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11.9   대학 과정

멱급수의 미분과 적분

Differentiation and Integration of Power Series

정의 · 공식과 증명

1035–1041번은 11.8이 확립한 수렴반지름의 이론 위에서, 멱급수를 «하나의 함수»로 다루기 시작합니다. 수렴구간 안에서 멱급수의 합 f(x)는 잘 정의된 함수인데, 그 함수를 미분하거나 적분하려 할 때 자연스럽게 떠오르는 방법은 각 항을 따로 미분·적분한 뒤 다시 더하는 것입니다. 유한 개의 합이라면 8.3 f648와 9.1 f693(선형성)로 곧바로 정당화되지만, 무한급수에서는 극한과 미분·적분이라는 두 극한 조작의 순서를 바꾸는 일이므로 그냥 성립한다고 볼 수 없습니다. 1035번이 그 «항별로 조작한 급수»를 형식적으로 정의하고, 1036·1037번이 그 급수의 수렴반지름이 원래와 같음을 보이며, 1038·1039번이 그것이 실제로 f의 도함수·적분과 일치함을 증명합니다. 1040번은 이를 반복해 f가 무한 번 미분가능함과 계수가 a_n=f⁽ⁿ⁾(x₀)÷n!로 결정됨을 얻는데, 이 한 줄이 곧 11.10(테일러급수와 매클로린급수)의 출발점입니다.

1035정의항별 미분급수와 항별 적분급수(Derived and Integrated Series)∞Σk=1k a_k(x−x₀)^k−1,   ∞Σk=0a_kk+1(x−x₀)^k+1

정의이므로 정의 자체는 증명 대상이 아닙니다. 다만 아래 ⑴–⑶은 이 정의에서 곧바로 따라 나오는 사실이므로 근거를 붙여 확인합니다.

중심 x₀, 계수 {a_k}인 멱급수 f1027

∞Σk=0a_k(x−x₀)^k

에 대해, 계수만을 형식적으로 조작해서 얻는 다음 두 급수를 각각 이 멱급수의 항별 미분급수(derived series)와 항별 적분급수(integrated series)라 합니다.

항별 미분급수  :  ∞Σk=1k ak(x−x0)k−1 = a1+2a2(x−x0)+3a3(x−x0)2+…	각 항 ak(x−x0)k를 8.4 f653의 규칙대로 미분한 모양
항별 적분급수  :  ∞Σk=0akk+1(x−x0)k+1 = a0(x−x0)+a12(x−x0)2+a23(x−x0)3+…	각 항을 9.1 f694의 규칙대로 적분한 모양(적분상수는 붙이지 않음)

⑴ 두 급수 모두 1027번의 의미의 멱급수다. 지수를 0부터 세도록 번호를 다시 매기면 확인됩니다. 항별 미분급수에서 j:=k−1로 두면

∞Σk=1k a_k(x−x₀)^k−1 = ∞Σj=0(j+1)a_j+1(x−x₀)^j

이므로 계수가 b_j:=(j+1)a_j+1인 멱급수이고, 항별 적분급수에서 j:=k+1로 두면

∞Σk=0a_kk+1(x−x₀)^k+1 = ∞Σj=1a_j−1j(x−x₀)^j

이므로 계수가 c₀:=0, c_j:=a_j−1j (j≥1)인 멱급수입니다. 두 급수 모두 중심은 원래와 같은 x₀입니다. 따라서 1027번–1030번에서 세운 수렴반지름의 이론을 이 두 급수에 그대로 적용할 수 있습니다―이것이 아래 1036·1037번의 출발점입니다.

⑵ 이 정의는 아직 순전히 형식적이다. 위 두 급수는 «원래 급수의 각 항을 미분(적분)한 식을 다시 더한 것»일 뿐, 이 시점에서는 원래 급수의 합 함수의 도함수라거나 그 함수의 적분이라는 주장을 전혀 담고 있지 않습니다. 유한 개의 합이라면 8.3 f648(미분법의 선형성)와 9.1 f693(부정적분의 선형성)에 의해 그 동일시가 곧바로 성립하지만, 무한급수에서는 덧셈의 순서를 무한히 바꾸는 조작이 개입하므로 별도의 증명이 필요합니다. 그 동일시가 성립함을 보이는 것이 1038번(미분)과 1039번(적분)의 내용이며, 이 절 전체의 주제입니다.

⑶ 항별 적분급수의 항별 미분급수는 원래 급수 자신이다. ⑴의 c_j에 항별 미분급수의 계수 규칙 b_j=(j+1)c_j+1을 적용하면

(j+1)c_j+1 = (j+1)·a_jj+1 = a_j  (j≥0)

이므로, 항별 적분급수를 다시 항별 미분한 급수는 계수가 a_j인 급수―즉 원래 급수 그 자체입니다. 이 한 줄의 계산 덕분에 아래 1037번은 1036번의 따름정리로 곧바로 얻어집니다.

사용 : 11.8의 1027번 · 1030번 · 8.3의 648번 · 8.4의 653번 · 9.1의 693번 · 694번

1036정리항별 미분급수의 수렴반지름은 원래와 같다∞Σk=0a_k(x−x₀)^k의 반지름 R  =  ∞Σk=1k a_k(x−x₀)^k−1의 반지름 R′

증명법 : 직접증명법(양쪽 부등식을 각각 확립) 뒤 귀류법(부등식을 반지름의 대소로 옮기는 단계)

원래 급수의 수렴반지름을 R, 항별 미분급수(1035번 ⑴에 의해 이것도 중심이 x₀인 멱급수입니다)의 수렴반지름을 R′라 두고, 1030번의 규약대로 R, R′∈[0,∞]로 봅니다. 1029번·1030번에 의해 두 급수 각각에 대해 다음이 성립함을 자유롭게 씁니다―중심에서의 거리가 반지름보다 작으면 절대수렴하고, 크면 발산한다.

⑴ 보조정리 ― 0≤q<1이면 ∞Σk=1k q^k−1는 수렴한다. q=0이면 k=1인 항만 1이고 나머지는 모두 0이므로(2.3 f87의 규약대로 q⁰=1로 읽습니다) 부분합이 1로 일정해 수렴합니다. 0<q<1이면 모든 항 k q^k−1가 0이 아니고

(k+1)qkk qk−1 = q·k+1k	2.3 f85(지수법칙) · 약분
limk→∞ q·k+1k = q·1 = q < 1	8.2 f632(극한의 사칙연산)

이므로 11.6 f1018(비판정법)에 의해 이 급수는 절대수렴, 특히 수렴합니다.

⑵ |t|<R이면 항별 미분급수는 t=x−x₀에서 절대수렴한다. t:=x−x₀이라 두고 |t|<R인 x를 고정합니다. t=0이면 항별 미분급수의 값은 1035번 ⑴의 표기(계수 b_j)로 b₀=a₁ 하나뿐이므로 1027번 ⑵에 의해 절대수렴합니다. 이제 t≠0이라 하고, |t|<ρ<R인 실수 ρ를 하나 잡습니다 (R가 ∞이든 유한이든 이런 ρ는 언제나 존재합니다). 그러면

∞Σk=0|ak|ρk 수렴  ⇒  limk→∞ akρk=0  ⇒  |ak|ρk≤M  (∀k)	ρ<R이므로 1029번 · 11.4 f771 · 11.4 f772의 «수렴하는 수열은 유계»(M>0으로 잡음)
q := |t|ρ 라 두면   0 < q < 1	0<|t|<ρ
k|aktk−1| = k|ak|ρk−1qk−1 = |ak|ρkρ·k qk−1 ≤ Mρ·k qk−1	|t|=ρq · 2.3 f85 · 윗줄의 |ak|ρk≤M

가 모든 k≥1에서 성립합니다. ⑴에 의해 ∞Σk=1Mρ k q^k−1는 수렴하므로(11.5 f1010의 상수배), 11.6 f1016(비교판정법)에 의해 ∞Σk=1k|a_kt^k−1|도 수렴합니다―즉 항별 미분급수는 이 x에서 절대수렴합니다.

⑶ |t|<R′이면 원래 급수는 절대수렴한다. |t|<R′이라 하면 1029번에 의해 항별 미분급수가 이 점에서 절대수렴하므로 ∞Σk=1k|a_kt^k−1|가 수렴합니다. k≥1에서

|a_kt^k| = |t|·|a_kt^k−1| ≤ |t|·k|a_kt^k−1|  (k≥1이므로 k≥1·1)

이고 ∞Σk=1|t|·k|a_kt^k−1|는 수렴하므로(11.5 f1010), 11.6 f1016에 의해 ∞Σk=1|a_kt^k|가 수렴합니다. 여기에 k=0인 항 |a₀| 하나를 더해도 수렴성은 달라지지 않으므로(11.5 f1011) 원래 급수는 이 x에서 절대수렴합니다.

⑷ 두 결과를 반지름의 대소로 옮긴다. 만약 R′<R라 가정하면 (귀류법) R′<|t|<R인 실수 |t|를 잡을 수 있고, 그런 t에 대해 ⑵는 «항별 미분급수가 수렴»이라 하는데 1029번·1030번은 |t|>R′이므로 «항별 미분급수가 발산»이라 합니다―모순입니다. 그러므로 R≤R′입니다. 같은 방식으로 R<R′라 가정하면 R<|t|<R′인 t에서 ⑶과 1029번이 충돌하므로 R′≤R입니다. 따라서

R′ = R

입니다. 이 논증이 요구하는 것은 «두 값이 다르면 그 사이에 있는 실수 |t|를 하나 잡을 수 있다»는 사실뿐이고, 그것은 [0,∞] 안의 서로 다른 두 값에 대해 언제나 가능합니다. 그러므로 R=0인 경우(원래 급수가 중심에서만 수렴)와 R=∞인 경우(모든 점에서 수렴)도 예외 없이 같은 논증으로 덮이며, 세 경우를 따로 나눌 필요가 없습니다.

사용 : 1035번 · 11.8의 1027번 · 1029번 · 1030번 · 11.4의 771번 · 772번 · 11.5의 1010번 · 1011번 · 11.6의 1016번 · 1018번 · 8.2의 632번 · 2.3의 85번 · 87번 · 직접증명법 · 귀류법

증명 끝

1037정리항별 적분급수의 수렴반지름도 원래와 같다∞Σk=0a_k(x−x₀)^k의 반지름 R  =  ∞Σk=0a_kk+1(x−x₀)^k+1의 반지름 R″

증명법 : 직접증명법(1036번의 따름정리)

항별 적분급수의 수렴반지름을 R″라 둡니다. 1035번 ⑶에서 확인한 대로

(항별 적분급수)의 항별 미분급수 = (원래 급수)

입니다. 그러므로 1036번을 항별 적분급수에 적용하면―1036번은 임의의 멱급수와 그 항별 미분급수 사이의 관계이고, 1035번 ⑴에 의해 항별 적분급수도 중심이 x₀인 멱급수이므로 그대로 적용할 수 있습니다―

R″ = (항별 적분급수의 항별 미분급수의 반지름) = R

를 얻습니다.

덧붙임 ― 끝점까지 같다는 뜻은 아니다. 1036번·1037번이 말하는 것은 반지름이 같다는 것뿐이고, 수렴구간의 끝점에서의 거동까지 같다는 뜻은 결코 아닙니다. 실제로 세 급수의 끝점 거동은 서로 다를 수 있습니다―아래 그림은 가장 간단한 예(모든 계수가 1인 경우)로 그 차이를 보인 것입니다. 이는 1030번이 이미 지적한 «끝점은 급수마다 따로 판정해야 한다»는 원칙의 연장입니다.

모든 계수가 a_k=1인 멱급수 ① ∞Σk=0x^k와 그 항별 미분급수 ② ∞Σk=1k x^k−1, 항별 적분급수 ③ ∞Σj=1x^jj. 셋 다 수렴반지름은 R=1이지만(1036·1037번), 끝점에서는 ①이 두 끝점 모두에서 발산 (11.4 f771―항이 0으로 가지 않음), ②도 두 끝점 모두에서 발산(같은 이유), ③은 x=1에서 조화급수라 발산하고(11.4 f772) x=−1에서는 조화교대급수라 수렴합니다 (11.7 f1026). 그래서 수렴구간은 각각 (−1, 1), (−1, 1), [−1, 1)로 갈립니다.

사용 : 1035번 · 1036번 · 11.8의 1030번 · 11.4의 771번 · 772번 · 11.7의 1026번 · 직접증명법

증명 끝

1038정리항별 미분정리(Term-by-Term Differentiation)f(x)=∞Σk=0a_k(x−x₀)^k ⇒ f′(x) = ∞Σk=1k a_k(x−x₀)^k−1 (|x−x₀|<R)

증명법 : 직접증명법(대수 항등식으로 차분몫의 오차를 직접 평가한 뒤 8.2 f634 조임정리)

수렴반지름이 R>0인 멱급수의 합을

f(x) := ∞Σk=0a_k(x−x₀)^k  (|x−x₀|<R)

라 두면(1029번에 의해 이 구간의 모든 점에서 절대수렴하므로 f는 잘 정의됩니다), f는 이 열린구간의 모든 점에서 미분가능하고 그 도함수는 항별 미분급수의 합과 같습니다. 아래에서 g(x):=∞Σk=1k a_k(x−x₀)^k−1라 두겠습니다―1036번에 의해 이 급수의 수렴반지름도 R이므로 g 역시 같은 구간에서 잘 정의됩니다.

⑴ 보조정리(대수 항등식과 그 크기 평가). ρ>0이고 |u|≤ρ, |v|≤ρ, u≠v인 실수 u, v와 정수 k≥2에 대해

v^k−u^kv−u − k u^k−1 = (v−u)·k−1Σj=1 u^k−1−jj−1Σi=0 vⁱu^j−1−i

이고, 따라서

| v^k−u^kv−u − k u^k−1 | ≤ |v−u|·k(k−1)2 ρ^k−2

입니다. (k=0, k=1일 때는 좌변이 그 자체로 0이므로 아래 논의에서 제외해도 됩니다―k=0이면 v⁰−u⁰=0이고, k=1이면 차분몫이 1, 1·u⁰=1로 서로 같습니다.)

vk−uk = (v−u)k−1Σj=0 vjuk−1−j	2.1 f72 ①(모든 자연수 k에서 성립하는 기본 인수분해 항등식)
vk−ukv−u − k uk−1 = k−1Σj=0(vjuk−1−j − uk−1)	위 식을 v−u(≠0)로 나눈 뒤, k uk−1를 같은 개수(k개)의 uk−1로 쪼개 항별로 뺌
= k−1Σj=1 uk−1−j(vj−uj)	uk−1−j로 묶음 · j=0인 항은 0이므로 j=1부터
= (v−u)k−1Σj=1 uk−1−jj−1Σi=0 viuj−1−i	각 vj−uj에 2.1 f72 ①을 한 번 더 적용

크기를 평가합니다. |u|≤ρ, |v|≤ρ이므로 안쪽 합의 각 항은 |vⁱu^j−1−i|≤ρ^j−1이고 항이 j개이므로 안쪽 합의 절댓값은 jρ^j−1 이하입니다(2.7 f146의 삼각부등식을 유한 개 항에 적용). 여기에 |u^k−1−j|≤ρ^k−1−j를 곱하면 바깥 합의 각 항은 j ρ^k−2 이하이므로

| … | ≤ |v−u|·k−1Σj=1 j ρk−2 = |v−u|·ρk−2k−1Σj=1 j	삼각부등식 2.7 f146 · 2.3 f85(지수법칙)
= |v−u|·k(k−1)2 ρk−2	11.1 f755(1부터 k−1까지의 자연수의 합)

⑵ 두 번 항별 미분한 급수의 절대수렴. |x−x₀|<R인 x를 고정하고, |x−x₀|<ρ<R인 ρ를 하나 잡습니다. 1036번을 두 번 적용하면 항별 미분급수의 항별 미분급수

∞Σk=2k(k−1)a_k(x−x₀)^k−2

도 수렴반지름이 R이고, ρ<R이므로 1029번에 의해 |x−x₀|=ρ인 점에서 절대수렴합니다. 즉

C := 12∞Σk=2k(k−1)|a_k|ρ^k−2  <  ∞

인 유한한 상수 C≥0가 존재합니다(11.5 f1010의 상수배).

⑶ 차분몫의 오차 평가. u:=x−x₀로 두고, y를 |y−x₀|≤ρ, y≠x인 점이라 하여 v:=y−x₀라 둡니다. 그러면 v−u=y−x이고 |u|<ρ, |v|≤ρ입니다. 세 급수 f(y), f(x), g(x)가 모두 수렴하므로 11.5 f1010(선형성)에 의해 그 조합도 항별로 묶을 수 있고,

f(y)−f(x)y−x − g(x) = ∞Σk=2a_k[ v^k−u^kv−u − k u^k−1 ]

입니다(k=0, k=1인 항은 ⑴의 괄호에서 확인한 대로 0이므로 k=2부터 합해도 같습니다). 수렴하는 급수의 절댓값은 각 항의 절댓값의 합 이하이므로―부분합에 2.7 f146(삼각부등식)를 적용한 뒤 8.2 f633(극한의 대소 관계)로 극한을 취하면 얻어집니다―⑴의 평가를 각 항에 대입해

| f(y)−f(x)y−x − g(x) | ≤ ∞Σk=2|ak|·|v−u|·k(k−1)2ρk−2	⑴의 크기 평가 · 삼각부등식 2.7 f146 + 8.2 f633
= C·|y−x|	⑵의 C의 정의 · 11.5 f1010(상수 |y−x|를 밖으로)

⑷ 극한. 위 부등식은 |y−x₀|≤ρ이고 y≠x인 모든 y에서 성립합니다. δ₀:=ρ−|x−x₀|>0이라 두면 0<|y−x|<δ₀인 y는 모두 |y−x₀|≤|y−x|+|x−x₀|<ρ를 만족하므로(2.7 f146) 그런 y에서 언제나

0 ≤ | f(y)−f(x)y−x − g(x) | ≤ C·|y−x|

입니다. y→x일 때 오른쪽 C·|y−x|는 0으로 수렴하므로(8.2 f632), 8.2 f634(조임정리)에 의해 가운데도 0으로 수렴합니다. 곧

limy→x f(y)−f(x)y−x = g(x)

이고, 이것이 바로 8.3 f642의 미분계수의 정의이므로 f는 x에서 미분가능하며 f′(x)=g(x)입니다. x가 (x₀−R, x₀+R)의 임의의 점이었으므로 8.3 f643의 의미로

f′(x) = ∞Σk=1k a_k(x−x₀)^k−1  (|x−x₀|<R)

가 성립합니다.

대학 고른수렴을 쓰지 않은 이유. 일반적인 함수열·함수급수에 대해 «항별로 미분해도 된다»를 보장하는 표준 정리는 고른수렴(uniform convergence)과 바이어슈트라스 M-판정법을 필요로 하며, 이는 학부 해석학의 별도 주제입니다―점별수렴만으로는 항별 미분이 실제로 거짓이 될 수 있기 때문입니다. 위 증명이 그 도구 없이 끝난 것은 멱급수가 가진 특수한 대수적 구조 덕분입니다 : ⑴의 항등식이 차분몫의 오차를 |v−u|의 상수배로 깔끔하게 묶어 주고, 그 상수가 «두 번 미분한 급수»의 합이라는 형태로 1036번에서 이미 수렴이 보장되어 있습니다. 즉 이 절은 일반 이론의 특수한 경우를 더 강한 가정 아래 자체적으로 증명한 것이며, 일반 함수급수로 넘어가려면 고른수렴 이론이 반드시 필요합니다. 이 사이트에서는 고른수렴을 다루지 않으므로, 이후 절에서도 항별 조작은 언제나 멱급수에 한정해서만 사용합니다.

사용 : 1036번 · 11.8의 1029번 · 11.5의 1010번 · 11.1의 755번 · 8.2의 632번 · 633번 · 634번 · 8.3의 642번 · 643번 · 2.1의 72번 · 2.3의 85번 · 2.7의 146번 · 직접증명법

증명 끝

1039정리항별 적분정리(Term-by-Term Integration)x∫x₀f(t)dt = ∞Σk=0a_kk+1(x−x₀)^k+1 (|x−x₀|<R)

증명법 : 직접증명법(항별 적분급수의 합을 원시함수로 세운 뒤 9.8 f746 미적분의 기본정리)

1038번과 같은 상황에서 f(x):=∞Σk=0a_k(x−x₀)^k(|x−x₀|<R, R>0)라 두고, 항별 적분급수의 합을

F(x) := ∞Σk=0a_kk+1(x−x₀)^k+1

라 둡니다. 1037번에 의해 이 급수의 수렴반지름도 R이므로, F도 같은 열린구간 (x₀−R, x₀+R)에서 잘 정의됩니다.

F′(x) = ∞Σk=0(k+1)·akk+1(x−x0)k = ∞Σk=0ak(x−x0)k = f(x)	1038번을 F에 적용(1035번 ⑶에 의해 F의 항별 미분급수가 곧 원래 급수) · 약분
f는 (x0−R, x0+R)에서 연속	1038번으로 f는 미분가능 · 8.3 f646(미분가능이면 연속)
f는 x0과 x를 잇는 닫힌구간에서 적분가능	그 구간이 열린구간 안에 들어 있으므로 위의 연속성 · 9.8 f739
x∫x0f(t)dt = F(x) − F(x0)	F가 f의 원시함수(9.1 f689) · 9.8 f746(미적분의 기본정리 제2부)
F(x0) = 0	모든 항에 인수 (x−x0)k+1(k+1≥1)이 있으므로 x=x0에서 전부 0

그러므로 |x−x₀|<R인 모든 x에서

x∫x₀f(t)dt = ∞Σk=0a_kk+1(x−x₀)^k+1

입니다.

부정적분의 꼴. 9.1 f690(원시함수는 상수 차이뿐)에 의해, 같은 구간에서

∫f(x)dx = ∞Σk=0a_kk+1(x−x₀)^k+1 + C

로 쓸 수 있습니다(9.1 f691의 표기).

적분 구간에 대한 주의. 위 등식은 적분 구간이 수렴구간의 내부에 온전히 들어 있을 때만 보장됩니다. 특히 수렴구간의 끝점 x₀±R까지 적분 구간을 넓히는 것은 이 정리가 허용하지 않습니다―1037번에서 본 대로 끝점에서는 급수가 수렴할 수도, 발산할 수도 있고, 수렴하더라도 그 합이 좌변의 적분값과 같은지는 이 정리로부터 따라 나오지 않기 때문입니다. 이 문제는 1041번 ⑷에서 구체적인 예로 다시 다룹니다.

사용 : 1035번 · 1037번 · 1038번 · 8.3의 646번 · 9.1의 689번 · 690번 · 691번 · 9.8의 739번 · 746번 · 직접증명법

증명 끝

1040정리무한 번 미분가능성과 계수 공식f는 무한 번 미분가능,   a_n = f⁽ⁿ⁾(x₀)n!

증명법 : 수학적 귀납법(n에 대한 귀납, 1038번을 반복 적용) 뒤 직접증명법

수렴반지름 R>0인 멱급수의 합 f(x)=∞Σk=0a_k(x−x₀)^k는 열린구간 I:=(x₀−R, x₀+R)에서 모든 자연수 n에 대해 n번 미분가능하고 (8.5 f663의 의미), 그 n계도함수는 다음과 같습니다.

f⁽ⁿ⁾(x) = ∞Σk=nk!(k−n)! a_k(x−x₀)^k−n  (x∈I)

나아가 x=x₀을 대입하면 계수가 도함수로 결정됩니다.

a_n = f⁽ⁿ⁾(x₀)n!  (n=0,1,2,…, 0!=1)

⑴ 급수 공식의 귀납적 증명. n=0일 때는 f⁽⁰⁾=f(8.5 f664의 규약)이고 k!k!=1이므로 주어진 식이 그대로 f의 정의입니다. n에서 성립한다고 가정합시다. 우변의 급수는 j:=k−n으로 번호를 다시 매기면

∞Σk=nk!(k−n)! a_k(x−x₀)^k−n = ∞Σj=0(j+n)!j! a_j+n(x−x₀)^j

이므로 중심이 x₀인 멱급수이고, 1036번을 n번 적용한 결과 그 수렴반지름은 여전히 R입니다. 따라서 1038번을 이 급수에 적용할 수 있고, 항별로 미분하면

f(n+1)(x) = ∞Σk=n+1k!(k−n)!(k−n)ak(x−x0)k−n−1	가정한 식에 1038번 적용(지수 k−n을 곱하고 1을 뺌), k−n=0인 항의 미분은 0이므로 k≥n+1부터
= ∞Σk=n+1k!(k−n−1)! ak(x−x0)k−(n+1)	k!(k−n)!·(k−n) = k!(k−n−1)! (12.1 f779의 계승 정의로 약분)

가 되어 n+1에서도 같은 꼴이 성립합니다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 n에서 성립하고, 동시에 f가 I에서 n번 미분가능함도 함께 확인됩니다.

⑵ 계수 공식. ⑴의 식에 x=x₀을 대입합니다. k>n인 항은 인수 (x−x₀)^k−n(지수 k−n≥1)이 0이 되어 사라지고, k=n인 항만 (x−x₀)⁰=1(1027번의 표기 규약)으로 남습니다. 그 항의 계수는 n!0! a_n=n! a_n이므로

f⁽ⁿ⁾(x₀) = n! a_n,  즉  a_n = f⁽ⁿ⁾(x₀)n!

입니다(n!≠0이므로 나눌 수 있습니다―12.1 f779).

⑶ 따름정리 ― 멱급수 표현의 유일성. 중심이 같은 두 멱급수가 x₀을 품는 어떤 열린구간의 모든 점에서 같은 값을 가진다고 합시다. 즉

∞Σk=0a_k(x−x₀)^k = ∞Σk=0b_k(x−x₀)^k  (|x−x₀|<r, r>0)

라 하면, 양변이 같은 함수 f를 정의하므로 ⑵를 양쪽에 적용해

a_n = f⁽ⁿ⁾(x₀)n! = b_n  (모든 n)

을 얻습니다. 즉 한 함수를 한 중심에서 멱급수로 나타내는 방법은 많아야 한 가지입니다. 이 유일성은 «어떤 방법으로든 멱급수 전개를 하나 찾기만 하면 그것이 유일한 전개다»라는 뜻이어서, 1041번의 예제들처럼 항별 미분·적분으로 얻은 전개가 정당한 답임을 보장해 줍니다.

덧붙임 ― 11.10으로 가는 다리. ⑵는 «멱급수로 나타내어진 함수의 계수는 반드시 f⁽ⁿ⁾(x₀)÷n!이어야 한다»라는 필요조건입니다. 거꾸로 임의의 무한 번 미분가능한 함수에서 이 공식으로 계수를 만들어 급수를 세웠을 때 그 급수가 원래 함수로 수렴하는지는 전혀 다른 문제이며, 그것이 11.10(테일러급수와 매클로린급수)의 주제입니다.

사용 : 1036번 · 1038번 · 11.8의 1027번 · 8.5의 663번 · 664번 · 12.1의 779번 · 수학적 귀납법 · 직접증명법

증명 끝

1041정리·활용종합 예제 ― 항별 미분·적분으로 얻는 전개(Worked Examples)∞Σk=1k x^k−1 = 1(1−x)²,   ln(1+x) = ∞Σk=1(−1)^k−1x^kk,   tan⁻¹x = ∞Σk=0(−1)^kx^2k+12k+1

증명법 : 직접증명법(모두 등비급수 하나에서 출발해 1038번·1039번을 한 번씩 적용)

세 예제 모두 출발점은 11.4 f774(무한등비급수)입니다. 첫째항 1, 공비 r인 등비급수는 |r|<1일 때 11−r로 수렴하고 |r|≥1이면 발산하므로, r 자리에 x, −x, −x²을 각각 넣으면 다음 세 전개를 얻습니다. 세 급수 모두 |x|<1에서 수렴하고 |x|≥1에서 발산하므로, 1030번의 수렴반지름 정의(그리고 1029번 ⑶의 유일성)에 의해 수렴반지름은 모두 R=1입니다.

∞Σk=0xk = 11−x	11.4 f774에서 r=x
∞Σk=0(−1)kxk = 11+x	r=−x · |−x|=|x| · 2.3 f84
∞Σk=0(−1)kx2k = 11+x²	r=−x² · |−x²|<1 ⇔ |x|<1 · 2.3 f84

셋째 급수는 홀수 번째 계수가 모두 0인 멱급수(a_2k=(−1)^k, a_2k+1=0)이며, 1027번의 의미의 멱급수이므로 이 절의 정리들을 그대로 적용할 수 있습니다.

⑴ 항별 미분 ― ∞Σk=1k x^k−1의 합. 첫째 전개에 1038번을 적용합니다.

∞Σk=1k xk−1 = (11−x)′	1038번(|x|<1)
= 1(1−x)²	8.3 f650(몫의 미분법) : 분자 0·(1−x)−1·(−1)=1
∞Σk=1k xk = x(1−x)²	윗줄의 양변에 x를 곱함 · 11.5 f1010(상수배)

확인(x=12) : 왼쪽은 12+2·14+3·18+…이고 오른쪽은 12÷(12)²=2입니다―부분합 0.5, 1.0, 1.375, 1.625, 1.78125, …가 실제로 2로 다가갑니다. 1036번이 보장한 대로 항별 미분급수의 수렴반지름도 R=1로 원래와 같습니다.

⑵ 항별 적분 ― ln(1+x)의 전개. 둘째 전개에 1039번을 적용합니다. 먼저 피적분함수를 확인해 두면, 8.4 f660((ln t)′=1÷t)과 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해 t↦ln(1+t)는 1+t>0인 곳에서 미분가능하고 그 도함수가 11+t이므로, ln(1+t)는 11+t의 원시함수입니다(9.1 f689).

x∫011+t dt = ∞Σk=0(−1)kxk+1k+1	둘째 전개에 1039번 적용(중심 0, |x|<1)
x∫011+t dt = ln(1+x) − ln 1 = ln(1+x)	위의 원시함수 · 9.8 f746 · 2.5 f105(ln 1=0)
∴ ln(1+x) = ∞Σk=0(−1)kxk+1k+1 = ∞Σk=1(−1)k−1xkk	두 식을 비교 · 둘째 식은 j=k+1로 번호를 다시 매긴 것

확인(x=0.5) : 오른쪽 부분합은 0.5, 0.375, 0.4167, 0.4010, 0.4073, …이고 ln 1.5=0.405465…입니다. 아래 그림은 x=−1과 x=1 사이에서 부분합이 y=ln(1+x)로 다가가는 모습입니다―항을 늘릴수록 중심 0 근처부터 차례로 곡선에 달라붙고, 수렴반지름의 경계(x=±1)에 가까울수록 더 많은 항이 필요합니다.

y=ln(1+x)(붉은 실선)와 그 전개의 부분합 S_n(x)=nΣk=1(−1)^k−1x^kk(점선, n=1,2,3,5). 중심 x=0에서는 모든 부분합이 정확히 만나고, 열린구간 (−1, 1) 안에서는 n을 늘릴수록 곡선에 가까워집니다. 두 경계 x=±1은 수렴반지름 R=1이 정하는 한계선입니다.

⑶ 항별 적분 ― 아크탄젠트의 전개. 셋째 전개에 같은 방법을 씁니다. 9.2 f705에서 인용한 대로 (tan⁻¹t)′=11+t²가 모든 실수 t에서 성립하므로(4.17 f802의 정의와 8.4 f659·f656를 결합한 결과), tan⁻¹t는 11+t²의 원시함수입니다.

x∫011+t² dt = ∞Σk=0(−1)kx2k+12k+1	셋째 전개에 1039번 적용(|x|<1) · 홀수 계수가 0이므로 그 항들은 사라짐
x∫011+t² dt = tan−1x − tan−10 = tan−1x	위의 원시함수 · 9.8 f746 · 4.17 f802(tan−10=0)
∴ tan−1x = ∞Σk=0(−1)kx2k+12k+1  (|x|<1)	두 식을 비교

확인(x=0.5) : 오른쪽 부분합은 0.5, 0.458333, 0.464583, 0.463467, 0.463684, …이고 tan⁻¹0.5=0.463648…입니다.

⑷ 끝점에서는 이 절의 정리를 쓸 수 없다. ⑵의 전개에 x=1을 형식적으로 대입하면 오른쪽은 조화교대급수 1−12+13−14+…가 되고, 이 급수는 11.7 f1023(라이프니츠 판정법)에 의해 실제로 수렴합니다(11.7 f1026). 그러나 x=1은 수렴구간의 끝점이므로, 1039번의 결론이 보장되는 범위(|x|<R) 밖입니다. 그러므로 «그 합이 ln 2이다»라는 결론은 이 절의 정리만으로는 얻어지지 않습니다.

대학 끝점에서 급수의 합이 함수의 극한값과 이어진다는 것을 보장하는 정리를 아벨의 극한정리(Abel's limit theorem)라 하며, 그 표준 증명은 끝점을 포함한 닫힌구간에서의 고른수렴을 필요로 합니다―1038번의 대학 각주에서 언급한, 이 사이트가 다루지 않는 도구입니다. 이 결과를 인정하면 위 급수의 합이 실제로 limx→1− ln(1+x)=ln 2임이 따라 나옵니다. 이 사이트에서는 조화교대급수의 합이 ln 2라는 사실을 11.10(테일러급수와 매클로린급수)에서 다시 다루기로 하고, 여기서는 끝점 대입이 정당화되지 않는다는 점만 분명히 해 둡니다―11.7 f1026이 그 값을 미해결로 남겨 둔 상태가 이 절에서도 그대로 유지됩니다.

사용 : 1038번 · 1039번 · 1036번 · 11.8의 1027번 · 1029번 · 1030번 · 11.4의 774번 · 11.5의 1010번 · 11.7의 1023번 · 1026번 · 8.3의 650번 · 651번 · 8.4의 656번 · 659번 · 660번 · 9.1의 689번 · 9.2의 705번 · 9.8의 746번 · 4.17의 802번 · 2.3의 84번 · 2.5의 105번 · 직접증명법

증명 끝