(f−TN)²를 전개 · 9.8 f742
π∫−πf TN dx = π[a0A02 + NΣk=1(akAk+bkBk)]	1066번의 계수 정의를 그대로 대입 · 9.8 f742
π∫−πTN² dx = π[A0²2 + NΣk=1(Ak²+Bk²)]	1067번―서로 다른 항의 곱은 모두 0, 같은 항의 제곱만 π(상수항만 2π)

둘째 줄은 1066번의 정의 a_kπ = π∫−πf cos kx dx 등을 그대로 옮긴 것뿐이고, 셋째 줄이 직교관계가 실제로 일하는 자리입니다. 이 셋을 합치고 A에 대해 완전제곱꼴로 묶으면

E(T_N) = π∫−πf² dx − π[a₀²2 + NΣk=1(a_k²+b_k²)] + π[(A₀−a₀)²2 + NΣk=1((A_k−a_k)²+(B_k−b_k)²)]

을 얻습니다―A₀²2−a₀A₀ = (A₀−a₀)²−a₀²2, A_k²−2a_kA_k = (A_k−a_k)²−a_k²로 묶은 것입니다(2.2 f73·f74).

⑵ 최소제곱 최적성. 위 항등식에서 T_N에 의존하는 부분은 마지막 대괄호뿐이고, 그것은 제곱들의 합이므로 항상 0 이상이며 A_k=a_k, B_k=b_k일 때에만 0입니다. 그러므로

E(S_N) ≤ E(T_N)  (모든 삼각다항식 T_N에 대해, 등호는 T_N=S_N일 때뿐)

입니다. 여기서 S_N은 푸리에급수의 부분합입니다. 즉 차수가 N 이하인 삼각다항식 가운데 f를 제곱오차의 뜻에서 가장 잘 근사하는 것은 푸리에급수의 부분합이며, 그것이 유일하다는 것입니다―1066번의 계수 공식이 «옳은» 선택인 두 번째 이유입니다(첫째 이유는 1068번의 유일성이었습니다).

⑶ 베셀 부등식. ⑴에서 T_N=S_N으로 두면 마지막 대괄호가 사라져

E(S_N) = π∫−πf² dx − π[a₀²2 + NΣk=1(a_k²+b_k²)]

이고, (f−S_N)²≥0이므로 9.8 f743에 의해 E(S_N)≥0입니다. 따라서 모든 N에 대해

a₀²2 + NΣk=1(a_k²+b_k²) ≤ 1ππ∫−πf(x)² dx

가 성립합니다. 좌변은 항이 모두 0 이상이므로 N에 대해 감소하지 않고, 지금 보인 대로 위로 유계입니다.

그러므로 9.9의 단조유계 수렴 정리(수열판)에 의해 급수 a₀²2 + ∞Σk=1(a_k²+b_k²)는 수렴하며, 그 합은 1ππ∫−πf² dx 이하입니다. 이를 베셀 부등식(Bessel’s inequality)이라 합니다.

⑷ 따름 ― 리만―르베그 보조정리. 수렴하는 급수의 일반항은 0으로 가므로(11.4 f771) a_n²+b_n² → 0입니다. 그러면 임의의 ε>0에 대해 n이 충분히 클 때 a_n² ≤ a_n²+b_n² < ε²이므로 |a_n|<ε이고, b_n도 같습니다(11.4 f770의 정의). 따라서

limn→∞a_n = 0,    limn→∞b_n = 0

입니다. 이것이 리만―르베그 보조정리(Riemann―Lebesgue lemma)의 구간별 연속함수 판이며, «진동수가 커질수록 f와의 ‘내적’이 0으로 잦아든다»는 뜻입니다―빠르게 진동하는 사인·코사인은 f의 완만한 변화와 곱해질 때 양·음이 거의 상쇄되기 때문입니다(1067번의 다이어그램이 보여 준 상쇄와 같은 현상). 이 보조정리는 1072번 ⑵에서 디리클레 정리를 증명할 때 핵심 도구로 쓰입니다.

⑸ 등호는 언제 성립하는가. 베셀 부등식에서 등호가 항상 성립한다는 것이 파르스발 항등식이며, 이는 곧 E(S_N)→0―부분합이 제곱오차의 뜻에서 f에 한없이 가까워진다―는 뜻입니다. 이 사실은 삼각함수계가 빠짐없이 갖춰져 있다(완비성)는 주장이므로 베셀 부등식의 논증만으로는 얻을 수 없습니다. 1072번 ⑶에서 디리클레 정리를 써서, 연속이고 구간별 매끄러운 주기함수에 대해 등호를 증명합니다.

사용 : 1066번 · 1067번 · 1068번 · 1072번 · 11.4의 770번 · 771번 · 9.9의 단조유계 수렴 정리 · 9.8의 742번 · 743번 · 2.2의 73번 · 74번 · 직접증명법

증명 끝

1072정리디리클레 조건 아래의 수렴과 파르스발 항등식(Dirichlet’s Theorem and Parseval’s Identity)푸리에급수 → f(x+) + f(x−)2

증명법 : ⑵ 직접증명법(부분합을 디리클레 핵의 적분으로 바꾼 뒤 1071번 ⑷의 리만―르베그 보조정리로 나머지를 0으로 보냄) · ⑶ 직접증명법(계수의 절대수렴을 먼저 보임) · ⑷ 귀류법 · ⑸ 직접증명법(리만 합)

1066번 ⑶에서 미뤄 둔 물음―푸리에급수는 f로 수렴하는가―에 답할 차례입니다. 모든 함수에 대한 완전한 답은 이 책의 범위를 넘지만, 이 절에 나오는 함수를 모두 포함하는 구간별 매끄러운 함수에 대해서는 완전히 답할 수 있습니다.

⑴ 구간별 매끄러움. 주기 2π인 함수 f가 구간별 매끄럽다(piecewise smooth)는 것은, 한 주기를 유한개의 소구간으로 나누어 각 소구간의 내부에서 f와 f′이 연속이고 각 끝점에서 한쪽 극한 f(x+), f(x−), f′(x+), f′(x−)가 모두 유한한 값으로 존재한다는 뜻입니다(한쪽 극한은 8.2 f630). 1073번의 세 예와 1074번의 초기함수는 모두 이 조건을 만족합니다. 이때 각 닫힌 소구간에서 f를 끝점의 한쪽 극한으로 이은 함수는 연속이고, 끝점에서의 한쪽 미분계수가 f′(x±)와 같습니다―평균값 정리(8.6 f672)로 f(x+h)−f(x+)h = f′(ξ) (x<ξ<x+h)이고, h→0+이면 f′(ξ)→f′(x+)이기 때문입니다(왼쪽도 같음). 따라서 부분적분(9.8 f748)도 조각마다 쓸 수 있습니다.

⑵ 디리클레 정리(Dirichlet’s theorem, 1829). 주기 2π이고 구간별 매끄러운 f에 대해, f의 푸리에급수는 모든 실수 x에서 수렴하며 그 합은

a₀2 + ∞Σn=1(a_ncos nx + b_nsin nx) = f(x+) + f(x−)2

입니다. 특히 f가 x에서 연속이면 f(x+)=f(x−)=f(x)이므로 급수의 합은 정확히 f(x)이고, 불연속점에서는 양쪽 값의 산술평균으로 수렴합니다. 증명은 다섯 단계입니다.

(가) 주기함수의 평행이동. 주기 2π이고 구간별 연속인 F와 모든 실수 c에 대해 c+2π∫cF = π∫−πF입니다.

c+2π∫πF(u) du = c∫−πF(v+2π) dv = c∫−πF(v) dv	9.8 f747(치환 u=v+2π) · 주기성
c+2π∫cF = −π∫cF + π∫−πF + c+2π∫πF = π∫−πF	9.8 f741(순서에 상관없는 가법성) · 첫째와 셋째 항이 지워짐

(나) 부분합을 적분으로. D_N(t) := 12 + NΣk=1cos kt(디리클레 핵)로 둡니다.

SN(x) = 1ππ∫−πf(s)[12 + NΣk=1(cos ks cos kx + sin ks sin kx)] ds	1066번의 계수 정의 · 9.8 f742
= 1ππ∫−πf(s)DN(s−x) ds	4.9 f450(코사인의 뺄셈정리)
= 1ππ−x∫−π−xf(x+t)DN(t) dt = 1ππ∫−πf(x+t)DN(t) dt	9.8 f747(s=x+t) · (가)

(다) 핵의 성질.

2sin t2cos kt = sin(k+12)t − sin(k−12)t	4.15 f484(A=t2, B=kt) · 4.6 f432(사인은 기함수)
2sin t2·DN(t) = sin t2 + NΣk=1[sin(k+12)t − sin(k−12)t] = sin(N+12)t	이웃한 항이 차례로 지워짐(망원합)
∴ DN(t) = sin(N+12)t2sin t2  (0<t≤π)	0<t2≤π2이면 sin t2>0
DN(−t) = DN(t),   1ππ∫0DN(t) dt = 1π(π2 + 0) = 12	4.6 f432 · 9.4 f713 · 9.8 f746 · sin kπ=0(1067번 ⑴)

(라) 오차를 두 적분으로.

1π0∫−πf(x+t)DN(t) dt = 1ππ∫0f(x−t)DN(t) dt	9.8 f747(t를 −t로) · DN은 우함수 · 9.8 f740
SN(x) − f(x+) + f(x−)2 = 1ππ∫0[f(x+t)−f(x+)]DN(t) dt + 1ππ∫0[f(x−t)−f(x−)]DN(t) dt	(나) · (다)의 1ππ∫0DN=12 · 9.8 f742

(마) 두 적분이 0으로 감.

g(t) := f(x+t)−f(x+)2sin t2  (0<t≤π)는 t→0+일 때 f′(x+)로 감	⑴의 한쪽 미분계수 · t/2sin(t/2)→1(8.2 f635) · 8.2 f632
g(0):=f′(x+)로 두면 g는 [0, π]에서 구간별 연속	나머지 점에서는 f에서 물려받음(sin t2>0)
sin(N+12)t = sin Nt cos t2 + cos Nt sin t2	4.9 f452
1ππ∫0[f(x+t)−f(x+)]DN(t) dt = 1ππ∫0G1(t)sin Nt dt + 1ππ∫0G2(t)cos Nt dt	(다) · 9.8 f742 · G1:=g·cost2, G2:=g·sint2
G1, G2를 [−π, 0)에서 0으로 늘리면 구간별 연속이고, 위 두 적분은 G1의 bN, G2의 aN → 0	1066번의 정의 · 1071번 ⑷(구간별 연속판)
둘째 적분도 f(x−t), f′(x−)로 바꿔 같은 방법으로 → 0(이때 f(x−t)−f(x−)2sin(t/2)의 t→0+ 극한은 −f′(x−)로 유한)	같은 논증
∴ limN→∞SN(x) = f(x+) + f(x−)2	(라) · 11.4 보조정리(수열 극한의 기본 성질)

이 조건이 필요조건은 아니라는 점도 함께 밝혀 둡니다―구간별 매끄럽지 않아도 수렴하는 함수가 있고, 반대로 연속인데도 어떤 점에서 푸리에급수가 발산하는 함수가 존재합니다(뒤부아―레몽, 1873). 그러므로 1068번 ⑷에서 «추가 조건 없이는 거짓일 수 있다»고 한 것은 과장이 아닙니다.

⑶ 파르스발 항등식(Parseval’s identity). 먼저 보조정리입니다 ― f가 주기 2π이고 온 실수축에서 연속이며 구간별 매끄러우면 ∞Σn=1(|a_n|+|b_n|)이 수렴합니다.

한 주기의 나누는 점 −π=c0<…<cr=π의 각 조각에서 ci∫ci−1f′cos nx dx = [f cos nx]ci−1ci + nci∫ci−1f sin nx dx	⑴ · 9.8 f748(부분적분)
경계항을 모두 더하면 f(π)cos nπ − f(−π)cos(−nπ) = 0	f가 연속이라 이웃한 항이 지워짐 · 주기성 f(π)=f(−π) · 4.6 f432
∴ (f′의 an) = n bn,   같은 방법으로 (f′의 bn) = −n an	1066번의 정의 · 9.8 f740
∞Σn=1n²(an²+bn²) ≤ 1ππ∫−π(f′)² dx	f′은 구간별 연속 · 1071번 ⑶(베셀 부등식)
|an| ≤ 12(1n² + n²an²),   |bn| ≤ 12(1n² + n²bn²)	(n|an| − 1n)² ≥ 0을 전개 · 2.2 f73
∴ ∞Σn=1(|an|+|bn|) 수렴	11.6 f1020(Σ1n² 수렴) · 11.5 f1010 · 11.6 f1016(비교판정법)

이제 이 f에 대해 1071번 ⑶의 베셀 부등식에서 등호가 성립합니다.

1ππ∫−πf(x)² dx = a₀²2 + ∞Σk=1(a_k²+b_k²)

모든 x에서 SN(x) → f(x)	⑵(f가 연속)
|f(x)−SN(x)| ≤ εN := ∞Σk=N+1(|ak|+|bk|)  (모든 x)	1068번 ⑶과 같은 부등식 · 위 보조정리
E(SN) = π∫−π(f−SN)² dx ≤ 2πεN² → 0	9.8 f743 · εN→0(11.4 f770)
π∫−πf² dx − π[a0²2 + NΣk=1(ak²+bk²)] = E(SN) → 0, 곧 위 등식	1071번 ⑶의 항등식 · 11.4 보조정리(수열 극한의 기본 성질)

이는 1071번 ⑸에서 말한 대로 E(S_N)→0, 즉 부분합이 제곱오차의 뜻에서 f에 한없이 가까워진다는 뜻입니다. 이 등식은 «에너지 보존»으로 읽히기도 합니다―f의 제곱평균이 각 진동수 성분의 제곱의 합과 같다는 뜻이기 때문입니다.

대학 참고(이 책의 증명에 쓰지 않음). f가 단지 [−π, π]에서 연속이기만 해도(더 일반적으로 f²이 적분가능해도) 같은 등식이 성립합니다―삼각함수계가 빠짐없이 갖춰져 있다(완비성)는 주장입니다. 다만 그 증명에는 바이어슈트라스 근사정리나 페예르 정리가 필요합니다.

⑷ ⑶의 따름 ― 계수가 같으면 함수가 같다. 주기 2π이고 연속이며 구간별 매끄러운 두 함수 f, g의 푸리에계수가 모두 같으면 f=g입니다. (h:=f−g도 연속이고 구간별 매끄러우므로 ⑶을 쓸 수 있습니다.)

h:=f−g로 두면 h의 푸리에계수는 모두 0	1066번의 정의 · 9.8 f742(적분의 선형성)
⇒ π∫−πh² dx = π·0 = 0	⑶(파르스발 항등식)
어떤 x0에서 h(x0)≠0이라 가정하면, ε:=h(x0)²2>0에 대해 |x−x0|<δ에서 h²>ε인 δ>0이 존재	h²이 연속―8.2 f638(연속의 정의) · f639
⇒ π∫−πh² dx ≥ x0+δ∫x0−δh² dx ≥ 2δε > 0	h²≥0과 9.8 f740(가법성) · f743(대소 관계)
∴ 모순이므로 h≡0, 즉 f=g	귀류법

(구간의 끝 근처에서는 [x₀−δ, x₀+δ]가 [−π, π] 안에 들어오도록 δ를 더 줄이면 되고, 그때 부등식의 2δε은 δε으로 약해질 뿐 결론은 같습니다.) 이 결론은 ⑵에서 곧바로(f(x)와 g(x)가 같은 급수의 합) 나오기도 합니다. 일반 연속함수에 대해서도 성립하지만, ⑶의 참고처럼 이 책에서는 쓰지 않습니다.

⑸ 깁스 현상. f가 불연속인 점 근처에서 부분합 S_N은 N을 아무리 크게 해도 뛰는 폭의 일정 비율만큼 넘칩니다. 1073번 ⑷의 사각파(x=0에서 −1에서 1로, 뛰는 폭 2)의 부분합 S_2m−1(x) = 4πm−1Σj=0sin(2j+1)x2j+1을 불연속점 바로 옆의 점 x_m := π2m에서 봅니다(S_2m은 S_2m−1과 같습니다).

tj := (2j+1)π2m로 두면 sin(2j+1)xm2j+1 = π2m·sin tjtj	(2j+1)xm=tj, 2j+1=2mπtj
∴ S2m−1(xm) = 2πm−1Σj=0sin tjtj·πm	위 줄을 대입
φ(t):=sin tt (t≠0), φ(0):=1은 [0, π]에서 연속	8.2 f635 · f638 · f639
위 합은 [0, π]를 m등분(폭 πm)하고 각 소구간의 가운데점 tj를 표본점으로 한 φ의 리만 합	9.8 f739(일반 리만 합)
∴ S2m−1(xm) → 2ππ∫0sin tt dt = 1.17898…  (m→∞)	9.8 f739(폭→0)

즉 x_m은 불연속점 0으로 다가가는데, 그 자리의 부분합은 사각파의 값 1을 약 0.179만큼, 곧 뛰는 폭의 약 8.95%만큼 넘는 값으로 가며 0으로 줄지 않습니다. 이를 깁스 현상(Gibbs phenomenon)이라 합니다. 넘치는 자리가 불연속점 쪽으로 좁아지므로 ⑵의 각 점에서의 수렴과는 모순되지 않지만, (0, π)에서 |f(x)−S_N(x)|의 최댓값(상한)은 S_N(x_m)−1 이상이라 0으로 가지 않으므로 수렴이 고르지 않습니다―1068번 ⑶ 뒤 참고 상자의 고른수렴은 불연속함수에서는 성립하지 않습니다. (x_m이 실제로 S_2m−1의 (0, π) 위 최댓값의 자리라는 것은 참고로만 적고 이 책에서 쓰지 않습니다.)

⑹ 이 절에서 증명한 것과 참고로만 적은 것. 이 구분을 뭉개지 마십시오.

완전히 증명함	직교관계(1067번) · 삼각다항식과 절대수렴급수에 대한 계수의 유일성(1068번 ⑴·⑶) · 우함수·기함수의 분리와 반구간 전개(1069번·1070번) · 최소제곱 최적성과 베셀 부등식, 리만―르베그 보조정리(1071번) · 디리클레 정리(위 ⑵) · 계수의 절대수렴과 파르스발 항등식(위 ⑶, 연속이고 구간별 매끄러운 경우) · 위 ⑷ · 깁스 현상의 넘침(위 ⑸) · 1073번·1074번의 모든 계수 계산과 급수의 합 · 열·라플라스 급수해가 방정식과 경계조건을 만족함(1074번 ⑷·⑸)
참고만	고르게 수렴하는 급수의 항별 적분 일반 정리(1068번 ⑶ 뒤) · 일반 연속함수의 파르스발 항등식(위 ⑶ 뒤) · 깁스 넘침의 자리가 최댓값이라는 것(위 ⑸) · 최대원리에 의한 열·라플라스 문제의 해의 유일성(1074번)

따라서 1073번에서 얻는 급수의 합(라이프니츠 급수·바젤 문제 등)은 모두 ⑵로 증명된 결과입니다. 특히 1073번 ⑵에서 나오는 라이프니츠 급수는 11.10 f1048에서 푸리에급수 없이 이미 독립적으로 증명되어 있어, 서로 다른 두 증명이 같은 값을 내는 것을 확인할 수 있습니다.

사용 : 1066번 · 1067번 · 1068번 · 1071번 · 1073번 · 1074번 · 11.10의 1048번 · 11.6의 1016번 · 1020번 · 11.5의 1010번 · 11.4의 770번 · 보조정리 · 9.8의 739번 · 740번 · 741번 · 742번 · 743번 · 746번 · 747번 · 748번 · 9.4의 713번 · 8.6의 672번 · 8.2의 630번 · 632번 · 635번 · 638번 · 639번 · 4.9의 450번 · 452번 · 4.15의 484번 · 4.6의 432번 · 2.2의 73번 · 직접증명법 · 귀류법

증명 끝

1073정리·활용세 가지 고전적 전개 ― 톱니파·포물선·사각파(Three Classical Expansions)x² = π²3 + 4∞Σn=1(−1)ⁿcos nxn²  ⇒  ∞Σn=11n² = π²6

증명법 : 직접증명법(1069번으로 계수의 절반을 지우고 9.8 f748(부분적분)로 나머지를 계산) · 수학적 귀납법(cos nπ=(−1)ⁿ)

여기서 계수의 계산은 전부 이 절에서 완결되지만, 그렇게 얻은 급수가 어떤 값으로 수렴하는지는 1072번 ⑵(디리클레 정리)로 정해집니다.

⑴ 준비 ― cos nπ = (−1)ⁿ. 세 계산 모두에서 쓰입니다.

cos 0 = 1 = (−1)0	4.4 f423
cos((n+1)π) = cos(nπ+π) = −cos nπ	4.6 f433(반바퀴공식)
∴ cos nπ = (−1)n  (모든 음이 아닌 정수 n)	수학적 귀납법

또 다음 적분도 되풀이해 쓰이므로 먼저 확정합니다(n≥1).

π∫0x sin nx dx = [−x cos nxn]0π + 1nπ∫0cos nx dx = −πcos nπn + 0 = (−1)n+1πn

9.8 f748(부분적분) · 9.4 f713 · 9.8 f746 · 1067번 ⑴(둘째 적분이 0) · ⑴

⑵ 톱니파 f(x)=x. [−π, π]에서 f(x)=x로 두고 주기 2π로 확장합니다. f는 기함수이므로 1069번 ⑶에 의해 a_n=0이고

bn = 2ππ∫0x sin nx dx = 2π·(−1)n+1πn = 2(−1)n+1n

1069번 ⑶ · 위 ⑴의 적분

x ~ 2∞Σn=1(−1)ⁿ⁺¹sin nxn = 2(sin x − sin 2x2 + sin 3x3 − …)

주기 확장은 x=(−π, π) 안에서는 연속이고 x=±π에서만 불연속입니다(f(π)=π인데 f(−π)=−π). 1072번 ⑵를 적용하면 두 사실을 얻습니다.

x=π2  (연속점)  ⇒  π2 = 2∞Σj=0(−1)j2j+1  ⇒  π4 = 1 − 13 + 15 − …	1072번 ⑵ · sin nπ2는 n이 짝수면 0, n=2j+1이면 (−1)j
x=π  (불연속점)  ⇒  모든 항이 sin nπ=0이므로 급수의 합은 0 = f(π−) + f(π+)2 = π + (−π)2	1067번 ⑴ · 1072번 ⑵

첫 줄에서 나온 것은 라이프니츠 급수이며, 이는 11.10 f1048에서 푸리에급수를 전혀 쓰지 않고 이미 독립적으로 증명되어 있습니다―서로 다른 두 증명이 같은 값을 냅니다(1072번 ⑹). 둘째 줄은 «불연속점에서는 양쪽 값의 평균»이라는 디리클레 정리의 결론이 실제로 확인되는 자리입니다.

⑶ 포물선 f(x)=x². [−π, π]에서 f(x)=x²은 우함수이므로 1069번 ⑵에 의해 b_n=0이고

a0 = 2ππ∫0x² dx = 2π·π³3 = 2π²3	9.1 f694 · 9.8 f746
an = 2ππ∫0x²cos nx dx = 2π([x²sin nxn]0π − 2nπ∫0x sin nx dx)	9.8 f748(부분적분) · 9.4 f713
= 2π(0 − 2n·(−1)n+1πn) = 4(−1)nn²	sin nπ=0(1067번 ⑴) · 위 ⑴의 적분

x² ~ π²3 + 4∞Σn=1(−1)ⁿcos nxn²

이번에는 f(π)=f(−π)=π²이므로 주기 확장이 온 실수축에서 연속이고, 구간별 매끄럽습니다. 그러므로 1072번 ⑵에 의해 모든 x에서 물결표가 등호가 됩니다. 여기에 두 점을 대입합니다.

x=π  ⇒  π² = π²3 + 4∞Σn=1(−1)n(−1)nn² = π²3 + 4∞Σn=11n²	⑴(cos nπ=(−1)n) · (−1)n(−1)n=1
∴ ∞Σn=11n² = 14(π² − π²3) = π²6	위 줄을 정리―바젤 문제
x=0  ⇒  0 = π²3 + 4∞Σn=1(−1)nn²  ⇒  ∞Σn=1(−1)n+1n² = π²12	4.4 f423(cos 0=1)

바젤 문제―∞Σn=11n²의 정확한 값―는 11.6 f1020(적분판정법)이 이 급수의 수렴만 보이고 그 값은 남겨 두었던 물음입니다. 푸리에급수가 그 값을 한 번의 대입으로 내놓습니다. 1072번 ⑵ 덕분에 이 사이트에서 이 값이 얻어지는 것은 이번이 처음입니다.

⑷ 사각파. [−π, π]에서 f(x)=−1(−π<x<0), 1(0<x<π)로 두면 기함수이므로

bn = 2ππ∫0sin nx dx = 2π[−cos nxn]0π = 2(1−(−1)n)nπ	1069번 ⑶ · 9.4 f713 · 9.8 f746 · ⑴
∴ bn = 4nπ (n 홀수),   0 (n 짝수)	1−(−1)n은 n이 홀수면 2, 짝수면 0

f(x) ~ 4π∞Σj=0sin(2j+1)x2j+1 = 4π(sin x + sin 3x3 + sin 5x5 + …)

x=0은 불연속점인데 모든 항이 sin 0=0이므로 급수의 합은 0이고, 이는 f(0+) + f(0−)2 = 1 + (−1)2 = 0과 일치합니다―디리클레 정리의 평균값 결론이 다시 확인됩니다. x=π2(연속점)를 넣으면 sin (2j+1)π2=(−1)^j이므로 1 = 4π∞Σj=0(−1)^j2j+1, 즉 ⑵에서 얻은 것과 같은 라이프니츠 급수가 나옵니다―서로 다른 두 함수의 전개가 같은 급수를 내놓는 것은 우연이 아니라, 1070번 ⑸에서 본 대로 상수함수 1의 사인전개가 바로 이 사각파이기 때문입니다.

사각파와 그 부분합 S₁·S₃·S₉·S₂₁(⑷의 계수를 그대로 픽셀에 대입해 그린 것). 불연속점 x=0, ±π에서는 모든 부분합이 값 0을 지나며, 이는 양쪽 값 1과 −1의 평균입니다(붉은 점). 그 바로 옆에서 부분합이 1을 넘어 솟는 것이 1072번 ⑸의 깁스 현상으로, 넘치는 높이는 항을 아무리 더해도 1.1790(주황 점선) 아래로 줄지 않고 솟는 자리만 불연속점 쪽으로 좁아집니다.

⑸ 파르스발 항등식의 확인과 ∞Σn=11n⁴. 1072번 ⑶으로 위 계수들을 확인하고 새 값을 얻습니다. f=x는 주기 확장이 x=±π에서 불연속이라 ⑶의 조건 밖이지만 양변을 따로 계산하면 등식이 성립함을 확인할 수 있고, f=x²는 주기 확장이 연속이고 구간별 매끄러워 ⑶을 그대로 적용할 수 있습니다.

f=x : 1ππ∫−πx² dx = 2π²3,   ∞Σn=1bn² = ∞Σn=14n² = 4·π²6 = 2π²3  ✔	⑵의 계수 · ⑶의 바젤 값 · 11.5 f1010(급수의 선형성)
f=x² : 1ππ∫−πx4 dx = 2π45 = a0²2 + ∞Σn=1an² = 2π49 + 16∞Σn=11n4	1072번 ⑶ · ⑶의 계수
∴ ∞Σn=11n4 = 116(2π45 − 2π49) = π490	위 줄을 정리

첫 줄은 양변을 따로 계산해 일치를 확인한 것이고, 둘째·셋째 줄은 ⑶을 사용해 새 값 ∞Σn=11n⁴ = π⁴90을 얻은 것입니다.

⑹ 세 전개의 비교. 계수가 0으로 가는 빠르기가 원래 함수의 매끄러움과 정확히 짝을 이룹니다.

사각파(불연속)	bn ~ 4nπ  ―  1n 차수로 느리게 감소, 급수는 절대수렴하지 않음(11.4 f772의 조화급수와 같은 차수)
톱니파(끝점에서만 불연속)	bn ~ 2n  ―  같은 차수
포물선(주기 확장이 연속)	an ~ 4n²  ―  1n² 차수로 빠르게 감소, 절대수렴(11.6 f1020)

이는 1071번 ⑷의 리만―르베그 보조정리(계수는 반드시 0으로 간다)를 정량적으로 다듬은 것으로, 함수가 매끄러울수록 계수가 빨리 죽는다는 푸리에해석의 기본 원리입니다―1074번에서 열방정식의 해가 시간이 지날수록 매끄러워지는 것도 같은 원리의 귀결입니다.

사용 : 1066번 · 1067번 · 1069번 · 1070번 · 1071번 · 1072번 · 1074번 · 11.10의 1048번 · 11.6의 1020번 · 11.5의 1010번 · 11.4의 772번 · 9.8의 746번 · 748번 · 9.4의 713번 · 9.1의 694번 · 4.6의 433번 · 4.4의 423번 · 직접증명법 · 수학적 귀납법

증명 끝

1074정리·활용10.3의 열방정식·라플라스방정식의 완결(Completing the Heat and Laplace Problems)u(x,t) = ∞Σn=1b_nsin nπxL e^{−(nπL)²κt}

증명법 : 직접증명법(1070번 ⑶으로 계수를 결정하고, 1072번 ⑵·⑶으로 초기조건을, ⑷의 보조정리로 방정식을 확인)

10.3 f1006·f1008은 초기함수 f가 유한 사인급수일 때에만 완전해를 구성하고, 일반적인 f에 대해서는 «계수를 무한 푸리에 사인급수로 정해야 하며 그 수렴성은 11.13의 결과»라고 미뤄 두었습니다. 이 항목이 그 자리를 메웁니다.

⑴ 문제. 10.3 f1006의 열방정식 초기·경계값 문제는 다음이었습니다(κ>0, L>0).

u_t = κu_xx,    u(0,t)=u(L,t)=0  (t>0),    u(x,0)=f(x)  (0≤x≤L)

여기서 f는 [0, L]에서 연속이고 구간별 매끄러우며 f(0)=f(L)=0이라고 둡니다. 끝점 조건은 u(0,t)=u(L,t)=0과 맞추기 위해 필요합니다―1070번 ⑸에서 본 대로 f≡1이면 사인급수가 끝점에서 f와 어긋납니다.

10.3은 분리변수법으로 낱개의 해 u_n(x,t) = sin nπxL e^{−(nπL)²κt}를 얻고, 중첩원리로 이들의 유한 선형결합도 해임을 보였습니다. 남은 것은 계수를 어떻게 고르면 u(x,0)=f(x)가 되는가입니다.

⑵ 계수의 결정. t=0에서 u(x,0) = ∞Σn=1b_nsin nπxL이므로, 이것이 f(x)와 같아지려면 b_n은 f의 (0, L) 위 반구간 사인전개의 계수여야 합니다. 1070번 ⑶에 의해

b_n = 2LL∫0f(x)sin nπxL dx

입니다. 이 공식이 10.3 f1006·f1008의 두 참고 상자가 가리키던 바로 그 공식이며, 1070번 ⑶에서 완전히 증명되었습니다. 그리고 1070번 ⑶에서 지적한 대로 모든 항 sin nπxL가 x=0, L에서 0이므로 경계조건은 계수와 무관하게 자동으로 만족됩니다. 또 1072번 ⑵·⑶은 주기 2π로 진술했지만, F(t):=f(Ltπ)로 두면(1070번 ⑵) 구간별 매끄러움이 그대로 유지되고 계수도 같으므로 주기 2L인 경우에 그대로 옮겨집니다.

⑶ 예 ― f(x)=x(L−x). 10.3 f1006의 참고 상자가 예로 든 초기함수입니다. ω:=nπL로 줄여 쓰면

L∫0x(L−x)sin ωx dx = [−x(L−x)cos ωxω]0L + 1ωL∫0(L−2x)cos ωx dx	9.8 f748(부분적분) · 9.4 f713
= 0 + 1ω([(L−2x)sin ωxω]0L + 2ωL∫0sin ωx dx)	x=0, L에서 x(L−x)=0 · 9.8 f748 다시
= 2ω²·1−cos ωLω = 2(1−(−1)n)ω³	sin ωL=sin nπ=0(1067번 ⑴) · 9.4 f713 · 1073번 ⑴(cos nπ=(−1)n)
∴ bn = 2L·2(1−(−1)n)L³n³π³ = 8L²n³π³ (n 홀수),   0 (n 짝수)	ω³=n³π³L³를 대입 · 1070번 ⑶

따라서 완전해는 다음과 같습니다.

u(x,t) = 8L²π³∞Σj=01(2j+1)³sin (2j+1)πxL e^{−((2j+1)πL)²κt}

⑷ 초기조건과 방정식이 실제로 만족되는가. f의 기함수 확장을 주기 2L로 늘린 것은 f(0)=f(L)=0이므로 온 실수축에서 연속이며 구간별 매끄럽습니다(1072번 ⑴). 그러므로 1072번 ⑵(디리클레 정리)에 의해 t=0에서 급수는 모든 x에서 f(x)로 수렴하고, 1072번 ⑶의 보조정리에 의해 ∞Σn=1|b_n|이 수렴합니다(⑶의 예에서는 b_n이 1n³ 차수라 11.6 f1016·f1020로도 바로 보입니다). 남은 것은 (가) u가 t≥0에서 연속이어서 t→0+일 때 f로 다가간다는 것과 (나) t>0에서 u_t=κu_xx라는 것입니다. 둘 다 다음 보조정리로 해결됩니다.

보조정리(M-판정). 구간 I에서 연속인 함수 u_n과, 합이 수렴하는 수 M_n≥0이 있어 I에서 |u_n|≤M_n이면 ① 합 U:=∞Σn=1u_n(각 x에서 비교판정법 11.6 f1016과 절대수렴⇒수렴 11.5 f1014로 수렴)은 I에서 연속이고, ② I 안의 c, x에 대해 x∫cU = ∞Σn=1x∫cu_n입니다. ③ 또 u_n′이 I에서 연속이고 |u_n′|≤M_n′, ΣM_n′ 수렴이면 U′=∞Σn=1u_n′입니다.

UN:=NΣn=1un, εN:=∞Σn=N+1Mn이면 I의 모든 x에서 |U(x)−UN(x)| ≤ εN	1068번 ⑶과 같은 부등식
① |U(x)−U(y)| ≤ |U(x)−UN(x)| + |UN(x)−UN(y)| + |UN(y)−U(y)| ≤ 2εN + |UN(x)−UN(y)|	2.7 f146(삼각부등식)
ε>0에 대해 εN<ε3인 N을 고정하면, UN은 연속이므로 y가 x에 충분히 가까울 때 |UN(x)−UN(y)|<ε3, 곧 |U(x)−U(y)|<ε	εN→0(11.4 f770) · 8.2 f638·f639
② |x∫cU − x∫cUN| ≤ |x−c|εN → 0,   x∫cUN = NΣn=1x∫cun	①로 U가 연속(9.8 f739) · 9.8 f742·f743
③ G:=∞Σn=1un′은 ①로 연속이고, ②로 x∫cG = ∞Σn=1(un(x)−un(c)) = U(x)−U(c)	9.8 f746 · 11.5 f1010
∴ U(x) = U(c) + x∫cG(s) ds이므로 U′ = G	9.8 f745

변수가 둘인 함수 u_n(x,t)에도 ①은 같은 논증(가까움을 두 변수로 재는 것만 다름)으로 성립하고, ③은 한 변수를 고정하고 다른 변수에 대해 씁니다. 이제 열방정식의 급수해에 적용합니다.

(가) t≥0에서 |bnsin nπxL e−(nπ/L)²κt| ≤ |bn|, Σ|bn| 수렴 ⇒ u는 [0, L]×[0, ∞)에서 연속이고 u(x,0)=f(x)	보조정리 ① · 위 단락
(나) B:=2LL∫0|f| dx로 두면 |bn| ≤ B	1070번 ⑶ · 9.8 f743 · |sin|≤1
t≥t0>0에서 각 항을 x로 한두 번, t로 한 번 미분한 것의 절댓값 ≤ B(1+κ)(1+nπL)²e−(nπ/L)²κt0 =: Mn′	8.4 f654·f655·f657 · |sin|, |cos|≤1
∞Σn=1Mn′ 수렴	11.6 f1018(비판정법 : 이웃한 항의 비가 0으로 감)
∴ t>0에서 ut, uxx를 항별로 구할 수 있고, 각 항이 ut=κuxx를 만족하므로 u도 만족	보조정리 ③(t0>0은 임의) · 10.3 f1006의 낱개의 해

대학 참고(이 책의 증명에 쓰지 않음). 이 해의 유일성은 10.3 f1006의 참고에 적은 열방정식의 최대원리로 보장됩니다. 그 증명은 푸리에급수와 무관한 별도의 표준 결과입니다.

L=1, κ=1, f(x)=x(1−x)일 때 ⑶의 급수해를 여러 시각에서 그린 것(⑶에서 계산한 계수 8(2j+1)³π³을 그대로 픽셀에 대입, 항은 j=0부터 59까지). t=0의 곡선은 초기함수 x(1−x)로 최댓값이 x=0.5에서 0.25이고, 시간이 지날수록 고주파 성분이 e^{−(2j+1)²π²t}로 훨씬 빠르게 죽어 곡선이 평평해지면서 매끄러워집니다―1073번 ⑹에서 본 «매끄러운 함수는 계수가 빨리 죽는다»의 역방향 읽기입니다. 양 끝점의 값은 언제나 0으로 경계조건 u(0,t)=u(1,t)=0을 유지합니다.

⑸ 라플라스방정식(10.3 f1008). 직사각형 0<x<a, 0<y<b에서 u_xx+u_yy=0, 세 변에서 0, u(x,b)=f(x)인 문제도 같은 방식으로 완결됩니다. 10.3이 얻은 낱개의 해가 sin nπxa·S_n(y)(S_n(y)=e^nπya−e^−nπya)이므로, f의 (0, a) 위 반구간 사인계수를 d_n = 2aa∫0f(x)sin nπxa dx로 두고 c_n:=d_nS_n(b)(S_n(b)≠0은 10.3에서 확인)로 택하면 y=b에서 급수는 ∞Σn=1d_nsin nπxa이 됩니다. 이번에도 f는 [0, a]에서 연속이고 구간별 매끄러우며 f(0)=f(a)=0이라 두면, ⑷와 같은 논거(1072번 ⑵를 주기 2a로 옮긴 판)로 이 급수는 f(x)와 같고 ∞Σn=1|d_n|이 수렴합니다(1072번 ⑶의 보조정리). 나머지는 다음 부등식으로 ⑷의 보조정리에 맡깁니다.

0≤y≤b이면 Sn(y)Sn(b) ≤ e−nπ(b−y)/a	양변에 Sn(b)>0을 곱해 정리하면 e−nπy/a ≥ enπ(y−2b)/a, 곧 y≤b와 같음(ex는 증가함수)
0≤y≤b에서 |cnsin nπxa·Sn(y)| ≤ |dn| ⇒ u는 닫힌 직사각형에서 연속	⑷의 보조정리 ① · Σ|dn| 수렴
Sn′(y) = nπa(enπy/a+e−nπy/a)이고 enπy/a+e−nπy/aSn(b) ≤ K e−nπ(b−y)/a, K:=21−e−2πb/a	분자 ≤ 2enπy/a, Sn(b) = enπb/a(1−e−2nπb/a) ≥ enπb/a(1−e−2πb/a)
0≤y≤y0<b에서 각 항을 x, y로 두 번까지 미분한 것의 절댓값 ≤ DK(1+nπa)²e−nπ(b−y0)/a, D:=2aa∫0|f| dx이고 그 합은 수렴	위 두 줄 · |dn|≤D · 11.6 f1018
∴ y<b에서 uxx, uyy를 항별로 구할 수 있고, 각 항이 uxx+uyy=0을 만족하므로 u도 만족	⑷의 보조정리 ③ · 10.3 f1008의 낱개의 해

조화함수의 최대원리에 의한 유일성은 위 참고 상자와 같이 이 책의 증명에 쓰지 않습니다.

⑹ 정리. 이로써 10.3이 «챕터 11을 먼저 써야 메울 수 있다»고 남겨 둔 자리가 채워졌습니다. 이 절이 그 자리에 넣은 것은 : ① 계수 공식(1070번 ⑶), ② 그 급수가 초기함수로 수렴하고 t≥0에서 연속이라는 사실(1072번 ⑵·⑶, 위 ⑷의 ①), ③ t>0에서 방정식을 만족한다는 사실(위 ⑷의 ③), ④ 계수의 유일성(1068번)―모두 이 책 안에서 증명되었습니다. 최대원리에 의한 해의 유일성만 참고로 남습니다.

사용 : 1067번 · 1068번 · 1070번 · 1072번 · 1073번 · 10.3의 1006번 · 1008번 · 11.6의 1016번 · 1018번 · 1020번 · 11.5의 1010번 · 11.4의 770번 · 9.8의 739번 · 742번 · 743번 · 745번 · 746번 · 748번 · 9.4의 713번 · 8.4의 654번 · 655번 · 657번 · 8.2의 638번 · 639번 · 2.7의 146번 · 직접증명법

증명 끝