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11.12   대학 과정

이항급수

Binomial Series

정의 · 공식과 증명

11.11은 이미 확정된 몇 개의 전개에 치환·선형결합·항별 미적분이라는 세 연산만 적용해 새 전개를 얻는 방법을 세웠고, 그 방법으로는 (1+x)^m처럼 지수가 실수인 거듭제곱함수에 닿지 못한다는 것을 마지막에 밝혀 두었습니다(11.11 f1057 ⑸). 1058–1065번은 그 마지막 빈자리를 메웁니다―1058번이 지수가 실수여도 뜻이 통하도록 이항계수를 확장하고, 1059번이 그렇게 만든 급수의 수렴반지름이 1임을 보이며, 1060번이 그 합이 정확히 (1+x)^m임을 증명합니다. 증명의 방법은 11.10의 나머지항 판정이 아니라 급수가 만족하는 미분방정식을 세우는 것이며, 그 덕분에 이 절의 결론은 인용 없이 완결됩니다. 1061번은 자주 쓰는 네 가지 지수를 대입해 등비급수·제곱근·아크사인의 재료를 한꺼번에 얻고, 1062번은 끝점 x=±1의 운명이 m에 따라 어떻게 갈리는지를 완전히 가릅니다. 1063번·1064번은 아크사인의 도함수를 실제로 증명한 뒤 항별 적분 한 번으로 sin⁻¹x의 전개를 얻고―이로써 11.11이 예고한 두 빈자리가 모두 채워집니다―1065번은 이 전개들로 1.1과 π를 실제로 계산합니다.

1058정의일반화된 이항계수(Generalized Binomial Coefficient)mk = m(m−1)…(m−k+1)k!  (m은 실수, k는 음이 아닌 정수)

정의이므로 정의 자체는 증명 대상이 아닙니다. 다만 아래 ⑵–⑷는 이 정의에서 곧바로 따라 나오는 사실이므로 근거를 붙여 확인합니다―특히 ⑶의 점화식은 이 절 전체가 되풀이해 쓰는 도구입니다.

실수 m과 음이 아닌 정수 k에 대해 일반화된 이항계수(generalized binomial coefficient)를 다음과 같이 정의합니다.

mk := m(m−1)(m−2)…(m−k+1)k!   (k≥1)

m0 := 1

분자는 m에서 시작해 1씩 줄여 가며 k개를 곱한 것이고(k=0이면 곱할 인수가 하나도 없으므로 그 값을 1로 약속합니다), 분모의 k!은 12.1 f779의 계승입니다. 인수를 번호로 적으면

mk = (m−0)(m−1)…(m−(k−1))k!

이며―분자에 나오는 인수의 개수가 언제나 정확히 k개라는 것이 이 정의의 전부입니다.

⑴ 왜 새 기호를 쓰는가. 12.1 f781의 _nC_k는 «원소가 n개인 집합에서 k개를 고르는 방법의 수»이므로 n이 음이 아닌 정수일 때에만 뜻을 가집니다. 반면 지금 정의한 것은 위 자리에 임의의 실수가 오고, 예컨대 m=12일 때에도 값을 가집니다―«고른다»는 뜻은 더 이상 없습니다. 같은 기호를 두 가지 뜻으로 쓰지 않기 위해 이 절에서는 mk처럼 세로로 쌓아 괄호로 감싸는 표기를 쓰고, _nC_k는 12.1의 뜻(경우의 수)으로만 남겨 둡니다. 두 기호가 겹치는 자리에서 값이 실제로 일치한다는 것이 ⑵입니다.

⑵ m이 음이 아닌 정수인 경우. m=n이 음이 아닌 정수라고 합시다.

nk = n(n−1)…(n−k+1)k! = nCk  (0≤k≤n)	분자와 분모에 (n−k)!을 곱하면 분자가 n!이 됨(12.1 f779) · 12.1 f781
nk = 0  (k>n)	k>n이면 분자의 인수 n−0, …, n−(k−1) 안에 j=n인 인수 n−n=0이 들어 있음

즉 이 정의는 12.1의 조합의 수를 확장한 것입니다―겹치는 자리(0≤k≤n)에서는 값이 정확히 같고, _nC_k가 아예 정의되지 않던 자리(k>n)에서는 0이라는 값을 새로 줍니다. 이 «k>n이면 0»이 1059번에서 «지수가 음이 아닌 정수이면 이항급수가 유한합이 된다»는 사실의 근거가 됩니다.

⑶ 점화식 ― 이 절의 핵심 도구. 모든 실수 m과 음이 아닌 정수 k에 대해

(k+1)mk+1 = (m−k)mk

가 성립합니다.

mk+1 = (m−0)…(m−(k−1))(m−k)(k+1)!	정의 ― 분자의 인수가 k+1개
(k+1)! = (k+1)·k!	12.1 f779(계승의 재귀적 정의)
∴ (k+1)mk+1 = (m−k)·(m−0)…(m−(k−1))k! = (m−k)mk	위 두 줄

k=0인 경우에도 좌변은 1·m1=m, 우변은 (m−0)·1=m으로 일치합니다. 이 점화식은 계수를 하나씩 앞으로 밀어 주는 관계이며, 1060번에서 이항급수가 만족하는 미분방정식을 이끌어 내는 데 그대로 쓰입니다.

⑷ 0이 되지 않는 경우. m이 음이 아닌 정수가 아니면 모든 k에서 mk≠0입니다. 분자의 인수 m−j(j=0,…,k−1)가 0이 되는 것은 m=j, 즉 m이 음이 아닌 정수일 때뿐이므로 가정에 의해 모든 인수가 0이 아닙니다. 그리고 0이 아닌 두 실수의 곱은 0이 아닙니다―a≠0, b≠0인데 ab=0이라면 1.3 f40(곱셈의 역원)에 의해 1 = (ab)·1a·1b = 0·1a·1b = 0이 되어 1.3 f41(0의 곱셈)에 모순이기 때문입니다. 인수가 유한개이므로 이를 되풀이하면 분자 전체가 0이 아니고, k!≠0이므로 mk≠0입니다. 이 사실이 있어야 1059번에서 비판정법(11.8 f1031)을 쓸 수 있습니다―그 정리는 계수가 하나라도 0이면 적용되지 않기 때문입니다.

⑸ 자주 쓰는 값. 정의에 그대로 대입한 것입니다(각각의 급수는 1061번에서 다룹니다).

−1k = (−1)k  ―  1, −1, 1, −1, …	분자가 (−1)(−2)…(−k) = (−1)kk!
−2k = (−1)k(k+1)  ―  1, −2, 3, −4, …	분자가 (−2)(−3)…(−(k+1)) = (−1)k(k+1)!
12k  ―  1, 12, −18, 116, −5128, 7256, …	m=12을 차례로 대입해 계산
−12k  ―  1, −12, 38, −516, 35128, −63256, …	m=−12을 차례로 대입해 계산 · 닫힌 형태는 1061번 ⑷

사용 : 1059번 · 1060번 · 1061번 · 11.8의 1031번 · 1.3의 40번 · 41번 · 12.1의 779번 · 781번

1059정리이항급수와 그 수렴반지름(The Binomial Series and Its Radius)∞Σk=0mkx^k의 수렴반지름 R = 1  (m이 음이 아닌 정수가 아닐 때)

증명법 : 경우를 나누는 방법(m이 음이 아닌 정수인 경우와 그 밖의 경우) · 직접증명법

실수 m에 대해 11.8 f1027의 뜻으로 중심이 0인 멱급수

∞Σk=0mkx^k = 1 + mx + m(m−1)2!x² + m(m−1)(m−2)3!x³ + …

를 이항급수(binomial series)라 합니다. 그 수렴반지름(11.8 f1030)은 다음과 같습니다.

m이 음이 아닌 정수 n  ⇒  급수는 유한합이고 R=∞	아래 ⑴
그 밖의 m  ⇒  R=1	아래 ⑵

⑴ m이 음이 아닌 정수 n인 경우. 1058번 ⑵에 의해 k>n인 계수가 모두 0이므로, 부분합은 n번째부터 더 이상 변하지 않습니다. 따라서 급수는 모든 실수 x에서 수렴하고(11.4 f769·f770), 그 합은 유한합

nΣk=0_nC_kx^k = (1+x)ⁿ

입니다―2.2 f79(이항정리)에 a=1, b=x를 대입한 것이고, 계수가 _nC_k와 일치하는 것은 1058번 ⑵입니다. 즉 지수가 음이 아닌 정수인 경우의 이항급수 정리는 이미 2.2에서 증명되어 있었던 셈이며, 수렴반지름은 R=∞입니다(11.8 f1030).

⑵ m이 음이 아닌 정수가 아닌 경우. 1058번 ⑷에 의해 모든 계수가 0이 아니므로 11.8 f1031(비판정법에 의한 수렴반지름)을 쓸 수 있습니다. a_k:=mk라 두면

|ak+1||ak| = |m−k|k+1	1058번 ⑶((k+1)mk+1=(m−k)mk)의 양변에 절댓값
= k−mk+1  (k>|m|)	k>|m|이면 m−k<0이므로 |m−k|=k−m
= 1−m·1k1+1k → 1−01+0 = 1	분자·분모를 k로 나눔 · 1k→0(11.4 보조정리 ⑷) · 11.4 보조정리 ⑴(수열 극한의 사칙연산)

비의 극한이 L=1이므로 11.8 f1031에 의해 R=1L=1입니다. 처음 유한개의 항에서 비가 어떻든 극한은 달라지지 않으므로 k>|m|부터 따진 것으로 충분합니다(11.5 f1011).

⑶ 결론. 그러므로 |x|<1이면 이항급수는 절대수렴하고 |x|>1이면 발산합니다(11.8 f1029·f1030). 끝점 x=±1에서의 운명은 m의 값에 따라 갈리며 1062번에서 따로 다룹니다.

⑷ 아직 말하지 않은 것. 수렴반지름은 계수만으로 정해지므로, 지금까지의 논의는 급수가 |x|<1에서 어떤 값으로 수렴한다는 것만 말할 뿐 그 합이 무엇인지는 전혀 말해 주지 않습니다―11.8 f1034 ⑴이 지수급수의 합을 미뤄 두었던 것과 같은 상황입니다. 그 합이 정확히 (1+x)^m임을 밝히는 것이 1060번입니다.

사용 : 1058번 · 1060번 · 1062번 · 11.4의 769번 · 770번 · 11.5의 1011번 · 11.8의 1027번 · 1029번 · 1030번 · 1031번 · 1034번 · 11.4의 보조정리 · 2.2의 79번 · 직접증명법 · 경우를 나누는 방법

증명 끝

1060정리이항급수 정리(The Binomial Series Theorem)(1+x)^m = ∞Σk=0mkx^k   (m은 실수, |x| < 1)

증명법 : 직접증명법(급수가 만족하는 미분방정식을 세운 뒤 8.6 f673으로 상수를 확정)

모든 실수 m과 |x|<1인 모든 x에 대해 다음이 성립합니다.

(1+x)^m = ∞Σk=0mkx^k = 1 + mx + m(m−1)2!x² + m(m−1)(m−2)3!x³ + …

⑴ 좌변의 뜻. |x|<1이면 1+x>0이므로, 지수가 실수인 거듭제곱은 8.4 f662가 확립한 관찰대로 로그와 지수함수로 읽습니다(2.5 f110의 거듭제곱법칙과 f114의 e^ln t=t).

(1+x)^m = e^m ln(1+x)   (1+x>0)

이렇게 읽어 두면 실수 지수에 대한 지수법칙을 새로 세울 필요가 없습니다―아래 증명은 지수함수와 로그함수의 도함수(8.4 f657·f660)만 씁니다.

⑵ 급수를 함수로 본다. 1059번에 의해 이항급수는 |x|<1에서 수렴하므로

S(x) := ∞Σk=0mkx^k   (|x| < 1)

은 구간 (−1, 1)에서 정의된 함수이고, 11.9 f1038(항별 미분정리)에 의해 그 구간에서 미분가능하며

S′(x) = ∞Σk=1kmkx^k−1 = ∞Σj=0(j+1)mj+1x^j

입니다(마지막 등호는 j:=k−1로 번호를 다시 매긴 것―11.9 f1035가 항별 미분급수의 계수를 b_j=(j+1)a_j+1로 적은 것과 같습니다).

⑶ S가 만족하는 미분방정식 : (1+x)S′(x) = m S(x). 이 한 줄이 증명의 심장이며, 근거는 오직 1058번 ⑶의 점화식입니다.

S′(x) = ∞Σj=0(j+1)mj+1xj = ∞Σj=0(m−j)mjxj	1058번 ⑶ ― (j+1)mj+1=(m−j)mj
x S′(x) = ∞Σk=1kmkxk = ∞Σj=0jmjxj	x를 급수에 곱하면 각 항의 차수가 1씩 올라감 · j=0인 항은 0이므로 더해도 무방
(1+x)S′(x) = ∞Σj=0[(m−j)+j]mjxj	두 수렴급수를 항별로 더함 ― 11.5 f1010(선형성)
= m∞Σj=0mjxj = m S(x)	(m−j)+j=m · 11.5 f1010(상수배)

⑷ 보조함수. g(x):=e^m ln(1+x)로 두면 g는 (−1, 1)에서 미분가능하고(8.4 f657·f660과 8.3 f651의 연쇄법칙), 지수함수의 값이므로 언제나 g(x)>0입니다(2.5 f104―로그의 정의에서 진수는 양수).

g′(x) = g(x)·m1+x	8.3 f651(연쇄법칙) · 8.4 f657((et)′=et) · f660((ln t)′=1t) · 8.3 f648(상수배)
h(x) := S(x)g(x) ,   h′(x) = S′(x)g(x) − S(x)g′(x)[g(x)]²	8.3 f650(몫의 미분법) · g(x)≠0
S′g − Sg′ = g·[S′(x) − m S(x)1+x] = g(x)1+x·[(1+x)S′(x) − m S(x)] = 0	윗줄의 g′ 대입 · g를 묶어냄 · ⑶
∴ h′(x) = 0  (|x| < 1)	위 두 줄

⑸ 결론. h′이 구간 (−1, 1) 전체에서 0이므로 8.6 f673(도함수가 0이면 상수)에 의해 h는 그 구간에서 상수입니다. 그런데

h(0) = S(0)g(0) = m0e^m·ln 1 = 1

입니다(S(0)은 x=0을 대입한 값으로 k=0 항만 남아 m0=1―11.8 f1027의 표기 규약 ; ln 1=0은 2.5 f105이고 e⁰=1은 2.3 f87). 따라서 |x|<1인 모든 x에서 h(x)=1, 즉

S(x) = g(x) = e^m ln(1+x) = (1+x)^m

가 성립합니다―마지막 등호는 ⑴입니다.

⑹ 왜 나머지항 판정을 쓰지 않았는가. 11.10 f1044(나머지항 판정법)로 정면 돌파하려면 f(x)=(1+x)^m의 n계도함수를 라그랑주 나머지항(11.10 f1043)에 넣어 R_N(x)→0을 보여야 합니다. 그런데 그 추정은 0≤x<1과 −½<x<0에서는 되지만 −1<x<−½에서는 무너지고, 그 자리를 메우려면 코시 형태의 나머지항이 필요합니다―11.10 f1043의 덧붙임이 밝혔듯 이 사이트는 코시 형태를 도입하지 않았습니다. 그래서 나머지항을 재는 대신 급수 자신이 만족하는 미분방정식을 세워 우회했습니다. 그 대가로 이 절의 결론은 −1<x<1 전 구간에서, 그리고 아무것도 인용하지 않고 얻어집니다―11.11 f1055가 tan·sec·tanh의 수렴을 복소해석학의 결과에 맡겼던 것과 대조됩니다.

⑺ 이항정리의 확장. m이 음이 아닌 정수 n이면 1059번 ⑴에서 본 대로 급수가 유한합이 되고 그 값은 2.2 f79의 (1+x)ⁿ입니다―이 경우 결론은 모든 실수 x에서 성립합니다. 그러므로 이 정리는 이항정리를 실수 지수로 확장한 것이며, 지수가 정수가 아닌 순간 유한합이 무한급수로 바뀌고 그 대가로 |x|<1이라는 제한이 생기는 것입니다.

1+x(m=12)의 그래프와 부분합 S₁–S₄(1061번 ⑶의 계수를 그대로 픽셀에 대입해 그린 것). 수렴구간 |x|<1(초록 점선 안쪽)에서는 항을 더할수록 부분합이 곡선에 붙지만, 그 바깥(회색 영역)에서는 오히려 멀어집니다―1059번이 R=1이라 한 것이 눈에 보이는 형태입니다. x=−1의 왼쪽에서는 1+x 자체가 정의되지 않는다는 점도 함께 보입니다.

사용 : 1058번 · 1059번 · 1061번 · 1064번 · 11.5의 1010번 · 11.8의 1027번 · 11.9의 1035번 · 1038번 · 11.10의 1043번 · 1044번 · 11.11의 1055번 · 8.3의 648번 · 650번 · 651번 · 8.4의 657번 · 660번 · 662번 · 8.6의 673번 · 2.2의 79번 · 2.3의 87번 · 2.5의 104번 · 105번 · 110번 · 114번 · 직접증명법

증명 끝

1061정리자주 쓰는 특수한 경우(Special Cases)11+x = ∞Σk=0(−1)^kx^k,   1+x = 1 + x2 − x²8 + …,   11−x² = ∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²x^2k

증명법 : 직접증명법(1060번에 m을 대입) · 수학적 귀납법(⑷의 닫힌 형태)

1060번에 자주 쓰이는 네 개의 지수를 대입합니다―계수는 1058번 ⑸에서 이미 계산해 두었고, 모든 전개는 |x|<1에서 성립합니다.

⑴ m=−1 ― 등비급수와의 교차 확인.

11+x = ∞Σk=0(−1)^kx^k = 1 − x + x² − x³ + …  (|x| < 1)

이 급수는 첫항이 1이고 공비가 −x인 무한등비급수이므로, 11.4 f774(무한등비급수의 합)에 의해 그 합은 11−(−x)=11+x입니다―완전히 다른 두 정리가 같은 값을 준다는 교차 확인입니다. 11.9 f1041이 항별 적분의 출발점으로 삼았던 바로 그 전개이기도 합니다.

⑵ m=−2 ― 항별 미분과의 교차 확인.

1(1+x)² = ∞Σk=0(−1)^k(k+1)x^k = 1 − 2x + 3x² − 4x³ + …

11.9 f1041 ⑴은 등비급수를 항별 미분해 ∞Σk=1k t^k−1=1(1−t)²를 얻었습니다. 여기에 11.11 f1051(치환, c=−1, m=1)로 t:=−x를 넣으면

∞Σk=1k(−1)^k−1x^k−1 = ∞Σj=0(j+1)(−1)^jx^j = 1(1+x)²

가 되어 위 전개와 정확히 일치합니다(j:=k−1).

⑶ m=12 ― 제곱근. 2.4 f98(단위분수 지수)에 의해 (1+x)¹²=1+x이므로

1+x = 1 + x2 − x²8 + x³16 − 5x⁴128 + …  (|x| < 1)

입니다―1065번 ⑴에서 이 급수로 1.1의 값을 실제로 계산합니다.

⑷ m=−12의 계수 ― 닫힌 형태. 모든 음이 아닌 정수 k에 대해

−12k = (−1)^k(2k)!4^k(k!)²

가 성립합니다. 수학적 귀납법으로 증명합니다.

k=0 : 좌변 −120=1, 우변 (−1)0·0!40(0!)²=1	1058번의 정의 · 12.1 f779(0!=1)
−12k+1 = −12k·−12−kk+1	1058번 ⑶
= (−1)k(2k)!4k(k!)²·−(2k+1)2(k+1) = (−1)k+1(2k)!(2k+1)2(k+1)·4k(k!)²	귀납 가정 · −12k=−(2k+1)2
= (−1)k+1(2k+2)!4k+1((k+1)!)²	(2k+2)!=(2k+2)(2k+1)(2k)!, ((k+1)!)²=(k+1)²(k!)², 4k+1=4·4k이므로 우변의 (2k+2)=2(k+1)을 약분하면 윗줄과 같음(12.1 f779)

따라서 모든 k에서 성립합니다. 처음 몇 값은 1, −12, 38, −516, 35128이며 1058번 ⑸와 일치합니다.

⑸ 치환 ― 1064번의 재료. ⑷의 계수를 가진 전개

(1+t)⁻¹² = ∞Σk=0(−1)^k(2k)!4^k(k!)²t^k  (|t| < 1)

에 11.11 f1051(치환정리)을 c=−1, m=2로 적용합니다. 수렴반지름이 R=1이므로 새 반지름은 21|−1|=1이고, (−1)^k(−1)^k=1이므로 부호가 모두 사라집니다.

11−x² = ∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²x^2k = 1 + 12x² + 38x⁴ + 516x⁶ + …  (|x| < 1)

좌변이 (1−x²)⁻¹²임은 ⑶과 같은 이유(2.4 f98)입니다. 이 급수가 1063번의 아크사인의 도함수와 같은 함수이므로, 1064번에서 항별 적분 한 번으로 sin⁻¹x의 전개가 나옵니다.

사용 : 1058번 · 1060번 · 1064번 · 1065번 · 11.4의 774번 · 11.9의 1041번 · 11.11의 1051번 · 12.1의 779번 · 2.4의 98번 · 직접증명법 · 수학적 귀납법

증명 끝

1062정리끝점에서의 거동(Behaviour at the Endpoints)m>0 : x=±1 절대수렴  ·  −1<m<0 : x=1 조건수렴, x=−1 발산  ·  m≤−1 : 모두 발산

증명법 : 경우를 나누는 방법(m의 크기에 따라 세 경우) · 직접증명법 · 수학적 귀납법(⑵의 a_k→0)

1059번은 |x|<1에서 수렴하고 |x|>1에서 발산한다는 것까지만 말했습니다. 남은 두 점 x=1과 x=−1에서 이항급수가 어떻게 되는지는 m의 값에 따라 갈리며, 그 답은 다음과 같습니다(m은 음이 아닌 정수가 아니라고 가정합니다― 음이 아닌 정수이면 1059번 ⑴에 의해 유한합이라 모든 x에서 수렴합니다).

m > 0 :   x=1, x=−1 모두 절대수렴	아래 ⑴
−1 < m < 0 :   x=1은 조건수렴, x=−1은 발산	아래 ⑵
m ≤ −1 :   x=1, x=−1 모두 발산	아래 ⑶

이하 a_k:=|mk|로 두면, 1058번 ⑶의 점화식에서

a_k+1 = a_k·|m−k|k+1

가 성립합니다. x=±1에서 급수의 항의 절댓값은 정확히 a_k이므로, 판정은 모두 이 수열을 따집니다.

⑴ m>0인 경우 ― 망원합으로 유계임을 보인다. m<K인 가장 작은 자연수를 K라 하면 k≥K에서 m−k<0이므로 |m−k|=k−m>0이고, a_k>0입니다(1058번 ⑷). c_k:=k a_k로 두면

ck+1 = (k+1)ak+1 = (k−m)ak = ck − m ak	위 점화식 · ck=k ak
∴ m ak = ck − ck+1  (k≥K)	윗줄의 이항
mNΣk=Kak = cK − cN+1 ≤ cK	망원합(11.3 f762 ⑷) · cN+1>0

즉 음이 아닌 항의 급수 ∞Σk=Ka_k의 부분합이 c_Km으로 위로 유계이고, 항이 음이 아니므로 부분합은 감소하지 않습니다. 감소하지 않고 위로 유계인 수열은 수렴합니다―9.9의 단조유계 수렴 정리(수열 꼴)이며, 11.6 f1016이 비교판정법을 증명할 때 쓴 것과 같습니다. 이에 의해 ∞Σk=Ka_k가 수렴하고, 처음 K개 항은 수렴 여부를 바꾸지 않으므로(11.5 f1011) ∞Σk=0a_k 자체가 수렴합니다.

x=±1에서 항의 절댓값이 a_k이므로 이항급수는 두 끝점에서 모두 절대수렴(11.7 f1025)하고, 따라서 수렴합니다(11.5 f1014).

⑵ −1<m<0인 경우. |m|=−m이 0과 1 사이입니다. 모든 k에서 m−k<0이므로 분자의 인수가 모두 음수이고, 인수가 k개이므로

mk = (−1)^ka_k,    a_k = |m|(|m|+1)…(|m|+k−1)k!  (k≥1)

입니다(a₀=1). 즉 계수의 부호가 정확히 한 칸마다 뒤바뀝니다.

(i) x=−1 ― 발산. 이때 각 항은 mk(−1)^k=a_k>0이므로 양항급수입니다. 그런데

k ak = |m|(|m|+1)…(|m|+k−1)(k−1)! = |m|·|m|+11·…·|m|+k−1k−1	k!=k·(k−1)!(12.1 f779)
≥ |m|  ⇒  ak ≥ |m|k	각 인수 |m|+jj가 1보다 큼(j=1,…,k−1)

이고, 11.4 f772(조화급수의 발산)와 11.5 f1010(상수배)에 의해 ∞Σk=1|m|k가 발산하므로, 11.6 f1016(비교판정법의 발산 방향)에 의해 ∞Σk=1a_k도 발산합니다.

(ii) x=1 ― 조건수렴. 이때 항은 (−1)^ka_k이므로 교대급수입니다. 라이프니츠 판정법(11.7 f1023)의 두 가정을 확인합니다.

ak+1ak = k+|m|k+1 < 1  ⇒  ak+1 < ak	위 점화식(|m−k|=k+|m|) · |m|<1
ak = (1−β1)(1−β2)…(1−βk),   β:=1−|m| ∈ (0, 1)	|m|+j−1j=1−βj이므로 각 인수가 이 꼴 · 모든 인수가 0과 1 사이
11−u ≥ 1+u  (0≤u<1)	(1+u)(1−u)=1−u²≤1의 양변을 양수 1−u로 나눔(2.7 f133)
1ak ≥ (1+β1)…(1+βk) ≥ 1 + βkΣj=11j	윗줄을 각 인수에 적용 · (1+u1)…(1+uk)≥1+u1+…+uk(uj>0, 수학적 귀납법으로 확인)

조화급수의 부분합 kΣj=11j은 위로 유계가 아닙니다―11.4 f772(조화급수의 발산)의 증명에서 직접 확인한 사실입니다. 그러므로 1a_k은 한없이 커지고, a_k는 감소하므로 임의의 ε>0에 대해 1+βKΣj=11j>1ε인 K를 잡으면 k≥K에서 0<a_k≤a_K<ε입니다― 즉 a_k→0입니다(11.4 f770의 수열의 극한).

두 가정이 모두 확인되었으므로 11.7 f1023에 의해 ∞Σk=0(−1)^ka_k는 수렴합니다(부호와 첫 항의 처리는 11.5 f1010·f1011). 그런데 (i)에서 ∞Σk=0a_k가 발산하므로 절대수렴은 아닙니다― 11.7 f1025의 뜻으로 조건수렴입니다.

⑶ m≤−1인 경우 ― 항이 0으로 가지 않는다. ⑵와 같은 계산으로 a_k=|m|(|m|+1)…(|m|+k−1)k!이고, 이번에는 |m|≥1이므로 각 인수 |m|+j−1j가 1보다 작지 않습니다. 따라서

a_k = |m|1·|m|+12·…·|m|+k−1k ≥ 1  (모든 k)

이고, x=±1에서 항의 절댓값이 a_k≥1이므로 항은 0으로 수렴하지 않습니다. 11.4 f771(수렴의 필요조건)의 대우에 의해 두 끝점에서 모두 발산합니다.

⑷ 이 정리가 말하는 것과 말하지 않는 것. 위 세 경우는 끝점에서 급수가 수렴하는가를 완전히 가릅니다. 그러나 수렴하는 끝점에서 그 합이 (1±1)^m과 같은가는 다른 물음이며, 이 절은 그것을 증명하지 않습니다― 1060번의 증명은 8.6 f673을 열린구간 (−1, 1)에 적용한 것이라 끝점을 포함하지 않기 때문입니다.

대학 «멱급수가 수렴구간의 끝점에서 수렴하면, 그 합은 안쪽에서의 극한과 이어진다»는 아벨의 극한정리(Abel’s limit theorem)를 쓰면 위 물음에 답할 수 있습니다―m>0이면 x=1에서 합이 2^m, x=−1에서 합이 0이고, −1<m<0이면 x=1에서 합이 2^m입니다. 그러나 이 정리의 증명은 고른수렴을 요구하므로, 11.9 f1038의 대학 각주와 11.10 f1048이 세운 방침―고른수렴이 필요한 일반 정리는 인용하지 않는다―에 따라 여기서도 결과만 언급하고 사용하지 않습니다. 11.10 f1048은 ln 2와 π÷4라는 특정한 두 값에 대해서는 유한 등비합 항등식이라는 우회로가 있어 아벨의 정리 없이 끝점의 합을 확정할 수 있었지만, 임의의 실수 m에 대한 이항급수에는 그런 우회로가 없습니다.

지수 m의 값에 따라 두 끝점 x=±1에서의 운명이 갈리는 모습―⑴·⑵·⑶에서 증명한 내용을 그대로 옮긴 것입니다. 경계가 되는 값은 m=−1과 m=0 둘뿐이며, m>0에서는 두 끝점 모두 절대수렴, m≤−1에서는 두 끝점 모두 발산, 그 사이 구간에서만 x=1과 x=−1의 운명이 서로 갈립니다.

사용 : 1058번 · 1059번 · 1060번 · 1064번 · 11.3의 762번 · 11.4의 770번 · 771번 · 772번 · 11.5의 1010번 · 1011번 · 1014번 · 11.6의 1016번 · 11.7의 1023번 · 1025번 · 11.9의 1038번 · 11.10의 1048번 · 9.9의 단조유계 수렴 정리 · 8.6의 673번 · 2.7의 133번 · 12.1의 779번 · 직접증명법 · 경우를 나누는 방법 · 수학적 귀납법

증명 끝

1063정리아크사인의 도함수(Derivative of the Arcsine)(sin⁻¹)′(x) = 11−x²   (|x| < 1)

증명법 : 직접증명법(8.4 f659의 역함수의 미분법을 4.17의 주된 가지에 적용)

|x|<1인 모든 x에서 아크사인은 미분가능하고

(sin⁻¹)′(x) = 11−x² = (1−x²)⁻¹²

입니다(마지막 표현이 같은 것은 2.4 f98).

⑴ 주된 가지의 성질. 4.17 f797의 Sin(사인을 I₁=[−π2, π2]로 제한한 함수)에 대해 그 절이 이미 확인한 것은 다음 두 가지입니다 : I₁에서 연속이고 강한 증가이며, 내부에서 Sin′(θ)=cos θ>0(8.4 f654의 (sin x)′=cos x와 4.3 f418의 사분면별 부호). 또 4.17 f798에 의해 sin⁻¹:[−1, 1]→I₁이 강한 증가이고 연속입니다.

⑵ |x|<1이면 θ:=sin⁻¹x는 구간의 내부에 있다. sin⁻¹이 강한 증가이므로 −1<x<1에서 sin⁻¹(−1)<θ<sin⁻¹1, 즉 −π2<θ<π2입니다(4.18 f804의 특수값 sin⁻¹(±1)=±π2). 끝점 x=±1이 제외되는 이유가 바로 여기에 있습니다― 거기서는 cos θ=0이 되어 아래 ⑶의 가정이 깨집니다.

⑶ 역함수의 미분법. Sin은 내부 구간에서 미분가능하고 강한 단조이며 Sin′(θ)=cos θ≠0이므로, 8.4 f659를 f:=Sin, b:=x, f⁻¹=sin⁻¹로 적용할 수 있습니다.

(sin−1)′(x) = 1Sin′(sin−1x) = 1cos θ	8.4 f659 · θ=sin−1x
cos²θ = 1 − sin²θ = 1 − x²	4.5 f425(피타고라스 항등식) · sin θ=x(4.18 f803의 특징화)
cos θ = cos²θ = 1−x²	cos θ>0(⑴)이므로 2.4 f96(a²=|a|)에서 절댓값이 그대로 벗겨짐

위의 세 줄을 합치면 결론이 나옵니다. 1−x²>0이므로 분모가 0이 되는 일도 없습니다.

⑷ 이 항목이 메우는 빈자리. 9.3 f712(아크사인 꼴의 적분)의 대학 각주는 이 도함수를 «원리적으로 8.4 f659(역함수의 미분법)를 8.4 f654(sin의 도함수)와 결합해 유도할 수 있지만, 그 절의 주제인 무리함수의 적분에 집중하기 위해 결론만 인용한다»고 밝혀 두었습니다―이 항목이 그 유도를 실제로 수행한 것입니다. 순환은 없습니다 : 위 증명은 9.3의 결과를 전혀 쓰지 않고, 8.4 f659가 인용하는 4.17 f796도 11장을 쓰지 않습니다. 같은 방식으로 8.4 f656(tan의 도함수)을 결합하면 9.2 f705가 같은 이유로 인용해 둔 (tan⁻¹t)′도 얻어지지만, 이 절에서는 필요하지 않으므로 다루지 않습니다.

사용 : 1064번 · 8.4의 654번 · 656번 · 659번 · 4.17의 796번 · 797번 · 798번 · 4.18의 803번 · 804번 · 4.5의 425번 · 4.3의 418번 · 2.4의 96번 · 98번 · 9.2의 705번 · 9.3의 712번 · 직접증명법

증명 끝

1064정리아크사인의 매클로린 전개(Maclaurin Expansion of the Arcsine)sin⁻¹x = ∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²(2k+1)x^2k+1   (|x| < 1)

증명법 : 직접증명법(1061번 ⑸의 급수를 1063번으로 알아본 뒤 항별 적분)

|x|<1인 모든 x에서

sin⁻¹x = ∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²(2k+1)x^2k+1 = x + x³6 + 3x⁵40 + 5x⁷112 + …

가 성립합니다.

⑴ 도함수의 급수. 1061번 ⑸에서

11−t² = ∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²t^2k   (|t| < 1)

이고, 1063번에 의해 이 좌변은 정확히 (sin⁻¹)′(t)입니다. 이 급수는 홀수 차수의 계수가 모두 0인 멱급수(11.8 f1027)로 볼 수 있으므로―0인 항을 끼워 넣어도 부분합이 같은 값을 되풀이할 뿐이라 수렴과 합이 달라지지 않습니다(11.11 f1051 ⑷에서 확인한 논법)―11.9의 정리를 그대로 적용할 수 있습니다.

⑵ 항별 적분. 수렴반지름이 1이므로 |x|<1이면 0과 x를 잇는 구간이 수렴구간의 내부에 온전히 들어 있고, 11.9 f1039(항별 적분정리)를 쓸 수 있습니다.

x∫0(sin−1)′(t) dt = ∞Σk=0(2k)!4k(k!)²(2k+1)x2k+1	11.9 f1039 ― t2k의 계수를 2k+1로 나누고 차수를 하나 올림
x∫0(sin−1)′(t) dt = sin−1x − sin−10 = sin−1x	9.8 f746(미적분의 기본정리 제2부, x<0이면 9.8 f741의 반전 규약과 함께) ― sin−1이 그 구간에서 (sin−1)′의 원시함수(1063번) · sin−10=0(4.18 f804)

두 줄의 좌변이 같으므로 우변끼리 같습니다―이것이 결론입니다. 처음 몇 계수는 다음과 같습니다.

k=0 : 0!40(0!)²·1=1  →  x	1061번 ⑸의 계수를 2k+1로 나눔
k=1 : 2!4·(1!)²·3=16  →  x³6	같음
k=2 : 4!16·(2!)²·5=340  →  3x540	같음
k=3 : 6!64·(3!)²·7=5112  →  5x7112	같음

⑶ 끝점에서도 급수는 수렴한다. c_k:=(2k)!4^k(k!)²(2k+1)라 하면 1061번 ⑷의 계수 b_k=(2k)!4^k(k!)²를 써서 c_k=b_k2k+1로 쓸 수 있고, b_k는 다음과 같이 인수분해됩니다.

bk = 12·34·…·2k−12k	(2k)!=(2k)(2k−1)…2·1이고 4k(k!)²=(2·4…2k)²이므로 짝수 인수끼리 약분(12.1 f779)
bk² ≤ (12·23)(34·45)…(2k−12k·2k2k+1) = 12k+1	2j−12j≤2j2j+1(⇔4j²−1≤4j²)를 뒤 인수마다 적용 · 이웃한 인수가 차례로 약분되는 망원곱
∴ ck = bk2k+1 ≤ 1(2k+1)2k+1 ≤ 122·kk  (k≥1)	윗줄에서 bk≤12k+1 · 2k+1>2k

마지막 식은 상수배를 뺀 1k^3÷2이고 p=32>1이므로, 11.6 f1020의 p-급수 판정과 비교판정법(11.6 f1016)에 의해 ∞Σk=0c_k가 수렴합니다. 즉 이 급수는 x=±1에서도 절대수렴합니다.

다만 그 합이 sin⁻¹(±1)=±π2인지는 1062번 ⑷에서 밝힌 것과 같은 이유로 이 절에서 결론 내리지 않습니다―끝점에서 급수의 합과 함수의 값을 잇는 데에는 아벨의 극한정리가 필요하기 때문입니다. 1065번 ⑵는 끝점이 아닌 x=12에서만 값을 계산하므로 이 유보와 무관합니다.

⑷ 11.11이 남긴 예고. 11.11 f1057 ⑸는 «1050번의 다섯 전개와 세 연산으로는 (1+x)^m과 sin⁻¹x에 닿지 못하며 그 빈자리를 11.12가 메운다»고 적어 두었습니다. 1060번이 앞의 것을, 이 항목이 뒤의 것을 실제로 채웠습니다―그것도 새 도구 없이, 11.11이 정한 세 연산 가운데 치환(11.11 f1051)과 항별 적분(11.9 f1039)만으로.

sin⁻¹x와 그 급수의 부분합 S₀·S₁·S₂·S₄(⑵의 계수를 그대로 픽셀에 대입). 원점 근처에서는 한두 항으로도 충분하지만, x가 ±1에 가까워질수록 곡선이 가팔라져(도함수가 1063번에 의해 한없이 커집니다) 더 많은 항이 필요합니다―1065번 ⑵가 끝점이 아닌 x=12에서 값을 계산하는 이유이기도 합니다.

사용 : 1060번 · 1061번 · 1062번 · 1063번 · 1065번 · 11.6의 1016번 · 1020번 · 11.8의 1027번 · 11.9의 1039번 · 11.11의 1051번 · 1057번 · 9.8의 741번 · 746번 · 4.18의 804번 · 12.1의 779번 · 직접증명법

증명 끝

1065정리·활용근삿값 계산에의 활용(Applications to Numerical Approximation)1.1 ≈ 1.048809  (네 항),  π = 6∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²(2k+1)(12)^2k+1

증명법 : 직접증명법(앞 항목들을 구체적인 수에 적용하고, 오차는 11.7 f1024로 잰다)

⑴ 제곱근의 계산 ― 1.1. 1061번 ⑶에 x=0.1을 넣습니다(|0.1|<1이므로 적용 가능). 항 t_k=12k(0.1)^k는 k≥1부터 부호가 번갈아 바뀌고 절댓값이 줄어들므로, 11.7 f1024(교대급수의 오차 추정)에 의해 어디서 끊든 오차는 처음 버린 항보다 작습니다.

t0=1,   t1=0.05,   t2=−0.00125,   t3=0.0000625,   t4=−0.00000390625	1058번 ⑸의 계수 1, 12, −18, 116, −5128에 0.1의 거듭제곱을 곱함
부분합 : 1,  1.05,  1.04875,  1.0488125,  1.048808594	위 항을 차례로 더함
실제 값 : 1.1 = 1.048808848…	비교 대상
오차 : 0.0488,  0.001191,  0.0000588,  0.00000365,  0.000000254	부분합과 실제 값의 차
오차의 상한(처음 버린 항) : 0.05,  0.00125,  0.0000625,  0.00000391,  0.000000273	11.7 f1024 ― 실제 오차가 매번 상한보다 작음을 확인

네 항만 더해도 소수 다섯째 자리까지 정확합니다―제곱근을 사칙연산만으로 계산하는 방법이 된 셈입니다.

⑵ π의 계산 ― 아크사인 급수의 힘. 4.18 f804에 의해 sin⁻¹12=π6이므로, 1064번에 x=12(끝점이 아니라 수렴구간의 내부입니다)을 넣으면

π = 6·∞Σk=0(2k)!4^k(k!)²(2k+1)(12)^2k+1

를 얻습니다. 부분합(6배 한 값)은 다음과 같습니다.

k=0 : 3  ·  k=1 : 3.125  ·  k=2 : 3.1390625  ·  k=3 : 3.14115513	각 항은 6·(2k)!4k(k!)²(2k+1)·(12)2k+1
k=4 : 3.14151117  ·  k=5 : 3.14157672  ·  k=6 : 3.14158943	같음
k=7 : 3.14159198  ·  k=8 : 3.14159251  ·  k=9 : 3.14159262	같음
π = 3.14159265…  →  k=9까지의 오차는 약 3.1×10−8	비교 대상

11.10 f1048 ⑸가 확정한 라이프니츠 급수 π÷4=1−13+15−17+…와 견주어 보면 차이가 뚜렷합니다― 그 급수는 교대급수이므로 11.7 f1024에 의해 오차가 대략 42n+1 정도인데, 위와 같은 정밀도(약 3×10⁻⁸)를 얻으려면 항이 수천만 개 필요합니다. 같은 π를 열 항으로 얻는 것과 수천만 항으로 얻는 것의 차이가, 값을 넣는 점이 끝점(x=1)이냐 내부의 점(x=12)이냐에서 갈립니다―11.11 f1054가 ln 2를 빠르게 계산했던 것과 정확히 같은 이치입니다.

⑶ 이 절에서 얻은 전개의 표. 모두 1060번 하나에서 나온 것입니다.

(1+x)m = ∞Σk=0mkxk	1060번 · |x|<1(끝점은 1062번)
11+x = ∞Σk=0(−1)kxk	1061번 ⑴ · |x|<1
1(1+x)² = ∞Σk=0(−1)k(k+1)xk	1061번 ⑵ · |x|<1
1+x = 1 + x2 − x²8 + x³16 − …	1061번 ⑶ · |x|<1(끝점에서도 급수 자체는 수렴 ― 1062번 ⑴)
11−x² = ∞Σk=0(2k)!4k(k!)²x2k	1061번 ⑸ · |x|<1
sin−1x = ∞Σk=0(2k)!4k(k!)²(2k+1)x2k+1	1064번 · |x|<1

네 번째 줄의 1+x에서 x=1을 넣으면 급수는 1062번 ⑴(m=12>0)에 의해 수렴하고, 그 합이 2=1.41421…인지는 1062번 ⑷의 유보에 걸립니다―수렴한다는 것과 그 합이 무엇인지는 다른 물음이라는 이 절의 구분을 마지막으로 한 번 더 확인해 둡니다.

⑷ 이 절이 증명한 것과 인용한 것. 1060번(|x|<1에서의 이항급수 정리)과 1062번(끝점에서의 수렴·발산 판정), 1063번(아크사인의 도함수), 1064번(아크사인의 전개)은 전부 이 사이트 안에서 완전히 증명되었습니다―이 사이트 밖의 결과는 끝점에서 급수의 합을 함수값과 잇는 아벨의 극한정리 하나뿐이며(1062번 ⑷의 대학 각주), 그것도 소개만 하고 쓰지는 않았습니다. 11.11 f1055가 tan·sec·tanh의 수렴을 복소해석학에 맡긴 것과 달리, 이항급수는 그럴 필요가 없었습니다.

사용 : 1058번 · 1060번 · 1061번 · 1062번 · 1063번 · 1064번 · 11.6의 1016번 · 11.7의 1024번 · 11.10의 1048번 · 11.11의 1054번 · 1055번 · 4.18의 804번 · 직접증명법

증명 끝