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11.11   대학 과정

여러 함수의 멱급수 전개

Power Series Expansions for Some Functions

정의 · 공식과 증명

11.10은 «주어진 함수의 테일러급수가 정말 그 함수로 수렴하는가»를 f1044의 나머지항 판정으로 결정하고, e^x·sin x·cos x의 전개를 완결했습니다. 1050–1057번은 그 판정을 매번 처음부터 되풀이하지 않는 방법을 마련합니다―이미 확정된 몇 개의 전개를 재료로 삼아, 치환(1051번)·선형결합·항별 미적분이라는 세 연산만으로 새 전개를 얻는 것입니다. 1050번이 재료가 될 다섯 전개를 수렴구간의 끝점까지 확정하고, 1052번–1054번이 그 방법으로 a^x·sinh·cosh와 로그의 두 전개를 얻습니다(1054번의 급수는 임의의 양수의 자연로그를 매우 빠르게 계산합니다). 나머지 두 항목은 이 방법의 경계를 그립니다―1055번은 계수가 닫힌 형태로 나오지 않는 tan·sec·tanh를 도함수의 점화식으로 몇 항까지 정확히 계산하고, 1056번은 cot·csc처럼 매클로린 전개가 아예 존재할 수 없는 함수를 가려냅니다. 마지막 1057번은 전체를 표로 모으고 극한·정적분·근삿값 계산에 적용합니다.

1050정리출발점이 되는 다섯 전개와 그 수렴구간(Standard Expansions and Their Intervals)e^x, sin x, cos x (ℝ); ln(1+x) (−1<x≤1); tan⁻¹x (−1≤x≤1)

증명법 : 직접증명법(앞 절들에서 이미 증명된 전개를 모으고, 아직 확정되지 않았던 끝점까지 결정)

이 절에서 새로 얻을 전개는 모두 이미 확정된 전개에서 출발합니다. 그러므로 출발점이 될 다섯 개를 먼저 한자리에 모으고, 각각의 수렴구간을 끝점까지 확정해 둡니다. 아래 다섯 전개는 모두 중심이 x₀=0인 매클로린 전개입니다(11.10 f1042).

⑴ 수렴반지름이 R=∞인 세 전개.

ex = ∞Σk=0xkk!  (모든 실수 x)	11.10 f1045
sin x = ∞Σk=0(−1)kx2k+1(2k+1)!  (모든 실수 x)	11.10 f1046
cos x = ∞Σk=0(−1)kx2k(2k)!  (모든 실수 x)	11.10 f1046

세 경우 모두 수렴구간이 ℝ 전체이므로 끝점 자체가 없습니다(f1030).

⑵ 수렴반지름이 R=1인 두 전개. 11.9 f1041 ⑵·⑶에서 항별 적분으로 얻었고, 그 절에서 확정된 것은 |x|<1인 안쪽뿐이었습니다.

ln(1+x) = ∞Σk=1(−1)k−1xkk	11.9 f1041 ⑵ · 반지름 R=1
tan−1x = ∞Σk=0(−1)kx2k+12k+1	11.9 f1041 ⑶ · 반지름 R=1

⑶ 끝점의 결정. 11.10 f1048이 x=1에서의 두 합을 확정했으므로, 이제 네 끝점의 운명을 모두 말할 수 있습니다.

ln(1+x), x=1 : 급수가 수렴하고 그 합이 ln 2	11.10 f1048 ⑷
ln(1+x), x=−1 : ∞Σk=1(−1)k−1(−1)kk = −∞Σk=11k 이므로 발산	(−1)k−1(−1)k=(−1)2k−1=−1(2.3 f82) · 조화급수의 발산 f772 · f1010
tan−1x, x=1 : 급수가 수렴하고 그 합이 π÷4	11.10 f1048 ⑸
tan−1x, x=−1 : 급수가 수렴하고 그 합이 −π÷4	항이 모두 x의 홀수 거듭제곱이라 x→−x에서 부분합이 −1배가 됨 · tan−1은 기함수(4.17 f802)

그러므로 두 전개가 성립하는 x의 범위는 각각 다음과 같습니다(2.7 f126의 구간 표기).

ln(1+x) :  −1 < x ≤ 1   ·   tan⁻¹x :  −1 ≤ x ≤ 1

11.9 f1041 ⑷가 «x=1 대입은 아직 정당화되지 않았다»고 남겨 둔 자리가 이로써 모두 메워졌습니다.

⑷ 이 절의 방침 ― 세 가지 연산만 쓴다. 앞으로 새 전개를 얻을 때는 위 다섯 개(그리고 그것에서 얻어진 것)에 다음 세 연산만을 적용합니다.

① 치환   t → c xm	1051번(이 절에서 세움)
② 상수배와 항별 덧셈·뺄셈	11.5 f1010(급수의 선형성)
③ 항별 미분·적분	11.9 f1038 · f1039

이 세 연산은 모두 멱급수에 한정된 정리이며, 11.9 f1038의 대학 각주가 밝힌 방침―일반 함수급수의 항별 조작은 고른수렴이 필요하므로 쓰지 않는다―을 그대로 지킵니다. 나머지항 판정(11.10 f1044)으로 처음부터 다시 돌아가는 것은 세 연산으로 닿지 않는 경우, 즉 1055번(tan·sec·tanh)뿐입니다.

사용 : 1051번 · 1055번 · 11.4의 772번 · 11.5의 1010번 · 11.8의 1030번 · 11.9의 1038번 · 1039번 · 1041번 · 11.10의 1042번 · 1044번 · 1045번 · 1046번 · 1048번 · 2.3의 82번 · 2.7의 126번 · 4.17의 802번 · 직접증명법

증명 끝

1051정리치환에 의한 멱급수 전개(Power Series by Substitution)f(t)=∞Σk=0a_kt^k  ⇒  f(c x^m)=∞Σk=0a_kc^kx^km

증명법 : 직접증명법(급수를 조작하지 않고 한 점에서 값매김만 하는 것이 핵심)

어떤 함수 f가 |t|<R(R>0, R=∞도 허용)에서

f(t) = ∞Σk=0a_kt^k

로 나타내어진다고 합시다. c는 0이 아닌 실수, m은 자연수라 하고

ρ := mR|c|  (R=∞이면 ρ:=∞)

로 두면, |x|<ρ인 모든 x에서 다음이 성립하고 그 수렴반지름은 정확히 ρ입니다.

f(c x^m) = ∞Σk=0a_kc^kx^km

⑴ 조건의 번역 : |x|<ρ ⇔ |c x^m|<R. 두 양수의 크기 비교를 m제곱으로 옮기는 것뿐입니다.

|c xm| = |c|·|x|m	2.3 f84(곱의 거듭제곱) · 절댓값의 곱셈
ρm = R|c|	2.3 f89(유리수 지수) · f86
|x| < ρ  ⇔  |x|m < ρm	(⇒) 2.7 f137 · (⇐) 그 대우 ― |x|≥ρ이면 |x|m≥ρm
⇔  |c|·|x|m < R  ⇔  |c xm| < R	2.7 f133·f134(양수 |c|를 곱하고 나눔) · 윗줄

R=∞인 경우에는 |c x^m|<R가 모든 x에서 참이므로 ρ=∞으로 두면 같은 동치가 그대로 성립합니다.

⑵ 각 항의 변형. 2.3 f84·f86에 의해

a_k(c x^m)^k = a_kc^kx^km

입니다―항등식이므로 어떤 수렴 논의도 필요하지 않습니다.

⑶ 값매김. |x|<ρ이면 ⑴에 의해 t:=c x^m은 |t|<R를 만족하므로, 가정의 급수가 이 t에서 수렴하고 그 합이 f(t)입니다. ⑵로 각 항을 고쳐 쓰면

∞Σk=0a_kc^kx^km = ∞Σk=0a_kt^k = f(c x^m)

가 됩니다. 급수를 항별로 옮기거나 재배열한 곳이 한 군데도 없다는 점이 중요합니다―같은 급수를 한 점에서 값매김했을 뿐입니다.

⑷ 결과가 x에 대한 멱급수인가. 계수를

bj := akck	j가 j=km 꼴인 경우(그 k는 유일하게 정해짐)
bj := 0	j가 m의 배수가 아닌 경우

로 두면 ∞Σj=0b_jx^j은 11.8 f1027의 뜻의 멱급수입니다. 이 급수와 ⑶의 급수는 0인 항이 사이사이 끼어 있는가만 다른데, 0인 항을 끼워 넣으면 부분합 수열이 같은 값을 여러 번 되풀이할 뿐이므로 한쪽이 수렴하면 다른 쪽도 같은 값으로 수렴합니다(11.4 f769 · 11.8 f1034 ⑷의 각주에서 확인한 논법). 그러므로 11.8·11.9의 정리를 이 급수에 그대로 쓸 수 있습니다.

⑸ 수렴반지름은 정확히 ρ. |x|>ρ라 하면 ⑴의 동치에 의해 |c x^m|>R이므로 가정의 급수가 t=c x^m에서 발산하고(11.8 f1029 · f1030), ⑵에 의해 ∞Σj=0b_jx^j도 발산합니다. 즉 |x|<ρ에서 수렴하고 |x|>ρ에서 발산하므로, 11.8 f1029 ⑶(수렴반지름의 유일성)에 의해 반지름은 ρ입니다.

⑹ 곧바로 얻어지는 예. ⑴–⑸를 1050번의 전개에 적용한 것입니다.

e−x² = ∞Σk=0(−1)kx2kk!  (모든 실수 x)	f1045에 c=−1, m=2 · R=∞이므로 ρ=∞
sin(x²) = ∞Σk=0(−1)kx4k+2(2k+1)!  (모든 실수 x)	f1046에 c=1, m=2 · 지수 2k+1이 2(2k+1)=4k+2로 바뀜
11+2x = ∞Σk=0(−1)k2kxk  (|x| < 1÷2)	11.9 f1041의 11+t=∞Σk=0(−1)ktk(R=1)에 c=2, m=1 · ρ=1÷2

확인(셋째 줄, x=0.2) : 왼쪽은 1÷1.4=0.714285…이고 오른쪽의 부분합은 1, 0.6, 0.76, 0.696, 0.7216, 0.71136, …입니다―공비 −0.4인 등비급수이므로 11.4 f774로도 같은 값이 나옵니다.

덧붙임 ― 왜 c x^m 꼴만 허용하는가. t 자리에 예컨대 x+x²처럼 여러 항으로 된 식을 넣으면 (x+x²)^k를 전개할 때 같은 차수의 x가 여러 k에서 쏟아져 나오므로, 결과를 다시 멱급수로 정리하려면 이중급수의 재배열이 필요합니다. 그것은 11.10 f1047이 코시 곱을 쓰지 않은 것과 같은 이유로 이 사이트가 아직 갖추지 않은 도구이므로, 이 절에서는 단항식 c x^m만 다룹니다―이 경우에는 차수 km이 k에 대해 단조증가해서 항이 섞이지 않기 때문에 ⑷처럼 0인 항을 끼워 넣는 것만으로 끝납니다.

사용 : 11.4의 769번 · 774번 · 11.8의 1027번 · 1029번 · 1030번 · 1034번 · 11.9의 1041번 · 11.10의 1045번 · 1046번 · 1047번 · 1050번 · 2.3의 84번 · 86번 · 89번 · 2.7의 133번 · 134번 · 137번 · 직접증명법

증명 끝

1052정리일반 지수함수의 매클로린 전개(Maclaurin Expansion of the General Exponential Function)a^x = ∞Σk=0(ln a)^kx^kk!   (a>0, 모든 실수 x)

증명법 : 직접증명법(밑을 e로 바꾼 뒤 1051번 적용)

a>0, a≠1이라 합시다. 그러면 모든 실수 x에서

a^x = ∞Σk=0(ln a)^kx^kk! = 1 + (ln a)x + (ln a)²2!x² + …

가 성립합니다.

⑴ 밑을 e로 바꾼다. a^x>0이므로 2.5 f114(밑이 e인 경우)에 의해 a^x=e^ln(ax)이고, 지수 x가 실수여도 2.5 f110(로그의 거듭제곱법칙 ― 지수가 실수인 경우까지 포함)에 의해 ln(a^x)=x ln a입니다. 따라서

a^x = e^x ln a

입니다. 또 a≠1이므로 ln a≠0입니다―ln a=0이면 2.5 f104(로그의 정의)에 의해 a=e⁰=1(2.3 f87)이 되어 가정에 어긋나기 때문입니다.

⑵ 치환정리를 적용한다. 1050번 ⑴의 지수함수 전개(R=∞)에 1051번을 c=ln a(≠0), m=1로 적용합니다.

ρ = ∞	1051번에서 R=∞인 경우 ― 모든 실수 x에서 성립
ex ln a = ∞Σk=0(ln a)kxkk!	1051번 ⑶ · ak=1÷k!, c=ln a

⑴과 합치면 정리의 등식을 얻습니다.

⑶ 계수의 교차 검증. 8.4 f658((a^x)′=a^x ln a)을 되풀이 적용하면 8.5 f663의 n계도함수 정의에 의해

(a^x)⁽ⁿ⁾ = a^x(ln a)ⁿ,  즉  x=0에서 (ln a)ⁿ  (a⁰=1, 2.3 f87)

이고(n에 대한 수학적 귀납법), 이를 11.10 f1042의 계수 공식 a_n=f⁽ⁿ⁾(0)÷n!에 넣으면 위 급수의 계수와 정확히 일치합니다. 11.9 f1040 ⑶(멱급수 표현의 유일성)에 의해 이것 말고 다른 전개는 없습니다.

⑷ 수치 확인. a=2, x=1이면 좌변은 2이고, 오른쪽 부분합은 (ln 2=0.6931471806을 써서)

1,  1.6931472,  1.9333737,  1.9888778,  1.9984959,  1.9998293,  1.9999833,  1.9999986, …

입니다. 또 a=3, x=1÷2에서는 좌변이 3=1.7320508…이고 오른쪽도 같은 값으로 수렴합니다.

⑸ a=1인 경우. 1^x은 항상 1이고, 이때 매클로린급수는 상수함수의 것이므로 계수가 a₀=1, a_n=0(n≥1)입니다―위 공식에서 (ln 1)ⁿ=0ⁿ을 n≥1에서만 읽고, n=0인 항은 급수의 첫 항이 언제나 f(0)이라는 규약(11.10 f1042)으로 1이라 읽는 것과 같습니다. 0⁰이라는 애매한 기호를 피하기 위해 정리의 진술에서 a≠1을 둔 것이며, 내용상 a=1도 자명하게 성립합니다.

사용 : 1050번 · 1051번 · 11.9의 1040번 · 11.10의 1042번 · 2.3의 87번 · 2.5의 104번 · 110번 · 114번 · 8.4의 658번 · 8.5의 663번 · 수학적 귀납법 · 직접증명법

증명 끝

1053정리쌍곡선사인·쌍곡선코사인의 매클로린 전개(Maclaurin Expansions of sinh and cosh)sinh x = ∞Σk=0x^2k+1(2k+1)!,   cosh x = ∞Σk=0x^2k(2k)!

증명법 : 직접증명법(1051번로 e^−x의 전개를 얻은 뒤 11.5 f1010로 선형결합)

4.21 f815의 정의

sinh x := e^x−e^−x2,    cosh x := e^x+e^−x2

에서 출발합니다.

⑴ e^−x의 전개. 1050번 ⑴의 지수함수 전개에 1051번을 c=−1, m=1로 적용하면 ρ=∞이고

e^−x = ∞Σk=0(−1)^kx^kk!  (모든 실수 x)

입니다.

⑵ 두 급수의 선형결합. e^x의 급수와 ⑴의 급수가 모두 수렴하므로 11.5 f1010(급수의 선형성)에 의해 항별로 더하거나 뺀 뒤 상수배할 수 있습니다. k번째 계수를 비교하면

12(1k!−(−1)kk!) = 1−(−1)k2 k! = 0 (k 짝수),  1k! (k 홀수)	sinh의 계수 · 11.5 f1010
12(1k!+(−1)kk!) = 1+(−1)k2 k! = 1k! (k 짝수),  0 (k 홀수)	cosh의 계수 · 11.5 f1010

0인 항을 지우고 남는 항만 k=2j+1(홀수) 또는 k=2j(짝수)로 다시 세면(11.8 f1034 ⑷의 논법 · 11.4 f769)

sinh x = ∞Σk=0x^2k+1(2k+1)! = x + x³3! + x⁵5! + …

cosh x = ∞Σk=0x^2k(2k)! = 1 + x²2! + x⁴4! + …

를 얻습니다. 두 급수는 모든 실수에서 수렴합니다―출발한 두 급수의 반지름이 모두 ∞이기 때문입니다.

⑶ 삼각함수의 전개와의 대조. 1050번 ⑴의 sin·cos와 나란히 놓으면 계수의 절댓값이 완전히 같고 부호만 다릅니다.

sin x = x − x³3! + x55! − …  vs  sinh x = x + x³3! + x55! + …	11.10 f1046 · ⑵
cos x = 1 − x²2! + x44! − …  vs  cosh x = 1 + x²2! + x44! + …	11.10 f1046 · ⑵

4.21 f821(오스본의 규칙)이 항등식 사이의 형식적 대응으로 서술했던 것이, 급수의 계수 수준에서도 같은 모습으로 나타나는 것입니다.

cos x와 cosh x, 그리고 각각의 4차 매클로린 다항식 T₄(x)=1∓x²2!+x⁴4!(⑵·⑶의 계수를 그대로 대입해 그린 것). 계수의 절댓값이 같아도 부호가 번갈아 바뀌면 값이 서로 상쇄되어 [−1,1] 안에 갇히고(cos), 부호가 모두 같으면 한없이 커집니다(cosh). 두 점선이 각각의 실선에서 갈라지기 시작하는 위치도 대칭적입니다.

⑷ 복소수 인수를 통한 교차 검증. 11.10 f1047 ⑵에서 복소수 항의 급수가 실수부·허수부 각각의 수렴으로 정의됐으므로, cos의 급수에 x 대신 i x를 넣는 것이 뜻을 가집니다. 1.4 f46(허수단위의 거듭제곱 주기성)에 의해 i^2k=(−1)^k이므로

cos(i x) = ∞Σk=0(−1)k(i x)2k(2k)! = ∞Σk=0(−1)k(−1)kx2k(2k)!	11.10 f1046 · 1.4 f46 · 2.3 f84·f86
= ∞Σk=0x2k(2k)! = cosh x	(−1)k(−1)k=1 · ⑵

이는 4.21 f822이 이미 증명해 둔 cos(i x)=cosh x와 일치합니다―서로 다른 두 경로가 같은 결과를 주므로 교차 검증이 됩니다.

⑸ 항별 미분에 의한 교차 검증과 수치 확인. ⑵의 sinh 급수에 11.9 f1038(항별 미분정리)을 적용하면

∞Σk=0(2k+1)x^2k(2k+1)! = ∞Σk=0x^2k(2k)! = cosh x

가 되어 9.5 f917((sinh x)′=cosh x)와 일치합니다. x=1에서의 부분합은 다음과 같습니다.

sinh 1 :  1,  1.1666667,  1.1750000,  1.1751984,  1.1752012, …	실제 값 sinh 1 = 1.1752011936…
cosh 1 :  1,  1.5000000,  1.5416667,  1.5430556,  1.5430804, …	실제 값 cosh 1 = 1.5430806348…

x>0에서는 두 급수의 항이 모두 양수이므로 11.7 f1022의 교대급수가 아니고, 부분합이 아래에서 단조롭게 참값으로 올라갑니다―11.10 f1046의 sin·cos에서 부분합이 참값을 사이에 두고 번갈아 좁혀 들던 것과 대조적입니다.

덧붙임 ― tanh는 여기서 나오지 않는다. 4.21 f816의 tanh x=sinh x÷cosh x는 두 급수의 몫이며, 급수의 나눗셈은 1051번의 덧붙임에서 밝힌 이유로 이 사이트가 갖추지 않은 도구입니다. tanh의 전개는 1055번에서 도함수의 점화식으로 따로 다룹니다.

사용 : 1050번 · 1051번 · 1055번 · 11.4의 769번 · 11.5의 1010번 · 11.7의 1022번 · 11.8의 1034번 · 11.9의 1038번 · 11.10의 1046번 · 1047번 · 1.4의 46번 · 2.3의 84번 · 86번 · 4.21의 815번 · 816번 · 821번 · 822번 · 9.5의 917번 · 직접증명법

증명 끝

1054정리·활용로그함수의 전개와 빠른 계산법(Logarithmic Expansions)ln1+x1−x = 2∞Σk=0x^2k+12k+1  (|x| < 1)

증명법 : 직접증명법(1051번의 치환과 11.5 f1010의 선형성만 사용)

⑴ ln(1−x)의 전개. 1050번 ⑵의 ln(1+t) 전개(R=1)에 1051번을 c=−1, m=1로 적용합니다.

akck = (−1)k−1k(−1)k = (−1)2k−1k = −1k	1051번 ⑵ · 2.3 f82(지수의 덧셈)
ln(1−x) = −∞Σk=1xkk  (|x| < 1)	1051번 ⑶·⑸ · ρ=1

⑵ 두 로그의 차. |x|<1이면 1+x>0이고 1−x>0이므로 2.5 f109(로그의 나눗셈법칙)을 쓸 수 있습니다. 두 급수가 모두 |x|<1에서 수렴하므로 11.5 f1010로 항별로 뺍니다.

ln1+x1−x = ln(1+x) − ln(1−x)	2.5 f109
(−1)k−1k + 1k = 2k (k 홀수),  0 (k 짝수)	⑴의 계수를 빼서 얻은 k번째 계수 · 11.5 f1010
ln1+x1−x = 2∞Σk=0x2k+12k+1  (|x| < 1)	0인 항을 지우고 k=2j+1로 다시 셈(11.8 f1034 ⑷ · 11.4 f769)

⑶ 수렴반지름과 끝점. 반지름은 R=1입니다―|x|<1에서 수렴함은 ⑵에서 보였고, |x|>1이면 항 x^2k+1÷(2k+1)이 0으로 가지 않아 11.4 f771에 의해 발산하기 때문입니다. 끝점 x=±1에서는 좌변 자체가 정의되지 않으므로(1−x=0 또는 1+x=0) 11.10 f1048이 다룬 것과 같은 끝점 문제가 아예 생기지 않습니다. 참고로 그 점에서 우변의 급수도 2∞Σk=012k+1이 되어 발산합니다(11.6 f1016으로 조화급수 f772와 비교).

⑷ 활용 ― 임의의 양수의 자연로그. u>0이 주어졌을 때

x := u−1u+1

로 두면 다음이 성립합니다.

1+x = 2uu+1,   1−x = 2u+1  ⇒  1+x1−x = u	통분해 계산 · u>0이므로 u+1>0
|x| < 1	|u−1| < u+1 ⇔ −(u+1) < u−1 < u+1 ⇔ 0 < u (2.7 f147)
∴ ln u = 2∞Σk=0x2k+12k+1	⑵에 위 두 줄을 대입

즉 모든 양수의 자연로그가 이 하나의 급수로 계산됩니다. u=2이면 x=1÷3이고, 부분합은 다음과 같습니다.

0.6666666667,  0.6913580247,  0.6930041152,  0.6931347573,  0.6931460474,  0.6931470738,  0.6931471703,  0.6931471795

ln 2=0.6931471806…이므로 8항 만에 오차가 약 0.000 000 001입니다. 같은 값을 11.10 f1048의 조화교대급수로 구하면 8항의 부분합이 0.6345238095로 오차가 아직 0.0586입니다―약 6천만 배 차이입니다.

같은 값 ln 2로 수렴하는 두 급수의 부분합(가로축은 항의 개수 n). 빨강은 11.10 f1048의 조화교대급수, 파랑은 ⑷의 급수(u=2, x=1÷3)입니다―파랑은 n=2에서 이미 초록 점선(ln 2)과 구별되지 않습니다. 좌표는 실제로 계산한 부분합 값을 그대로 찍은 것입니다.

⑸ 오차의 상한을 실제로 잰다. ⑷에서 처음 J개 항까지 더했을 때 남는 나머지는 다음과 같이 등비급수로 눌립니다(0<x<1인 경우).

0 < 2∞Σk=Jx2k+12k+1 ≤ 22J+1∞Σk=Jx2k+1	k≥J이면 2k+1≥2J+1이므로 12k+1≤12J+1 · 11.5 f1010
= 22J+1·x2J+11−x²	첫째항 x2J+1, 공비 x²(<1)인 무한등비급수 · 11.4 f774

u=2(x=1÷3), J=8이면 이 상한은

217·(1÷3)¹⁷1−1÷9 = 0.000 000 001 024…

이고, 실제 오차는 0.000 000 001 012…입니다―상한이 실제 오차를 거의 그대로 맞춥니다.

덧붙임 ― 이 함수의 이름. ⑵의 좌변의 절반, 즉 12ln1+x1−x은 역쌍곡선탄젠트(artanh)라는 이름으로 알려져 있습니다. 다만 역쌍곡선함수는 이 사이트의 4.21에서 아직 정의하지 않았으므로, 여기서는 이름만 밝히고 그 이름으로 결과를 쓰지는 않습니다.

사용 : 1050번 · 1051번 · 11.4의 769번 · 771번 · 772번 · 774번 · 11.5의 1010번 · 11.6의 1016번 · 11.8의 1034번 · 11.10의 1048번 · 2.3의 82번 · 2.5의 109번 · 2.7의 147번 · 직접증명법

증명 끝

1055정리계수가 닫힌 형태로 나오지 않는 경우 ― tan·sec·tanhtan x = x + x³3 + 2x⁵15 + …,   sec x = 1 + x²2 + 5x⁴24 + …

증명법 : 수학적 귀납법(도함수가 자기 자신의 다항식으로 표현됨) 뒤 직접증명법(11.10 f1043의 유한 테일러 다항식)

1050번 ⑷의 세 연산으로는 닿지 않는 경우가 있습니다. tan·sec·tanh는 급수의 몫으로 정의되므로 치환·선형결합·항별 미적분 어느 것으로도 나오지 않습니다. 대신 도함수의 점화식을 세워 계수를 하나씩 정확히 계산합니다.

⑴ tan의 도함수는 tan의 다항식이다. J:=(−π÷2, π÷2)에서 cos x>0이므로(4.3 f418) tan은 J에서 정의되고, 8.4 f656과 4.5 f426에 의해

u := tan,    u′ = sec² = 1 + u²

입니다. 이제 다항식 P_n을 P₀(y):=y, P_n+1(y):=P_n′(y)(1+y²)로 정의하면

u⁽ⁿ⁾ = P_n(u)  (모든 n≥0, J에서)

가 n에 대한 수학적 귀납법으로 따라옵니다―n=0은 정의 그대로이고, u⁽ⁿ⁾=P_n(u)를 한 번 더 미분하면 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해 P_n′(u)·u′=P_n′(u)(1+u²)=P_n+1(u)이기 때문입니다. 특히 tan은 J에서 무한 번 미분가능합니다(8.5 f663).

⑵ 원점에서의 값과 계수. 4.2 f410의 정의와 4.4 f423에 의해 tan 0=0÷1=0이므로 u⁽ⁿ⁾(0)=P_n(0)입니다. 점화식으로 차례로 계산하면 다음과 같습니다.

P1(y)=1+y² → 1,    P2(y)=2y+2y³ → 0	P0(y)=y → 0 · 점화식 Pn+1=Pn′·(1+y²)
P3(y)=2+8y²+6y4 → 2,    P4(y)=16y+40y³+24y5 → 0	같은 점화식
P5(y)=16+136y²+240y4+120y6 → 16,    P6(0)=0	같은 점화식 · tan은 기함수이므로 짝수 계는 항상 0
P7(0) = 272	같은 점화식

11.10 f1042의 계수 공식 a_n=f⁽ⁿ⁾(0)÷n!에 넣으면

a₁=1,   a₃=23!=13,   a₅=165!=215,   a₇=2727!=17315

이고 짝수 번째 계수는 모두 0입니다. 즉

tan x = x + x³3 + 2x⁵15 + 17x⁷315 + …

⑶ 유한 단계까지는 완전히 엄밀하다. 무한급수로서의 등호를 아직 주장하지 않아도, 11.10 f1043(테일러 정리)에 의해 각 N마다

tan x = T_N(x) + f^(N+1)(ξ)(N+1)!x^N+1  (ξ는 0과 x 사이)

이 J에서 정확히 성립합니다―⑵의 다항식은 그 자체로 정당한 근사식입니다. x=0.3에서 실제로 재어 보면 다음과 같습니다(tan 0.3=0.3093362496…).

T1=0.300 000 000,   T3=0.309 000 000	오차 0.0093,  0.00034
T5=0.309 324 000,   T7=0.309 335 803	오차 0.000 012,  0.000 000 45

tan x와 ⑵의 계수로 만든 테일러 다항식 T₁·T₃·T₅·T₇(좌표는 그 계수를 그대로 대입해 계산한 것). 차수를 올리면 겹치는 구간이 넓어지지만 초록 점선 x=±π÷2를 넘지 못합니다―⑹에서 인용하는 «수렴반지름 π÷2»가 그림으로 나타난 모습입니다. 점선 바깥의 빨간 곡선은 tan의 다음 주기 가지입니다.

⑷ sec도 같은 방법으로. v:=sec라 하면 8.4 f656에 의해 v′=sec x tan x=v u입니다. 두 변수의 다항식 Q_n(y,z)를 Q₀(y,z):=z,

Q_n+1 := ∂Q_n∂y(1+y²) + ∂Q_n∂z(z y)

로 정의하면 같은 귀납법으로 v⁽ⁿ⁾=Q_n(u,v)입니다(8.3 f649·f651). x=0에서 u=0, v=sec 0=1이므로(4.2 f410 · 4.4 f423) 값을 차례로 읽으면 1, 0, 1, 0, 5, 0, 61이고, 따라서

sec x = 1 + x²2 + 5x⁴24 + 61x⁶720 + …

입니다(12!=12, 54!=524, 616!=61720). 확인(x=0.3, sec 0.3=1.0467516015…) : 1, 1.045, 1.0466875, 1.0467493.

⑸ tanh는 부호만 바뀐다. 4.21 f816의 w:=tanh에 대해 9.5 f918((tanh x)′=sech²x)과 4.21 f818(1−tanh²=sech²)에 의해 w′=1−w²입니다. ⑴과 부호 하나만 다른 점화식 R_n+1(y):=R_n′(y)(1−y²), R₀(y):=y를 세우고 w(0)=tanh 0=0(4.21 f817의 기함수 성질)에서 읽으면 0, 1, 0, −2, 0, 16, 0, −272가 되어

tanh x = x − x³3 + 2x⁵15 − 17x⁷315 + …

입니다―tan의 계수와 절댓값이 같고 부호가 번갈아 바뀝니다. 1053번 ⑶에서 본 sin↔sinh, cos↔cosh의 대조와 같은 모습입니다.

대학 위에서 엄밀하게 증명된 것은 ⑵·⑷·⑸의 계수값과 ⑶의 유한 테일러 다항식 근사이며, «이 급수가 무한합으로서 원래 함수와 같다»는 주장은 아직 증명되지 않았습니다. 실제로 세 함수 모두 일반항이 초등적으로 닫히지 않습니다―tan과 tanh의 계수에는 베르누이 수(Bernoulli numbers)가, sec의 계수에는 오일러 수(Euler numbers)가 나타나며, 그 수들의 정의 자체가 x÷(e^x−1) 등의 매클로린 계수(생성함수)로 주어집니다. 또 세 급수의 수렴반지름이 모두 정확히 π÷2이고 그 구간에서 급수의 합이 원래 함수라는 사실의 표준적인 증명은, 함수를 복소평면으로 넓혀 중심에서 가장 가까운 특이점까지의 거리를 재는 복소해석학의 결과입니다(tan·sec는 x=±π÷2에서, tanh는 순허수 ±iπ÷2에서 특이점을 가집니다). 이는 학부 표준 과정을 넘어서므로 여기서는 결과만 정확히 서술해 인용하고 증명은 넘깁니다―8.2의 640번·641번(사잇값 정리·최대최소 정리)을 결론만 쓰고 증명을 대학 해석학으로 넘긴 것과 같은 처리입니다. 이 절의 뒤 항목들은 이 인용에 의존하지 않습니다.

사용 : 1050번 · 1053번 · 11.10의 1042번 · 1043번 · 4.2의 410번 · 4.3의 418번 · 4.4의 423번 · 4.5의 426번 · 4.21의 816번 · 817번 · 818번 · 8.2의 640번 · 641번 · 8.3의 649번 · 651번 · 8.4의 656번 · 8.5의 663번 · 9.5의 918번 · 수학적 귀납법 · 직접증명법

증명 끝

1056정리매클로린 전개를 가질 수 없는 함수(Functions without a Maclaurin Expansion)cot x, csc x는 0을 품는 어떤 구간에서도 멱급수로 나타내어지지 않는다

증명법 : 귀류법(전개가 있다고 가정하면 0 근처에서 유계여야 함을 이끌어 모순)

1055번까지는 «계수를 구하기 어려운» 경우였습니다. 이번에는 애초에 매클로린 전개가 존재할 수 없는 경우를 확인합니다.

⑴ 보조 관찰 ― 멱급수의 합은 중심 근처에서 유계다. 어떤 ρ>0에 대해 ∞Σk=0a_kx^k가 |x|<ρ에서 수렴하고 그 합을 S(x)라 하면,

S는 |x|<ρ에서 미분가능	11.9 f1038(항별 미분정리)
⇒ S는 |x|<ρ에서 연속, 특히 x=0에서 연속	8.3 f646(미분가능이면 연속) · 8.2 f638
⇒ ∃δ>0 : |x|<δ ⇒ |S(x)| ≤ |S(0)|+1 =: M	8.2 f629의 정의에서 ε=1로 둠 · |S(x)|≤|S(0)|+|S(x)−S(0)| (2.7 f146)

즉 멱급수로 나타내어지는 함수는 중심 근처에서 반드시 유계입니다.

⑵ cot에는 매클로린 전개가 없다. 어떤 ρ>0과 계수 a_k가 있어 0<|x|<ρ인 모든 x에서 ∞Σk=0a_kx^k=cot x라고 가정합시다. ⑴의 M, δ를 잡고 r:=min(δ, ρ, π÷2)라 두면, 0<x<r에서 |cot x|≤M입니다.

0 < x < r ⇒ sin x > 0, cos x > 0	제1사분면 · 4.3 f418
cos x = cot x · sin x ≤ M sin x	4.2 f410의 정의 cot=cos÷sin · 위 유계성 · sin x>0
limx→0+ cos x = cos 0 = 1,   limx→0+ M sin x = M·0 = 0	8.3 f646 · 8.4 f654·f655(연속) · 4.4 f423 · 8.2 f632
∴ 1 ≤ 0	8.2 f633(극한값의 대소 관계) · f630(우극한)

모순입니다. 그러므로 그런 전개는 존재하지 않습니다.

⑶ csc도 마찬가지. 같은 가정에서 0<x<r일 때 4.2 f410에 의해 1=csc x·sin x≤M sin x이고, x→0+에서 오른쪽이 0으로 가므로 다시 1≤0이라는 모순을 얻습니다.

⑷ 같은 이유로 전개를 갖지 못하는 다른 예.

ln x,   1x,   cot x,   csc x	x=0에서 정의되지 않음 · ⑴–⑶ · 2.5 f107
x  (x≥0)	x=0에서 미분가능하지 않음 ― h−0h=1h가 h→0+에서 발산(8.3 f642 · 8.2 f637) · 11.9 f1040는 무한 번 미분가능성을 요구
|x|	x=0에서 좌미분계수 −1, 우미분계수 1로 다름(8.3 f645)

따라서 이런 함수들을 급수로 다루려면 중심을 옮기거나(예 : ln x는 x₀=1에서의 테일러급수, 즉 1050번의 ln(1+t) 전개) 함수를 바꾸어야 합니다.

대학 공식표에 흔히 실려 있는 cot x = 1x − x3 − x³45 − … 라는 전개는 매클로린급수가 아닙니다. x의 음의 지수 항을 허용하는 로랑급수(Laurent series)이며, 11.8 f1027의 뜻의 멱급수에는 음의 지수 항이 없으므로 이 사이트의 어떤 정리도 그 식을 정당화하지 않습니다. 로랑급수의 이론(수렴하는 고리 모양 영역, 유수 등)은 복소해석학에 속하며 학부 표준 과정을 넘어섭니다. 참고로 그 표현이 뜻하는 바는 «cot x − 1x은 0에서의 값을 0으로 두면 매클로린 전개를 가진다»는 것인데, 이 사실의 증명 역시 같은 이론(제거가능 특이점)을 필요로 하므로 결과만 언급하고 사용하지 않습니다.

사용 : 1050번 · 1055번 · 11.8의 1027번 · 11.9의 1038번 · 1040번 · 2.5의 107번 · 2.7의 146번 · 4.2의 410번 · 4.3의 418번 · 4.4의 423번 · 8.2의 629번 · 630번 · 632번 · 633번 · 637번 · 638번 · 8.3의 642번 · 645번 · 646번 · 8.4의 654번 · 655번 · 귀류법

증명 끝

1057정리·활용전개표와 그 활용(Table of Expansions and Applications)limx→0sin x − xx³ = −16,   1∫0e^−x²dx = ∞Σk=0(−1)^kk!(2k+1)

증명법 : 직접증명법(1050–1056번을 표로 모으고, 극한·정적분·근삿값 계산에 적용)

⑴ 지금까지 확정된 전개. 모두 중심 x₀=0입니다.

ex = ∞Σk=0xkk!	모든 실수 · 11.10 f1045
ax = ∞Σk=0(ln a)kxkk!	모든 실수(a>0) · 1052번
sin x = ∞Σk=0(−1)kx2k+1(2k+1)!,   cos x = ∞Σk=0(−1)kx2k(2k)!	모든 실수 · 11.10 f1046
sinh x = ∞Σk=0x2k+1(2k+1)!,   cosh x = ∞Σk=0x2k(2k)!	모든 실수 · 1053번
11−x = ∞Σk=0xk	−1 < x < 1 · 11.4 f774
ln(1+x) = ∞Σk=1(−1)k−1xkk	−1 < x ≤ 1 · 1050번 ⑵·⑶
ln1+x1−x = 2∞Σk=0x2k+12k+1	−1 < x < 1 · 1054번
tan−1x = ∞Σk=0(−1)kx2k+12k+1	−1 ≤ x ≤ 1 · 1050번 ⑵·⑶
tan x = x + x³3 + …,   sec x = 1 + x²2 + …,   tanh x = x − x³3 + …	|x| < π÷2 · 1055번(계수는 유한 개만 확정, 수렴은 인용)

여기에 없는 것 가운데 (1+x)^m(m이 실수)은 11.12 이항급수의 주제이고, sin⁻¹x의 전개는 이항급수를 거쳐야 얻어지므로 역시 그곳에서 다룹니다. 주기함수를 삼각함수의 합으로 펴는 전개는 11.13 푸리에급수입니다.

⑵ 활용 1 ― 극한 계산. 다음을 로피탈의 정리 없이 급수만으로 계산합니다.

limx→0sin x − xx³ = −16

sin x − x = ∞Σk=1(−1)kx2k+1(2k+1)!	11.10 f1046에서 k=0 항(=x)을 뺌 · 11.5 f1010
x≠0 ⇒ sin x − xx³ = ∞Σk=0(−1)k+1x2k(2k+3)! =: g(x)	고정된 x에 대한 상수배 1÷x³(11.5 f1010) · 지표를 k→k+1로 다시 매김
|x|2k(2k+3)! ≤ |x|2k(2k)!	(2k+3)!≥(2k)! · 이 우변은 cosh|x|의 급수의 항(1053번)
⇒ g의 급수는 모든 실수에서 절대수렴, 따라서 수렴	11.6 f1016(비교판정법) · 11.5 f1014
g는 연속 ⇒ limx→0 g(x) = g(0) = −13! = −16	11.9 f1038 · 8.3 f646 · 8.2 f638

x≠0에서 두 식이 같고 극한은 x≠0인 값들만 보므로(8.2 f629), 위 극한값이 그대로 결론입니다. 확인 : x=0.1에서 (sin 0.1−0.1)÷0.001=−0.1665834…입니다.

⑶ 활용 2 ― 원시함수를 못 구하는 정적분.

1∫0e^−x²dx = ∞Σk=0(−1)^kk!(2k+1) = 0.7468241328…

e−x² = ∞Σk=0(−1)kx2kk!  (R=∞)	1051번 ⑹
[0,1]이 수렴구간의 내부에 온전히 들어 있으므로 항별 적분 가능	11.9 f1039(적용 조건 |x|<R) · R=∞
1∫0x2kdx = 12k+1	9.1 f694 · 9.8 f746
∴ 값은 ∞Σk=0(−1)kk!(2k+1)	위 두 줄 · 11.5 f1010

부분합은 1, 0.6666667, 0.7666667, 0.7428571, 0.7474868, 0.7467292, 0.7468360, 0.7468228, 0.7468243, 0.7468241, …입니다. 항의 절댓값 1÷(k!(2k+1))이 감소해 0으로 가므로 이 급수는 11.7 f1023의 라이프니츠 판정법을 만족하고, f1024에 의해 오차는 처음 버린 항보다 작습니다―예컨대 k=6까지 더하면 오차가 1÷(7!·15)=0.0000132보다 작습니다.

대학 e^−x²의 원시함수가 초등함수(다항식·유리식·지수·로그·삼각함수와 그 역함수를 유한 번 결합해 만든 함수)로는 표현되지 않는다는 것은 참이지만, 그 증명은 미분대수(differential algebra)의 리우빌의 정리(Liouville, 1835)에 의한 것으로 학부 표준 과정을 넘어섭니다―여기서는 사실만 언급하고 증명은 넘깁니다. 위 ⑶의 계산은 그 사실과 무관하게 완전히 정당합니다 : 원시함수를 초등함수로 쓸 수 없다는 것과 정적분의 값을 임의의 정밀도로 구할 수 있다는 것은 서로 다른 이야기입니다. 참고로 이 적분은 오차함수로 π2·erf(1)이라고도 쓰이며, 9.9의 이상적분에서 다루는 ∞∫0e^−x²dx=π2와는 다른 값입니다.

⑷ 활용 3 ― 근삿값과 오차의 한계. 11.10 f1043 ⑹의 추정을 그대로 씁니다. e^0.1을 3차까지 더하면

T3(0.1) = 1 + 0.1 + 0.005 + 0.000166667 = 1.105166667	11.10 f1045의 급수를 k=3까지
|R3(0.1)| ≤ K4!(0.1)4 = 1.224·0.0001 = 0.000005	11.10 f1043 ⑹ · [0, 0.1]에서 (ex)(4)=ex≤e0.1<1.2=:K
실제 값 e0.1 = 1.105170918…, 실제 오차 0.0000042514	상한 0.000005보다 작음 ― 추정이 성립함을 확인

⑸ 이 절이 남긴 것. 1055번의 세 함수는 수렴 자체를 인용에 의존하고 있고, 1050번 ⑷의 세 연산으로는 (1+x)^m처럼 지수가 실수인 거듭제곱함수에 닿지 못합니다. 그 마지막 빈자리를 11.12 이항급수가 메웁니다―1050번의 ln(1+x)·tan⁻¹x가 등비급수 하나에서 나왔듯, 이항급수 하나에서 1+x·sin⁻¹x 등의 전개가 한꺼번에 나옵니다.

사용 : 1050번 · 1051번 · 1052번 · 1053번 · 1054번 · 1055번 · 11.4의 774번 · 11.5의 1010번 · 1014번 · 11.6의 1016번 · 11.7의 1023번 · 1024번 · 11.9의 1038번 · 1039번 · 11.10의 1043번 · 1045번 · 1046번 · 8.2의 629번 · 638번 · 8.3의 646번 · 9.1의 694번 · 9.8의 746번 · 직접증명법

증명 끝